安徽省六安市2023屆高三教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題

2023年安徽省六安市省示范高中高三教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)（數(shù)學(xué)）

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合

題目要求的.

1.全集0={尤卜3<%<3},集合4={%12一3%+2<0},則加4=（）

A.（l,2）B,[l,2]C.（-3,1]O[2,3）D.（-3,1）O（2,3）

2.若復(fù)數(shù)z滿足z.彳-2z=l+20i，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.已知,TWC中，O為BC的中點(diǎn)，且岡=4,同+/=網(wǎng)—AC.ZACB=￡,則向量AO在

向量48上的投影向量為（）

A.—ABB.—ABC.—ABD.AH

432

4.已知圓c：（x—l『+y2=i,點(diǎn)P在直線/：2x—y+3=0上，過點(diǎn)尸作圓C的切線，切點(diǎn)分別為

則切線段|QA|的最小值為（）

A.lB.2C.y/5D.3

5,2022年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)授予在量子領(lǐng)域做出貢獻(xiàn)的法國(guó)、美國(guó)、奧地利科學(xué)家，我國(guó)于2021年成功研制

出目前國(guó)際上超導(dǎo)量子比特?cái)?shù)量最多的量子計(jì)算原型機(jī)“祖沖之號(hào)”，操控的超導(dǎo)量子比特為66個(gè).已知1

個(gè)超導(dǎo)量子比特共有“|0>,|1>”2種疊加態(tài)，2個(gè)超導(dǎo)量子比特共有“|00>,|01>,|10>,種

疊加態(tài)，3個(gè)超導(dǎo)量子比特共有“|000>,|001>,|010>,|100>,

種疊加態(tài)，…，只要增加1個(gè)超導(dǎo)量子比特，其疊加態(tài)的種數(shù)就呈指數(shù)級(jí)增長(zhǎng).設(shè)66個(gè)超導(dǎo)量子比特共有

N種疊加態(tài)，則N是一個(gè)（）位的數(shù).（參考數(shù)據(jù)：lg2a0.3010）

A.19B.20C.66D.67

6.已知函數(shù)y=/（x）的圖象的一部分如圖所示，則該函數(shù)解析式可能是（）

A./(x)=x2-sinxB./(x)=x2-cosx

C./(x)=cosx+1-xjD./(x)=cosx-In^yx2+l+xj

7.已知AB。中，4、b、c為角A、aC的對(duì)邊，6ZCOSB+Z?cosA=csinC,若/BAC與NABC的內(nèi)角平分

線交于點(diǎn)/,A8。的外接圓半徑為④，貝LTAB面積的最大值為（）

A.2A/2-2B.4A/2-4?2—垃

8.已知u=—,b-—,c=ln—()

111010

K.a>b>cB.b>c>aC.c>b>aD.b>a>c

二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多選項(xiàng)符

合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.下列說法不正確的是（）

A.已知命題?：Vx>3,都有％2_2%—3〉0，則「夕與%>3,使2%—3W0

B.數(shù)列｛4｝前〃項(xiàng)和為S“，則S“，S2n-Sn,%,-S?”成等比數(shù)列是數(shù)列｛%｝成等比數(shù)列的充要條件

（2.42=土1是直線/1：奴+,_1=0與直線/2:X+ay+1=0平行的充要條件

D直線/的斜率為k,則a=（1,左）為直線/的方向向量

22

10橢圓C:與+m=1（?！?〉0）的上下頂點(diǎn)分別48,焦點(diǎn)為耳、工，P為橢圓上異于48的一動(dòng)

點(diǎn)，離心率為e,則（）

A.「耳工的周長(zhǎng)為2a（l+e）

B.離心率e越接近1,則橢圓C越扁平

b2

C.直線PA、PB的斜率之積為定值---

a

D.存在點(diǎn)尸使得P片，PB，則

兀

11.設(shè)函數(shù)/(x)=l-2sin2cox—口〉0),則下列結(jié)論正確的是(

6

A.若函數(shù)/(%)的最小正周期為2兀，則。=1

B.存在Qe(O,l),使得/(x)的圖象向右平移四個(gè)單位長(zhǎng)度得到的函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

