高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第11章概率第1節(jié)隨機(jī)事件的概率教學(xué)案文北師大版

第11章概率全國(guó)卷五年考情圖解高考命題規(guī)律把握1.考查形式高考在本章內(nèi)容中一般命制1道小題，1道解答題，分值在5～17分.2.考查內(nèi)容高考中小題重點(diǎn)考查古典概型、幾何概型，解答題重點(diǎn)考查概率的意義、古典概型及概率與統(tǒng)計(jì)相結(jié)合的綜合性問(wèn)題.3.備考策略(1)熟練掌握解決以下問(wèn)題的方法和規(guī)律①互斥、對(duì)立事件的概念及概率計(jì)算問(wèn)題；②古典概型、幾何概型的概率計(jì)算問(wèn)題；③概率與統(tǒng)計(jì)相結(jié)合的綜合性問(wèn)題.(2)重視分類(lèi)討論、轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用.第一節(jié)隨機(jī)事件的概率[最新考綱]1．了解隨機(jī)事件發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性，了解概率的意義及頻率與概率的區(qū)別.2.了解兩個(gè)互斥事件的概率加法公式．(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第188頁(yè))1．概率(1)定義：在相同的條件下，大量重復(fù)進(jìn)行同一試驗(yàn)時(shí)，隨機(jī)事件A發(fā)生的頻率會(huì)在某個(gè)常數(shù)附近擺動(dòng)，即隨機(jī)事件A發(fā)生的頻率具有穩(wěn)定性．這時(shí)這個(gè)常數(shù)叫作隨機(jī)事件A的概率，記作P(A)，有0≤P(A)≤1.(2)頻率反映了一個(gè)隨機(jī)事件出現(xiàn)的頻繁程度，但頻率是隨機(jī)的，而概率是一個(gè)確定的值，因此，人們用概率來(lái)反映隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小，有時(shí)也用頻率作為隨機(jī)事件概率的估計(jì)值．2．互斥事件與對(duì)立事件(1)互斥事件：在一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中，我們把一次試驗(yàn)下不能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件A與B稱作互斥事件．(2)對(duì)立事件：在每一次試驗(yàn)中，兩個(gè)事件不會(huì)同時(shí)發(fā)生，并且一定有一個(gè)發(fā)生的事件A和eq\x\to(A)稱為對(duì)立事件．3．概率的幾個(gè)基本性質(zhì)(1)概率的取值范圍：0≤P(A)≤1.(2)必然事件的概率：P(A)＝1.(3)不可能事件的概率：P(A)＝0.(4)互斥事件的概率加法公式：①P(A＋B)＝P(A)＋P(B)(A，B互斥)．②P(A1＋A2＋…＋An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)(A1，A2，…，An彼此互斥)．(5)對(duì)立事件的概率：P(eq\x\to(A))＝1－P(A)．eq\o([常用結(jié)論])1．辨析兩組概念(1)頻率與概率①頻率是一個(gè)變量，隨著試驗(yàn)次數(shù)的改變而改變；②概率是一個(gè)確定的常數(shù)，是客觀存在的，與每次試驗(yàn)無(wú)關(guān)；③頻率是概率的近似值，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，頻率會(huì)越來(lái)越接近概率．(2)互斥事件與對(duì)立事件①兩個(gè)事件是互斥事件，它們未必是對(duì)立事件；②兩個(gè)事件是對(duì)立事件，它們也一定是互斥事件．2．概率加法公式的推廣當(dāng)一個(gè)事件包含多個(gè)結(jié)果且各個(gè)結(jié)果彼此互斥時(shí)，要用到概率加法公式的推廣，即P(A1＋A2＋…＋An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．一、思考辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)“方程x2＋2x＋8＝0有兩個(gè)實(shí)根”是不可能事件． ()(2)對(duì)立事件一定是互斥事件，互斥事件也一定是對(duì)立事件． ()(3)事件發(fā)生的頻率與概率是相同的． ()(4)若事件A發(fā)生的概率為P(A)，則0＜P(A)＜1. ()[答案](1)√(2)×(3)×(4)×二、教材改編1．一個(gè)人打靶時(shí)連續(xù)射擊兩次，事件“至少有一次中靶”的對(duì)立事件是()A．至多有一次中靶 B．兩次都中靶C．只有一次中靶 D．兩次都不中靶D[“至少有一次中靶”的對(duì)立事件是“兩次都不中靶”．]