天津市重點中學2023-2024學年高三年級上冊統(tǒng)練2數(shù)學試題（含答案）

天津市重點中學2024屆高三年級統(tǒng)練二

數(shù)學學科

溫馨提示：本試卷包括第1卷（選擇題）和第H卷（非選擇題）兩部分，共150分，用時120分

第I卷選擇題（共45分）

一、單選題：本題共9小題，每小題5分，共45分。

1.若集合A=WI2x-3|￡l）.ff貝『c,元素的個數(shù)是（）

A.2B.3C.4D,5

2.設℃貝y=3,是“直線g+2y+3a=°和直線3x+（"l）y=a-7平行”的（

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

3,若。=logfi.b=2^,c=0.3”則（）

A.c>a>bB.a>b>cC.a>c>bD.b>a>c

5.已知E'"是兩條不同的直線，a'y是三個不同的平面，則下列正確的是（）、

A.若m’anla貝嚴//nB,1X則叨夕

C.若m〃①叨a則m〃nD若叩/am/陽則a〃口

6.在等比數(shù)列中，‘?一"成等差數(shù)列，則二:"'

3

A.3B.C.9D.9

1

7.已知拋物線廠=4i的焦點F是雙曲線:二一的右焦點，拋物線的準線與雙曲線的漸近線交于A,B兩

點.若AABF是等邊三角形，則雙曲線的方程為（）

4———=18.———=1。?丁一T=1D?丁一丁=1

3443777y

8,下列物體不能被半徑為2（單位：m）的球體完全容納的有（）

A.所有棱長均為28m的四面體

B.底面棱長為1m,高為3.8m的正六棱錐

C.底面直徑為1.6m,高為3.6m的圓柱

D.上、下底面的邊長分別為Im,2m,高為3m的正四棱臺

9.已知函數(shù)?。?8知”一由3（3>01的部分圖象如圖所示，則下列選項不正確的是（）

A.函數(shù)“X）的圖象關于點（正*0）中心對稱

-甘丁-

B.函數(shù)八、）的單調(diào)增區(qū)間為kitm(kWR

5n

C.函數(shù)的圖象可由'=2SE31的圖象向左平移立個單位長度得到

D.函數(shù)心）=fg）在（°*）上有2個零點，則實數(shù)’的取值范圍為亍丁

二、填空題：本題共6小題，每小題5分，共30分。

_1-X

10.復數(shù)’一百的虛部為.

2

x-

(7)的展開式中的常數(shù)項為(用數(shù)字作答).

12.已知圓心在直線"'3V=0上的圓C與y軸的負半軸相切。且圓C截”軸所得的弦長為J?,則圓C的方

程為.

13.已知11>>⑶>1,且時=喉嚴的最大值為.

14.如圖，在△4“中，2.AC=3,而"0=3.點口是直的中點，點E在邊AC上，3AE5C8E交川。于

點尸，設8尸=乂8+刈牖”&),則竺?二；點0是線段BC上的一個動點，則的最大值

為.

f(x)=(X：2U1若對于任意實數(shù)0,方程八"二"有且只有一個實數(shù)根，且

15.己知,函數(shù)

力②<8,函數(shù)廣六刊的圖象與函數(shù)1m+r的圖象有三個不同的交點，貝『的取值范圍為.

三、解答題：本題共5小題，共75分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

16.(本小題14分)在AABC中，角*8'的對邊分別為5c=2。''

D

(I)求角的大小；

(II)若a<6=20,AABC的面積為3VM

fl.c

⑴求的值：

(ii)求a“(2C+8)的值.

17.(本小題15分)如圖，在直三棱柱ABC-/.的中

的中點.

(I)求異面直線“g"所成角的余弦值；

pAEF

(II)求點到平面的距離；

3

(Ill)求平面'I"與平面日夾角的余弦值.