6

C.若①=；,當(dāng)時(shí)，函數(shù)/(X)的值域?yàn)?、，孝j

「2329、

D.若/(x)在［0,句上有且僅有4個(gè)零點(diǎn)，則

iZJ

12.已知長(zhǎng)方體A5CD—4與GA中，AB=BC=2,A4,=20,點(diǎn)P是四邊形4片。島內(nèi)(包含邊

界)的一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)二面角P—AD—3的大小為夕，直線QB與平面ABCD所成的角為夕，若a=0,則

()

A.點(diǎn)P的軌跡為一條拋物線

B.線段總長(zhǎng)的最小值為3

7T

C.直線PA,與直線CD所成角的最大值為一

4

D.三棱錐P-A5C,體積的最大值為述

3

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.拋物線y=Y的準(zhǔn)線方程為.

14.已知等差數(shù)列｛4｝的前n項(xiàng)和為S,,,S"=17,S5=S13,則數(shù)列｛㈤｝的前20項(xiàng)和是.

15.正三棱錐P—A3C的側(cè)棱長(zhǎng)為2,M為AB的中點(diǎn)，且則三棱錐尸―A3C外接球的表面

積為.

2

16.已知函數(shù)/'(X)=x+lnx,g(x)=xlnx,若/(xj=21n?,g(x2)=t,則的最大值為

四、解答題：本題共6小題，共70分，解答題應(yīng)寫出文字說明、證明過程和演算步驟.

17.(本題滿分10分)

在①y/3b-A/3CCOSA=asinC,②-----------=-----------這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，

ba+c

補(bǔ)充在下面的問題中，并解答問題.

在,A3c中，內(nèi)角A、8、C的對(duì)邊分別為a、6、c,且滿足.

（1）求角C的大?。?/p>

（2）若A5c的面積為若，點(diǎn)。在邊AB上，且AD=gAB,求C。的最小值.

（注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答記分.）

18.（本題滿分12分）

7T

如圖，在四棱錐尸—ABCD中，AB=2,CD=3,AB//CD,PD_L平面ABC。，ZBAD=-,

2

M為線段PC上一點(diǎn)且PM=2MC.

（1）證明：5M〃平面B4D；

（2）若AD=2，二面角M—C的正弦值為也，求尸。的長(zhǎng).

3

19.（本題滿分12分）

已知S,是數(shù)列｛??｝的前〃項(xiàng)和，且S,=—1（〃eN*）.

⑴求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

2'"14

⑵若勿=7—八7——不，4是也｝的前〃項(xiàng)和，證明：Tn<~.

（4一1）（4+1—1）3

20.（本題滿分12分）

隨羯六安市經(jīng)濟(jì)發(fā)展的需要，工業(yè)園區(qū)越來越受到重視，成為推動(dòng)地方經(jīng)濟(jì)發(fā)展的重要工具，工業(yè)園區(qū)可

以有效創(chuàng)造和聚集力量，共享資源，克服外部負(fù)面影響，帶動(dòng)相關(guān)產(chǎn)業(yè)發(fā)展，從而有效促進(jìn)產(chǎn)業(yè)集群的形

成.已知工業(yè)園區(qū)內(nèi)某工廠要設(shè)計(jì)一個(gè)部件（如圖陰影部分所示），要求從圓形鐵片上進(jìn)行裁剪，部件由三

個(gè)全等的矩形和一個(gè)等邊三角形構(gòu)成.設(shè)矩形的兩邊長(zhǎng)分別為=CD=x（單位：cm）,要求

y>*x，部件的面積是acn?.

（1）求y關(guān)于尤的函數(shù)解析式，并求出定義域；

（2）為了節(jié)省材料，請(qǐng)問尤取何值時(shí)，所用到的圓形鐵片面積最小，并求出最小值.

21.（本題滿分12分）

已知函數(shù)/'（X）=〃優(yōu)一hiv-l.

（1）討論函數(shù)/（x）的單調(diào)性；

丫2

（2）函數(shù)g（x）=若/'（尤）＞8（可在（0,+＜動(dòng)上恒成立，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

ex

22.（本題滿分12分）

已知兩點(diǎn)A（-1,0）、3（1,0）,動(dòng)點(diǎn)M滿足直線MA與直線MB的斜率之積為3.,動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為曲線C.

