2024年北京市門豐臺(tái)區(qū)2024屆高三一模數(shù)學(xué)試卷（含答案）

2024北京豐臺(tái)高三一模

數(shù)學(xué)

2024.03

本試卷共6頁，150分.考試時(shí)長120分鐘.考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效.

考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

第一部分（選擇題40分）

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要

求的一項(xiàng).

1.已知集合A={x|尤2—2xWo},B=1x|%—1>o|,則AB=()

A.｛小三。｝B.｛x10Wx<l｝C.｛小>1｝D.

2.已知公差為d的等差數(shù)列｛4｝滿足：%—2%=1，且%=0,貝1Jd=（）

A.-lB.OC.1D.2

3.已知雙曲線/=1（a>0）的離心率為逅，則。=（）

礦2

1

A.2B.A/2C.D.-

22

2］的展開式中，x的系數(shù)為（）

A.-80B.-40C.40D.80

5.已知向量人滿足b==,且〃6=1,貝（）

11

A.-B.-C.2D.4

42

6.按國際標(biāo)準(zhǔn)，復(fù)印紙幅面規(guī)格分為A系列和B系列，其中A系列以AO,A1,…等來標(biāo)記紙張的幅面規(guī)

格，具體規(guī)格標(biāo)準(zhǔn)為：

A6

A7

①A0規(guī)格紙張的幅寬和幅長的比例關(guān)系為1:72；A5

A2

②將Ai（1=0,1,,9）紙張平行幅寬方向裁開成兩等份，便成為A（i+1）規(guī)格紙

張（如圖）.

某班級進(jìn)行社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)匯報(bào)，要用A0規(guī)格紙張裁剪其他規(guī)格紙張.共需A4規(guī)格紙

張40張，A2規(guī)格紙張10張，A1規(guī)格紙張5張.為滿足上述要求，至少提供A0規(guī)格

紙張的張數(shù)為（）

A.6B.7C.8D.9

7.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線/:依+紗=1上有且僅有一點(diǎn)P，使則直線/被圓

。：必+,2=4截得的弦長為（）

A.lB.V3C.20.273

8.已知函數(shù)"X）=sin12x+；］,則“a=鼻+左萬（左eZ）"是"/（x+tz）是偶函數(shù)，且/'（x—tz）是

奇函數(shù)”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

9.正月十五元宵節(jié)，中國民間有觀賞花燈的習(xí)俗.在2024年元宵節(jié)，小明制作了一個(gè)“半正多面體”形狀

的花燈（圖1）.半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美.圖2是一

個(gè)棱數(shù)為24的半正多面體，它的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)正方體的表面上，且此正方體的棱長為2.關(guān)于該半

正多面體的四個(gè)結(jié)論：

①棱長為形；

②兩條棱所在直線異面時(shí)，這兩條異面直線所成角的大

小是60°；

③表面積為5=12+4百；

圖1圖2

④外接球的體積為V=4岳.

其中所有正確結(jié)論的序號是（）

A.①②B.①③C.②④D.③④

—^n=2k,keN）

10.已知數(shù)列｛q｝滿足a〃+i=<2則（）

^^（“=2左一1,左eN*）,

A.當(dāng)％<0時(shí)，｛%｝為遞增數(shù)列，且存在常數(shù)M>0,使得4恒成立

B.當(dāng)4>1時(shí)，｛q｝為遞減數(shù)列，且存在常數(shù)M>0,使得q恒成立

C.當(dāng)0<〃1<1時(shí)，存在正整數(shù)N。，當(dāng)〃〉N。時(shí)，<I。。

D.當(dāng)0<q<l時(shí)，對于任意正整數(shù)N。，存在〃〉N0，使得4—；〉焉

第二部分（非選擇題110分）

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.

l+2i_

11.

3—4i一

TT3

12.在△ABC中，若Z?=5,B=—,cosA=—,則.=.

45

13.已知廠是拋物線V=4x的焦點(diǎn)，A,8是該拋物線上的兩點(diǎn)，|”|+忸尸|=8,則線段A3的中點(diǎn)

到y(tǒng)軸的距離為.

14.已知函數(shù)y(x)具有下列性質(zhì)：

①當(dāng)石e[0,+oo)時(shí)，都有/+々)=/(%)+/(X2)+l；②在區(qū)間(0,+8)上，/(x)單調(diào)遞增；③

/(x)是偶函數(shù).

則f(0)=；函數(shù)〃x)可能的一個(gè)解析式為f(x)=.

