2024屆韶關(guān)市二模考試數(shù)學(xué)試題(附答案)

韶關(guān)市2024屆高三綜合測試（二）

皿「、、九

數(shù)學(xué)

本試卷共4頁，19小題，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.

注意事項(xiàng)：

1.答卷前、考生務(wù)必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、學(xué)校和班級填寫在

答題卡上，將條形碼橫貼在答題卡右上角“條形碼粘貼處”.

2.作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡對應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；

如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案.答案不能答在試卷上.

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)城內(nèi)和應(yīng)

位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液，不按以

上要求作答無效.

4.考生必須保持答題卡的整潔.考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的.

1.若集合A={司1<%V6},5=<%—-—<0>,貝Cl5=（）

x—7

A.{x|xW1或6WxW7}B.{x|xWl或6<x<7}

C.{x|x<l或64x<7}D.{x|x<1或6<xW7}

2.設(shè)名/,7是三個(gè)不同的平面，機(jī),/是兩條不同的直線，則下列命題正確的是（）

A.若m〃a,根〃則a〃夕B.若7"〃a,/〃a,則加〃/

C.若根_La,加則a〃夕D.若a，7,/!.7,則a〃夕

3.已知一組數(shù)據(jù)：12,16,22,24,25,31,33,35,45,若去掉12和45,將剩下的數(shù)據(jù)與原數(shù)據(jù)相比，

則（）

A.極差不變B.平均數(shù)不變C.方差不變D.上四分位數(shù)不變

4.過點(diǎn)P（-2,3）作斜率為-2的直線，若光線沿該直線傳播經(jīng)x軸反射后與圓

C:（x—3y+（y—2）2=戶（r〉0）相切，則-=（）

A.V2B.V3C.2D.V5

5.在工程中估算平整一塊矩形場地的工程量W（單位：平方米）的計(jì)算公式是W=（長+4）x（寬+4）,在

不測量長和寬的情況下，若只知道這塊矩形場地的面積是10000平方米，每平方米收費(fèi)1元，請估算平整完這

塊場地所需的最少費(fèi)用（單位：元）是（）

A.10000B.10480C.10816D.10818

6.在AABC中，tanA=-,tanB=-.若AABC的展長邊的長為而.則最短邊的長為（）

45

A.V2B.V3C.2D.V5

22

7.已知雙曲線C:=—與=1（。〉0力〉0）的左焦點(diǎn)為歹，過點(diǎn)尸的直線/:3x+4y+m=0與y軸交于點(diǎn)

ab

B,與雙曲線C交于點(diǎn)A（A在y軸右側(cè)）.若5是線段A方的中點(diǎn)，則雙曲線。的漸近線方程為（）

A.y=±-^-xB.y=~~xC.y=±V3xD.y=±2x

、、（、[a,a>b<、[b.a>b_,,

8.定義max{tz,Z?|=<,min{a.b\=\，對于任思頭數(shù)X>0,y>0,則

\b,a<b[a,a<b

D.g

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目

要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.已知復(fù)數(shù)4/2，則下列命題正確的是（

A.若閔=兇，則Z]=±Z2B.若2[=Z2,則[Z[22|=|2『

D.若馬是非零復(fù)數(shù)，則2]+100

C.若Z]是非零復(fù)數(shù)，且Z,=Z]Z2，則Z]=z2

10.設(shè)函數(shù)〃x）=2sin2九一3sinW+l,則（

A./（x）是仙函數(shù)B.〃x）在[-2肛2句上有6個(gè)零點(diǎn)

C./（x）的是小值為—!D.“X）在-?,0上單調(diào)遞減

8

11.已知定義在R上的函數(shù)〃x),g(x)的導(dǎo)函數(shù)分別為尸(x),g'(x),且/(x)=〃4—x),

〃l+x)-g(x)=4,r(x)+g〈l+x)=0，則()

A.g(x)關(guān)于直線x=l對稱B.g'⑶=1

C./'(x)的周期為4D./,(n)-g,(n)=o(nez)

三、填空題：本題共3小題、每小題5分、共15分.

