2022屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)試卷 專題3:函數(shù)的應(yīng)用多選題33題_第1頁
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文檔簡介

函數(shù)的應(yīng)用多選題1.一般地,若函數(shù)的定義域為,值域為,則稱為的“倍跟隨區(qū)間”;若函數(shù)的定義域為,值域也為,則稱為的“跟隨區(qū)間”.下列結(jié)論正確的是()A.若為的跟隨區(qū)間,則B.函數(shù)存在跟隨區(qū)間C.若函數(shù)存在跟隨區(qū)間,則D.二次函數(shù)存在“3倍跟隨區(qū)間”2.下列命題正確的有()A.已知且,則B.,則C.的極大值和極小值的和為D.過的直線與函數(shù)有三個交點,則該直線斜率的取值范圍是3.已知函數(shù),下列是關(guān)于函數(shù)的零點個數(shù)的判斷,其中正確的是()A.當(dāng)時,有3個零點 B.當(dāng)時,有2個零點C.當(dāng)時,有4個零點 D.當(dāng)時,有1個零點4.已知函數(shù),方程在區(qū)間()上的所有根的和為,則()A. B.C. D.5.把方程表示的曲線作為函數(shù)的圖象,則下列結(jié)論正確的有()A.函數(shù)的圖象不經(jīng)過第三象限B.函數(shù)在R上單調(diào)遞增C.函數(shù)的圖象上的點到坐標(biāo)原點的距離的最小值為1D.函數(shù)不存在零點6.已知函數(shù),則方程的實根個數(shù)可能為()A.8 B.7 C.6 D.57.已知當(dāng)時,;時,以下結(jié)論正確的是()A.在區(qū)間上是增函數(shù);B.;C.函數(shù)周期函數(shù),且最小正周期為2;D.若方程恰有3個實根,則或;8.已知函數(shù)有唯一零點,則的值可能為()A. B. C. D.9.已知函數(shù),則方程的根的個數(shù)可能為()A.2 B.6 C.5 D.410.已知函數(shù)(e為自然對數(shù)的底),若且有四個零點,則實數(shù)m的取值可以為()A.1 B.e C.2e D.3e11.已知函數(shù),以下結(jié)論正確的是()A.B.在區(qū)間上是增函數(shù)C.若方程恰有3個實根,則D.若函數(shù)在上有6個零點,則的取值范圍是12.已知函數(shù),則以下結(jié)論正確的是()A.在上單調(diào)遞增 B.C.方程有實數(shù)解 D.存在實數(shù),使得方程有個實數(shù)解13.已知函數(shù),則下列判斷正確的是()A.為奇函數(shù)B.對任意,,則有C.對任意,則有D.若函數(shù)有兩個不同的零點,則實數(shù)m的取值范圍是14.若函數(shù)與函數(shù)有四個不同的交點,則實數(shù)的取值可以是()A.14 B.16 C. D.15.設(shè)函數(shù),若有4個零點,則a的可能取值為()A. B.1 C. D.216.已知函數(shù),,則,滿足()A., B.,C. D.17.已知直線分別與函數(shù)和的圖象交于點,則下列結(jié)論正確的是()A. B.C. D.18.已知,,記,則()A.的最小值為 B.當(dāng)最小時,C.的最小值為 D.當(dāng)最小時19.已知函數(shù),當(dāng)實數(shù)取確定的某個值時,方程的根的個數(shù)可以是()A.0個 B.1個 C.2個 D.4個20.已知函數(shù),下列是關(guān)于函數(shù)的零點個數(shù)的判斷,其中正確的是()A.當(dāng)時,有3個零點 B.當(dāng)時,有2個零點C.當(dāng)時,有4個零點 D.當(dāng)時,有1個零點21.—般地,若函數(shù)的定義域為,值域為,則稱為的“倍跟隨區(qū)間”;特別地,若函數(shù)的定義域為,值域也為,則稱為的“跟隨區(qū)間”.下列結(jié)論正確的是()A.若為的跟隨區(qū)間,則B.函數(shù)不存在跟隨區(qū)間C.若函數(shù)存在跟隨區(qū)間,則D.二次函數(shù)存在“3倍跟隨區(qū)間”22.已知函數(shù),下列結(jié)論中正確的是()A.,B.若有極大值M,極小值m,則必有C.