2．有一個(gè)容量為66的樣本，數(shù)據(jù)的分組及各組的頻數(shù)如下：[11.5,15.5)，2；[15.5,19.5)，4；[19.5,23.5)，9；[23.5，27.5)，18；[27.5,31.5)，11；[31.5,35.5)，12；[35.5,39.5)，7；[39.5,43.5]，3.根據(jù)樣本的頻率分布估計(jì)，數(shù)據(jù)落在[27.5,43.5]內(nèi)的概率約是________．eq\f(1,2)[由條件可知，落在[27.5,43.5]內(nèi)的數(shù)據(jù)有11＋12＋7＋3＝33(個(gè))，故所求概率約是eq\f(33,66)＝eq\f(1,2).]3．一副混合后的撲克牌(52張)中，隨機(jī)抽取1張，事件A為“抽得紅桃K”，事件B為“抽得黑桃”，則概率P(A＋B)＝________.(結(jié)果用最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)表示)eq\f(7,26)[P(A)＝eq\f(1,52)，P(B)＝eq\f(13,52)，則P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝eq\f(1,52)＋eq\f(13,52)＝eq\f(7,26).]4．甲、乙二人下棋，甲不輸?shù)母怕蕿?.8，則乙獲勝的概率為_(kāi)_______．0.2[事件“乙獲勝”的對(duì)立事件是“甲不輸”，根據(jù)對(duì)立事件的概率計(jì)算公式可得，乙獲勝的概率為：1－0.8＝0.2.](對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第189頁(yè))⊙考點(diǎn)1隨機(jī)事件之間的關(guān)系判斷互斥、對(duì)立事件的兩種方法(1)定義法：判斷互斥事件、對(duì)立事件一般用定義判斷，不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件為互斥事件；兩個(gè)事件，若有且僅有一個(gè)發(fā)生，則這兩事件為對(duì)立事件，對(duì)立事件一定是互斥事件．對(duì)立事件是互斥事件的充分不必要條件．(2)集合法：①由各個(gè)事件所含的結(jié)果組成的集合彼此的交集為空集，則事件互斥．②事件A的對(duì)立事件eq\x\to(A)所含的結(jié)果組成的集合，是全集中由事件A所含的結(jié)果組成的集合的補(bǔ)集．1.把紅、藍(lán)、黑、白4張紙牌隨機(jī)分給甲、乙、丙、丁4個(gè)人，每人分得一張，事件“甲分得紅牌”與“乙分得紅牌”是()A．對(duì)立事件 B．互斥但不對(duì)立事件C．不可能事件 D．以上都不對(duì)B[事件“甲分得紅牌”與“乙分得紅牌”不會(huì)同時(shí)發(fā)生，兩者是互斥事件，但仍然有可能甲、乙均不能分得紅牌，所以二者不是對(duì)立事件，故選B.]2．把語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)三本學(xué)習(xí)書(shū)隨機(jī)地分給甲、乙、丙三位同學(xué)，每人一本，則事件A：“甲分得語(yǔ)文書(shū)”，事件B：“乙分得數(shù)學(xué)書(shū)”，事件C：“丙分得英語(yǔ)書(shū)”，則下列說(shuō)法正確的是()A．A與B是不可能事件B．A＋B＋C是必然事件C．A與B不是互斥事件D．B與C既是互斥事件也是對(duì)立事件C[事件A，B，C可能同時(shí)發(fā)生，也可能不同時(shí)發(fā)生，因此選項(xiàng)A，B，D錯(cuò)，C正確．]3．在5張電話卡中，有3張移動(dòng)卡和2張聯(lián)通卡，從中任取2張，若事件“2張全是移動(dòng)卡”的概率是eq\f(3,10)，那么概率是eq\f(7,10)的事件是()A．至多有一張移動(dòng)卡 B．恰有一張移動(dòng)卡C．都不是移動(dòng)卡 D．至少有一張移動(dòng)卡A[至多有一張移動(dòng)卡包含“一張移動(dòng)卡，一張聯(lián)通卡”，“2張全是聯(lián)通卡”兩個(gè)事件，它是“2張全是移動(dòng)卡”的對(duì)立事件．]第2題易誤選B，造成錯(cuò)誤的原因是忽視了事件A，B，C可能同時(shí)發(fā)生，也可能不同時(shí)發(fā)生．⊙考點(diǎn)2隨機(jī)事件的概率與頻率1．計(jì)算簡(jiǎn)單隨機(jī)事件頻率或概率的解題思路(1)計(jì)算出所求隨機(jī)事件出現(xiàn)的頻數(shù)及總事件的頻數(shù)．(2)由頻率與概率的關(guān)系得所求．2．求解以統(tǒng)計(jì)圖表為背景的隨機(jī)事件的頻率或概率問(wèn)題的關(guān)鍵點(diǎn)求解該類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是由所給頻率分布表、頻率分布直方圖或莖葉圖等圖表，計(jì)算出所求隨機(jī)事件出現(xiàn)的頻數(shù)，進(jìn)而利用頻率與概率的關(guān)系得所求．