（1）求曲線C的方程；

（2）過點(diǎn)尸（2,0）作直線/交曲線。于P、。兩點(diǎn)，且兩點(diǎn)均在y軸的右側(cè)，直線AP、5Q的斜率分別為占

h

①證明：1為定值；

9

②若點(diǎn)。關(guān)于％軸的對(duì)稱點(diǎn)成點(diǎn)“，探究：是否存在直線/,使得△尸EB的面積為一，若存在，求出直

一2

線》的方程，若不存在，請(qǐng)說明理由.

答案和解析

I.【答案】C

【解析】【分析】

本題考查集合的補(bǔ)集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

先求出集合A,結(jié)合補(bǔ)集的運(yùn)算性質(zhì)求解.

【解答】

解：由題意可得A={x[l<x<2},

所以gA=（—3,l]u[2,3）.

故選C.

2.【答案】A

【解析】【分析】

本題考查了復(fù)數(shù)的幾何意義，考查了復(fù)數(shù)相等的條件等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題.

設(shè)2=。+歷,（。,6^H），則5=?！?，利用復(fù)數(shù)相等的知識(shí)求得。的值，進(jìn)而求解.

【解答】

解:設(shè)2=。+歷,（。,6^H），則N=a-歷，

由題意得/+/—2a—2歷=1+2后i，

a~+b—2a=1ci=\

所以{L，解得〈L，

-2b=2V2[b=-V2

所以z=i-J5i，其對(duì)應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)為（i,一行），

故選：A.

3.【答案】C

【解析】【分析】

本題考查投影向量的求法，屬于中檔題.

根據(jù)題意得出為直角三角形，從而求出向量A。在向量48上的投影向量.

【解答】

解：|A3+AC|=|AB-AC|,

則|AB+AC|2=|AB—AC|2,得AB.AC=O，

兀

NBAC=—,

2

又,q=4,/ACB=[,所以|AB|=2,

故選C.

4.【答案】B

【解析】【分析】

本題主要考查的是直線與圓的位置關(guān)系中的最值問題，點(diǎn)到直線的距離，屬于中檔題.

根據(jù)|PA|=J|PC|2—1,可知當(dāng)PC，/時(shí)，|「。|最小，|PA|最小，即可求解.

【解答】

解:依題意，圓心C(LO),半徑為1,

由于為圓的切線，

貝“PA|=,|PC|2_1,

當(dāng)PC，/時(shí)，|PC|最小，貝最小，

\PC\的最小值為點(diǎn)。到/:2x—y+3=0的距離為d=41=舊,

所以I叢Ln=ki=2，

故選瓦

5.【答案】B

【解析】【分析】

本題考查指數(shù)運(yùn)算的應(yīng)用，對(duì)數(shù)的運(yùn)算，考查了知識(shí)的遷移與應(yīng)用，屬于中檔題.

根據(jù)〃個(gè)超導(dǎo)量子比特共有2"種疊加態(tài)，得到N=266,然后兩邊同時(shí)取常用對(duì)數(shù)，由此進(jìn)行分析求解即

可.

【解答】

解：由題意，設(shè)〃個(gè)超導(dǎo)量子比特共有2"種疊加態(tài)，

所以66個(gè)超導(dǎo)量子比特共有N=266種疊加態(tài)，

兩邊同時(shí)取常用對(duì)數(shù)，則lgN=lg266=661g2a66x0.3010=19.866,

所以N=10I9S66=10°866X1()19,

因?yàn)?0°＜10°-866＜1()1，

故N是一個(gè)20位數(shù).

故選：B.

6.【答案】D

【解析】【分析】

本題考查函數(shù)的圖象分析，涉及函數(shù)奇偶性的判斷以及函數(shù)值符號(hào)的分析，屬于中檔題.

根據(jù)題意，用排除法分析：利用函數(shù)的奇偶性排除8,再根據(jù)xe(O,l)時(shí)，/(x)的符號(hào)排除C,根據(jù)圖

象與x軸的交點(diǎn)排除A,即可得答案.