若是極小值點,則在區(qū)間上單調(diào)遞減D.若,則是的極值點23.設(shè)函數(shù),若函數(shù)有三個零,則實數(shù)可取的值可能是()A.0 B. C.1 D.224.在數(shù)學(xué)中,布勞威爾不動點定理是拓?fù)鋵W(xué)里一個非常重要的不動點定理,它可應(yīng)用到有限維空間,并構(gòu)成一般不動點定理的基石.布勞威爾不動點定理得名于荷蘭數(shù)學(xué)家魯伊茲·布勞威爾(L.E.J.Brouwer),簡單的講就是對于滿足一定條件的連續(xù)函數(shù),存在一個點,使得,那么我們稱該函數(shù)為“不動點”函數(shù),下列為“不動點”函數(shù)的是()A. B.C. D.25.下列選項中的范圍能使得關(guān)于的不等式至少有一個負(fù)數(shù)解的是()A. B. C. D.26.已知函數(shù)和(且為常數(shù)),則下列結(jié)論正確的是()A.當(dāng)時,存在實數(shù),使得關(guān)于的方程有四個不同的實數(shù)根B.存在,使得關(guān)于的方程有三個不同的實數(shù)根C.當(dāng)時,若函數(shù)恰有個不同的零點、、,則D.當(dāng)時,且關(guān)于的方程有四個不同的實數(shù)根、、、,若在上的最大值為,則27.已知實數(shù)a,b滿足等式,則下列五個關(guān)系式中可能成立的是()A. B.C. D.E.28.已知函數(shù)則以下結(jié)論正確的是()A.B.方程有三個實根C.當(dāng)時,D.若函數(shù)在上有8個零點,則的取值范圍為29.已知函數(shù),下列四個命題正確的是().A.函數(shù)為偶函數(shù)B.若,其中,,,則C.函數(shù)在上為單調(diào)遞增函數(shù)D.若,則30.關(guān)于的方程有四個不同的實數(shù)解,則實數(shù)的值可能是()A. B. C. D.31.(多選)設(shè)函數(shù),給出如下命題,其中正確的是()A.時,是奇函數(shù)B.,時,方程=0只有一個實數(shù)根C.的圖像關(guān)于點對稱D.方程=0最多有兩個實根E.方程=0在上一定有根32.設(shè)是定義在R上的函數(shù),若存在兩個不相等的實數(shù),使得,則稱函數(shù)具有性質(zhì)P,那么下列函數(shù)中,具有性質(zhì)P的函數(shù)為()①;②;③;④.A.① B.② C.③ D.④33.設(shè)函數(shù),若有4個零點,則的可能取值有()A.1 B.2 C.3 D.4參考答案,僅供參考1.ABCD【分析】根據(jù)“倍跟隨區(qū)間”的定義,分析函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的最值與取值范圍逐個判斷即可.【解析】對A,若為的跟隨區(qū)間,因為在區(qū)間為增函數(shù),故其值域為,根據(jù)題意有,解得或,因為故.故A正確;對B,因為函數(shù)在區(qū)間與上均為減函數(shù),故若存在跟隨區(qū)間則有,解得:.故存在,B正確.對C,若函數(shù)存在跟隨區(qū)間,因為為減函數(shù),故由跟隨區(qū)間的定義可知,即,因為,所以.易得.所以,令代入化簡可得,同理也滿足,即在區(qū)間上有兩根不相等的實數(shù)根.故,解得,故C正確.對D,若存在“3倍跟隨區(qū)間”,則可設(shè)定義域為,值域為.當(dāng)時,易得在區(qū)間上單調(diào)遞增,此時易得為方程的兩根,求解得或.故存在定義域,使得值域為.故D正確.故選:ABCD.【點評】本題主要考查了函數(shù)新定義的問題,需要根據(jù)題意結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)分析函數(shù)的單調(diào)性與取最大值時的自變量值,并根據(jù)函數(shù)的解析式列式求解.屬于難題.2.ACD【分析】由等式關(guān)系、指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可求的范圍;利用指對數(shù)互化,結(jié)合對數(shù)的運算法求;利用導(dǎo)數(shù)確定零點關(guān)系,結(jié)合原函數(shù)式計算極值之和即可;由直線與有三個交點,即可知有兩個零點且不是其零點即可求斜率范圍.