2024年九年級中考數學復習：《分類討論題》復習（含練習題及答案）

2024年九年級中考數學專題復習：《分類討論題》復習

在數學中，我們常常需要根據研究對象性質的差異，分各種不同情況予以考查.這種分類思

考的方法是一種重要的數學思想方法，同時也是一種解題策略.

分類是按照數學對象的相同點和差異點，將數學對象區(qū)分為不同種類的思想方法，掌握分類

的方法，領會其實質，對于加深基礎知識的理解、提高分析問題、解決問題的能力是十分重要的.

分類的原則：（1）分類中的每一部分是相互獨立的；（2）一次分類按一個標準；（3）分

類討論應逐級進行.

代數中的分類討論

類型一概念型分類討論題

有一些中考題中所涉及到的數學概念是按照分類的方法進行定義的，如同的定義分a<0、a

=0和a>0三種情況描述的.解決這一類問題，往往需要分類討論，這一類問題我們稱之為概

念型分類討論題.

【例11若加_〃|=〃-7〃，且|司=4,=3,則（m+n）2=.

類型二性質型分類討論題

有一些數學定理、公式以及性質等等具有使用范圍或者是分類給出的，這就要求我們在運用

它們時一定要分情況討論.這一類問題我們稱之為性質型分類討論題.

【例2】已知二次函數y=a?+bx+c的圖象過點A（1,2）,B（3,2）,C（5,7）.若點M

（-2,yi）,N（-1,丫2），K（8,）/3）也在二次函數y=亦？+bx+c的圖象上，則下列結論正確

的是（）

A.yi<y2<ysB.y2<yi<）/3C.y3<yi<y2

【例3】已知函數y的圖象如下，當1時，y

X

的取值范圍是（）

A.y<—1

B.y<—1

c.y<—l或y>0

D.yv—l或yNO

類型三參數型分類討論題

解答含有字母系數（參數）的題目時，需要根據字母（參數）的不同取值范圍進行討論，這

一類分類討論問題我們稱之為參數型分類討論題.

b

【例4】若abv。，則正比例函數丁=雙與反比例函數）=—在同一坐標系中的大致圖象可能是

x

A.B.C.D.

【例5】對任意實數x,點尸(x,V—2x)一定不庫()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【例6】關于x的方程ax2—(a+2)x+2=0只有一解(相同解算一解)，則a的值為()

(A)a=O.(B)a=2.(C)a=l.(D)a=O或a=2.

類型四解集型分類討論題

求一元二次不等式及分式不等式的解集時，可以利用有理的乘(除)法法則“兩數相乘(除)，

同號得正，異號得負”來分類，把它們轉化為幾個一元一次不等式組來求解.我們把這一類問題

我們稱之為解集型分類討論題.

【例7】先閱讀理解下面的例題，再按要求解答：

例題：解一元二次不等式尤2-9>0.

解：VX2-9=(X+3)(X-3),A(x+3)(x-3)>0.

由有理數的乘法法則“兩數相乘，同號得正”，有

,、1x+3>0fx+3<0

(1)4(2)《

[x-3>0[x-3<0

解不等式組(1),得x>3,解不等式組(2),得x<-3,

故(x+3)(x-3)>0的解集為》>3或犬<-3,

即一元二次不等式X2-9>0的解集為x>3或x<-3.

問題：求分式不等式工匚1<0的解集.

2x-3

類型五統計型分類討論題

有一類問題在求一組數據的平均數、眾數或中位數時，由于題設的不確定性，往往需要分類

討論才能獲得完整的答案.這一類問題我們稱之為統計型分類討論題.

【例8】已知三個不相等的正整數的平均數、中位數都是3,則這三個數分別為.

類型六方案設計型分類討論題

在日常生活中，針對同一問題，借助于分類討論的思想往往可以得出不同的解決方案，這一

類問題我們稱之為方案設計型分類討論題.

【例9】一賓館有二人間、三人間、四人間三種客房供游客租住，某旅行團20人準備同時租用這

三種客房共7間，且每個房間都住滿，租房方案有()

A.4種B.3種C.2種D.1種

類型七綜合型分類討論題

【例10】在平面直角坐標系中，點A,B的坐標分別為(-3,0),(3,0),點P在反比例函

2

數丁=士的圖象上，若△%B為直角三角形，則滿足條件的點P的個數為()

A.2個B.4個C.5個D.6個.

