2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)2019選擇性試題6.3.4空間距離的計(jì)算

6.3.4空間距離的計(jì)算一、單選題1．在正方體ABCD—中，異面直線AD，所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解異面直線的夾角余弦值.【解析】如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)正方體邊長為1，則，則，設(shè)異面直線AD，所成角為，則.故選：D2．已知，，，則點(diǎn)A到直線BC的距離為（

）A．2 B． C．4 D．【答案】B【分析】首先利用空間向量求出在上的投影，再利用勾股定理即可求解.【解析】由題意可得，，，則在上的投影為，則點(diǎn)到直線的距離為.故選：B3．兩平行平面分別經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O和點(diǎn)，且兩平面的一個法向量，則兩平面間的距離是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由空間向量求解【解析】∵兩平行平面分別經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O和點(diǎn)，且兩平面的一個法向量，∴兩平面間的距離．故選：A4．正四棱錐的高，底邊長，則異面直線和之間的距離A． B． C． D．【答案】C【分析】利用坐標(biāo)法，利用異面直線距離的向量公式即求.【解析】建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則，，，，．，．令向量，且，則，，，，．異面直線和之間的距離為：．故選：C.5．在空間直角坐標(biāo)系中，若有且只有一個平面，使點(diǎn)到的距離為1，且點(diǎn)到的距離為4，則的值為（

）A．2 B．1或3C．2或4 D．或【答案】B【分析】由點(diǎn)到平面的距離是確定的且平面只有一個，可得，且兩點(diǎn)在平面同側(cè)，由此可得線段的長，從而求得值，【解析】因?yàn)橛星抑挥幸粋€平面，使點(diǎn)到的距離為1，且點(diǎn)到的距離為4，所以，且兩點(diǎn)在平面同側(cè)，，，或3．若，則線段與平面至少有下列兩種位置關(guān)系，即平面至少有兩個．若，由上面的圖形知，兩點(diǎn)到平面的距離的差的絕對值不大于，與已知矛盾，即不存在平面滿足題意．故選：B．6．已知四邊形是邊長為4的正方形，分別是邊的中點(diǎn)，垂直于正方形所在平面，且，則點(diǎn)到平面的距離為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】連接，交于，交于，過作，垂足為，則問題轉(zhuǎn)化為求的長度，根據(jù)兩個直角三角形相似，對應(yīng)邊成比例可解得結(jié)果.【解析】如圖：連接，交于，交于，因?yàn)榉謩e是邊的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫?，所以平面，所以點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，因?yàn)槠矫?，所以，又，，所以平面，因?yàn)?，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平面，過作，垂足為，則平面，則為點(diǎn)到平面的距離，在直角三角形和直角三角形中，，所以，所以，所以，因?yàn)檎叫蔚倪呴L為4，所以，，，所以.所以點(diǎn)到平面的距離為.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了直線與平面垂直的性質(zhì)，考查了直線與平面垂直的判定，考查了平面與平面垂直的判定與性質(zhì)，考查了直線與平面平行的判定，考查了求點(diǎn)到平面的距離，屬于中檔題.7．如圖，點(diǎn)為矩形所在平面外一點(diǎn)，平面，為的中點(diǎn)，，，，則點(diǎn)到平面的距離為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分別以，，所在直線為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，再利用點(diǎn)到平面的距離，即可得答案；【解析】如圖，分別以，，所在直線為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，.設(shè)平面的法向量為，則，即.令，則，，∴.∴點(diǎn)到平面的距離.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查利用向量法求點(diǎn)到面的距離，考查空間想象能力、運(yùn)算求解能力.8．如圖，已知正方體的棱長為1，為正方形的中心，若為平面內(nèi)的一個動點(diǎn)，則到直線的距離的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，列出線面距離公式即可求解.【解析】如圖，以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則有，因?yàn)闉檎叫蔚闹行?，得?，，設(shè)平面的法向量為，利用，則，取，解得，有，且平面，則直線平面，設(shè)直線的到平面距離為，取直線上一點(diǎn)，與平面上一點(diǎn)，則，利用空間中點(diǎn)面距離公式有：.故選：A9．如圖，已知正方體棱長為3，點(diǎn)在棱上，且，在側(cè)面內(nèi)作邊長為1的正方形，是側(cè)面內(nèi)一動點(diǎn)，且點(diǎn)到平面距離等于線段的長，則當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動時，的最小值是（