【解析】A選項,由條件知且,所以,即;B選項,有,,而;C選項,中且開口向上,所以存在兩個零點且、,即為兩個極值點,所以;D選項,令直線為與有三個交點,即有三個零點,所以有兩個零點即可∴,解得故選:ACD【點評】本題考查了指對數(shù)的運算及指數(shù)函數(shù)性質(zhì),利用導(dǎo)數(shù)研究極值,由函數(shù)交點情況求參數(shù)范圍,屬于難題.3.CD【分析】令y=0得,利用換元法將函數(shù)分解為f(x)=t和f(t)=﹣1,作出函數(shù)f(x)的圖象,利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論.【解析】令,得,設(shè)f(x)=t,則方程等價為f(t)=﹣1,①若k>0,作出函數(shù)f(x)的圖象如圖:∵f(t)=﹣1,∴此時方程f(t)=﹣1有兩個根其中t2<0,0<t1<1,由f(x)=t2<0,此時x有兩解,由f(x)=t1∈(0,1)知此時x有兩解,此時共有4個解,即函數(shù)y=f[f(x)]+1有4個零點.②若k<0,作出函數(shù)f(x)的圖象如圖:∵f(t)=﹣1,∴此時方程f(t)=﹣1有一個根t1,其中0<t1<1,由f(x)=t1∈(0,1),此時x只有1個解,即函數(shù)y=f[f(x)]+1有1個零點.故選:CD.【點評】本題考查分段函數(shù)的應(yīng)用,考查復(fù)合函數(shù)的零點的判斷,利用換元法和數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵,屬于難題.4.BC【分析】先推導(dǎo)出在上的解析式,然后畫出與的圖象,得出時,所有交點的橫坐標(biāo),然后得出.【解析】因為當(dāng)時,,所以當(dāng)時,,則,故,即時,,同理當(dāng)時,,;當(dāng)時,,則;………故當(dāng)時,,當(dāng)時,.所以,故B正確;作出與的圖象如圖所示,則當(dāng)且時,的值分別為:則,故C正確.故選:BC.【點評】本題考查函數(shù)的零點綜合問題,難度較大,推出原函數(shù)在每一段上的解析式并找到其規(guī)律是關(guān)鍵.5.ACD【分析】根據(jù)函數(shù)的解析式,分類討論作出函數(shù)的圖象,結(jié)合圖象可判定A準(zhǔn)確,B不正確,根據(jù)兩點間的距離公式和橢圓的方程,可判定C正確,根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)和函數(shù)的零點的定義,可判定D正確.【解析】由題意,方程,當(dāng)時,,表示橢圓在第一象限的部分;當(dāng)時,,表示雙曲線在第四象限的部分;當(dāng)時,,表示雙曲線在第二象限的部分;當(dāng)時,,此時不成立,舍去,其圖像如圖所示,可得該函數(shù)的圖象不經(jīng)過第三象限,所以A是正確的;由函數(shù)的圖象可得,該函數(shù)在為單調(diào)遞減函數(shù),所以B不正確;由圖象可得,函數(shù)的圖象上的點到原點的距離的最小的點在的圖象上,設(shè)點,則點滿足時,,即則,當(dāng)時,,所以C正確;令,可得,即,則函數(shù)的零點,即為函數(shù)與的交點,又由直線為雙曲線和漸近線,所以直線與函數(shù)沒有交點,即函數(shù)不存在零點,所以D是正確的.故選:ACD.【點評】本題主要考查了命題的真假判定,函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的零點個數(shù)的判定,以及橢圓和雙曲線的幾何性質(zhì)的綜合應(yīng)用,試題綜合性強,屬于中檔試題.6.ABC【分析】以的特殊情形為突破口,解出或或或,將看作整體,利用換元的思想進(jìn)一步討論即可.