【解答】

解：圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故函數(shù)為奇函數(shù)，所以8錯(cuò)誤；

對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)xe(O,l)時(shí)，山(，717一0=11111；＜0,此時(shí)〃力＜0,與圖像不符，所以

排除C選項(xiàng)；

對(duì)于A選項(xiàng)，函數(shù)圖象與工軸的交點(diǎn)為x=E(左eZ),且各交點(diǎn)間距離相等，與圖像不符合，

所以排除A選項(xiàng)；

所以選D.

7.【答案】A

【解析】【分析】

本題主要考查三角恒等變換，正弦定理以及正弦函數(shù)的性質(zhì)在解三角形中的綜合應(yīng)用，屬于較難題.

利用正弦定理以及三角恒等變換化簡(jiǎn)已知等式可得sinC=l,結(jié)合0＜C(兀，可求C的值，

3兀jr

由已知利用正弦定理得AB=2、回，由題意可求=設(shè)=則0＜。＜一,可得

44

ZBAl=^-e,由正弦定理，三角恒等變換可求二45/的面積為20sin[26+弓]—2,可求

7TTT3IT

—<2。+—<—,利用正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解其最大值.

444

【解答】

解：acosB+bcosA=csinC,

由正弦定理可得，

sinAcosB+sinBcosA=sinCsinC,

.?.sin（A+B）=siii2C,

sinC=sin2C>

又在三角形中0<sinC,,l,

r.sinC=l,X0<C<7t,

C=-.

2

,A3c的外接圓半徑為0,

ABAB”￡

，由正弦定理知，sinZACB.兀，

sin—

2

AB=2A/2，

JI

由于1A4C與/ABC的內(nèi)角平分線交于點(diǎn)/,及。=—,

2

3兀

則ZA1B=—,

4

7T7T

設(shè)=則/?=——6,且0<9<一,

44

在.45/中，由正弦定理得

BIAIAB4

_________=____=________=4

.（兀sin。sin/A/5

（4J

/.BI-4sin—e}A/=4sin6,

.,.ABI的面積為

-AIBIsin—

24

=-x4sin|-兀-6>|x4sin6?x也

24"F

=4(sinOcos。一sin?

=41gsin26-l-cos26

2

=2夜sin2。+：—2,

由于則：<28+：d，

所以當(dāng)2。+：=］，即9=］時(shí)，_A5/的面積取得最大值，最大值為20—2,

故一AB/面積的最大值為2近-2.

8.【答案】B

【解析】【分析】

本題主要考查的是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)比較大小，屬于較難題.

構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性并比較大小即可.

【解答】

解：令/(x)=x—ln(x+l),則/(力=1———,

當(dāng)尤e(0,1)時(shí)，/''(x)=1—,>0,y(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,

故/(x)>/(o)=o,所以x>ln(x+l),

令g(x)=ln(x+l)-1+77ro<x<l,則g'(x)=刀一E=E〉'

所以g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,所以g(x)>g(O)=O,gpin(x+l)>l———.

X+1

又當(dāng)0<x<l時(shí)，五>x，所以當(dāng)0<x<l時(shí)，V%>%>ln(x+l)>l-----

x+1

則當(dāng)x=工時(shí),工」〉1小」,

即〃>c>。.

1010101011

故選B.

9.【答案】BC

【解析】【分析】

本題主要考查的是命題的真假與否定，等比數(shù)列前〃項(xiàng)和的性質(zhì)，直線間位置關(guān)系的判定，直線的方向向

量，屬于中檔題.

根據(jù)相關(guān)概念逐項(xiàng)檢查即可.

【解答】

解：A選項(xiàng)，根據(jù)命題的否定可知該命題為真命題；

3選項(xiàng)中，當(dāng)〃為偶數(shù)，q=-l時(shí)，S“=0,S2,—S“=0,S3“—S2“=0,等比數(shù)列的項(xiàng)不可為0,所以該

命題為假命題；

C選項(xiàng)中當(dāng)a=-1時(shí)，兩條直線重合，所以該命題為假命題；

。選項(xiàng)，：=k,則a=（L左）為直線/的方向向量，命題為真命題，

故選BC.