幾何中的分類討論

類型之一：與等腰三角形有關的分類討論

與角有關的分類討論：

1.已知等腰三角形的一個內角為75。則其頂角為

考點1與邊有關的分類討論

2.已知等腰三角形的一邊等于5,另一邊等于6,則它的周長等于.

與高有關的分類討論

3.一等腰三角形的一腰上的高與另一腰成35。，則此等腰三角形的頂角是度.

4.等腰三角形一腰上的高與另一腰所成的夾角為45。，這個等腰三角形的頂角是度.

5.為美化環(huán)境，計劃在某小區(qū)內用30加之的草皮鋪設一塊一邊長為10機的等腰二角形綠地，請你

求出這個等腰三角形綠地的另兩邊長.

6.如圖建立了一個由小正方形組成的網格（每個小正方形的邊長為1）.

（1）在圖1中，畫出△ABC關于直線1對稱的△A，B，C；

（2）在圖2中，點D,E為格點（小正方形的頂點），則線段DE=_J]f_；若點F也是格點

且使得ADEF是等腰三角形，標出所有的點F.

綜合應用

7.在直角坐標系中，0為坐標原點，已知A（—2,2）,試在x軸上確定點P,使AAOP為等腰三

角形，求符合條件的點P的坐標

類型之二：與直角三角形有關的分類討論

8.已知x軸上有兩點A(-3,0),B(1,0),在直線1：x+y+l=0上取一點C(x,y),使得

△ABC為直角三角形.求點C的坐標.

9.如圖，在平面直角坐標系xoy中，分別平行x、y軸的兩直線a、b相交于點43,4).連接0A,

若在直線a上存在點P,使4AOP是等腰三角形.那么所有滿足條件的點P的坐標是o

類型之三：與相似三角形有關的分類討論

對應邊不確定

10.如圖，已知矩形ABCD的邊長AB=3cm,BC=6cm..某一時刻，動點M從A點出發(fā)沿AB方向以

lcm/s的速度向B點勻速運動；同時，動點N從D點出發(fā)沿DA方向以2cm/s的速度向A點勻

速運動，問：是否存在時刻t,使以A,.M,N為頂點的三角形與AACD相似？若存在，求t的值；

若不存在，請說明理由.

對應角不確定

11.如圖1,ZA=50°,ZB=60°,一直線/與△ABC的邊AC、AB邊相交于

BC

圖1

點D、E兩點，當NADE為度時，△ABC與△ADE相似.

圖形的位置不確定

12.RtAABO在平面直角坐標系中的位置如圖，A0=2,B0=2?,ZABO=30°,在坐標軸上是否

存在點D,使以A,B,D為頂點的三角形與△ABO相似（不含全等三角形）？若存在，則寫出

坐標；若不存在，說明理由.

VA

/B

A20

類型之四：與圓有關的分類討論

圓既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，還具有旋轉不變性，圓的這些特性決定了關于圓的某些

問題會有多解.

由于點與圓的位置關系的不確定而分類討論

13.已知點P到。0的最近距離為3cm,最遠距離為9cm,求。。的半徑.

由于點在圓周上位置關系的不確定而分類討論

14.A、B是。。上的兩點，且NAOB=136。，C是。0上不與A、B重合的任意一點，則NACB的度

數是.

由于弦所對弧的優(yōu)劣情況的不確定而分類討論

15.已知橫截面直徑為100cm的圓形下水道，如果水面寬AB為80cm,求下水道中水的最大深度.

由于兩弦與直徑位置關系的不確定而分類討論

16.。0的直徑AB=2,過點A有兩條弦AC=&,AD=V3,求/CAD的度數.

由于直線與圓的位置的不確定而分類討論

17.已知在直角坐標系中，半徑為2的圓的圓心坐標為（3,-3）,當該圓向上平移個單位時,

它與X軸相切.

4

18.如圖，直線y=——x+4與x軸，y軸分另（］交于點M,N

3

（1）求M,N兩點的坐標；

124

（2）如果點P在坐標軸上，以點P為圓心，二為半徑的圓與直線y=-§x+4相切，求點

P的坐標.

