函數(shù)y=(x-20)(x-1)(x-4)的主要性質(zhì)及圖像

函數(shù)y=(x-20)(x-1)(x-4)的主要性質(zhì)主要內(nèi)容：本文介紹函數(shù)y=(x-20)(x-1)(x-4)的定義域、單調(diào)性、凸凹性、極限等性質(zhì)，并用導(dǎo)數(shù)知識求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和凸凹區(qū)間，簡要畫出函數(shù)圖像的示意圖?！?函數(shù)的定義域根據(jù)函數(shù)的特征，函數(shù)自變量x可取全體實(shí)數(shù)，則函數(shù)的定義域?yàn)椋?-∞，+∞）?！?函數(shù)的單調(diào)性本題介紹通過導(dǎo)數(shù)的知識，計(jì)算函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)，即可得到函數(shù)的駐點(diǎn)，根據(jù)駐點(diǎn)判斷一階導(dǎo)數(shù)的符號，來解析函數(shù)的單調(diào)性并求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間?！遹=(x-20)(x-1)(x-4)∴eq\f(dy,dx)=(x-1)(x-4)+(x-20)[(x-4)+(x-1)]=(x-1)(x-4)+(x-20)(2x-5)=3x2-2*25x+104。令eq\f(dy,dx)=0,則：3x2-50x+104=0，由二次方程求根公式求出兩根為：x1=eq\f(25+\r(313),3)≈14.2;x2=eq\f(25-\r(313),3)≈2.4。此時，判斷函數(shù)的單調(diào)性有：(1).當(dāng)x∈(-∞，2.4]∪[14.2,+∞）時，eq\f(dy,dx)≥0，函數(shù)y在定義域上為增函數(shù)；(2).當(dāng)x∈(2.4,14.2)時，eq\f(dy,dx)＜0，函數(shù)y在定義域上為減函數(shù)?！?函數(shù)的凸凹性求出函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)，得到函數(shù)的拐點(diǎn)，根據(jù)拐點(diǎn)判斷二階導(dǎo)數(shù)的符號，即可解析函數(shù)的凸凹性及凸凹區(qū)間?！遝q\f(dy,dx)=3x2-50x+104,∴eq\f(d2y,dx2)=6x-50。令eq\f(d2y,dx2)=0，則x=eq\f(25,3)≈8.3.(1).當(dāng)x∈(-∞，8.3]，eq\f(d2y,dx2)≤0，此時函數(shù)y為凸函數(shù)；(2).當(dāng)x∈(8.3，+∞），eq\f(d2y,dx2)＞0，此時函數(shù)y為凹函數(shù)?！?函數(shù)的極限eq\s(lim,x→-∞)(x-20)(x-1)(x-4)=-∞；eq\s(lim,x→+∞)(x-20)(x-1)(x-4)=+∞?！?函數(shù)的五點(diǎn)圖X12.48.314.214.5x-20-19-17.6-11.7-5.8-5.5x-101.47.313.213.5x-4-3-1.64.310.210.5y039.4-367.3-780.9-779.6※.函數(shù)的示意圖y=(x-20)(x-1)(x-4)y（2.4,39.4） x（1,0）（8.3,-367.3）（14.5,-779.6）