10.【答案】ABD

【解析】【分析】

本題考查橢圓的幾何性質(zhì)及直線與橢圓的位置關(guān)系，屬于中檔題.

根據(jù)條件及橢圓的幾何性質(zhì)、直線與橢圓的位置關(guān)系等相關(guān)知識(shí)逐項(xiàng)計(jì)算判斷即可.

【解答】

解：「可工的周長(zhǎng)為2a+2c,而￡=e,所以周長(zhǎng)是2a（l+e）,A選項(xiàng)正確.

a

e=￡=Ji上,當(dāng)e越接近1,2的值越小，所以橢圓越扁平，3選項(xiàng)正確.

a\a-a

A（0,a）,B（0,-a）,設(shè)尸（乙）,%）,則左9."，"*J,

%0XQXQ

（2、2

將北=。211一司代入可得：kpA-kPB=-^,C選項(xiàng)錯(cuò)誤.

當(dāng)尸點(diǎn)在短軸端點(diǎn)時(shí)NRPF2最大，

7T

若存在點(diǎn)使得則P點(diǎn)在短軸端點(diǎn)時(shí)ZFPF..-,

PPFXLPF2,XV

所以C.2,有C?膨2,。2。2一02,

故ee軍選項(xiàng)正確，

2

故選ABD.

11.【答案】BD

【解析】【分析】

本題考查函數(shù)y=Asin(Ox+0)的圖象與性質(zhì)，考查正弦(型)函數(shù)的零點(diǎn)，考查函數(shù)的單調(diào)性與單調(diào)區(qū)

間，屬于中檔題.

依題意〃x)=cos2?x-|,?>0,在分別對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，討論其正確性即可得到答案.

【解答】

解：由倍角公式降事可得：/(x)=COS2a)X-->0.

I3

對(duì)于選項(xiàng)A,T=—^=2兀，可知：co=—,所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤;

2co2

對(duì)于選項(xiàng)8，將/(X)圖象向右平移/得到y(tǒng)=COS120X-①71兀

T-7

該函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則——

3

所以G=3左+工，當(dāng)左=0時(shí)，。=,滿足題意，5選項(xiàng)正確；

22

1/7C)\7C)7C|7C7C|

對(duì)于選項(xiàng)C,當(dāng)①=5時(shí)，/(x)=coslI,因?yàn)閤e］。,,｝所以工一1外一1帽),則/(x)的

值域?yàn)椋踘,l,所以。選項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)_D，由于％w［。,兀］,貝IJ2G%—――――

因?yàn)楹瘮?shù)有且僅有4個(gè)零點(diǎn)，

77rjrQjr2329、

所以”2兀。---<，解得0G二，二選項(xiàng)正確.

232L1212J

故選BD.

12.【答案】BCD

【解析】【分析】

本題考查了異面直線所成角和棱錐的體積，線面角和二面角，是中檔題.

根據(jù)題意找到線面角和二面角，再根據(jù)拋物線定義，異面直線所成角和棱錐的體積逐一判定即可.

【解答】

解：過尸點(diǎn)作尸。垂直于底面A3CD,垂足為。，過。作OHLAD,垂足為H，連接OB,PH,PB,

因?yàn)镻OL平面ABCD,ADu平面ABCD,所以尸OLAD,

又OH工AD,OHoPO=O,OH、POu平面POH,

所以AO_1_平面POH,

因?yàn)镼Hu平面POH，所以AD_L9，

則/PHO即為二面角p-AD-B的平面角，

因?yàn)槭琌，平面ABCD,所以ZP3O即為直線PB與平面A3CD所成的角

則NPHO=a,NPBO=/3,

PO°PO

tana=-----,tanp=-----

OHOB

POPO

因?yàn)閍=尸，所以=，可得OH=OB,

OHOB

過尸作垂足點(diǎn)為M,連接尸

可知MP〃OH,點(diǎn)尸,",〃,。四點(diǎn)共面，

因?yàn)椤钙矫鍭BCD.AA，平面ABCD,所以尸O〃AA],

又u平面ADD^,PO<Z平面ADD^,所以尸O〃平面ADD^,

因?yàn)槠矫鍴WHOc平面AD0A所以

則四邊形為平行四邊形，可得PM=OH,

又PO〃AA//BBi，PO=BB「可知四邊形POBB1為平行四邊形，

則PB】=OB,可得PM=PB1,

所以p到直線AM的距離等于點(diǎn)P到點(diǎn)用的距離，

而尸是在四邊形4片。12內(nèi)（包含邊界），

所以P點(diǎn)的軌跡是拋物線的一部分，A選項(xiàng)錯(cuò)誤;