由于圓與圓的位置的不確定而分類討論

19.已知。。1與。。2相切，。。1的半徑為3cm,。。2的半徑為2cm,則。1。2的長是cm.

20.如圖，在8x4的方格(每個方格的邊長為1個單位長)中，的半徑為1,OB的半徑為2,

將OA由圖示位置向右平移個單位長后，0A與。B相切.

21.如圖，小圓的圓心在原點，半徑為3,大圓的圓心坐標為(。，0),半徑為5,如果兩圓內含,

那么a的取值范圍是.

22.如圖，在平面直角坐標系中，點人(10,0),以。A為直徑在第一象限內作半圓，B為半圓

上一點，連接AB并延長至C,使BC=AB,過C作CDLx軸于點D,交線段OB于點E,已知8=8,

拋物線經過0、E、A三點.

(1)ZOBA=°；

(2)求拋物線的函數表達式；

(3)若P為拋物線上位于第一象限內的一個動點，以P、。、4E為頂點的四邊形面積記作S,

則S取何值時，相應的點P有耳?有3個?

中考練習：

類型之一直線型中的分類討論

直線型中的分類討論問題主要是對線段、三角形等問題的討論，特別是等腰三角形問題和三

角形高的問題尤為重要.

1.若等腰三角形中有一個角等于50。，則這個等腰三角形的頂角的度數為（）

A.50°B.80°C.65°或50°D.50°或80°

2.（?烏魯木齊）某等腰三角形的兩條邊長分別為3cm和6cm,則它的周長為（）

A.9cmB.12cmC.15cmD.12cm或15cm

3.如圖，把矩形紙片ABCD沿EF折疊，使點B落在邊AD上的點B，處，點A落在點A，處，（1）

求證：B，E=BF；（2）設AE=a,AB=b,BF=c，試猜想。、b、c之間有何等量關系，并給予證明.

A'

類型之二圓中的分類討論：圓既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，在

解決圓的有關問題時，特別是無圖的情況下，有時會以偏蓋全、造成漏解，其主要原因是對問題

思考不周、思維定勢、忽視了分類討論等.

4.在RtZkABC中，ZC=90°,AC=3,BC=4.若以C點為圓心，r為半徑所作的圓與斜邊AB

只有一個公共點，則r的取值范圍是.

5.在^ABC中，AB=AC=5,COsB=-.如果圓。的半徑為,且經過點B、

C,那么線段AO的長等于.

6.如圖，點A,B在直線MN±,AB=11厘米，?A,?B的半徑均為1厘米.OA

以每秒2厘米的速度自左向右運動，與此同時，OB的半徑也不斷增大，其半徑r（厘米）與時

間t（秒）之間的關系式為r=l+t（△0）.

（1）試寫出點A,B之間的距離d（厘米）與時間t（秒）之間的函數表達式；

（2）問點A出發(fā)后多少秒兩圓相切？

N

類型之三方程、函數中的分類討論：

方程、函數的分類討論主要是通過變量之間的關系建立函數關系式，然后根據實際情況進行

分類討論或在有實際意義的情況下的討論，在討論問題的時候要注意特殊點的情況.

7.已知AB=2,AD=4,ZDAB=90°,AD//BC(如圖).E是射線BC上的動點(點E與點B不重

合)，M是線段DE的中點.

(1)設BE=x,AABM的面積為y,求y關于x的函數解析式，并寫出函數的定義域;

(2)如果以線段AB為直徑的圓與以線段DE為直徑的圓外切，求線段BE的長；

(3)聯結BD,交線段AM于點N,如果以A、N、D為頂點的三角形與^BME相似，求線段

BE的長.

8.如圖，以矩形CMBC的頂點。為原點，0A所在的直線為x軸，0C所在的直線為y軸，建立

平面直角坐標系.已知0A=3,0C=2,點E是AB的中點，在0A上取一點D,將△BDA沿BD

翻折，使點A落在BC邊上的點尸處.

(1)直接寫出點E、F的坐標；

(2)設頂點為F的拋物線交y軸正半軸于點P,且以點￡、F、P為頂點的三角形是等腰三角

形，求該拋物線的解析式；

(3)在X軸、y軸上是否分別存在點M、N,使得四邊形MNFE的周長最??？

如果存在，求出周長的最小值；如果不存在，請說明理由.