）A．21 B．22 C．23 D．13【答案】D【解析】建立空間直角坐標(biāo)系,根據(jù)在內(nèi)可設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，作,連接,可得，作，根據(jù)空間中兩點(diǎn)間距離公式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求得的范圍.【解析】根據(jù)題意,以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示：作交于M,連接，則作交于N，則即為點(diǎn)P到平面距離.設(shè),則∵點(diǎn)到平面距離等于線段的長∴由兩點(diǎn)間距離公式可得，化簡得,則解不等式可得綜上可得則在中所以（當(dāng)時取等）故選:D【點(diǎn)睛】本題考查了空間直角坐標(biāo)系的綜合應(yīng)用，利用空間兩點(diǎn)間距離公式及二次函數(shù)求最值，屬于難題.10．如圖，在棱長為a的正方體中，P為的中點(diǎn)，Q為上任意一點(diǎn)，E，F(xiàn)為上兩個動點(diǎn)，且的長為定值，則點(diǎn)Q到平面的距離（

）A．等于 B．和的長度有關(guān)C．等于 D．和點(diǎn)Q的位置有關(guān)【答案】A【分析】取的中點(diǎn)G，連接，利用線面平行判斷出選項(xiàng)B,D錯誤；建立空間直角坐標(biāo)系，利用平面的法向量結(jié)合空間向量數(shù)量積公式求得點(diǎn)到面的距離，從而得出結(jié)論.【解析】取的中點(diǎn)G，連接，則，所以點(diǎn)Q到平面的距離即點(diǎn)Q到平面的距離，與的長度無關(guān)，B錯．又平面，所以點(diǎn)到平面的距離即點(diǎn)Q到平面的距離，即點(diǎn)Q到平面的距離，與點(diǎn)Q的位置無關(guān)，D錯．如圖，以點(diǎn)D為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，則，∴，，，設(shè)是平面的法向量，則由得令，則，所以是平面的一個法向量．設(shè)點(diǎn)Q到平面的距離為d，則，A對，C錯．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查點(diǎn)到直線的距離，意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象的學(xué)科素養(yǎng)，屬中檔題.11．如圖，在直三棱柱中，，已知與分別為和的中點(diǎn)，與分別為線和上的動點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），若、則線段長度的取值范圍為（

）A．[) B．[] C．[) D．[]【答案】A【分析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出的坐標(biāo)，根據(jù)已知條件求得參數(shù)之間的關(guān)系，并建立關(guān)于參數(shù)的函數(shù)關(guān)系式，求其值域即可.【解析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，，故，因?yàn)?，故可得，則，由可得，又，故,故當(dāng)時，取得最小值；又當(dāng)時，，但無法取到，則無法取到；綜上，線段DF長度的取值范圍為.故選：A12．如圖，在三棱柱中，底面是邊長為的正三角形，，頂點(diǎn)在底面的射影為底面正三角形的中心，P，Q分別是異面直線上的動點(diǎn)，則P，Q兩點(diǎn)間距離的最小值是（

）A． B．2 C． D．【答案】D【分析】設(shè)是底面正的中心，平面，，以直線為軸，為軸，過平行于的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，P，Q兩點(diǎn)間距離的最小值即為異面直線與間的距離用空間向量法求異面直線的距離．【解析】如圖，是底面正的中心，平面，平面，則，，則，又，，，直線交于點(diǎn)，，以直線為軸，為軸，過平行于的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，，，，，，，，設(shè)與和都垂直，則，取，則，，P，Q兩點(diǎn)間距離的最小值即為異面直線與間的距離等于．故選：D．二、多選題13．在棱長為2的正方體中，是棱上一動點(diǎn)，則到平面的距離可能是（

）A． B． C． D．【答案】BC【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量寫出到平面的距離的表達(dá)式，然后求其范圍即可.【解析】如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，，的方向分別為軸，軸，軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，故，，設(shè)平面的法向量，由，取，則為平面的法向量，，所以到平面的距離．因?yàn)?，所以，而，即BC選項(xiàng)的數(shù)值才符合.故選：BC14．在棱長為1的正方體中，E為線段的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段的中點(diǎn)，則（

）A．點(diǎn)到直線的距離為 B．直線到直線的距離為C．點(diǎn)到平面的距離為 D．直線到平面的距離為【答案】BD【分析】建立坐標(biāo)系，求出向量在單位向量上的投影，結(jié)合勾股定理可得點(diǎn)到直線的距離，判斷A；先證明再轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離求解，判斷B；求解平面的法向量，利用點(diǎn)到平面的距離公式進(jìn)行求解，判斷C；把直線到平面的距離轉(zhuǎn)化為到平面的距離，利用法向量進(jìn)行求解，判斷D.【解析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則因?yàn)?，所?所以點(diǎn)到直線的距離為，故A錯誤；因?yàn)樗?，即所以點(diǎn)到直線的距離即為直線到直線的距離，，所以直線到直線的距離為，故B正確；設(shè)平面的一個法向量為，.由令，則，即.設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，即點(diǎn)到平面的距離為，故C錯誤；因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，所以直線到平面的距離等于到平面的距離.，由（3）得平面的一個法向量為，所以到平面的距離為，所以直線到平面的距離為，故D正確.故選：BD15．（多選）已知正方體的棱長為1，點(diǎn)E、O分別是、的中點(diǎn)，P在正方體內(nèi)部且滿足，則下列說法正確的是（