12.二項(xiàng)式(2-％)”的展開式中，爐項(xiàng)的系數(shù)是常數(shù)項(xiàng)的2.5倍，則“=.

13.已知平面向量仄及0均為單位向量，且|G+B|=1,則向量石與B的夾角為,卜+B)?伍—3的

最小值為.

JT

14.在三棱錐P-ABC中，側(cè)面與底面ABC的夾角均為I，若A3=2,C4+C3=4,且△ABC是直角三

角形，則三棱錐P-A3C的體積為.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.(13分)已知函數(shù)/(x)=ax+—+2hu在點(diǎn)處的切線平行于x軸.

(1)求實(shí)數(shù)a；

(2)求外力的單調(diào)區(qū)間和極值.

16.(15分)小明參加社區(qū)組織的射擊比賽活動，已知小明射擊一次、擊中區(qū)域甲的概率是工，擊中區(qū)域乙的

3

概率是工，擊中區(qū)域丙的概率是工，區(qū)域甲，乙、丙均沒有重復(fù)的部分.這次射擊比賽獲獎規(guī)則是：若擊中

48

區(qū)域甲則獲一等獎；若擊中區(qū)域乙則有一半的機(jī)會獲得二等獎，有一半的機(jī)會獲得三等獎；若擊中區(qū)域丙則獲

得三等獎；若擊中上述三個(gè)區(qū)域以外的區(qū)域則不獲獎.獲得一等獎和二等獎的選手被評為“優(yōu)秀射擊手”稱號.

(1)求小明射擊1次獲得“優(yōu)秀射擊手”稱號的概率；

(2)小明在比賽中射擊4次，每次射擊的結(jié)果相互獨(dú)立，設(shè)獲三等獎的次數(shù)為X,求X分布列和數(shù)學(xué)期望.

17.(15分)如圖，圓柱。。內(nèi)有一個(gè)直三棱性A3C-4與。「三棱柱的底面三角形內(nèi)接于圓柱底面，已知

圓柱。。的軸截面是邊長為6的正方形，43=4。=而，點(diǎn)2在線段。。］上運(yùn)動.

(1)證明：BCLPA,-,

（2）當(dāng)PA=P3時(shí)，求3c與平面4尸3所成角的正弦值.

18.（17分）記R上的可導(dǎo)函數(shù)“X）的導(dǎo)函數(shù)為尸（x）,滿足x“+i

函數(shù)”X）的“牛頓數(shù)列”.已知數(shù)列卜｝為函數(shù)〃X）=X2—X的牛頓數(shù)列，且數(shù)列｛4｝滿足

=2,?！?ln^-,x?>1.

x.T

（1）求生；

（2）證明數(shù)列｛6,｝是等比數(shù)列并求為,；

（3）設(shè)數(shù)列｛4｝的前n項(xiàng)和為S,,若不等式（-1）"-tSn-14<S：對任意的〃eN*恒成立，求t的取值范圍.

x2V21

19.（17分）已知橢圓C:J+==1（?！?〉0）的離心率為一，長軸長為4,A,3是其左、右頂點(diǎn)，F(xiàn)是

ab~2

其右焦點(diǎn).

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)尸（%,方）（為〉0）是橢圓。上一點(diǎn)，NPE8的角平分線與直線AP交于點(diǎn)T.

①求點(diǎn)T的軌跡方程；

9

②若小面積為W，求%.