在平面內(nèi)，以線段Aq的中點(diǎn)。1為坐標(biāo)原點(diǎn)，4月所在直線為x軸，建立如圖所示直角坐標(biāo)

可知直線AA方程為X=-1,4(1,0),

則以點(diǎn)此為焦點(diǎn)的拋物線方程為V=4x,過點(diǎn)G(1,2),

可知點(diǎn)P的軌跡方程為y=26(?1)，

PB=4BB；+PB；=48+PB；,

當(dāng)PB,取得最小值時(shí)，PB取得最小值，

當(dāng)點(diǎn)P為4月的中點(diǎn)時(shí)，PB1最小,為1,此時(shí)依=3,8選項(xiàng)正確；

因?yàn)镃￡>〃4片，

所以PA與所成的角即PA與A耳所成的角，為NP&B1,

設(shè)尸(%,2A),源股1,

tan/PA4=,

%0+1

當(dāng)々=0時(shí)，tan/P\B}=0；

22

tan^PAB,=-------：—?—=1

當(dāng)0<%,1時(shí)，!12,

°氐

當(dāng)且僅當(dāng)毛=1時(shí)取等號(hào)，

7T

即當(dāng)點(diǎn)尸與點(diǎn)G重合時(shí)，tan/PA4取得最大值1，此時(shí)/「A片取得最大值一，

7T

即直線PA與直線C。所成角的最大值為一,c選項(xiàng)正確；

4

?-Ag=匕—%G，

當(dāng)尸點(diǎn)在4片的中點(diǎn)時(shí)，p點(diǎn)到AG距離最大，

此時(shí)PAG面積最大，三棱錐3-P4G體積最大，

M)=』x』x20x交叉2日=其2,。選項(xiàng)正確.

\"-「AC"max3223

故選BCD.

13.【答案】y=--

4

【解析】【分析】

本題考查拋物線的方程和性質(zhì)，主要考查拋物線的準(zhǔn)線方程的求法，屬于基礎(chǔ)題.

由必=2。〉的準(zhǔn)線方程為y=—日，即可求拋物線y=V,即x2=y的準(zhǔn)線方程.

【解答】

解：由必=2。〉的準(zhǔn)線方程為_y=—g,

拋物線》=即則p=；,所以其準(zhǔn)線方程為y=—

故答案為丁=—

14.【答案】202

【解析】【分析】

本題考查數(shù)列的求和，著重考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式的應(yīng)用，突出考查等價(jià)轉(zhuǎn)化思想與分類討

論思想的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

設(shè)等差數(shù)列｛??｝的公差為d,由題目條件可求得d與%,從而可得=19-2〃對(duì)〃分〃,9與幾.10討

論，即可求得數(shù)列的前20項(xiàng)和.

【解答】

解：設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為d,

-17x16」…

17q+---d=17,

q=17

解得

_5x4,ic13x12,d=—2

5q~\———a-]3qHd,

所以%=19—2〃.

當(dāng)小，9時(shí)，|。」=見,當(dāng)兒.1。時(shí),⑷=一%.

所以同+&|+,+|%o[=(q+%+■+%)一(%()+/i++%o)

=+。9X9_60+卜20X]]

22

17+1八-1-21

----x9--------xll=202.

22

故答案為202.

15.【答案】1271

【解析】【分析】

本題考查了球的表面積以及球的切、接問題，是中檔題.

易得正三棱錐的三條側(cè)棱兩兩互相垂直，該三棱錐是棱長(zhǎng)為2的正方體的一個(gè)角，所以其外接球與該正方

體的外接球相同，得出H，可得外接球的表面積.