1

18.(本小題15分)己知橢圓84與橢圓C2有相同的離心率，橢圓C2焦點在y軸上且經(jīng)過點

(1V2)

(I)求橢圓Cz的標準方程：

(H)設'為橢圓的的上頂點，經(jīng)過原點的直線,交橢圓于J于P'Q,直線與橢圓J的另一個交點分別為

三

點M和T若44"用與^的面積分別為力和求以取值范圍、

19.(本小題15分)己知數(shù)列1瓦)5"是數(shù)列"J的前n項和，己知對于任意“'都有

30?=25?+3,數(shù)列電)是等差數(shù)列，且b；+5M+Lb.-3成等比數(shù)列，

(I)求數(shù)列｛an｝和｛bn｝的通項公式；

rfn=-^-nehr.fdlnT

(II)記求數(shù)列3J的前項和

c=A"?*?

(III)記”崢M為偈敷求￡出田。；+1

f(x)=cP+—xlna(a>0.aw1)

20.(本小題16分)已知函數(shù)

(I)求函數(shù)fC)在點(°力°"處的切線方程;

(11)求函數(shù)"''單調(diào)增區(qū)間;

4

(Ill)若存在TH使得(e是自然對數(shù)的底數(shù))，求實數(shù)”的取值范圍.

高三數(shù)學統(tǒng)練2答案

一、單選題

123456789

ACDCACCBD

二、填空題

101112131415

135_19_

(x+3)2+(y+l)2=922V5-2,4

~2e-2；16

三、解答題

16、

解：(1)2bcosC=2a-c,

故2sinBcosC=2sinA-sinC,

BP2sinBcosC=2sinBcosC+2cosBsinC-sinC,

整理得至U2cosBsinC二sinC,

因為Ce(0,n),sinC*0,

故cosBq，

又Be(0,n),

IT

故B=^~；

(2)S=yacsinB=-^-ac=3V3,

故ac=12,

所以

009JC99

b=a+c-2accos_g-=a+c-ac=(a+c)-3ac=28

故a+c=8,

又avc,

解得a=2,c=6.

(3)

4J3

sin(2C+8)=sin2CcosB+cos2CsinB=———

17、

5

解：以A為坐標原點，而，而，瓦A；的方向分別

為o?軸、y軸、z軸正方向，建立空間直角坐標

系(圖略),則A(O,O.O).A|(O,O,2),B(2,O,O),

Bi(2,0,2),C(0,2,0),E(0,2,l),F(l,l,0).

(1)易知A|B=(2?0?—2)?EF=(1?—1.—1),

cos0=|cos<A|B.EF>|=?__=

iQll蔭

4_V6

2^X733°

(2)設平面AEF的一個法向量為n=(a,b,c),

VAE=(0,2,l),AF=(l,l,0),

(n?AE=0X令

得1,則

In?A戶=0

6=-1,c=2,，〃=(1,—1,2)■又AK|=(2.

0⑵，

點當?shù)狡矫鍭EF的距離為；"I=#.

(3)

平面AE3的法向量%=(2J，2)

余弦值"=瑞席

18、

由題意知橢圓C：士+《=1的離心率為e=9Z.故橢圓仁的離心率也為也，

8422

設橢圓G的方程為4+W=|(a>ft>0).則￡=立,.?.I_￡==2〃.

a'b2a2a2

即品+，=L將(1,Q)代入得奈+%=1"0=2.

則橢班G的方程為，■+:=1：

【小問2詳解】

由于/為橢圓。的上頂點，故4(0,2).

不妨設P在第?象限以及x軸正半軸上，尸(/，兒),則。(一x°,一K)，則注+寸=1.

42

2ro2+%=4-y：_4-yj

由題意知直線AP存在斜率.設其方程為y=kx+2,ke|->/2.0).

則40的直線方程為y=-?x+2,

k

x2y2

T+T=.整理得(2左2+1)/+施=0.