2024屆高三綜合測試（二）

數(shù)學(xué)參考答案與評分標(biāo)準(zhǔn)

評分說明：

1.本解答給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與本解答不同，可根據(jù)試題的

主要考查內(nèi)容比照評分參考制訂相應(yīng)的評分細(xì)則。

2.對計(jì)算題，當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯(cuò)誤時(shí)，如果后繼部分的解答未改變該題的

內(nèi)容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的給分，但不得超過該部分正確解答應(yīng)得分?jǐn)?shù)的

一半,如果后繼部分的解答有較嚴(yán)重的錯(cuò)誤，就不再給分。

3.解答右端所注分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù)。

4.只給整數(shù)分?jǐn)?shù),選擇題不給中間分。

ABCD與平而CDD?相交,故A錯(cuò);

A\BJ/^\\\\ABCD,A\D、H￥lfilABCD,但A}B,與/Q相交，故B錯(cuò);

￥lfilABB}A,J_平面ABCD,平面,4。。/，平面/6CO，但平面,488聞與

平面相交，故I）錯(cuò)，所以選C

3.【解析】12,16,22,24,25,31,33,35,45的極差為33,平均數(shù)為27,上四分位數(shù)是

9x0.75=6.75,故第7個(gè)數(shù)33為上四分位數(shù)，去掉12和45,極差變?yōu)?9,平均數(shù)變?yōu)?/p>

與，上四分位數(shù)是7x0.75=5.25,故第6個(gè)數(shù)33為上四分位數(shù)，選D.

注：也可通過對數(shù)據(jù)的宜觀分析，直接排除ABC

4.【解析】易知反射光線所在宜線方程為：y+3=2*+2）,即2x—歹+1=0,

,12x3-2+11廠L

圓心。（3、2）到該宜線的距離d=「_即r=非選D.

V2-+1-

5.【解析】匹=（R+4）x（寬+4）="舊+24不+16,有5=2（長+寬）24j］公寬=400,

所以叫““=10000+800+16=10816(平方米)，故選C

6.【解析】在A46c中，lan(/+8)=空上空0=1,因?yàn)閠an/<tanA<l,所以

71—tanAtanB

4<8<451/+8=45..則C=135,、由正弦定理得-^―=-^―，解得最知邊。=0、

sinAsinC

選A.

74解析】過點(diǎn)下的直線/:3x+4y+加=0,可知尸;—￡,0),6(0廣令右佞點(diǎn)為

G，連接/〃；，因?yàn)?是線段NE的中點(diǎn)，。是線段/?；的中點(diǎn)，由中位線定理可得，

N/，；=:,勾股定理得AF=J/，7，/+N/，：=［,由雙曲線的定義得A1--//；=24所

NO

以c=?,b=6"、雙曲線C的漸近線方程為y=±J5x,故選C

636

注：也可直接數(shù)形結(jié)合,焦點(diǎn)三角形即為直角三角形,利川斜率，得由邊長的比值即可

8.【解析】設(shè)，=max{2x,—9+"?所以/22.丫，即;^—2-，即^―7——

4廠9y~2.xt4廠r

、1111112l

?，即燃，即命不又止K后即止產(chǎn)所以，2癢—均取

等號時(shí)成立，故選A

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符

合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。

題號

答案

9.【解析】若二1=7；=2=1，顯然A,D是錯(cuò)的;

選項(xiàng)B:設(shè)二］=4+加,(4,6已/。，則二2=。一帆①,所以二戶?=/+6?=|二『

選項(xiàng)C:若二;二二三，則二?仁一二2)=0，二「非皆復(fù)數(shù)，:「二2=°，即二|=:2,選BC.

10.【解析】???/(X)的定義域?yàn)镽,口滿足/(-x)=/(x),所以〃x)是偶函數(shù)，A正確;

:“彳xe(0,萬)時(shí)，令/(x)=2sin2x—3sinx+1=(sinx-1)(2sinx_1)=0,得sinx=l或

smx=\,則x=9，或、=三，或x=紅，/(x)在12%,2司上有6個(gè)零點(diǎn)，B正確.