15.目前發(fā)射人造天體，多采用多級火箭作為運(yùn)載工具.其做法是在前一級火箭燃料燃燒完后，連同其殼體

一起拋掉，讓后一級火箭開始工作，使火箭系統(tǒng)加速到一定的速度時(shí)將人造天體送入預(yù)定軌道.現(xiàn)有材料科

技條件下，對于一個(gè)〃級火箭，在第〃級火箭的燃料耗盡時(shí)，火箭的速度可以近似表示為

v=31n--------1。'444----,

(9+2(9+%)(9+4)

%+E嗎

其中q=------盧-----(7=1,2,?,〃).

j=i

注：加p表示人造天體質(zhì)量，加)表示第j(/=1,2,???,〃)級火箭結(jié)構(gòu)和燃料的總質(zhì)量.

給出下列三個(gè)結(jié)論：

①a。<1；②當(dāng)〃=1時(shí)，v<31nl0；③當(dāng)〃=2時(shí)，若v=121n2,則Jq%>6.

其中所有正確結(jié)論的序號是.

三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.

16.(本小題14分)如圖，在直三棱柱ABC—中，CA=CB=Cq=2,。為AB中點(diǎn).

(I)求證：AC1〃平面耳CD；

(II)再從條件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求二面

角5—耳?！?。的余弦值.

條件①：BC1AC1；

條件②：B、D=R.

注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

17.(本小題14分)已知函數(shù)/(xjnGsin&ucosox-sin20x+—(0>>0).

（I）若。=2,求/高的值;

（II）若/（x）在區(qū)間上單調(diào)遞減,0,求。的值.

18.（本小題13分）某醫(yī)學(xué)小組為了比較白鼠注射A,B兩種藥物后產(chǎn)生的皮膚皰疹的面積，選20只健康

白鼠做試驗(yàn).將這20只白鼠隨機(jī)分成兩組，每組10只，其中第1組注射藥物A,第2組注射藥物B.試驗(yàn)結(jié)

果如下表所示.

皰疹面積（單位：mm2）[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)

第1組（只）34120

第2組（只）13231

（I）現(xiàn)分別從第1組，第2組的白鼠中各隨機(jī)選取1只，求被選出的2只白鼠皮膚皰疹面積均小于

60mm之的概率；

（II）從兩組皮膚皰疹面積在［60,80）區(qū)間內(nèi)的白鼠中隨機(jī)選取3只抽血化驗(yàn)，求第2組中被抽中白鼠只

數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望EX；

（III）用“短=0”表示第左組白鼠注射藥物后皮膚皰疹面積在［30,50）區(qū)間內(nèi)，“費(fèi)=1”表示第左組白

鼠注射藥物后皮膚皰疹面積在［50,80）區(qū)間內(nèi)（左=1,2）,寫出方差?！?，。女的大小關(guān)系.（結(jié)論不要求

證明）

19.（本小題14分）已知橢圓E:=+2r=1（。>>>0）的焦距為40,以橢圓E的四個(gè)頂點(diǎn)為頂點(diǎn)

ab

的四邊形的周長為16.

（I）求橢圓￡的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（II）過點(diǎn)S（0,l）的直線/交橢圓E于P,。兩點(diǎn)，線段P。的中點(diǎn)為是否存在定點(diǎn)。，使得

24=1？若存在，求出。的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

|PQ|2

20.(本小題15分)已知函數(shù)/(X)=e*+ln(x+l)—x,曲線C:y=/(x)在點(diǎn)(%"(x。))處的切線為

/：V=g(x),i己〃(x)=/(x)—g(x).

(I)當(dāng)x0=0時(shí)，求切線/的方程；

(II)在(I)的條件下，求函數(shù)力(力的零點(diǎn)并證明動(dòng)(無)三0；

(III)當(dāng)毛片0時(shí)，直接寫出函數(shù)刈力的零點(diǎn)個(gè)數(shù).(結(jié)論不要求證明)

21.(本小題15分)已知集合叫={xeN]xW2〃}(weN,4),若存在數(shù)陣

T=h%a小滿足：

?!4bn_

①{4%,?.?,4}{bvb2,,bH}=Mn-,

@ak-bk=k(k=\,2,,n).

則稱集合為“好集合”，并稱數(shù)陣T為河〃的一個(gè)“好數(shù)陣”.

(I)已知數(shù)陣丁=x’yz6是〃4的一個(gè)“好數(shù)陣”，試寫出光，y，z,w的值；

_7w12J

(II)若集合“〃為“好集合”，證明：集合的“好數(shù)陣”必有偶數(shù)個(gè)；

(III)判斷%(〃=5,6)是否為“好集合”.若是，求出滿足條件〃e{a1M2，,%,}的所有“好數(shù)陣”；若

不是，說明理由.

