2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義（新高考1）：函數(shù)的圖象

§2.8函數(shù)的圖象

【考試要求】1.在實際情境中，會根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?如圖象法、列表法、解析

法)表示函數(shù).2.會畫簡單的函數(shù)圖象.3.會運用函數(shù)圖象研究函數(shù)的性質(zhì)，解決方程解的個數(shù)與

不等式解的問題.

■落實主干知識

【知識梳理】

1.利用描點法作函數(shù)圖象的方法步驟

(2)伸縮變換

a>l,橫坐標(biāo)縮短為原來的十倍，縱坐標(biāo)不變

?y=fix)0?!<1,橫坐標(biāo)伸長為原來的5倍，縱坐標(biāo)不變

y=fi,ax).

。>1，縱坐標(biāo)伸長為原來的。倍，橫坐標(biāo)不變，

②y=f(x)縱坐標(biāo)縮短為原來的a倍，橫坐標(biāo)不變’

y=af(x).

⑶對稱變換

G、關(guān)于%軸對稱,

①y=f(x)------------->y=一/U).

e彳、關(guān)于y軸對稱,

②y—/(X)-------------=*—X)-

關(guān)于原點對稱

③y=/@)尸一人一％)?

關(guān)于y=%對稱

④y=(/(〃>0且〃W1)

y=logaX(〃>0aW1).

(4)翻折變換

保留%軸上方圖象.

①y=/(X)將無軸下方圖象翻折上去‘'一風(fēng)謝?

保留y軸右邊圖象，并作其,

②產(chǎn)危)―關(guān)于y軸對稱的圖象—

【常用結(jié)論】

1.函數(shù)y=/")與＞=黃2〃一%)的圖象關(guān)于直線x=a對稱.

2.函數(shù)y=/(x)與＞=2/?一八2。-x)的圖象關(guān)于點(〃，。)對稱.

【思考辨析】

判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“J”或“X”)

⑴函數(shù)為偶函數(shù).(X)

(2)函數(shù),=火1—x)的圖象，可由y=/(一%)的圖象向左平移1個單位長度得到.(X)

(3)當(dāng)x￡(0,+8)時，函數(shù)y=|/(x)|與y=*動的圖象相同.(X)

(4)函數(shù)》=/(%)的圖象關(guān)于y軸對稱即函數(shù)y=/(x)與＞=/(一%)的圖象關(guān)于y軸對稱.(X)

【教材改編題】

12,1<0,

'[的圖象的是()

{X—1,x30

答案C

解析其圖象是由y=f圖象中x＜0的部分和y=x—1圖象中xLO的部分組成.

2.函數(shù)y=/(x)的圖象與＞=6＜的圖象關(guān)于y軸對稱，再把y=/(x)的圖象向右平移1個單位長

度后得到函數(shù)y=g(X)的圖象，則g(x)=.

答案院工+1

解析fix)=e-＞g(x)=e-(J:^=e-x+J?

3.已知函數(shù)加上單調(diào)且其部分圖象如圖所示，若不等式-2碩x+t)<4的解集為(一1,2),

則實數(shù)t的值為.

答案1

解析由圖象可知不等式一2勺(x+0<4即為式3)勺(x+力勺⑼,

故x+fG(0,3),

即不等式的解集為(一t,3-r),

依題意可得r=L

■探究核心題型

題型一作函數(shù)的圖象

例1作出下列函數(shù)的圖象：

(l)y=2r+1-l；

(2)y=|lg(x-l)|;

(3)y=x2-\x\—2.

解(1)將》=2￡的圖象向左平移1個單位長度，得到y(tǒng)=2"i的圖象，再將所得圖象向下平移

1個單位長度，得到y(tǒng)=2#i—1的圖象，如圖①所示.

(2)首先作出y=lgx的圖象，然后將其向右平移1個單位長度，得到y(tǒng)=lg(x—1)的圖象，再

把所得圖象在x軸下方的部分翻折到x軸上方，即得所求函數(shù)y=|lg(x—1)|的圖象，如圖②所

示(實線部分).