【解析】由基本不等式可得或,作出函數(shù)的圖像,如下:①當(dāng)時,或,故方程的實數(shù)根個數(shù)為;②當(dāng)時,或或,故方程的實數(shù)根個數(shù)為;③當(dāng)時,或或或,故方程的實數(shù)根個數(shù)為;④當(dāng)時,或或或,故方程的實數(shù)根個數(shù)為;⑤當(dāng)時,或,故方程的實數(shù)根個數(shù)為;⑥當(dāng)時,或,故方程的實數(shù)根個數(shù)為;⑦當(dāng)時,,故方程的實數(shù)根個數(shù)為;故選:ABC【點評】本題考查了求零點的個數(shù),考查了數(shù)形結(jié)合的思想以及分類討論的思想,屬于難題.7.BD【分析】利用函數(shù)的性質(zhì),依次對選項加以判斷,ABC考查函數(shù)的周期性及函數(shù)的單調(diào)性,重點理解函數(shù)周期性的應(yīng)用,是解題的關(guān)鍵,D選項考查方程的根的個數(shù),需要轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的交點個數(shù),在同一圖像中分別研究兩個函數(shù),臨界條件是直線與函數(shù)相切,結(jié)合圖像將問題簡單化.【解析】對于A,時,即在區(qū)間上的單調(diào)性與在區(qū)間上單調(diào)性一致,所以在上是增函數(shù),在上是減函數(shù),故A錯誤;對于B,當(dāng)時,,,,故B正確;對于C,當(dāng)時,,當(dāng)時,不是周期函數(shù),故C錯誤;對于D,由時,;時,可求得當(dāng)時,;直線恒過點,方程恰有3個實根,即函數(shù)和函數(shù)的圖像有三個交點,當(dāng)時,直線與函數(shù)()相切于點,則,解得,要函數(shù)和函數(shù)的圖像有三個交點,則的取值范圍為:;當(dāng)時,當(dāng)時,直線與函數(shù)有兩個交點,設(shè)直線與函數(shù)()相切于點,則,解得綜上,方程有3個實根,則或,故D正確.故選:BD.【點評】本題考查函數(shù)的性質(zhì),單調(diào)性,及函數(shù)零點個數(shù)的判斷,主要考查學(xué)生的邏輯推理能力,數(shù)形結(jié)合能力,屬于較難題.8.BC【分析】由已知可得,所以圖象關(guān)于對稱,結(jié)合函數(shù)圖象的對稱性分析可得結(jié)論.【解析】∵,令,則,定義域為,,故函數(shù)為偶函數(shù),所以函數(shù)的圖象關(guān)于對稱,要使得函數(shù)有唯一零點,則,即,解得或,故選:BC.【點評】該題考查了函數(shù)零點個數(shù)求參數(shù)的取值范圍,考查了轉(zhuǎn)化與化歸的思想,屬于較難題目.9.ACD【分析】先畫出的圖象,再討論方程的根,求得的范圍,再數(shù)形結(jié)合,得到答案.【解析】畫出的圖象如圖所示:令,則,則,當(dāng),即時,,此時,由圖與的圖象有兩個交點,即方程的根的個數(shù)為2個,A正確;當(dāng)時,即時,,則故,,當(dāng)時,即,則有2解,當(dāng)時,若,則有3解;若,則有2解,故方程的根的個數(shù)為5個或4個,CD正確;故選:ACD【點評】本題考查了函數(shù)的根的個數(shù)問題,函數(shù)圖象的畫法,考查了分類討論思想和數(shù)形結(jié)合思想,難度較大.10.CD【分析】首先判斷為偶函數(shù),考慮時,的解析式和零點個數(shù),運用導(dǎo)數(shù)的幾何意義和數(shù)形結(jié)合思想,即可得到所求的范圍.【解析】解:因為,可得,即為偶函數(shù),由題意可得時,有兩個零點,當(dāng)時,,即時,,由,可得,由相切,設(shè)切點為,的導(dǎo)數(shù)為,可得切線的斜率為,可得切線的方程為,由切線經(jīng)過點,可得,解得:或(舍去),即有切線的斜率為,故,故選:CD.【點評】本題考查函數(shù)的零點問題,關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像的交點問題,考查數(shù)形結(jié)合的思想及計算能力,難度較大.11.BCD【分析】利用函數(shù)的圖象結(jié)合四個選項進(jìn)行分析,注意函數(shù)在大于0部分的周期性,從而進(jìn)行選項判斷,即可得到答案.【解析】函數(shù)的圖象如圖所示:對A,,,所以,故A錯誤;對B,由圖象可知在區(qū)間上是增函數(shù),故B正確;對C,由圖象可知,直線與函數(shù)圖象恰有3個交點,故C正確;對D,由圖象可得,當(dāng)函數(shù)在上有6個零點,則,所以當(dāng)時,;當(dāng)時,,所以的取值范圍是,故D正確.故選:BCD.