參考答案

第一部分(選擇題共40分)

題號(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)

答案ACBADcDABD

第二部分(非選擇題共110分)

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。

(11)—(12)4&(13)3

55

(14)-1,/(x)=|x|-l(答案不唯一)(15)②③

注：(15)題給出的結(jié)論中有多個(gè)符合題目要

求.全部選對得5分，不選或錯(cuò)選得。分，其他

得3分.

三、解答題共6小題，共85分。

(16)(本小題14分)

解：(I)證明：連接BG，設(shè)3。B1C=E,連接OE,

在三角形A3G中，D、E分別為A3、BQ的中點(diǎn),

所以AG〃￡>E.

因?yàn)锳GU平面，

DEu平面與。，

所以AG〃平面

44分

(II)選擇條件①：BC1AQ

在直三棱柱ABC-A笈G中，CG，底面^C,

所以CG，C4，CQ±CB,

因?yàn)锽C1AC1；CCjAG=

所以BCL面ACGA，所以BCLAC.

如圖建立空間直角坐標(biāo)系C-孫Z,因?yàn)镃4=s=CG=2,

所以C(0,0,0),4(2,0,0),3(0,2,0。耳(0,2,2).

因?yàn)?。為中點(diǎn)，所以0(1,1,0).

易知帆=(1,0,0)是平面BCB1的法向量.

在平面CDB［內(nèi)，CD=(1,1,0),CB】=(0,2,2).

設(shè)"=(x,y,z)是平面CDB］的法向量，

因?yàn)椤╛LC￡),n±CBX,

x+y=0

所以〃n-CB=0,即

x2y+2z=0'

取x=l,得y=—1,z=l,所以〃=(1,—1,1).

mn1_73

因?yàn)閏os<m,n>=

|m||n|1XA/33

因?yàn)槎娼荁Q-D為銳二面角,

所以二面角B-B.C-D的余弦值為g

選擇條件②：BxD=y[6

在直三棱柱ABC—4片。1中，8瓦_(dá)L底面ABC,

所以

因?yàn)锽B：+BD2=8河網(wǎng)=2耳口=娓,

所以BD=無,

因?yàn)?。為中點(diǎn)，所以AB=2a,

所以+=.2,所以BCLAC.

因?yàn)镃G，底面ABC,故可如圖建立空間直角坐標(biāo)系C-孫z.

以下同解法1.……14分

(17)(本小題14分)

解：(I)因?yàn)镚=2,

所以/(—)=^sin—cos--sin2—+—=—4分

633322

(II)f(x)=y/3sinGXCOScox-sin2cox+—

V3.l—cos2。％1

——sm2〃?x-----------------F—

222

=sin(2s+—)

因?yàn)?(x)在區(qū)間口二]上單調(diào)遞減，

62

所以二之三—二=二，即7=善之生，

2263囪3

所以0＜。＜3.

因?yàn)?(一自)=。，

所以/(--)=sin(-—+-)=0,即。=1+6k(keZ),

1266

所以0=1.……14分

(18)(本小題13分)

解：(I)設(shè)事件C="被選出的2只白鼠皮膚皰疹面積均小于60mm2”,

8'612

則P(C)4分

10'1025

(II)X的可能取值為1,2,3.

C工1

P(X=1)

5

X2

P(X=2)=C-C^=-3

屋5

C31

P（X=3）=/,

所以X的分布列如下:

X123

13]_

P

555

131

EX=1?-2?-3?-2.11分

555

（III）Dxx＜DXr.13分

（19）（本小題14分）

4-yja2+b2—16,

CT=12,

解：(I)由題意得《2c=4倉解得《

b2=4.

a2=b2+c2.

,22

所以橢圓E的方程為土+匕=1...........5分

124

\DM\1

(II)若存在定點(diǎn)D,使得，^=萬，等價(jià)于以P。為直徑的圓恒過定點(diǎn)

當(dāng)直線/的斜率不存在時(shí)，P。為直徑的圓的方程為爐+丁=4①，

當(dāng)直線/的斜率為。時(shí)，令y=l,得x=13,

因此P。為直徑的圓的方程為d+(y—1)2=9②.

X—0

聯(lián)立①②得廠2猜測點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0,-2).

設(shè)直線/的方程為y=Ax+l,

y=kx+l,

由＜y2得（3左2+1）%2+6A%—9=0.

--1----1,

〔124

設(shè)「（辦,%）,。（工2，%），則

6k9

X1+X。=--------,x.x=-----——.

1-3k2+11723k2+1

所以￡＞尸?￡＞。=（無],%+2）-（七,%+2）

=%/+（%+2）（%+2）

=x1x2+（何+3）（AX2+3）

=（左2+1）玉%2+3左（西+%2）+9

=（〃+l）.V）+34一

+9

=0.

綜上，存在定點(diǎn)—2),使得"/=5.