9.分式方程無解的分類討論問題

/、3ax4

（1）----+—；——=----無解，求1=

x—3x—9x+3

(2)猜想：把“無解”改為“有增根”如何解?

10.已知方程加(2M+1)犬+1=0有實數根，求m的取值范圍。

作業(yè)：

1、直角三角形的兩條邊長分別為6和8,那么這個三角形的外接圓半徑等于.

2、在4ABC中，/B=25。，AD是BC邊上的高，并且AD?=BD?DC,貝!J/BCA的度數為

3、如圖1,已知RtZkABC中，ZCAB=30,BC=5.過點A作且AE=15,

連接5E交AC于點P.

(1)求24的長；

(2)以點A為圓心，AP為半徑作。A,試判斷5E與。A是否相切，并說明理由；

(3)如圖2,過點。作CDLAE,垂足為。.以點A為圓心，r為半徑作。A；以點。為圓心,

R為半徑作。C.若廠和R的大小是可變化的，并且在變化過程中保持。A和。C那叨，且使。點

在。A的內部，3點在。A的外部，求廠和R的變化范圍.

圖1圖2

4、直角坐標系中，已知點P(—2,—1),點丁(t,0)是X軸上的一個動點.

⑶在第一象限內是否存在點P,使得以8QB為頂點的三角形與△OBA相似.若存在，請求出所有

符合條件的點P的坐標;若不存在,請說明理由.

6.如圖，在矩形ABCO中，AD=acm,AB=bcm（a>fa>4）,半徑為2cm的。。在矩形內且與AB、

A。均相切.現有動點P從A點出發(fā)，在矩形邊上沿著的方向勻速移動，當點P到達

。點時停止移動；。。在矩形內部沿A。向右勻速平移，移動到與CD相切時立即沿原路按原速返

回，當。。回到出發(fā)時的位置（即再次與AB相切）時停止移動.已知點P與。。同時開始移動，

同時停止移動（即同時到達各自的終止位置）.

（1）如圖①，點、P從Am全程共移動了cm（用含a、b的代數式表示）；

（2）如圖①，已知點P從A點出發(fā)，移動2s到達B點，繼續(xù)移動3s,到達BC的中點.若點P

與。。的移動速度相等，求在這5s時間內圓心。移動的距離；

（3）如圖②，已知a=20,b=10.是否存在如下情形：當。。到達。。1的位置時（此時圓心01

在矩形對角線BD上），0P與。。1恰好相切？請說明理由.

（圖①）《（圖②），

參考答案:

代數中的分類討論

例1.【分析與解答】由|加一斗二〃一根，得〃三加.而由M=4,=得加=±4,〃=±3.下

面分情況進行討論.

(1)當根=4,〃=±3時，有加>〃，這與〃三加相矛盾，所以不成立；

(2)當加二一4,〃=3時，滿足〃2加，那么(冽+〃)2=(_4+3)2=1；

(3)當加二一4,〃=一3時，滿足〃2加，那么(冽+〃y=(_4一3)2=49.

綜合上面的討論可知(加十幾1的值為1或49.

例2.【分析與解答】因為A(1,2)、B(3,2)兩點的縱坐標相等，所以拋物線,=奴2+汝+。

的對稱軸方程是X=9,即X=2.又因為點C(5,7)也在拋物線上，所以拋物線的開口向

2

上.下面就對稱軸的兩邊分兩種情況討論二次函數的性質.

(1)當x<2時，此二次函數是單調遞減函數.由于—2<—1,所以有%>為?

(2)當x>2時，此二次函數是單調遞增函數.而M(-2,%)關于對稱軸尤=2的對

稱點的坐標為(6,%),由于6<8,所以有力<力?

綜合(1)、(2)可得力<%<為，故選乩

例3.【分析與解答】由于反比例函數y的性質是分段描述的：當x>0時，反比例函數y=L

XX

的圖象在第一象限y隨著x增大而減小，且y>0；當了<0時，反比例函數>的圖象在第三

x

象限y隨著x增大而減小，且y<0.