【點評】本題考查利用函數(shù)的圖象研究分段函數(shù)的性質(zhì),考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用,求解時畫出函數(shù)圖象是求解問題的關(guān)鍵.12.BCD【分析】求導(dǎo)得到函數(shù)的單調(diào)性得到錯誤;判斷得到正確;根據(jù)得到正確;構(gòu)造函數(shù),畫出函數(shù)圖象知正確,得到答案.【解析】,則,故函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,錯誤;,根據(jù)單調(diào)性知,正確;,,故方程有實數(shù)解,正確;,易知當(dāng)時成立,當(dāng)時,,設(shè),則,故函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,且.畫出函數(shù)圖象,如圖所示:當(dāng)時有3個交點.綜上所述:存在實數(shù),使得方程有個實數(shù)解,正確;故選:.【點評】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性,比較函數(shù)值大小,方程解的個數(shù),意在考查學(xué)生對于函數(shù)知識的綜合應(yīng)用.13.CD【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性以及單調(diào)性判斷AB選項;對進(jìn)行分類討論,判斷C選項;對選項D,構(gòu)造函數(shù),將函數(shù)的零點問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點問題,即可得出實數(shù)m的取值范圍.【解析】對于A選項,當(dāng)時,,則所以函數(shù)不是奇函數(shù),故A錯誤;對于B選項,的對稱軸為,的對稱軸為所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,并且所以在上單調(diào)遞增即對任意,都有則,故B錯誤;對于C選項,當(dāng)時,,則則當(dāng)時,,則當(dāng)時,,則則即對任意,則有,故C正確;對于D選項,當(dāng)時,,則不是該函數(shù)的零點當(dāng)時,令函數(shù),函數(shù)由題意可知函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個不同的交點因為時,,時,所以當(dāng)時,設(shè),因為,所以,即設(shè),,即所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增同理可證,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增函數(shù)圖象如下圖所示由圖可知,要使得函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個不同的交點則實數(shù)m的取值范圍是,故D正確;故選:CD【點評】本題主要考查了利用定義證明函數(shù)的單調(diào)性以及奇偶性,由函數(shù)零點的個數(shù)求參數(shù)的范圍,屬于較難題.14.BCD【分析】設(shè),結(jié)合為偶函數(shù)可知當(dāng)時,有2個零點,然后分當(dāng)和兩種情況,利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合函數(shù)性質(zhì)求解.【解析】設(shè),由題意可得有4個零點,又因為為偶函數(shù),故當(dāng)時,有2個零點,當(dāng)時,在上單調(diào)遞增,最多只有一個零點,不符合題意,當(dāng)時,,易得,當(dāng)時,,函數(shù)單調(diào)遞增,當(dāng)時,,函數(shù)單調(diào)遞減,故,又時,,時,,故,解可得,,故選:BCD.【點評】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點,還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和運算求解的能力,屬于較難題.15.CD【分析】先判斷函數(shù)是偶函數(shù),則條件等價為當(dāng)時,有2個零點,求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),研究函數(shù)的單調(diào)性,求出函數(shù)的極小值,讓極小值小于0即可.