14分

(20)(本小題15分)

解：(I)函數(shù)/XX)的定義域?yàn)?—1,+9)，

當(dāng)%=0時(shí),/(%0)=/(0)=1；

/U)=/'(0)=1

x+13

故切線/的方程為y=x+L...........5分

(II)h(x)=/(x)-g(x)=e*+ln(x+1)-x-(%+1)=e*+ln(x+l)-2x-l,

7“、x1c(x+l)e'—2x—1

h(x)=e+-----2=-------------.

x+1x+1

解法1：令m(x)=(x+l)e*-2x-l,則m'(x)=(x+2)e*-2.

l

當(dāng)xe(-1,0)時(shí)，x+2e(l,2),eG(0,1),故(x+2)e'<2x1=2,m'(x)<0,

因此，當(dāng)xe(-l,0)時(shí)，機(jī)(x)單調(diào)遞減，m(x)>m(0)=0；

當(dāng)xe(0,+co)時(shí)，x+2>2,ex>1,故(x+2)e*〉2義1=2,m'(x)>0,

因此，當(dāng)尤w(0,+8)時(shí)，機(jī)(光)單調(diào)遞增，m(x)>m(0)=0；

綜上，加(九)20恒成立，也就是/i'(x)?0恒成立，

所以〃(%)在(-1,y)上單調(diào)遞增.

又因?yàn)椤?0)=0,故函數(shù)五(功有唯一零點(diǎn)x=0.

且當(dāng)xe(-1,0)時(shí)，h(x)<0；當(dāng)xe(0,+8)時(shí)，h(x)>0；

因此當(dāng)xe(-1,0)時(shí)，xh{x}>0；當(dāng)xw(0,+co)時(shí)，xh{x}>0；

故xh(x)>0；

解法2：h\x)=e+—--2,

x+1

令g(x)=e、」——2,貝!|g(x)=e*1

x+1(X+1)2

當(dāng)xe(—1,0)時(shí)，x+1G(0,1),—二>1,ex<1,故g'(x)<0,

(x+1)

因此，當(dāng)xe(—1,0)時(shí)，g(x)單調(diào)遞減，g(x)>g(0)=0；

當(dāng)xw(0,+oo)時(shí)，x+l>l,---7<1,ex>1,故g'(x)>0,

(x+1)

因此，當(dāng)尤w(0,+(?)時(shí)，g(x)單調(diào)遞增，g(x)>g(0)=0；

綜上，g(x)?0恒成立，也就是"(x)20恒成立，

以下同解法1............13分

(IID2............15分

(21)(本小題15分)

解：(I)解：x=8,y=5,2=4,w=3.........................4分

(II)證明：當(dāng)集合M,為“好集合"時(shí)，設(shè)T』[的是區(qū)的一個(gè)“好數(shù)陣”,

b2bn_

構(gòu)造數(shù)陣：2〃+1-42"+j],記為兀

2〃+1—42〃+1—%2〃+1—cin

因?yàn)門是“好數(shù)陣”，所以當(dāng)左=1,2,.,〃時(shí)，(2?+1e(2n+1-o,)eMn,

且{2〃+1—Z?],2〃+1—Z?2,,2"十1—+1—々],2〃+1—a2、,2〃+1—an}=A7n.

因?yàn)?2n+1—bk)—(2n+1—%)=%—bk=k(k=1,2,,〃)，

r-Lr、t—2幾+1—b,2〃+1—b02M+1—Z7.p-,,,人..,,

所以丁=c1c2八〃也是的一個(gè)“好數(shù)陣”，

2〃+1—％2幾+1—%2n+l—an

一方面，因?yàn)?2〃+1)—(2〃+1—%)=%,(2〃+1)—(2〃+1—4)="(左=1,2,，幾)，

所以7=7.

另一方面，假設(shè)2〃+1-/?2=%，因?yàn)椤?—優(yōu)=2,所以2〃+1—4=2+Z?2,

所以4=2亨，與仇eM.矛盾，所以了WT，

故集合”,的“好數(shù)陣”必有偶數(shù)個(gè)；............9分

(III)假設(shè)T=%的可是集合M.的一個(gè)“好數(shù)陣”

?1b2bn_

_n_n_2〃__n_“_“

由題意得：+=￡i,=￡i,相加得：

z=lz=lz=li=l4=1Z=1

〃2〃“(1+2n)x2n(1+n)xnn(5n+3)目口en(5n+3)

2支《=*+*=d=，即>a.=

2--------2-------------2------------------------------4

6QQ6

當(dāng)〃=6時(shí)，兄4=￡空=2，與之"N*矛盾；所以也不是“好集合”.

i=i42?=1

當(dāng)〃=5時(shí)，