聯(lián)匯代線4,和橢恨|卻的方程

y=kx+2

6

由題意知直線4P存在斜率.設其方程為y=Ax+2,Aw|-j2,0)，

則AQ的直線方程為y=-^-x+2,

'k

x2y2_

+-

聯(lián)立直線4,和橢圓q的方程84.整理得(2后2+1)/+8去=0,

y=kx+2

5,4—8k—8k

解存*=赤？即*必=西

聯(lián)立直線/尸和橢圓g的方程，T+T=l,整理得伊+2尸+4去=0.

y=kx+2

故兇Li=9=2("+2),同理可求得Ujyi=9=f(f.+—,

2

\AP\xp2爐+1\AQ\xQk+S

S=|/A/||/N|；8(A+2『

S2\AP^AQ\(2公+1乂爐+8)'

&_8-8/2_8

設/=3+2Jw(2,4］，則同—(2/-3)(r+6)-2/2+9/-18~,

，-189c,lI、？25

而——H----h2=-18o(z——)+.

由于;故丁=-1&；一，+1在；€由；)時單調(diào)遞而

2

BP-18(y-l)+ye(2,^].

7

19.(1)當〃=1時，3q=2q+3,解得q=3.

當“22時，34T=2S,T+3,

所以3a”-3%=2a”=>2=3,

%

即｛4｝是以首先4=3,公比為3的等比數(shù)列，即為=3”.

因為4=log33=l,&+5,4+1也一3成等比數(shù)列，

所以(4+1)2=(3+5)(&-3),即(l+3d+l)2=(l+d+5)(l+5d-3),解得d=2.

所以b,,=l+2(〃-l)=2〃-L

q”+21_2(〃+2)-2

⑵由(1)得％=

a?an+fi?(2〃-1)(2〃+1)-3”

2M+2_1]__________1

(2M-1)(2M+1)-3"2(2n-l)-3,,-1(2n+l)-3"

則(廣4+&+4+…+4

_l.11、，/11、，11、Z11、]

―2r1x3°―3x3'+(3x31.5x32+5x32.7x33+…+(2?-1)-3"-1'(2?+1)-3"

」(□________1)

21x3°(2M+1)-3H

_11

-2-2(2?+1)-3";

2〃

(3)E4Q+I=C|C2+c*3+…+C2“q“+i,

?=l

因為*G”+2用=4+=)=(2〃T(32”T+3*)=y(2W-l).9\

設4=(2/-1>9”，前〃項和為K“，

則K“=1x4+3x92+…+(2〃一l)x9",

9K“=1x9?+3x9,+…+(2〃-3)x9"+(2H-1)X9"+1,

設力=(2〃一1b9",前力項和為K.，

則K,,=1x9'+3x9?+…+(2〃-1)x9",

9K“=1x9?+3x93+…+(2〃-3)x9"+(2M-1)X9"+1,

.、81(1-9叫

-8^?=9+2(92+---+9,j-(2n-l),9"+1=9+2x—y-^-(2M-l)-9"+1

竺+S.9〃+l

3232

8

20、

試題分析：(I)可得k=/'(0)=0,又/(o)=l,得切線方程為y=l：(2)求出/'(x),/'(x)>0

得增區(qū)間，/'(力<0得減區(qū)間：(3)存在石西武—川，使得-1成立，等價于當

x€[-l,l]|/(^)-/(^2)|</(^)^-/(x)mjn,所以只要/(x)1Mx-/(x)m/e-l即可.

試題解析：(1)因為函數(shù)/(x)=a、+x2-xlna(a>0,awl),

所以f'(x)=axlna+2x-lna,/,(O)=O,

又因為f(0)=1,所以函數(shù)/(x)在點(。,/(0))處的切線方程為尸=1.

(2)由(1),f\x)=axlna+2x-lna=2x+^ax-ijlna,

因為當a>0,awl時，總有/'(x)在&上是增函數(shù).

又/'(0)=0,所以不等式/'(x)>0的解集為(0,+8),

故函數(shù)/(X)的單調(diào)增區(qū)間為(0,+8),遞減區(qū)間為(YO,0).

(3)因為存在芭,2式-1,1],使得|/(芭)-/(丐)|20-1成立，

而當xe[-1』時，|/(±)-/仁)|