【解析】因為函數(shù)定義域為,且,所以函數(shù)為偶函數(shù),故函數(shù)有4個零點等價于時,有2個零點,當(dāng)時,,則當(dāng),當(dāng)由得,當(dāng)時,,當(dāng)時,,如圖:所以有極小值,要使函數(shù)有個零點,只需即可,即,解得,所以可取,故選:CD.【點評】本題主要考查了函數(shù)與方程的應(yīng)用,結(jié)合偶函數(shù)的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為當(dāng)時有2個零點,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及極值,屬于難題.16.ABC【分析】逐一分析各選項即可;A:寫出,即可解決;B:判斷與的單調(diào)性即可;C:寫出即可得解;D:寫出即可得解.【解析】函數(shù),A:=,故A對;B:因為函數(shù)為增函數(shù),所以,,則在上恒成立,所以在遞增,又,所以,即故B對;C:,故C對;D:,故D錯;故選ABC.【點評】本題考查了函數(shù)的基本性質(zhì):奇偶性,單調(diào)性,熟練掌握各種初等函數(shù)的性質(zhì)是關(guān)鍵,屬于難題.17.ABC【分析】根據(jù)互為反函數(shù)的性質(zhì)可得的中點坐標(biāo)為,從而可判斷A;利用基本不等式可判斷B、D;利用零點存在性定理以及對數(shù)的運算性質(zhì)可判斷C.【解析】函數(shù)與互為反函數(shù),則與的圖象關(guān)于對稱,將與聯(lián)立,則,由直線分別與函數(shù)和的圖象交于點,作出函數(shù)圖像:則的中點坐標(biāo)為,對于A,由,解得,故A正確;對于B,,因為,即等號不成立,所以,故B正確;對于C,將與聯(lián)立可得,即,設(shè),且函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù),,,故函數(shù)的零點在上,即,由,則,,故C正確;對于D,由,解得,由于,則,故D錯誤;故選:ABC【點評】本題考查了互為反函數(shù)的性質(zhì)、基本不等式的應(yīng)用、零點存在性定理以及對數(shù)的運算性質(zhì),考查了數(shù)形結(jié)合的思想,屬于難題.18.AB【分析】根據(jù)條件可將的最小值,轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象上的點到直線的距離的最小值的平方,結(jié)合兩直線的位置關(guān)系和導(dǎo)數(shù)的幾何意義,即可求解.【解析】由和,則的最小值,可轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象上的點到直線的距離的最小值的平方,又由,可得,因為與直線平行的直線的斜率為,所以,解得,則切點的坐標(biāo)為,所以到直線上的距離,即函數(shù)上的點到直線上的點的距離的最小值為,所以的最小值為,又過且與直線垂直的直線為,即,聯(lián)立方程組,解得,即當(dāng)最小時,.故選:AB【點評】本題主要考查了函數(shù)與方程綜合應(yīng)用,以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用,其中解答中熟練應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義,合理轉(zhuǎn)化求解是解答的關(guān)鍵,著重考查推理與運算能力.19.ABC【分析】令,畫出,結(jié)合的解的情況可得正確的選項.【解析】,故當(dāng)時,,故在上為增函數(shù);當(dāng)時,,故在上為減函數(shù),而且當(dāng)時,恒成立,故的圖象如圖所示:考慮方程的解的情況.,當(dāng)時,,此時方程有兩個不等的正根,因為,故,,由圖象可知方程的解的個數(shù)為2,方程的解的個數(shù)為0,故方程的根的個數(shù)是2.當(dāng)時,,此時方程有兩個相等的正根,由圖象可知方程的解的個數(shù)為1,故方程的根的個數(shù)是1.