2023年全國碩士研究生招生考試 數(shù)學(三) 試題及其答案解析

2023年全國碩士研究生招生考試

數(shù)學二

試題及其答案解析

一、選擇題：1?10小題,每小題5分，共50分.在每小題給出的四個選項中，只有一個選項

是最符合題目要求的，請將所選項前的字母填在答題紙指定位置上.

1.已知函數(shù)y)=ln(y+|xsiny|),則().

不存在，爻存在B.笠存在，紅

A,更不存在

dx（0.1）及(0,1)②

(0,1)小(0,1)

存在，義存在D.且不存在，義

,<不存在

cdx(0.1)&

(0,1)辦(0,1)分(0,1)

【答案】A.

［解析］由已知于（x,y）=In（「十|xsiny|）,則

/u,l)=ln(l+1xsin11),/(O,y)=Iny.

當X>0時，/(x,l)=ln(l+xsinl),講")

=八=sml；

dxdx

x=0

dA(x,l).i

當％<0時，/(x,l)=ln(l-xsinl),二(內(nèi))=J=-sml；

dxdx

所以。(x,y)不存在.

&(0,1)

又守(x，y)=4T(°，y)=i,存在.

②(0,1)dy

y-i

故選A.

,1,X<0

2.函數(shù)/Xx)=Jl+爐的一個原函數(shù)為().

(x+1)cosx,x>0

In(-\/l+x2-x\,x<0

A.F(x)=I\)

(x+1)cosx-sin>0

F()In(A/1+X)一x)+1,xV0

B.

(x+1)cosx-sinx,x>0

In(A/1+x2-xVx<0

C.尸(%)={\/

(x+1)sinx+cosx,x>0

F()ln(Jl+d+xj+l9%<0

D.

(x+1)sinx+cosx,x>0

【答案】D.

【解析】由已知limf(x)=limf(x)=/(0)=1,即/(x)連續(xù).

%—。+xf0一

所以尸(%)在X=0處連續(xù)且可導，排除A,C.

又x>0時，[(x+1)cosx-sinx]r=cosx-(x+l)sinx-cosx=-(x+1)sinx,

排除B.

故選D.

3.若丁"+紗'+外=0的通解在(一00,+00)上有界，則().

A.a<0,b>0B.a>0,b>0

C.a=0,b<0D.a=0,Z?>0

【答案】D.

［解析】微分方程y"+ay'+與=0的特征方程為產(chǎn)+々+b=0.

①若a2—4Z?<0，x)；

②若4b>0,

③若2

/—⑨=0,則通解為y(x)=(G+C2x)e

由于y(x)在(T?,+QO)上有界，若一T＞。，則①②③中xf+co時通解無界，若一T＜。，

則①②③中x-—8時通解無界，故a=0.

a=0時，若Z?＞0，貝!］今2=揚，，通解為y(x)=(Gcos揚x+Csin括x),在(一oo,+co)

上有界.

。=0時，若Z?<0,則仁=±赤，通解為N了）=。戶瘋+。2仁瘋，在（—8,+8）上無界.

綜上可得〃=0,b>0.

00000000

4.設4<以,且X4,與Z”收斂，2%絕對收斂是絕對收斂的（）.

n=ln=ln=\n=\

A.充分必要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既非充分又非必要條件

0000

【解析】由已知條件可知2（“-為）為收斂的正項級數(shù)，進而z（a一為）絕對收斂?

n=ln=l

0000

設Xan絕對收斂，則由同=h_4+小M”—4I+⑷與比較判別法，得Ebn

n=\n=\

絕對收玫；

00

設絕對收斂，則由同=1%-2+々閆2-⑷+可與比較判別法,得絕對

n=\

收斂.故選A.

5.A,B為可逆矩陣，E為單位陣，M*為M的伴隨矩陣，則

I。B）

(\A\B*-5*4*、-4*5*、

A.B.ASIA*

<OB\A\<o\A\B\

r\B\A*-5*4*、r\A\Bf-4*5*、

C.D.

<oA\B\<o|B|A\

【答案】B.