本題中％2—1,必須分為—1W%<0和x>0兩種情況進行考查.

(1)當—1WX<0時，由反比例函數y=工的性質可知y<—l；

X

(2)當x>0時，由反比例函數>=工的性質可知y>0.

X

所以本題的正確答案是選C.

b

例4.【分析與解答】要確定正比例函數丁=依與反比例函數y=—在同一坐標系中大致圖象，

x

首先要知道〃、A取值范圍.由于〃6<0,所以要分。>0,/?<。和〃vo,2>0兩種情況進行

討論.

b

(1)當。>0,方<0時，正比例函數,=方的圖象在一、三象限，反比例函數y=—的圖象

x

在二、四象限.圖中的四個選擇支沒有一個符合條件；

b

(2)當。<0,方>0時，正比例函數,=方的圖象在二、四象限，反比例函數y=—的圖象

x

在一、三象限.圖中的四個選擇支只有B符合條件.

綜合(1)、(2)可知，本題的正確答案是B.

例5.【分析與解答】平面直角坐標系中，每一象限內點的坐標的正負性有如下規(guī)律：

第一象限第二象限第三象限第四象限

橫坐標+——+

縱坐標++——

由于點P坐標含有參數X,下面就X的取值范圍分段討論.

(1)當x<0時，X1-2x-x(x-2)>0,點尸(x,x?-2x)在第二象限；

(2)當x=0時，x2-2x^0,點、P(x,/一2X)為原點；

(3)當0<x<2時，/一2x=x(x-2)<0,點尸(x,x?-2x)在第四象限；

(4)當x>2時，x2-2x-x(x-2)>0,點尸(x,x?-2x)在第一象限.

例6.【分析與解答】關于x的方程ax?—(a+2)x+2=0中參數。的取值不同，方程的性質也會發(fā)

生變化，下面分別討論.

(1)當。=0時，原方程變?yōu)橐辉淮畏匠獭?x+2=0,此方程只有一個解；

(2)當。力0時，原方程ax2—(a+2)x+2=0是一元二次方程，由

A=[―(a+2)],—4x2a=0,得a=2.

綜合(1)、(2)得a=0或a=2,所以本題選擇D.

例7.【分析與解答】閱讀例題可知，把(x+3)和(x-3)看成兩個數，它們的積為正，則這兩個

數同號，由此類推不難解決給出的問題.由有理數的除法法則“兩數相除，異號得負”可知6%+1)

和(2%-3)異號，下面分情況討論即可.

(1)當5%+1>0,2%—3<0時，解不等式組得一;1<》<3；

[2A：-3<05

(2)當5尤+1<0,2光—3>0,時，解不等式組無解.

[2x-3>0

綜合(1)、(2)兩種情況，得分式不等式色土1<0的解集為一

2x-35

例8.【分析與解答】設這三個不相等的正整數從小到大排列為Q,3,6.根據題意，〃的取值

可以是1和2.下面我們分別討論：

(1)當。=1時，由Q+3+Z?=3x3得Z?=5；

(2)當。=2時，由Q+3+Z?=3X3得6=4.

綜上所述，這三個數分別為1,3,5或2,3,4.

例9.【分析與解答】設需二人間x間，三人間y間，則需四人間為(7-x-y)間.根據題意，

得2x+3y+4(7—x—y)=20,化簡，得y=8—2x.由于x、y、7—x—y皆為正整數.下

面分別討論.

(1)當x=l時，y=8-2x—6,1-x-y=0,不符合要求;

(2)當x=2時,y=8-2%=4,1-x-y—1,符合要求；

(3)當x=3時,y=8-2%=2,7—x—y=2,符合要求；

(4)當x=4時,y—8-2x=0,7—x—y=3,不符合要求;

故符合條件的方案有2種，即c是正確答案.

例10.【分析與解答】如答圖，若△fWB為直角三角形，分三種情況：①當/%8=90。時，P點的

橫坐標為-3,此時P點有1個；②當NP8A=90。時，P點的橫坐標為3,此時P點有1個；③當

2

NAPS二90。，以點O為圓心AB長為直徑的圓與丁=—的圖象交于4點，此時P點有4個.綜上所

x

述，滿足條件的P點有6個.故選D.