2113

由B知，20時(shí)，/(x)=2：sinx-9(當(dāng)且僅當(dāng)sinxT時(shí)取等號＞,

884

???/(x)的最小值為一：，C正確:

8

又徵Xe化簡得

/⑴=2

/")在0彳

匕單調(diào)遞減，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知,匕單調(diào)遞減,

由A知，/(X)是偶函數(shù)，故/(X)在一3,0匕單調(diào)遞增，D借誤；故選：ABC.

11.【解析】因?yàn)?(析=/(4-x),所以/(、)關(guān)于x=2對稱，

|月為/'(x+I)-g(x)=4,即gCx)=/(x+l)-4,所以g(x)關(guān)于x=1對稱，所以A對.

g(x+l)=g(l-x),所-以g'(x+l)=-g'(l-;v),

令x=0,則g'⑴=0,因?yàn)?(x+D-g(x)=4,所以/'(x+l)=g'(x),①

所以/'('+2)=夕(、+1),②

又因?yàn)閺V(x)+g(x+l)=0,③

由②③得：/'(x)+/(x+2)=0,④

所以/(x+2)+.尸(x+4)=0,所以八x)=)"(x+4),所以/'(X)的周期為4,所以C對.

又因?yàn)閺V(x)+g-x+1)=(),所以g'⑴的周期為4,

在①中令x=l得：八2)=g，(1)=0,

在③中令x=2得：g'(3)=-f\2)=0,

在④中令x=2得：/'(4)=-f'(2)=0,

所以/'(l)g'(D=f'QW)=/,(3)g,(3)=f\4)^(4)=0,

結(jié)合周期，所以/'(〃)?g'(q)=(),所以B錯(cuò)，D對，選ACD

注：也可利川原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的奇偶關(guān)系處理.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

、27r11,J,.3,.3

12.313.---；---14.一或一或一或一

324224

12.【解析】?二項(xiàng)式(2-幻”的展開式中，上項(xiàng)的系數(shù)是常數(shù)項(xiàng)的2.5倍,

即C：X2"Y=2.5C>2”,即必甘=10,:.n=5,故答案為：5.

13.【解析】由3+加=1得：|浦+273+|斤=1，即ad=—g,所以

,―1?277*_?-一?

cos<ab>=--,所以<。力>=<,或者畫圖易得<a力>=3-,因?yàn)?/p>

(a+b)-(b-c)=(a+b)-b-(a+b)-c=\a+b\-\b\-cos60('-\a+b\-\c\-cos<a+b,c>

=g—cos<。十A”,又co$<a+B,c>e[TJ,所以(a+5)?(g-c)的最小值為一；

.2萬1

所以——；——.

32

注：本題也可似建系處理.

14.【解析】作/>O_L平面ABC于O,作。于D,OE±ACfE,OFLABf

F,連接P。，PE,PF,則/，。，臺。，又。。nPO=。，所以改」平問?0。，所

以6CJ.ID,所以N尸DO為二面角?-CC-N的平而角,同理，/PEQN尸。分別

為二而角P-AC-B,二面角？一/6—。的平面角，

所以ZPDO=ZPEO=ZP1-O=-,

4

所以、OK=OD=OF=PO,所以O(shè)為AABC的內(nèi)

心，連接NO,BO,CO

設(shè)限依=/，則”5工3十&百+、乙”=30。，所以.

OD=gpO=OD=W,所以%一伙I大I為NC+6C=4,所以C在以A,B為

焦點(diǎn)的橢網(wǎng)匕建立平面宜角坐標(biāo)系,A-1,0),5(1,0),c=l,a=2,所以方2=3,所以

22

橢M方程為L+匕=1，由于b>c,所以不nJ能為直角，所以只能是NC/6或

43

1133191

NC歷[是直角,此時(shí)S△庇=5,氏=所以％,」*=§N=a

133

同理可求其它三種情況，其體枳分別為一，一，一.