【解析】由于

E'(AEX_AE(E01_,A||5|0、

1°B,[oB)~OB100\A\\B\^

故

町*EY1(\A\\B\O、

?S3。B)1O\A\\B\,

"A-1-A-'B^YIA||B|O、

、1

OB)[o\A\\B\y

(\A\A-'\B\-|A|A-1

OB-l\A\\B\J

Z*|5|-4*5*、

、O5*|A|,

故選B..

6./（%,%2，%3）=（再+%）2+（芯+%3>一4（馬一毛）2的規(guī)范形為

A2,222?2,22

A.%+v2B.%-%D-X+%一%

【答案】B

2-3%；+2元]

211

二次型的矩陣為4=1-34

14-37

2-2112-210

\A-AE|=1-3-24=(2+7)1-3-21

14-3-214-1

2-210

=(4+7)21-20=—〃/1+7)(2—3)=0,

14-1

4=3,4=—7/=0,故規(guī)范形為故選B.

1

7.已知向量組名=2,%=1，用=5，夕2=1°I,若/既可由線性表示,

3JV1

又可由61，四線性表示，則/=（）

3'3、

A.k,keRB.k5,kGR

JO,

C.k1,kGRD.kJ,keR

J,

【答案】D.

【解析】設/=+k2a2=k3j3]+k4j32,則左烏+k2a2-k3/3}-k4j32-0,對關于

kvk2,的方程組的系數(shù)矩陣作初等變換化為最簡形,

ri2-2-0ri003、

A=(CK],a、、—5)=21—50—>010-1

31-900117

解得(%4,%,%)T=C(-3,1,-1,1)T+(3,-1,1,0)T=(3-3C,-1+C,1-C,C)T,故

(1-C、1

/=+k2a2=(3-3C)at+(C-l)a2=5(1-C)=k\5LA：e7?.

8(1-Qj8

8.設X服從參數(shù)為1的泊松分布，則E(|X—E(X)|)=().

112

A..B.-c.一D.1

e2e

【答案】c.

-1

e

【解析】方法一：由已知可得，P{X=Z}=—(Z:=0,l,2,.),E(X)=1,故

k\

E(|X-E(X)I)=E(|X-11)=^LLdle-iJ+J

=1

心ok\W-

2e-1+E(X-l)=-.

e

故選C.

0000丫攵100k+1x

方法二：由于1=￡標,于是￡語正名x士e-Xr-1!于是

(Z+l)!x

’00

f、?Xk+\、(x-l)er+l

義(左+1)!=z2

yk-1a+1)!)(4+1)!,\xJx

-1

由已知可得，P{X=k}=——e(左=0,1,2,),E(X)=1,故

k\

00(D00

E(|X-E(X)I)=E(|X-11)=J+J工=e-1+e-1J

k=\k\k=la+i)!

x

-1-1(x-l)e+le-i+e-'Z

=e+e

2e

xX=1

E(|X-E(X)I)=E(|yI)=[e-1+E(y)]=e-'+E(X)-l=e-1.

故選c.

9.設X],X2，〃為來自總體NO],/)的簡單隨機樣本，幾打,，，工為來自總體

一1n_1m

陽42,2/)的簡單隨機樣本，且兩樣本相互獨立，Hx=-Yxi

1n一1m

s；=一^(X廠X)2,1;J=-則()

"T,=1

m-1,=i

Q2,2

A-念F(n,m)B.*-F(n-l,m-l)

2S,2j、?V2

C-不-F(n,m)D.F(n-l,m-l)

與

【答案】D.

【解析】由兩樣本相互獨立可得史羋L與如二羋工相互獨立，且

O-22cr-

3*i),然屋/(…,

bIcy1

(DS「乙八

2/("1)2q2

因此一丘一，//-----=二。F(n-l,m-l),故選D.

(H〃D'J

2b/

10.已知總體X服從正態(tài)分布N(〃,(T2),其中(T>0為未知參數(shù)，X],X2為來自總體X

的簡單隨機樣本，記d=a|X]—X?|,若E(cr)=cr,則。=().

V71/-r~-

A.2B.———C.yj7iD.J27r

【答案】A.