/-x—2

2,1.二’函數(shù)為偶函數(shù)，先用描點法作出［(),+8)上的圖象，

{產(chǎn)十x-2,x<0,

再根據(jù)對稱性作出(一8,0)上的圖象，其圖象如圖③所示.

②③

【教師備選】

作出下列函數(shù)的圖象:

⑴尸2一叫

(2)y=sin|x|.

解(1)先作出y=g｝的圖象，保留y=與￡圖象中xNO的部分，再作出y=(J|x的圖象中x>0

部分關(guān)于y軸的對稱部分，即得y=R)乂的圖象，如圖①實線部分.

(2)當(dāng)尤》。時，y=sin|R與y=sinx的圖象完全相同,又y=sin|x|為偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對

稱，其圖象如圖②.

思維升華圖象變換法作函數(shù)的圖象

(1)熟練掌握幾種基本初等函數(shù)的圖象.

(2)若函數(shù)圖象可由某個基本初等函數(shù)的圖象經(jīng)過平移、翻折、對稱和伸縮得到，可利用圖象

變換作出，但要注意變換順序.

跟蹤訓(xùn)練1作出下列函數(shù)的圖象：

(2)y=|/—4x+3].

2x—111

解(1?=一二丁=2+小，故函數(shù)的圖象可由的圖象向右平移1個單位長度，再向上

XIXI.尤

平移2個單位長度得到，如圖①所示.

(2)先用描點法作出函數(shù)y=f—4x+3的圖象，再把x軸下方的圖象沿x軸向上翻折，x軸上

方的圖象不變，如圖②實線部分所示.

3

2

O|1\2,/3x

123%-1

題型二函數(shù)圖象的識別

例2(1)(2022?百師聯(lián)盟聯(lián)考)函數(shù)兀i)=主^的I圖象大致為(

-1

D

答案D

解析由題意知，人無)的定義域為R,

故式x)為奇函數(shù)，排除C；

八排除A；

穴2)=筆2<0,排除B.

(2)(2022-泉州模擬)已知函數(shù)於)=

Ox

Ox

答案B

exl—1,

解析函數(shù)加)=J

llOg2X,X>1,

e1,x20,

所以y=g(x)=/U—%)=

log2(l—x),x<0,

所以當(dāng)x=0時，g(0)=e°—1=0,

故選項A,C錯誤;

當(dāng)x20時，g(x)=er—l單調(diào)遞減,

故選項D錯誤，選項B正確.

【教師備選】

（2022?長春模擬）函數(shù)y（x）=cos7tx+ln|2x|的大致圖象是（）

答案C

解析因為?x）=cos7Lt+ln|2x|CrW0）,

所以八一x）=cos（—xr）+ln|-2x|=cosxr+ln|2無|=兀嘰所以五%）是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對

稱，故排除選項A；

Xl）=cos7i+ln2=-l+ln2<0,故排除選項B；

X2）=cos2n+In4=1+21n2>0,故排除選項D.

思維升華識別函數(shù)的圖象的主要方法有：（1）利用函數(shù)的性質(zhì).如奇偶性、單調(diào)性、定義域

等判斷.（2）利用函數(shù)的零點、極值點等判斷.（3）利用特殊函數(shù)值判斷.

跟蹤訓(xùn)練2（1）函數(shù)yu）=的大致圖象為（

答案B

3「一3工3*一3七

解析易知定義域為（一8,）（）關(guān)于原點對稱.人-）

0U0,+°°,x=（一無了?一=一〃),

則兀0是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點對稱，排除A,

1Q

Al）=3—3=3>O,排除D,

當(dāng)X-+8時，3*-+8,則人打一+8,排除C,選項B符合.

（2）如圖可能是下列哪個函數(shù)的圖象（）

A.y=2r-x2-l

2*sinn

y~4x+l

C.y=(x2~2x)ex

答案C

解析函數(shù)的定義域為R,排除D；

當(dāng)尤<0時，y>0,A中，x=—1時，

3

y=2-1—1—1=—2<0,排除A；

B中，當(dāng)sinx=0時，y=0,

???y=25*皆.sin有x無數(shù)個零點，排除B.