【解答】

解：由于正三棱錐中對(duì)邊相互垂直，所以

而PM±PC,PMr>AB=M,PM,ABu平面PAB，

所以尸CL平面Q4B，又Q4u平面Q45，故PCLB4,

又該三棱錐為正三棱錐，

所以三條側(cè)棱兩兩互相垂直，

所以該三棱錐是棱長(zhǎng)為2的正方體的一個(gè)角，

所以其外接球即為該正方體的外接球，所以半徑氏=血，

所以該三棱錐的外接球的表面積為4兀R?=1271.

故答案為12兀.

16.【答案】—

2e

【解析】【分析】

本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，考查了方程思想和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.

由題意可得X]+l叫=1皿2,結(jié)合目標(biāo)式可得坦=丑二=，，令人。)=當(dāng)?〉0),利用導(dǎo)數(shù)研究

單調(diào)性，再確定丸(。的最大值即可.

【解答】

解：因?yàn)楹瘮?shù)/(x)=x+liu-,g(x)=xlnx,/(A1)=21nr=lnr,g(j;2)=r,

所以玉+1nx]=Inr可知e否+回=產(chǎn),即邛為=t2,

lm2

且由x2lnx2=『,可知再涉=x2lnx2=\nx2e,

而易得函數(shù)y=x在(0,+“)上單調(diào)遞增,

InrIntInt

所以Xi=ln%2，所以----=-1—=下,

人7/、Inr八、…，/、1-21W

令"“)=尸。z>。)，則，(。=---,

令〃⑺>0,得0<x<e>令〃⑺<0,得工〉1，

所以在0,潟單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減,

I7k)

所以丸⑺max=丸62

\J

故答案為—.

2e

17.【答案】解：(1)方案一：選條件①.

由6b-A/3CCOSA=asinC，可得Z?-ccosA=asinC，

3

由正弦定理得sinB-sinCcosA=^-sinAsinC，

3

因?yàn)?=TI-(A+C),所以sinB=sin(A+C),

、A/3

所以sinAcosC+cosAsinC-sinCcosA=——sinAsinC，

3

故sinAcosC=——sinAsinC，

3

又sinA/O,于是sinC=J§cosC，即tanC=若，

因?yàn)镃e(O,7i),所以C=1.

方案二：選條件②.

sinA-sinCsinA-sinB,一…、a-ca-b

=，由正弦定理mz得c3——=——

b-------a+c-------------------------ba+c

即a?—=ab—/72,/+Z?2—c?=ab,

??由余弦定理傳cosC=-------------=—.

lab2

又Ce(O,7i),所以C=1.

(2)S=-CA-CBsinC=y/3,:.CA-CB=4,又

23

[1Q1

：.CD=CA+AD=CA+-AB=CA+-(CB-CA]=-CA+-CB,

33、>33

2421244-2122|III

:.CD=-CA+-CB+-CACB=-CA+-CB+-\CA\\CB\

999999，III

8

,-ICAICB+-CACB|CA|CB|

9lI93

當(dāng)且僅當(dāng)2。1=1CB時(shí)，等號(hào)成立,

33

.?.CD的最小值為城.

3

【解析】本題主要考查了正弦定理，余弦定理，和差角公式及三角形的面積公式在求解三角形中的應(yīng)用,

平面向量的線性運(yùn)算以及數(shù)量積運(yùn)算，考查基本不等式求最值，屬于中檔題.

（1）選條件①，根據(jù)正弦定理以及兩角和與差的三角函數(shù)公式化簡(jiǎn)可得tanC=Q，即可求得C；

選條件②，根據(jù)正弦定理和余弦定理求得cosC=,，即可求得C；

2

（2）根據(jù)三角形面積公式求得C4-CB=4,根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算以及數(shù)量積運(yùn)算，利用基本不等

式，即可求出結(jié)果.