【解析】由與X],X2為來自總體X的簡單隨機樣本，X],X?相互獨立，且

X]N(〃,/),X2-N(〃02),

因而x「X2~N(o,2b2),令y=X1—X2,所以y的概率密度為

1-A

"=而后,

所以

2a

y/Tr

由石(3)=〃E(|X1—乂2。=。，即

aE(\V|)=a?b,

解得a=YZ,故選A.

2

二、填空題：11~16小題,每小題5分，共30分.請將答案寫在答題紙指定位置上.

11.求極限lim%?2-xsin——cos—=__________.

18Ixx)

【答案】2.

3

2(11Y=-2-----cos/

limx2-xsin—cos——Llim-----------------

18lXX)t

,sin/12

]-------------t

「1-cosrr％—sin/

=lim-----；-----blim----T1—t=+lim----------

r->0f;->0Fr->0廠r->0f*5*7

11

—+—

26

_2

-3

12已知函數(shù)”2)滿足小，跖且"』)號則八尺)=

71

【答案】一.

3

【解析】由已知或箸73f(x,y)x

x2+y29dyx2+y2

以x,y)=f?<h-=-arctan—+(p(y),

Jx+yy

所以智"W7+92即如）=°,°（y）=C'

XTTTT

從而/（2）=-"m匕+0’又八1』）=“解得。7，故

“、乃X/(V3,3)=y-arctan與=鼻

j(%,y)=---arctan—,

2y

EooX2n

—

〃=。(2〃)！

_e+e

【答案】-------

2

82n

【解析】令S(x)=￡7r貝i|S(0)=l,且

oo2n-l

s,(x)=y——S'(0)=0,

￡(2f!

oo2n—2ooX2n

sff(x)=Y———=Y--=S(x),

tT(2n-2)!士(20!

x

從而可得微分方程S〃(x)-S(x)=0,解得S(x)=Ge*+C2e,

又s（o）=i,s'（o）=o,解得c=C2=g,故

2

9?「％I

sy缶v三

14.某公司在1時刻的資產(chǎn)為了?）,則從o時刻到，時刻的平均資產(chǎn)等于以假設

/⑺連續(xù)且/(0)=0,則/?)=

【答案】2（e?-Z-l）.

【解析】由已知可得皿：一二十一1,整理變形J。/⑺由=/?）—?,

等式兩邊求導/?）=/'⑺—2人即/'?）—/⑺=2人解得一階線性微分方程通解為

f(0=-2(r+l)+Cez,

又〃0）=0,解得。=2,故/⑺=2(3—1).

ax+x=1,

{3<701lai

石+ax+$=0,

15.2有解，其中凡。為常數(shù)若1a1=4則12〃=

x+2X+ax=0,

12312aabQ

axx+bx2=2

【答案】8

aQ11

laia01

-1a1Q

【解析】方程組有解，則|A|二12a+21a1=0故

12a0

abQ12a

ab02

lai

12〃=8.

ab0

16.設隨機變量X與y相互獨立，且XYB(2,p),pe(0,l)則X+Y

與x-y的相關系數(shù)為.

【答案】」

3

【解析】由題意可得，￡>（x）=p（i—°）,D（y）=2p（i—必，又由x與y相互獨立可

知，D（x±r）=D（x）+D（r）,故

_Cov（X+y,X—y）_________D（X）—D（Y）_______

P（X+Y'X-Y）~JD（X+Y》JD（X-Y）—6（X）+D（Y>6（X）+D（Y）

D(X)-D(y)=p(l-p)-2pQ-p)=」

D(X)+D(Y)~p(l-p)+2p(l-p)~3

三、解答題：17~22小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.(本題滿分10分)

已知函數(shù)y=y(x)滿足aex+y~+y-ln(l+x)cosy+b-0,且y(0)=0,y'(0)=0.

(1)求a,6的值；

(2)判斷x=0是否為函數(shù)y=y(x)的極值點.

【解】(1)將y(0)=0代入aeX+y2+_y-ln(l+x)cosy+Z?=0得a+Z?=0.

方程aex+y2+y-ln(l+x)cosy+b=0兩邊對x求導得

aex+2yy'+y'----cosy+ln(l+x)siny?y，=0,

1+x

將y'(0)=0代入上式得a—1=0,解得a=l,b=-1.