224

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

32

15.解：(.1)?.?/[x)=a—--+-(x>0)---------------------------------------------------1分

廠x、

/'⑴=。-3+2=a—1----------------------------------------------------------------------2分

在點(diǎn)(1,/(1))處的切線平行于X軸.，故.,./'(1)=。-1=0----------------------------------3分

a=\--------4分

3,、

（.2）/（K）=XH---b21nK（X>0）

32A-2+2A-3（X+3）（X-1）

?-?/V）=1一一T+—=----；——=-————-

x-x4~A-

令/'(x)=0,x1=1,JC2=-3(含去)--------------------------------------7分

故x>l時(shí)，/'(x)>0,/(x)在(L+8)上是單調(diào)遞增-----------------------------9分

故0<x<l時(shí)，/(^)<0,/(X)在(0,1)上是單調(diào)遞減--------------------------11分

所以，函數(shù)/(')有極小值點(diǎn)x=l,極小值/(I尸4,---------------------------12分

/(■V)無極大值點(diǎn)，故無極大值.------------------------------------------------13分

16.解：(1)記“射擊?次獲得“優(yōu)秀射擊手”稱號”為事件/,------------------1分

“射擊一次獲得?等獎”為事件6，“射擊?次獲得二等獎”為事件C,--------2分

所以有/=8U。-----------------------------------------------------------3分

P（B）=--------------------------------------------------------------4分

,-.p（C）=-xl=l---------------------------------------------------5分

''428

P(A)==P(B)+P(C)=3--------------------------------6分

(2)獲二等獎的次數(shù)為X，可以為0,1,2,3,4---------------------------------7分

記“獲二等獎”為事件。，.?.P(O)=L+LxL=L

一9分

'/8424

81

256

27

，P(X=1)=。：

64

P(X=4)=C：12分

256

X的概率分布列和數(shù)學(xué)期空

X01234

P812754121

25664256256256

13分

顯然滿足二項(xiàng)分布X~Zf(X)=4x；=l---------------------------15分

注：川期望的加權(quán)平均公式,寫了對公式可給1分.

17(.J.)證明：連結(jié)力。并延長，交BC于M,交圓柱側(cè)而于N.--------------1分

由題可知，匕底而恨Io是AABC的外接知

又?；AB=AC,OB=OCAO1BC----------------------------------------2分

又惻柱Oq中，AA^LBC,AOC\AA^A,BC1平面AOOlAl,---------3分

不論P(yáng)在何處，總有PA}c平MuAOO}A1---------------------------------------------4分

BC1PA1-------------------------------------------------------------------------5分

<2,)以a為原點(diǎn)，過點(diǎn)a做8c的平行線為無軸，以為J軸，以。。為二

軸，建立如圖所示空間宜角坐標(biāo)系0]一陰，-----------------6分>

C

所以BC〃x軸，。。[二A4]=//V=6,則43=力。二A/§U，riw'

ACr

在ZU3。中，4M=4C?xcosNC4Af=4Cx—=5nOW=2—7分ip

AN.；

__________________A:'*<<-

A/kIfljCM=W=7(V3O)2-(5):=y/5--------------------------8分';?.

V

4(0,-3,0),75,2,6),C(-V5,2,6)9分

設(shè)P(0,0,4)A~P=(0,3,^),=(-V5,-2,A-6).

.-.\AP\=\BP\.?.內(nèi)衣=*+4+(2-6)3得2=3,即點(diǎn)P是線段0a的中點(diǎn)-

.,./［戶=（0、3,3）、4尸=（一下,一2,-3）.-----1（）分

|3v+3z=0

設(shè)平而4必的..個(gè)法向量為）=（x，二），則有11.2丁-？-=（）'

取7=1，得"=（^^，一1），----------------------------------------------------------------------------------12分