當(dāng)時,,此時方程無解,故方程的根的個數(shù)是0.當(dāng)時,,此時方程有兩個相等的負(fù)根,由圖象可知方程的解的個數(shù)為1,故方程的根的個數(shù)是1.當(dāng)時,,此時方程有兩個不等的負(fù)根,由圖象可知方程的解的個數(shù)為1,方程的解的個數(shù)為1,故方程的根的個數(shù)是2.故選:ABC.【點評】本題考查復(fù)合方程的解,此類問題,一般用換元法來考慮,其中不含的參數(shù)的函數(shù)的圖象應(yīng)利用導(dǎo)數(shù)來刻畫,本題屬于難題.20.CD【分析】本題首先要明確函數(shù)解析式,然后根據(jù)選項分為、兩種情況進(jìn)行討論,再然后在每一種情況下又分為、兩種情況進(jìn)行討論,最后通過解方程即可得出結(jié)果.【解析】由題意可知,,當(dāng)時:若,則,①時,有,解得;②時,有,解得,若,則,①時,有,解得,②時,有,解得,故當(dāng)時,有4個零點,C正確,當(dāng)時:若,則,有,解得,因為,所以不滿足,舍去;若,則,①時,有,無解;②時,有,解得,故當(dāng)時,有1個零點,D正確,故選:CD.【點評】本題考查函數(shù)零點的求解,考查學(xué)生對分段函數(shù)的理解,能否明確每一個區(qū)間所對應(yīng)的函數(shù)是解決本題的關(guān)鍵,考查分類討論思想,考查計算能力,是難題.21.BCD【分析】根據(jù)“倍跟隨區(qū)間”的定義,分析函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的最值與取值范圍逐個判斷即可.【解析】對A,若為的跟隨區(qū)間,因為在區(qū)間為增函數(shù),故其值域為,根據(jù)題意有,解得或,因為故.故A錯誤.對B,由題,因為函數(shù)在區(qū)間與上均為增函數(shù),故若存在跟隨區(qū)間則有,即為的兩根.即,無解.故不存在.故B正確.對C,若函數(shù)存在跟隨區(qū)間,因為為減函數(shù),故由跟隨區(qū)間的定義可知,即,因為,所以.易得.所以,令代入化簡可得,同理也滿足,即在區(qū)間上有兩根不相等的實數(shù)根.故,解得,故C正確.對D,若存在“3倍跟隨區(qū)間”,則可設(shè)定義域為,值域為.當(dāng)時,易得在區(qū)間上單調(diào)遞增,此時易得為方程的兩根,求解得或.故存在定義域,使得值域為.故D正確.故選:BCD【點評】本題主要考查了函數(shù)新定義的問題,需要根據(jù)題意結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)分析函數(shù)的單調(diào)性與取最大值時的自變量值,并根據(jù)函數(shù)的解析式列式求解.屬于難題.22.ABC【分析】對于A,利用零點存在性定理解決,對于B、C可根據(jù)條件及的單調(diào)性判斷,對于D利用極值點的概念即可判斷.【解析】因為當(dāng)時,,當(dāng)時,,由零點存在性定理知,,故A正確;因為,若有極大值M,極小值m,則有兩根,,不妨設(shè),易得在上單調(diào)遞增,在,單調(diào)遞減,所以,故B、C正確;導(dǎo)數(shù)為0的點不一定是極值點,故D錯誤.故選ABC【點評】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究三次函數(shù)的性質(zhì),涉及到函數(shù)的零點、極值、極值點、單調(diào)性等性質(zhì),是一道中檔題.23.BC【分析】根據(jù)函數(shù)零點的定義轉(zhuǎn)化為有三個根,利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可.【解析】由題意,函數(shù)有三個零點,則函數(shù),即有三個根,當(dāng)時,,則由得,即,此時為減函數(shù),由得,即,此時為增函數(shù),即當(dāng)時,取得極小值,作出的圖象如圖:要使有三個根,則,則實數(shù)可取的值可能是,1故選:BC【點評】本題考查利用零點個數(shù)求參數(shù)范圍問題,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)圖象,考查數(shù)形結(jié)合思想,考查轉(zhuǎn)化與化歸思想,綜合性較強,有一定難度.24.BCD【分析】根據(jù)已知定義,將問題轉(zhuǎn)化為方程有解,然后逐項進(jìn)行求解并判斷即可.