題型三函數(shù)圖象的應(yīng)用

命題點1研究函數(shù)的性質(zhì)

例3已知函數(shù)式x）=x|x|-2x,則下列結(jié)論正確的是（）

A.八尤）是偶函數(shù)，單調(diào)遞增區(qū)間是（0,+°°）

B.八尤）是偶函數(shù)，單調(diào)遞減區(qū)間是（一8,1）

C.八尤）是奇函數(shù)，單調(diào)遞減區(qū)間是（一1,1）

D.八尤）是奇函數(shù)，單調(diào)遞增區(qū)間是（一8,0）

答案C

解析將函數(shù)五尤）=尤|尤|-2x

去掉絕對值，得

（X2--2X,X》0,

[—x2—2x,尤<0,

畫出函數(shù)式x）的圖象，如圖所示，觀察圖象可知，函數(shù)本）的圖象關(guān)于原點對稱，故函數(shù)大尤）

為奇函數(shù)，且在（一1,1）上單調(diào)遞減.

命題點2函數(shù)圖象在不等式中的應(yīng)用

例4若當(dāng)xd(l,2)時，函數(shù)y=(x—的圖象始終在函數(shù)y=logax的圖象的下方，則實數(shù)。

的取值范圍是

答案(1,2]

解析如圖，在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y=(x—l)2和y=logax的圖象.

由于當(dāng)尤G(l,2)時，函數(shù)y=(x—的圖象恒在函數(shù)y=log?x的圖象的下方,

\a>\,

則、解得l<a<2.

[loga2^1,

命題點3求參數(shù)的取值范圍

例5已知函數(shù)加)=(若方程y(x)=-2%+〃有兩個不同的實數(shù)根，則實數(shù)

[log2%%,x>0,

a的取值范圍是.

答案(一8,1]

解析方程次x)=-2x+〃有兩個不同的實數(shù)根，即方程7(x)+x=—有兩個不同的根，

等價于函數(shù)y=/(x)+x與函數(shù)y=—的圖象有兩個不同的交點.

f2x—x,

因為危)=

L10g2X—X,x>0,

2X,xWO,

所以>=/□)+%=

log2X,X>0,

作出函數(shù)y=fix)+x與y=~x+a的大致圖象如圖所示.

數(shù)形結(jié)合可知，當(dāng)時，兩個函數(shù)的圖象有兩個不同的交點，即函數(shù)y=/(%)+2x—〃有兩

個不同的零點.

【教師備選】

已知奇函數(shù)八尤)在無時的圖象如圖所示，則不等式對⑴<0的解集為

答案(—2,-1)U(1,2)

解析..?求尤)<0,...尤和/(x)異號，

由于犬x)為奇函數(shù)，補齊函數(shù)的圖象如圖.

當(dāng)xG(—2,-l)U(0,l)U(2,+8)時，1尤)>o,

當(dāng)xd(—8,—2)U(—l,0)U(l,2)時，

本)<0,

不等式狀尤)<0的解集為(-2,-1)U(1,2).

思維升華當(dāng)不等式問題不能用代數(shù)法求解或用代數(shù)法求解比較困難，但其對應(yīng)函數(shù)的圖象

可作出時，常將不等式問題轉(zhuǎn)化為圖象的位置關(guān)系問題，從而利用數(shù)形結(jié)合思想求解.

跟蹤訓(xùn)練3(1)若函數(shù)<尤)=優(yōu)一x—a(a>0,且有兩個零點，則實數(shù)a的取值范圍是

答案(1,+°°)

解析函數(shù)小)的零點的個數(shù)就是函數(shù)y=a'(a>0,且aWl)與函數(shù)y=x+a的圖象的交點的個

數(shù)，如圖，當(dāng)a>l時，兩函數(shù)圖象有兩個交點；當(dāng)0<a<l時，兩函數(shù)圖象有一個交點.故?>1.

a>l0<?<1

(2)已知函數(shù)>=八尤)的圖象是圓/十/二？上的兩段弧，如圖所示，則不等式兀0次一功一2彳

的解集是.

答案(-l,0)U(l,y[2]

解析由圖象可知，函數(shù)五X）為奇函數(shù)，故原不等式可等價轉(zhuǎn)化為人龍）＞一X.在同一平面直角

坐標(biāo)系中分別畫出＞=/（尤）與y=-x的圖象，由圖象可知不等式的解集為（一1,0）口（1,啦］.