5

設(shè)8C'的?個(gè)方向向量為加=（L0,0）,于是得：-----------------------------------13分

設(shè)BC與平面A,PB所成的角3，則sin6-cos<m>|=—

111

所以8C與平面4P3所成角的正弦值為『.-------------15分

（1）解法二：（利川向量的線性運(yùn)算）

i正明：由題可知，卜.底面1員10是KABC的外接M

又?「AB=AC0B=OC/.AO_LBC-------------------------------------2分

又由宜棱柱性質(zhì)M得OXA{=OA

前.小前.（他+恒）=BC-PO,+BC-O^A}=反',四=前5=0-

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------6分

（1）的解法三：（利用坐標(biāo)法）

連結(jié)/。并延長,5：BCM,交園柱側(cè)而于N.------------------------------------------1分

??,4O［14G。01為圓柱的高所以4G、。。［兩兩垂直?

以。［為原點(diǎn)，過點(diǎn)。?做8cl的平行線為無軸，以4a為y軸，「「「

以。10為二軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系01-冷二，---------2分

，…：

__.1,?〃九

0a=AA}AN=6,則AB^AC=聞?，匯

在MBC中，由射影定理得AC2^AM?4N=30n4M=5------------------------------3分

OM=AM-AO=2

從而CM=W=7(>/30)2-(5)2=V5.------------------------------------------------------------4分

.-.4(0,-3,0),5(75,2,6),C(-V5,2,6)/.SC=(-275,0,0)---------------------------------------5分

設(shè)P(0,0,/l).?.乖=(0.3,2)

."，4?BC=0/.BC1PA}-------------------------------------------------------------------6分

18解：(1)因?yàn)?'(X)=x?—-x,則/(x)=2x—1,-1分

/一評”_S

從何有X"+1—2分

2%-12xn-1

,X.X,p-

由m=2,何％=In—4,則一=解得3分

12

3_[x「le-l

則有x,^-=——-,所以4=111-7=2111^^=4----4分'

"2'-1e4-1羽T%-1

￡

Y-x2乙-1_W

(2)證明：由x“+|=上一，則--匕)2—5分

2A-?-1七川一1x；i七；-2x“+l一1

/T

XJVX

所以?！?1=m-=ln(2―=2In-=2an(,x(J>1)------------------------6分

x”+i_1X”-1貓一1

故巴也=2(非庫常數(shù))，且°=2/0

所以數(shù)列｛4J是以2為首項(xiàng)、2為公比的等比數(shù)列--------------------------------7分

l

所以%=a}q"~=2".?8分

2(1-1")

(3)中等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式得：S〃=-=2"+i-2-------------------------9分

"1-2

閃為(―1)"?。一14WS；對任意的〃eN*恒成立，又S”＞。口5’“單調(diào)遞增，——1。分

所以(―l)“rWS“+吃對住意的〃N*恒成立，--------------------------------11分

,14/\

令g(X)=XH----，X￡(0,+8),12分

X

?14.Y2-14

g(X)=l-F-)

尸

①當(dāng)xe((),E)時(shí)，g'(x)<0,g(x)是減函數(shù);

②當(dāng)X€(ji4+oo)時(shí)，g'(x)>0,g(x)是增函數(shù)。----------------------13分

又2=§<相<52=6,且g(2)=9,g(6)=y,g(6)<g(2),

則gm1n(X)=§---------------------------------------------------------------------------14分

,,1425

當(dāng)”為偶數(shù)時(shí)，原式化簡為/W5“+p,所以當(dāng)“=2時(shí)，--------------15分

3“3

當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，原式化簡為—/451+不，所以當(dāng)〃=1時(shí)，-/<9,所以/N-9——16分

25

綜上可知，一94/工丁.------------------------------------------------------17分

19.解：

c1

e=—=—

a2

(1)設(shè)橢I員I的焦距為2c,則由題可知：[2。=4,--------------------------2分

r7n->

cr=b~+c~

解得《、，故橢網(wǎng)c的標(biāo)準(zhǔn)方程為一+--1------------------3分

份=343

⑵①由⑴知,尸(1,0