幾何中的分類討論

1.75?；?0。；2.16或17；3.55。或125。；4.45?；?35。；5.屈或2弧；6..解：(1)如圖所

示：

(2)DE=^12+32=VTQ.F點位置如圖所示.

7.解析：當OA當底邊長時，則點P(-2,0)；當OA為腰長時，則點P(-4,0)或(2?,0)

或(-272，0).

8.解：B為直角時，x=l,y=-2,C(1,-2)；A為直角時，x=-3,y=2,/.C(-3,2)；

C為直角時，△_.」_=-1,?「x+y+l=0,x=-1±V2.C(-1+72-揚或C(-1-、反

x+3x-1

-.

9.解：A(3,4)OB=3,AB=4,OA=7oB2+jiB2=5

二當OA為等腰三角形一條腰，則點P的坐標是(8,4)(-2,4)(-3,4)；

當OA為底邊時，：A(3,4),.,.直線OA的解析式為y=Wx,.?.過線段OA的中點且與直線

3

OA垂直的直線解析式為：y=-2x+2^,二點P的坐標是(-X4).

486

故答案為：(8,4)或(-2,4)或(-3,4)或(-工4).

6

10.當△ACDs^MNA時，則理』，即@3：_1—,/.36-12t=3t./.t=2.4.

CD-NA36-2t

當AACDsANMA時，則辿1，即二2t.6t=18-6t./.t=1.5.

CD-MA3t

答:存在，t為2.4；1.5.

11.60°或70°；

12.I?：在坐標軸上存在點D,使以A,B,D為頂點的三角形與△ABO相似，

理由如下：

2

當點D在y軸上時則小ABO-AADO,/.AO=BO?OD,即4=2/xOD,/.OD=當叵，

3

二點D的坐標是(0,-2登)；

3

當點D在x軸上時則4ABO△BD0,BO2=AO?OD,即12=2xOD,/.OD=6,

二點D的坐標是(6,0).

13.解：?.?點P到。O的最近距離為3cm,最遠距離為9cm,則：

當點在圓外時，則。。的直徑為9-3=6(cm),半徑是3cm；

當點在圓內時，則。O的直徑是9+3=12,半徑為6cm.

14.68?；?12。；

15.20CM或80cM;

16.解：：AB為。O的直徑，,ZACB=Z人口8=90。.在4ABC中，：NACB=90。，AB=2,AC=&,

s?m?zA--V2

BeAC，二NABC=45。；在△ABD中，ZADB=90°,AB=2,AD=b，

AB

V23

sm?zA--

BDAD，,ZABD=60°.分兩種情況：

AB

①當兩條弦AC與AD在直徑AB的同側時，ZCBD=ZABD-ZABC=15°；

②當兩條弦AC與AD在直徑AB的異側時，NCBD=ZABD+ZABC=105°.

綜上可知NCBD=15?；?05°.故答案為15?；?05°.

17.解：設圓的半徑為r,圓心到直線的距離d,要使圓與x軸相切，必須d=r；〔,此時d=3,

二圓向上平移1或5個單位時，它與x軸相切.故答案為：1或5.

18.解：(1)當x=0時，y=4,當y=0時，-gx+4=0：.x=3.M(3,0),N(0,4).

(2)①當Pi點在y軸上，并且在N點的下方時，設。Pi與直線y=-Wx+4相切于點A,

3

連接P1A,則PiA±MN,ZPiAN=ZMON=90°.,:ZPiNA=ZMNO,△PiAN-△MON,

P?APiN19

—在RSOMN中，OM=3,ON=4,/.MN=5.又pA士，，P1N=4,，Pi點坐

MO-MN,5

標是(0,0)；

②當P2點在X軸上，并且在M點的左側時，同理可得P2點坐標是(0,0);

③當P3點在X軸上，并且在M點的右側時，設。P3與直線y=-Wx+4上切于點B,連接P3B.

3

則P3BJ_MN,二OAIIP3B.?：OA=P3B,二P3M=OM=3,二OP3=6.二P3點坐標是(6,0)；

④當P4點在y軸上，并且在點N上方時，同理可得P4N=ON=4.，OP4=8,P4點坐標(0,8)；

綜上，P點坐標是(0,0),(6,0),(0,8).