）A．點(diǎn)A到直線的距離是 B．點(diǎn)O到平面的距離為C．平面與平面間的距離為 D．點(diǎn)P到直線的距離為【答案】BC【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，寫出各點(diǎn)坐標(biāo)，利用直線的方向向量和平面的法向量結(jié)合空間向量數(shù)量積求得各個選項(xiàng)的距離，得出結(jié)論.【解析】如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，所以．設(shè)，則，．故A到直線的距離，故A錯．易知，平面的一個法向量，則點(diǎn)O到平面的距離，故B對．．設(shè)平面的法向量為，則所以令，得，所以．所以點(diǎn)到平面的距離．因?yàn)槠矫嫫矫妫云矫媾c平面間的距離等于點(diǎn)到平面的距離，所以平面與平面間的距離為，故C對．因?yàn)椋?，又，則，所以點(diǎn)P到的距離，故D錯．故選：BC.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用空間向量求點(diǎn)線、點(diǎn)面、面面距離，意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算的學(xué)科素養(yǎng)，屬中檔題.線面距、面面距實(shí)質(zhì)上都是點(diǎn)面距，求直線到平面、平面到平面的距離的前提是線面、面面平行.16．如圖所示，三棱錐中，為等邊三角形，平面，，.點(diǎn)D在線段上，且，點(diǎn)E為線段SB的中點(diǎn)，以線段BC的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA，OB所在直線分別為x，y軸，過點(diǎn)作SA的平行線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則下列說法正確的是（