課時精練

q基礎(chǔ)保分練

1.函數(shù)人無）=7河的圖象大致是（）

答案A

解析根據(jù)題意，函數(shù)人月=黯,

其定義域為{x|%WO且xW±l},

有八一X）=一端于=_的，

函數(shù)/（x）為奇函數(shù)，排除B,D,

.兀

z、sin&

又/%)=―:<0,所以排除C.

1116

x+3

2.為了得到函數(shù)y=lg一6的圖象，只需把函數(shù)y=lgx的圖象上所有的點（）

A.向左平移3個單位長度,再向上平移1個單位長度

B.向右平移3個單位長度,再向上平移1個單位長度

C.向左平移3個單位長度,再向下平移1個單位長度

D.向右平移3個單位長度,再向下平移1個單位長度

答案c

x~\~3

解析?；y=lg-j^-=lg(x+3)-l,

.,向左平移3個單位長度

..y=lgx----------------------

向下平移1個單位長度

y=lg(x+3)

y=lg（x+3）-l.

3.已知函數(shù)/U）的圖象如圖所示，則函數(shù)八尤）的解析式可能是（）

A.於）=（中—4、）國

B.?=(4t-4"")log2W

牛+尸

r

D.?=（4'+4--）log2M

答案D

解析由圖知，"r）為偶函數(shù)，故排除A,B；

對于C,八x）＞0不符合圖象，故排除C；

對于D,/（—x）=（4，+4r）log2|x|=/（x）為偶函數(shù)，且在區(qū)間（0,1）上，犬x）＜0,符合題意.

ax-1-b,—],

,，「、，的圖象如圖所示，則八一3）等于（）

{ln（x十〃），x--1

A.12B.laC.11D.—2

答案C

解析：式-1)=0,；.ln(—1+°)=0,

??一1(2~~1,??。=2,

又〉=〃%+力過點(-1,3),

.*.2X(—1)+/?=3,:?b=5,

:?￡-3)=-3〃+6=-6+5——1.

5.（2022.長沙質(zhì)檢）已知圖①中的圖象對應(yīng)的函數(shù)為則圖②中的圖象對應(yīng)的函數(shù)為

（）

A.y=>|)B.y=Af|)

C.尸|/WID.尸n尤i)

答案B

解析觀察函數(shù)圖象可得，②是由①保留y軸左側(cè)及y軸上的圖象，然后將y軸左側(cè)圖象翻

折到右側(cè)所得，結(jié)合函數(shù)圖象的對稱變換可得變換后的函數(shù)的解析式為y=/-kl）.

6.下列函數(shù)中，其圖象與函數(shù)於）=lnx的圖象關(guān)于直線x=l對稱的是（）

A.y=ln(l—x)B.y=ln(2~x)

C.y=ln(l+x)D.y=ln(2+x)

答案B

解析方法一設(shè)所求函數(shù)圖象上任一點的坐標(biāo)為（尤，y）,則其關(guān)于直線x=l的對稱點的坐

標(biāo)為（2—尤，y）,由對稱性知點（2—尤，y）在函數(shù)y（x）=lnx的圖象上，所以y=ln（2—尤）.

方法二由題意知，對稱軸上的點（1,0）既在函數(shù)&x）=lnx的圖象上也在所求函數(shù)的圖象上，

代入選項中的函數(shù)解析式逐一檢驗，排除A,C,D.

7.（多選）對于函數(shù)元）=lg（|x-2|+l）,下列說法正確的是（）

A./U+2）是偶函數(shù)

B./U+2）是奇函數(shù)

C.兀0在區(qū)間（一8,2）上單調(diào)遞減，在區(qū)間（2,+8）上單調(diào)遞增

D.式龍）沒有最小值

答案AC

解析/（x+2）=lg（|x|+l）為偶函數(shù)，A正確，B錯誤.作出八無）的圖象如圖所示，可知人x）

在（一8,2）上單調(diào)遞減，在（2,+8）上單調(diào)遞增；由圖象可知函數(shù)存在最小值o,C正確，

D錯誤.