19.解：兩圓內切時，OIC)2=R-r=3-2=lcm,外切時，OiO2=R+r=3+2=5cm.

20.解：OA的半徑為1,OB的半徑為2,.,.要使。A與靜止的。B內切，需AB=2-1=1,

。A由圖示位置需向右平移的單位長為4或6.

21.解：根據兩圓圓心坐標可知，圓心距=|a-0=|a|,因為，兩圓內含時，圓心距<5-3,

即|a|<2,解得-2<a<2.

22.(1)90.

(2)如答圖1,連接OC,

;由(1)知。B_LAC,又AB=BC,

OB是的垂直平分線.

/.OC=OA=10.

在RtAOCO中，OC=10,CD=8,：.OD=6.

：.C(6,8),8(8,4).

所在直線的函數關系為y=gx.

又E點的橫坐標為6,點縱坐標為3,即E(6,3).

:拋物線過。(0,0),E(6,3),410，0),

設此拋物線的函數關系式為y=ta(x-10),

1

把E點坐標代入得3=6a(6—10),解得a——

8

???此拋物線的函數關系式為y=-"犬(x-10),即y=_工x25

H----X.

84

(3)設點P(p，—gpz+jp.

①若點P在CD的左側，延長。P交C。于Q,如答圖2,

3X,

???OP所在直線函數關系式為：y=

84

3153

???當x=6時，y=——p-\---,即Q點縱坐標為——p+

424

.八廠315c39

..QH=——77+——3=——72+—.

S四邊形POAE二S2OAE+5AOPE

=SkOAE+SAOQE-S“QE

--OADE+-QEDx-^QE\Dx-Px)

3939

卜]+「(6”)—p+—爐.

22一產542848V'2

②若點P在CD的右側，延長AP交CD于Q,如答圖3,

P[p，-1p2+|p1-410,o),

...設AP所在直線方程為：y=kx+b,

\Ok+b=Q

把P和A坐標代入得，＜,,15

Pk+b=--p2+-p

71

k=——p

解得《8

,5

b=-p答圖3

4

15

：.AP所在直線方程為:

y=—泮+".

...當x=6時，y=—《p+：p=；p，即Q點縱坐標為;p....QE=gp-3.

S四邊形POAE=S^OAE+S^APE=SAOAE+S^AQE~S^PQE

=~OADE+~QEDA--QE\Px-Dx)

...當P在CD右側時，四邊形POAE的面積最大值為16,此時點P的位置就一個,

3Q/S7

令—±p2+'p+15=16,解得，p=3土A=

843

...當P在CD左側時，四邊形POAE的面積等于16的對應P的位置有兩個.

綜上知，以P、0、A、E為頂點的四邊形面積S等于16時，相應的點P有且只有3個.

中午練習：

1.【解析】由于已知角未指明是頂角還是底角，所以要分類討論：(1)當50。角是頂角時，

則(180°-50°)+2=65°,所以另兩角是65°、65°；(2)當50°角是底角時，則180°—50°*2=80°,

所以頂角為80。。故頂角可能是50?；?0。.【答案】D.

2.【解析】在沒有明確腰長和底邊長的情況下，要分兩種情況進行討論，當腰長是3cm,底邊長

是6cm時，由于3+3不能大于6所以組不成三角形；當腰長是6cm,地邊長是3cm時能組成三

角形.【答案】D

3.【解析】由折疊圖形的軸對稱性可知，B'F=BF,ZB'FE=ZBFE,從而可求得B，E=BF；

第(2)小題要注意分類討論.

【答案】(1)證：由題意得3'尸=3尸，ZB'FE=ZBFE,

在矩形ABCD中，AD//BC,ZB'EF=ABFE,

:.ZB'FE=ZBEF,

：.B'F=B'E.:.B'E=BF.

(2)答：a,b,c三者關系不唯一，有兩種可能情況：

(i)。，萬c三者存在的關系是〃+〃=c2.

證：連結BE,則助=E石.

由(1)知B'E=BF=c,:.BE=c.

在△ABE中，ZA=90,AE2+AB2=BE2.AE^a,AB=b,:.a2+b2=c2.