）A．直線CE的一個方向向量為 B．點(diǎn)D到直線CE的距離為C．平面ACE的一個法向量為 D．點(diǎn)D到平面ACE的距離為1【答案】ABD【分析】首先利用題目已經(jīng)建好的坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用空間向量分別求點(diǎn)D到直線CE的距離、點(diǎn)D到平面ACE的距離以及平面ACE的法向量，利用向量共線定理可以判斷直線CE的一個方向向量.【解析】依題意，，，，，；若，則,則,，故A正確；，，，故D點(diǎn)到直線CE的距離，故B正確；設(shè)為平面的法向量，則，即，令，則為平面的一個法向量，故C錯誤；而，故點(diǎn)D到平面的距離，故D正確.故選：ABD三、填空題17．已知是棱長為1的正方體，則平面與平面的距離為_________．【答案】##【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，可證得平面平面，從而平面與平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離．求得平面的法向量和，結(jié)合點(diǎn)到平面的距離的向量公式，即可得解．【解析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，可得，因?yàn)?，則，所以，因?yàn)槠矫妫矫妫矫?，平面，所以平面，平面，又，平面，所以平面平面，所以平面與平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，設(shè)平面的法向量為，則，令，可得，所以，又因?yàn)?，所以．所以平面與平面的距離為．故答案為：．18．已知平面的法向量為，向量在平面內(nèi)的投影向量的長度為___________．【答案】##【分析】先求出，進(jìn)而可求出直線與平面的夾角大小，進(jìn)而可求得向量在平面內(nèi)的投影向量的長度．【解析】因?yàn)槠矫娴姆ㄏ蛄繛椋蛄浚?，設(shè)直線與平面所成角為，所以，因?yàn)?，所以．所以向量在平面?nèi)的投影向量的長度為．故答案為：．19．在三棱錐中，，，.記的中點(diǎn)為，的中點(diǎn)為，則異面直線與的距離為______.【答案】【分析】將三棱錐補(bǔ)成正六面體為利用勾股定理求解長、寬、高，再建立直接坐標(biāo)系后，求出和的法向量，便可求得直線與的距離.【解析】解：三棱錐的三組對棱分別相等，因此三棱錐的外接平行六面體為長方體，將三棱錐放在長方體中，設(shè)長方體的長、寬、高分別為，，，且即解得因此以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：則，，，，，.，.設(shè)垂直于和，所以令，則，，所以.又，所以異面直線與的距離.故答案為：20．如圖，在四棱錐SABCD中，底面ABCD是矩形，，P為棱AD的中點(diǎn)，且，，若點(diǎn)M到平面SBC的距離為，則實(shí)數(shù)的值為____________．【答案】【分析】建立合適的空間直角坐標(biāo)系，寫出相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，得到，，利用求出，再利用點(diǎn)到平面距離公式，代入相關(guān)向量坐標(biāo)，解出即可.【解析】過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，，為中點(diǎn)，，又，且，平面，平面，平面，則，則易得兩兩垂直，所以以為原點(diǎn)，所在直線分別建立軸，如圖所示：則點(diǎn),又知，，為中點(diǎn)，則，故，，，，，,，又，，設(shè)平面法向量為，則，且有，令，則，到平面的距離，，化簡得，故故答案為：.【點(diǎn)睛】本題涉及到點(diǎn)到平面的距離的計(jì)算方法，我們常用以下幾種方法計(jì)算點(diǎn)到平面距離：（1）等體積法；（2）定義法；（3）轉(zhuǎn)化法；（4）空間向量法。本題我們采用空間向量法求解相關(guān)參數(shù)，首先我們需要建立合適的空間直角坐標(biāo)系，寫出相關(guān)向量，再利用點(diǎn)到平面距離公式，其中為相關(guān)平面的法向量，此方法可操作性強(qiáng)，按步驟算出相關(guān)向量即可.四、解答題21．如圖，已知正方體的棱長為1，MN是異面直線AC與的公垂線段，試確定點(diǎn)M在AC上及點(diǎn)N在上的位置，并求異面直線AC與間的距離．【答案】點(diǎn)M是線段AC上靠近點(diǎn)的一個三等分點(diǎn)，，點(diǎn)N是線段上靠近點(diǎn)的一個三等分點(diǎn)；.【分析】以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用，可求出兩點(diǎn)的坐標(biāo)，從而可求出答案.【解析】以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，因?yàn)辄c(diǎn)M在AC上，點(diǎn)N在上，所以設(shè)，，所以,，因?yàn)镸N是異面直線AC與的公垂線段，所以，即，解得，所以，，所以點(diǎn)M是線段AC上靠近點(diǎn)的一個三等分點(diǎn)，，點(diǎn)N是線段上靠近點(diǎn)的一個三等分點(diǎn)，且異面直線AC與間的距離為.22．如圖，在長方體中，，E為線段的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段的中點(diǎn)．(1)求點(diǎn)到直線的距離；(2)求直線到直線的距離；(3)求點(diǎn)到平面的距離．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用空間點(diǎn)到直線距離公式進(jìn)行計(jì)算；（2）在第一問的基礎(chǔ)上，得到，從而利用空間點(diǎn)到直線距離公式求出直線到直線的距離；（3）求出平面的法向量，利用點(diǎn)到平面的距離公式求出答案.【解析】（1）建立如圖所示以為x軸、y軸、z軸的空間直角坐標(biāo)系，則，，，設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，∴則點(diǎn)到直線的距離為．（2），故，設(shè)直線到直線的距離為，則即為F到直線的距離；∴則直線到直線的距離為．（3）設(shè)平面的法向量為，由，令，則，所以設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，∴，則點(diǎn)到平面的距離為．23．如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，，為的中點(diǎn)，且．(1)求；(2)求點(diǎn)B到平面PAM的距離．【答案】(1)(2)【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，寫出各點(diǎn)坐標(biāo)，利用列出方程，求出，從而得到的長；（2）求出平面PAM的法向量，利用點(diǎn)到平面的距離公式進(jìn)行求解.【解析】（1）∵平面，四邊形為矩形，不妨以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則、、、、，則，，∵，則，解得，故；（2）設(shè)平面的法向量為，則，，由，取，可得，，∴點(diǎn)B到平面PAM的距離.24．如圖，已知以為圓心，為半徑的圓在平面上，若，且，、為圓的半徑，且，為線段的中點(diǎn)．求：(1)異面直線，所成角的大?。?2)點(diǎn)到平面的距離；(3)異面直線，的距離．【答案】(1)(2)(3)【分析】(1)根據(jù)題意，建立空間直角坐標(biāo)系，找到直線，的方向向量，代入向量的夾角公式，計(jì)算得答案；(2)利用等體積法計(jì)算點(diǎn)到平面的距離；(3)把異面直線，的距離．轉(zhuǎn)化為直線與平面的距離，求出平面的法向量，利用空間向量點(diǎn)到平面的距離公式，計(jì)算求解.【解析】（1）由且，以為原點(diǎn)，分別以所在的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，由題意，因?yàn)闉榫€段的中點(diǎn)，所以，所以，，所以異面直線，所成角的大小為；（2）由題意，，，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，因?yàn)?，由所以，所以，解得，所以點(diǎn)到平面的距離；（3）如上圖所示，作交于點(diǎn)，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，因此異面直線，的距離就是直線與平面的距離，也即是點(diǎn)到平面的距離，因?yàn)闉榫€段的中點(diǎn)．所以，設(shè)平面的法向量為，則令，則可得所以點(diǎn)到平面的距離，即異面直線，的距離為．25．如圖所示，正方形和矩形所在的平面互相垂直，，分別為的中點(diǎn)，.(1)證明：平面；(2)求點(diǎn)到平面的距離.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）通過證明來證得平面；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求得點(diǎn)到平面的距離.【解析】（1）平面平面，平面平面平面，平面，平面，由題可得，平面，平面.（2）以點(diǎn)為坐標(biāo)原