某險(xiǎn)種的基本保費(fèi)為a(單位：元)，繼續(xù)購(gòu)買(mǎi)該險(xiǎn)種的投保人稱為續(xù)保人，續(xù)保人本年度的保費(fèi)與其上年度出險(xiǎn)次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下：上年度出險(xiǎn)次數(shù)01234≥5保費(fèi)aaaaa2a隨機(jī)調(diào)查了該險(xiǎn)種的200名續(xù)保人在一年內(nèi)的出險(xiǎn)情況，得到如下統(tǒng)計(jì)表：出險(xiǎn)次數(shù)01234≥5頻數(shù)605030302010(1)記A為事件：“一續(xù)保人本年度的保費(fèi)不高于基本保費(fèi)”，求P(A)的估計(jì)值；(2)記B為事件：“一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)但不高于基本保費(fèi)的160%”，求P(B)的估計(jì)值；(3)求續(xù)保人本年度平均保費(fèi)的估計(jì)值．[解](1)事件A據(jù)知，一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)小于2的頻率為eq\f(60＋50,200)＝0.55，故P(A)的估計(jì)值為0.55.(2)事件B發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)大于1且小于4.由所給數(shù)據(jù)知，一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)大于1且小于4的頻率為eq\f(30＋30,200)＝0.3，故P(B)的估計(jì)值為0.3.(3)由所給數(shù)據(jù)得保費(fèi)aaaaa2a頻率a×0.30＋a×0.25＋a×a×a×0.10＋2a×0.05＝1.1925a.因此，續(xù)保人本年度平均保費(fèi)的估計(jì)值為1.1925a.[母題探究]1．若本例的條件不變，試求“一續(xù)保人本年度的保費(fèi)不低于基本保費(fèi)”的概率的估計(jì)值．[解]設(shè)事件“一續(xù)保人本年度的保費(fèi)不低于基本保費(fèi)”為E，事件E對(duì)應(yīng)于出險(xiǎn)次數(shù)大于或等于1，由本例(3)知出險(xiǎn)次數(shù)小于1的頻率為0.3，故一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)大于或等于1的頻率為1－0.3＝0.7，故P(E)的估計(jì)值為0.7.2．若本例的條件不變，記F為事件：“一續(xù)保人本年度的保費(fèi)等于基本保費(fèi)”，求P(F)的估計(jì)值．[解]“一續(xù)保人本年度的保費(fèi)等于基本保費(fèi)”的事件F發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)等于1，其頻率為0.25，故P(F)的估計(jì)值為0.25.本例第(1)(2)兩問(wèn)，考查了用頻率估計(jì)概率，第(3)問(wèn)解題的關(guān)鍵是列出保費(fèi)與頻率的關(guān)系，再根據(jù)公式求平均保費(fèi)．[教師備選例題]某花店每天以每朵5元的價(jià)格從農(nóng)場(chǎng)購(gòu)進(jìn)若干朵玫瑰花，然后以每朵10元的價(jià)格出售．如果當(dāng)天賣(mài)不完，剩下的玫瑰花做垃圾處理．(1)若花店一天購(gòu)進(jìn)17朵玫瑰花，求當(dāng)天的利潤(rùn)y(單位：元)關(guān)于當(dāng)天需求量n(單位：朵，n∈N)的函數(shù)解析式；(2)花店記錄了100天玫瑰花的日需求量(單位：朵)，整理得下表：日需求量n14151617181920頻數(shù)10201616151310①假設(shè)花店在這100天內(nèi)每天購(gòu)進(jìn)17朵玫瑰花，求這100天的日利潤(rùn)(單位：元)的平均數(shù)；②若花店一天購(gòu)進(jìn)17朵玫瑰花，以100天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率，求當(dāng)天的利潤(rùn)不少于75元的概率．[解](1)當(dāng)日需求量n≥17時(shí)，利潤(rùn)y＝85；當(dāng)日需求量n＜17時(shí)，利潤(rùn)y＝10n－85.所以利潤(rùn)y關(guān)于當(dāng)天需求量n的函數(shù)解析式為y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(10n－85，n＜17,85，n≥17))(n∈N*)．(2)①這100天的日利潤(rùn)的平均數(shù)為eq\f(55×10＋65×20＋75×16＋85×54,100)＝76.4(元)．