(ii)a,b,c三者存在的關系是a+4?>c.證：連結BE,則

由(1)知B'E=BF=c,:.BE=c.在AABE中，AE+AB>BE,:.a+b>c.

4.【解析】圓與斜邊AB只有一個公共點有兩種情況,1、圓與AB相切，止匕時r=2.4；2、圓與

線段相交,點A在圓的內部，點B在圓的外部或在圓上，此時3<區(qū)4。

【答案】3<匹4或r=2.4

5.【解析】本題考察了等腰三角形的性質、垂徑定理以及分類討論思想。由AB=AC=5,0085=31,

可得BC邊上的高AD為4,圓O經過點B、C則。必在直線AD上，若。在BC上方，貝UAO=3,

若。在BC下方，則AO=5o

【答案】3或5.

6.【解析】在兩圓相切的時候，可能是外切，也可能是內切，所以需要對兩圓相切進行討論.

【答案】解：（1）當0WK5.5時，函數表達式為d=ll-2t；

當t>5.5時，函數表達式為d=2t-ll.

（2）兩圓相切可分為如下四種情況:

①當兩圓第一次外切，由題意,Wll-2t=l+l+t,t=3；

②當兩圓第一次內切，由題意,可得=t=U；

3

③當兩圓第二次內切，由題意,可得2t—ll=l+t-1,t=ll;

④當兩圓第二次外切，由題意，可得2t—ll=l+t+l,t=13.

所以，點A出發(fā)后3秒、一秒、11秒、13秒兩圓相切.

3

7.【解析】建立函數關系實質就是把函數y用含自變量x的代數式表示。要求線段的長，可假

設線段的長，找到等量關系，列出方程求解。題中遇到"如果以AN,。為頂點的三角形與

相似"，一定要注意分類討論。

【答案】（1）取A3中點聯結

加■為OE的中點，:.MH//BE,MH=^（BE+AD）.

又?:.MH±AB.二,得y=；x+2(x>0)；

（2）由已知得DE=-4）2+2」.

以線段AB為直徑的圓與以線段DE為直徑的圓外切,

22

:.MH=-AB+-DE,即g(x+4)=g2+7(4-X)+2

22

44

解得x=—，即線段的的長為一；

33

(3)由已知，以AN,。為頂點的三角形與相似，

又易證得ZDAM=ZEBM.

由此可知，另一對對應角相等有兩種情況：①ZADN=ZBEM；②ZADB=NBME.

①當=石M時，AD//BE,：.ZADN=ZDBE.:.ZDBE=ZBEM.

:.DB=DE,易得5E=2A￡>.得BE=8；

②當NADB=NBME時,AD//BE,:.ZADB=ZDBE.

:.ZDBE=ZBME.又/BED=/MEB,：.ABED^AMEB.

...匹二圾，BE2=EM.DE,x2=-J22+(x-4)2.J22+(x-4)2.

BEEM2^N

解得X]=2,%=T0（舍去）.即線段BE的長為2.

綜上所述，所求線段BE的長為8或2.

8.【解析】①解決翻折類問題,首先應注意翻折前后的兩個圖形是全等圖，找出相等的邊和角.其

次要注意對應點的連線被對稱軸（折痕）垂直平分.結合這兩個性質來解決.在運用分類討論的

方法解決問題時，關鍵在于正確的分類，因而應有一定的分類標準，如E為頂點、P為頂點、F

為頂點.在分析題意時，也應注意一些關鍵的點或線段，借助這些關鍵點和線段來準確分類.這

樣才能做到不重不漏.③解決和最短之類的問題，常構建水泵站模型解決.

【答案】(1)￡(3,1)；F(l,2).

(2)在RtAEBF中，ZB=90,EF=^EB2+BF2=A/12+22=75.

設點P的坐標為(0,n),其中”>0,.頂點/(1,2),

設拋物線解析式為y=?(x-l)2+2(。豐0).

①如圖①，當麻=。尸時，EF2=PF2,

1~+(M—2)~=5.解得〃]=0(舍去)；叼=4.

P(0,4).4=a(0—l)2+2.解得a=2.

拋物線的解析式為y=2(x—+2

②如圖②，當EP=FP時，EP?=FP?,

(2—4+1=(1—研+9.解得〃=—g(舍去).