12—3xfx0,

一；1'方程IA無)一1|=2一m(，〃eR),則下列判斷正確的

{—e%+1,x<0,

是()

A.函數(shù)段)的圖象關(guān)于直線x=|對稱

B.函數(shù)於)在區(qū)間(3,+8)上單調(diào)遞增

C.當(dāng)《7G(1,2)時，方程有2個不同的實數(shù)根

D.當(dāng)初e(—1,0)時，方程有3個不同的實數(shù)根

答案BC

解析對于選項A,五4)=4,八-1)=1—e,

顯然函數(shù)外)的圖象不關(guān)于直線x=1對稱；

對于選項B,—3x的圖象是開口向上的拋物線，所以函數(shù)次x)在區(qū)間(3,+8)上單調(diào)

遞增，

作出函數(shù)y=|#x)—1］的圖象，如圖，

對于選項C,當(dāng)機e(l,2)時，2—me(0,l),結(jié)合圖形可知方程施0—1|=2—優(yōu)(mGR)有2個

不同的實數(shù)根；

對于選項D,當(dāng)加e(—1,0)時，2一me(2,3),結(jié)合圖形可知方程|/(x)—1|=2—優(yōu)(機eR)有4

個不同的實數(shù)根.

9.已知函數(shù)y=/(—x)的圖象過點(4,2),則函數(shù)y=/(無)的圖象一定過點.

答案(-4,2)

解析y=/(—x)與y=/(x)的圖象關(guān)于y軸對稱，

故>=/□)的圖象一定過點(-4,2).

10.若函數(shù)於)=?二丁的圖象關(guān)于點(1,1)對稱，則實數(shù)。=.

答案1

.?ax—a-\~a—2,a—2

解析危)=-------:----=a+—7,

JX—1X—1

關(guān)于點(1,〃)對稱，故。=1.

(X2--\-2X—1,

11.(2022.青島模擬)已知函數(shù)則對任意％1，%2￡R，若％2>0>為>

[x^—2x—l,x<0,

—X2,則於1)與五⑼的大小關(guān)系是.

答案於。勺3)

解析作出函數(shù)次X)的圖象(圖略)，

由圖知人光)為偶函數(shù)，且在(一8,0)上單調(diào)遞減，在(0,+8)上單調(diào)遞增，

*.*0>Xl>—X2,

?,?加1)q-尤2)=大無2).

12.已知函數(shù)於)=|x—2|+1,g(x)=Ax若方程兀v)=g(x)有兩個不相等的實根，則實數(shù)上的取

值范圍是.

答案&1)

解析先作出函數(shù)加0=僅一21+1的圖象，如圖所示，當(dāng)直線g(x)=fcc與直線A3平行時斜率

為1,當(dāng)直線g(x)=日過A點時斜率為3，故/j>)=g(x)有兩個不相等的實根時，%的取值范圍

為Q,1).

[K能提升練

13.若函數(shù)負(fù)無)=(e^—“A的大致圖象如圖所示，則()

A.m>0,0<n<l

C.m<0,0<n<lD.m<0,n>\

答案B

解析令?x)=0,得已如=①即以x=ln〃,

解得x=\ln〃，

由圖象知％=(ln?>0,

當(dāng)相>0時，n>l,當(dāng)初<0時，Q<n<l,故排除AD,

當(dāng)機<0時，易知丫=6必是減函數(shù)，

當(dāng)Xf+8時，y-0,兀r）f“2,故排除C.

14.（2022?濟(jì)南模擬）若平面直角坐標(biāo)系內(nèi)A,8兩點滿足：（1）點A,8都在人x）的圖象上；（2）

點A,8關(guān)于原點對稱，則稱點對（A,B）是函數(shù)八x）的一個“和諧點對”，（A,B）與（B,A）可

x2+2x,x<Q,

看作一個“和諧點對”.已知函數(shù)危）=（2、則於）的“和諧點對”有（

A.1個B.2個

C.3個D.4個

答案B

解析作出函數(shù)y=f+2x（x<0）的圖象關(guān)于原點對稱的圖象（如圖中的虛線部分