⑵由(1)知e*+2yy'+y'---—cosy+ln(l+x)siny-yf=0,上式兩邊再對x求導得

1+x

e'+2(y)2+2y/+/+—:--cosyH-----siny-+----siny+ln(l+x)cosy-y'yf+ln(l+%)siny-y

(1+x)-1+x■\_l+x■■_'

將y(0)=0,y(0)=0代入上式得/(0)=-2,所以x=0是函數(shù)y=y(x)的極大值點.

18.(本題滿分12分)

己知平面區(qū)域。

、xyll+x2,

(1)求平面區(qū)域。的面積S.

(2)求平面區(qū)域。繞x一周所形成得旋轉(zhuǎn)體的體積

1712.711

［解］⑴S=C2——dx=psec由=fjLk

Jlx\/l+x24tanrsec?smt

71

=fncosZ^-1萬

COS1+1n2V2-1

4

r+oo1

(2)丫=4■dr=

%2(l+x2)

19.(本題滿分12分)

已知D={(x,y)|(x-l)2+/<1),求JJ|荷+/-l|dxdy.

D

【解】令2={(x,y)|(x-l)2+y2wi,x2+y2<i},則

jjl+—l|dxdy

D

p2cos8/?—)，八4〃/-^ig，八32—71

=fo匕。颯"1+至一用2rLJ”dode=。

23，

20.(本題滿分12分)

設函數(shù)/(x)在［-?,?］上有二階連續(xù)導數(shù).

(1)證明：若/(0)=0,存在Je(—a,a),使得廣?=［"⑷+/(—a)］；

a

(2)若/(%)在(—a,a)上存在極值，證明：存在〃￡(一〃,〃)，使得

2a

【證明】⑴將人工)在飛=。處展開為

……0M+可二…？

其中5介于。與工之間.

分別令%=一。和X=Q，則

?。)=八。)(-。)+丁，

/(iO)⑷+當心0<“，

兩式相加可得

/(-?)+/(?)="?.)；-，

又函數(shù)/(%)在[—0,0上有二階連續(xù)導數(shù)，由介值定理知存在Je[q,2]u(-a,a),使得

即/C)=±"(—a)+y(a)].

a

(2)設/(X)在/處取得極值，則/(x°)=0.

將/(x)在X。處展開為

2

〃、"一心v尸3)(X-Xo)2〃/Wx-Xo)

f(x)=f(x0)+f(x0)(x-Xo)+-----------=/(/)+------------，

其中3介于％與X之間.

分別令x=-a和x=a,則

舉,、J、尸(〃1)(。+/)2

于(-a)=/(x0)+-----------,-a<T]i<x0,

一、j、/"(小)("超)2

/(?)=/(%)+-~—，x0<r/2<a,

兩式相減可得

f(Qf(〃—/"(〃2)("/)2/"(〃1)(。+/)2

J\u)_J\~a)~--，

所以

I"力"力，"(〃2)("5)2/(〃1)(。+公)2

I/⑷一/{-a)\=--------------------------------------

w"”(7)|(a+Xo)2?"〃(%)|(。一.)2

22

<Lq221[(a+/)2+3_/)2K"“⑺|=max("〃(q)|,"〃(%)I))

<+/)+(a—Xo)F=2a2"〃⑺)|,

21.（本題滿分12分）

(X1+%+彳3、

設矩陣4滿足對任意的石,%2，％3均有Ax2=2玉一X2+X3.

⑴求4

⑵求可逆矩陣尸與對角陣/,使得尸一1人尸=/.

【解】（1）由Ax2=2玉一々+九3,得

、(111、、

A2-11

、

01-1J\7

(111、<111、

即方程組A-2-11-11

x2=0對任意的%1，%2，%3均成立，故4=2

、01-101-1

1—A111-A01

(2)1A-2E|=2-1-21=(2+2)20-A

01-1-201-1-2

=—(2+4)(%—2)(2+1)=0,

特征值為4=—2,4=2,4=—1.

311、(100、，0、

A+2E211011?i=-1

、

0117000>17

J111、(10—4、4

A-2E=2-31—>01—3,a2=

、01-3J000；

，211](I01、,-1、

A+E=201-0—1