②當(dāng)天的利潤(rùn)不少于75元，當(dāng)且僅當(dāng)日需求量不少于16朵，故當(dāng)天的利潤(rùn)不少于75元的概率為P＝0.16＋0.16＋0.15＋0.13＋0.1＝0.7.(2017·全國(guó)卷Ⅲ)某超市計(jì)劃按月訂購(gòu)一種酸奶，每天進(jìn)貨量相同，進(jìn)貨成本每瓶4元，售價(jià)每瓶6元，未售出的酸奶降價(jià)處理，以每瓶2元的價(jià)格當(dāng)天全部處理完．根據(jù)往年銷(xiāo)售經(jīng)驗(yàn)，每天需求量與當(dāng)天最高氣溫(單位：℃)有關(guān)．如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間[20,25)，需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶．為了確定六月份的訂購(gòu)計(jì)劃，統(tǒng)計(jì)了前三年六月份各天的最高氣溫?cái)?shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表：最高氣溫[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)天數(shù)216362574以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率估計(jì)最高氣溫位于該區(qū)間的概率．(1)估計(jì)六月份這種酸奶一天的需求量不超過(guò)300瓶的概率；(2)設(shè)六月份一天銷(xiāo)售這種酸奶的利潤(rùn)為Y(單位：元)，當(dāng)六月份這種酸奶一天的進(jìn)貨量為450瓶時(shí)，寫(xiě)出Y的所有可能值，并估計(jì)Y大于零的概率．[解](1)這種酸奶一天的需求量不超過(guò)300瓶，當(dāng)且僅當(dāng)最高氣溫低于25，由表格數(shù)據(jù)知，最高氣溫低于25的頻率為eq\f(2＋16＋36,90)＝0.6，所以這種酸奶一天的需求量不超過(guò)300瓶的概率的估計(jì)值為0.6.(2)當(dāng)這種酸奶一天的進(jìn)貨量為450瓶時(shí)，若最高氣溫不低于25，則Y＝6×450－4×450＝900；若最高氣溫位于區(qū)間[20,25)，則Y＝6×300＋2(450－300)－4×450＝300；若最高氣溫低于20，則Y＝6×200＋2(450－200)－4×450＝－100，所以，Y的所有可能值為900,300，－100.Y大于零當(dāng)且僅當(dāng)最高氣溫不低于20，由表格數(shù)據(jù)知，最高氣溫不低于20的頻率為eq\f(36＋25＋7＋4,90)＝0.8，因此Y大于零的概率的估計(jì)值為0.8.⊙考點(diǎn)3互斥事件、對(duì)立事件的概率求復(fù)雜的互斥事件的概率的方法(1)直接法(2)間接法(正難則反)某商場(chǎng)有獎(jiǎng)銷(xiāo)售中，購(gòu)滿100元商品得1張獎(jiǎng)券，多購(gòu)多得.1000張獎(jiǎng)券為一個(gè)開(kāi)獎(jiǎng)單位，設(shè)特等獎(jiǎng)1個(gè)，一等獎(jiǎng)10個(gè)，二等獎(jiǎng)50個(gè)．設(shè)1張獎(jiǎng)券中特等獎(jiǎng)、一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)的事件分別為A，B，C，求：(1)P(A)，P(B)，P(C)；(2)1張獎(jiǎng)券的中獎(jiǎng)概率；(3)1張獎(jiǎng)券不中特等獎(jiǎng)且不中一等獎(jiǎng)的概率．[解](1)P(A)＝eq\f(1,1000)，P(B)＝eq\f(10,1000)＝eq\f(1,100)，P(C)＝eq\f(50,1000)＝eq\f(1,20).故事件A，B，C的概率分別為eq\f(1,1000)，eq\f(1,100)，eq\f(1,20).(2)1張獎(jiǎng)券中獎(jiǎng)包含中特等獎(jiǎng)、一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)．設(shè)“1張獎(jiǎng)券中獎(jiǎng)”這個(gè)事件為M，則M＝A∪B∪C.∵A，B，C兩兩互斥，∴P(M)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝eq\f(1＋10＋50,1000)＝eq\f(61,1000)，故1張獎(jiǎng)券的中獎(jiǎng)概率約為eq\f(61,1000).(3)設(shè)“1張獎(jiǎng)券不中特等獎(jiǎng)且不中一等獎(jiǎng)”為事件N，則事件N與“1張獎(jiǎng)券中特等獎(jiǎng)或中一等獎(jiǎng)”為對(duì)立事件，∴P(N)＝1－P(A＋B)＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,1000)＋\f(1,100)))＝eq\f(989,10