18.【答案】解：（1）過點(diǎn)“作MG〃C。交PD于點(diǎn)G,連接AG,

所以吧=也=2

CDPC3

所以GM=2。,

3

又AB=2CD,AB//CD,

3

所以GM//AB,GM=AB,

所以四邊形ABMG是平行四邊形，

所以AG,

又BM<z平面PAD,AGu平面PAD，

:.BM〃平面R4D；

(2)因?yàn)?？D,平面48。。,">,8<=平面48。0,

所以POLAD,正。，。。，

又ADJ.CD,

以。為原點(diǎn)，ZM所在直線為X軸，OC為所在直線y軸，DP所在直線為Z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

令PD="(Z?>0),

則C（0,3,0）,P（0,0,b）,5（2,2,0）,

DB=（2,2,0）,PC=（0,3,-Z?）,DM=DP+|PC=^O,2,1

設(shè)平面的法向量為“=（x,y,z）,

n-DB=012x+2y=0,

,，即《b，

n-DM=02y+—z=0

iI3

令x=l,則〃=[1,—1,,1,

易知平面CBO的法向量為機(jī)=（0,0,1）,

6

則2Is/d公卜"砌"二____b

1,卜d

設(shè)二面角〃-5￡>-C的平面角為夕

因?yàn)閟in。=，

3

所以|cos（私碼=,

6

b縣

即/“二"r，又〃>o,解得>=3,

■.PD=3.

【解析】本題考查了線面平行的判定以及平面與平面所成角的向量求法，是中檔題.

（1）利用線面平行的判定定理可得現(xiàn)1〃平面R4D；

（2）建立合適的空間直角坐標(biāo)系，得出平面的法向量和平面CM的法向量，由空間向量求解即可.

19.【答案】解：（1）〃=1時(shí)，q=S]=22-1=3,

九.2時(shí)，a,=S“—％=（2m—1）—（2"—1）=2",

經(jīng)驗(yàn)證”=1時(shí)q=3H21

3,n=1

一12",〃..2且九€3*

24

（2）證明：〃=1時(shí)，T]

33

b_2"+i11]

?.?2時(shí)，n--^2"-1-2"+1-1）'

“2J111111、

"3^22-123-123-124-12"—12,,+1-lJ

-4-------2---<一4

32,,+1-13,

【解析】本題考查數(shù)列的通項(xiàng)和前〃項(xiàng)和的關(guān)系，考查裂項(xiàng)相消法求和，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題.

（1）運(yùn)用”=1時(shí),%=S-當(dāng)）.2時(shí),an=Sn-Sn-1,即可得到通項(xiàng);

（2）化簡(jiǎn)/，寫成差的形式，再由裂項(xiàng)相消法求和，即可得到不等式成立.

20.【答案】解：（1）部件的面積S=3盯+gx2sin60=3孫+岑

x2

62「

V39-彳*4而_龍2

y=------

3%

y>nx，即又龍解得°<x（質(zhì)

故生耳二二，定義域?yàn)椋?

4岳'

（2）設(shè)圓形鐵片的半徑為R.

如圖所示：作O尸，CD交。于尸，交AB于E，連接OC.

故OE=1義立x=^x，

326

—+/+^X2

故宗XVH---

4-312

13

48

1313

當(dāng)一必=「，即無=2時(shí)等號(hào)成立.

483/

故當(dāng)x=2時(shí)，圓形鐵片面積最小值為13+而兀cm?.

6

【解析】本題考查函數(shù)模型的應(yīng)用及由基本不等式求最值，屬于中檔題.

(1)根據(jù)條件可得函數(shù)的解析式以及定義域；

(2)設(shè)圓形鐵片的半徑為R,作O尸，8交CD于歹，交AB于E，連接OC,可得OE=^x，故

6

夫2=11%2+與+嫗，根據(jù)基本不等式即可求得最小值.

483x26

21.【答案】解：(1)函數(shù)/'(X)的定義域?yàn)?0,+X),

XX

當(dāng)見,0時(shí)，/,(x)<0,所以/■(%)在(0,+。)上單調(diào)遞減，

當(dāng)機(jī)>0時(shí)，當(dāng)卜h/,(%)<0；當(dāng)時(shí)，/,(%)>0,

所以/(x)在(0,一上單調(diào)遞減，在［\,+力)上單調(diào)遞增,

綜上可得,

當(dāng)孫，0時(shí)，/(x)在(0,+。)上單調(diào)遞減;

當(dāng)相>0時(shí)，/(x)在上單調(diào)遞減，在［,,+力］上單調(diào)遞增;