【解析】根據(jù)定義可知:若有不動點,則有解.A.令,所以,此時無解,故不是“不動點”函數(shù);B.令,所以或,所以是“不動點”函數(shù);C.當(dāng)時,令,所以或,所以是“不動點”函數(shù);D.令,所以,所以是“不動點”函數(shù).故選:BCD.【點評】本題考查新定義的函數(shù)問題,難度較難.解答本題的關(guān)鍵是能通過定義將問題轉(zhuǎn)化為方程是否有解的問題,對于轉(zhuǎn)化能力要求較高.25.ACD【分析】將不等式變形為,作出函數(shù)的圖象,根據(jù)恰有一個負(fù)數(shù)解時判斷出臨界位置,再通過平移圖象得到的取值范圍.【解析】因為,所以且,在同一坐標(biāo)系中作出的圖象如下圖:當(dāng)與在軸左側(cè)相切時,僅有一解,所以,所以,將向右移動至第二次過點時,,此時或(舍),結(jié)合圖象可知:,所以ACD滿足要求.故選:ACD.【點評】本題考查函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用,著重考查數(shù)形結(jié)合的思想,難度較難.利用數(shù)形結(jié)合可解決的常見問題有:函數(shù)的零點或方程根的個數(shù)問題、求解參數(shù)范圍或者解不等式、研究函數(shù)的性質(zhì)等.26.ACD【分析】分和兩種情況討論,利用數(shù)形結(jié)合思想可判斷出A、B選項的正誤;設(shè),利用復(fù)合函數(shù)的零點可判斷C選項的正誤;求出、的值,結(jié)合對稱性可判斷出D選項的正誤.【解析】若,則函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,且當(dāng)時,,如下圖所示:如上圖可知,此時關(guān)于的方程根的個數(shù)不大于,B選項不合乎題意;若,且當(dāng)時,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,此時,當(dāng)時,若關(guān)于的方程有四個不同的實數(shù)根,則,解得,A選項正確;設(shè),由,得,當(dāng)時,,設(shè)關(guān)于的一元二次方程的兩根分別為、,由于函數(shù)有三個零點,則,,設(shè),由,得,由圖象可知,,由,則,,即,,C選項正確;當(dāng)時,若,,此時,函數(shù)與函數(shù)在區(qū)間上的兩個交點關(guān)于直線對稱,則.如下圖所示,當(dāng)時,函數(shù)與函數(shù)的兩個交點的橫坐標(biāo)、滿足,且有,,則,,,由圖象可知,函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)增,,,所以,,,則,,所以,,D選項正確.故選:ACD.【點評】本題考查函數(shù)方程的綜合應(yīng)用,涉及函數(shù)的零點個數(shù)問題、復(fù)合函數(shù)的零點以及零點的取值范圍問題,考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用,屬于難題.27.ACE【分析】作出冪函數(shù)與的圖象,討論直線與它們的交點橫坐標(biāo)大小關(guān)系可能出現(xiàn)的情況.【解析】畫出與的圖象(如圖),設(shè),作直線.從圖象知,若或1,則;若,則;若;則.故其中可能成立的是ACE.故選:ACE【點評】此題考查冪函數(shù)圖象性質(zhì)的辨析,處理函數(shù)與方程問題,涉及分類討論思想.28.ACD【分析】根據(jù)函數(shù)性質(zhì)以及數(shù)形結(jié)合逐個判斷即可.【解析】對A,.故A正確.對B,畫出圖像有故有四個根.故B錯誤.對C,當(dāng)時,.故C正確.對D,畫出圖像,有8個零點,即與有8個交點.此時.又.故.即的取值范圍為.故D正確.故選:ACD【點評】本題主要考查了函數(shù)圖像零點的綜合運用,需要根據(jù)題題意畫出圖像,再分析函數(shù)圖像的交點等.屬于

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