2024年高考數(shù)學(xué)答題技巧與模板 不等式相關(guān)解題技巧（基本不等式鏈、權(quán)方和不等式、兩類糖水不等式）（解析版）

題型01不等式相關(guān)解題技巧

（基本不等式鏈、權(quán)方和不等式、兩類糖水不等式）

技法01基本不等式鏈的應(yīng)用及解題技巧

技法02權(quán)方和不等式的應(yīng)用及解題技巧

技法03普通型糖水不等式的應(yīng)用及解題技巧

技法04對(duì)數(shù)型糖水不等式的應(yīng)用及解題技巧

I________________________________________________________________________________________

技法01基本不等式鏈的應(yīng)用及解題技巧

喟1?常見題型解讀

本題型通?？疾榛静坏仁郊捌浠静坏仁芥湹膽?yīng)用，掌握基本不等式鏈，可以較快速解決代數(shù)式的大

小比較及其相關(guān)最值求解，常以小題形式考查.

02

跟我學(xué)?解題思維剖析

例1.（2022?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題）若x,歹滿足一+/—盯=i,則（）

A.x+y<lB.x+y—2

C.x2+y2<2D.x2+y2>l

技巧點(diǎn)撥o

由基本不等式鏈：，汨"〉0力〉0）,可得ab<f￡±^Y<（?,MR）,

ab

對(duì)于AB

由/+/-個(gè)=1可變形為，（x+yj-1=3盯匕上］

解得-2Wx+yW2,當(dāng)且僅當(dāng)x=y=-l時(shí)，x+y=-2,當(dāng)且僅當(dāng)x=y=l時(shí)，x+y=2,所以A錯(cuò)誤，B

正確;

對(duì)于C

22

【法一】由Y+/一肛=1可變形為（/+/）-1=孫^土產(chǎn)，解得當(dāng)且僅當(dāng)x=y=±l時(shí)取等

號(hào)，所以C正確

【法二】由［號(hào):，中｛亨［，得/一孫+/N2［亨：一［號(hào):，

又因?yàn)椤?了2=1,所以一<L即；（x+y）2<l,x+y<2.

【法三】x-=（x+方-3［簽1%+獷

又因?yàn)楣活?了2=1,所以^-（x+j）2<l,x+y<2.

【答案】：BC.

睛條練?知識(shí)遷移強(qiáng)化

1.（2023?湖北?模擬預(yù)測(cè)）（多選）若。>0,b>0,a+b=2,則下列不等式中對(duì)一切滿足條件的。，b恒

成立的有（）

21

A.ab<1B.Q+Z）W2C.t/2+Z>22D.—i—3>/2,

ab

2.（2023?廣東汕頭?金山中學(xué)?？既＃ǘ噙x）若4>0］>0,。+6=4,則下列不等式對(duì)一切滿足條件

恒成立的是（）

A.y[ab<2B.y[a+\[b<2

C.—+b2>4D.-+->1

3ab

3.（2023?江蘇模擬）（多選）已知實(shí)數(shù)無，y滿足3/+3/_29=5,則（）

A.xy<lB.x+y>-y/5C.x2+y2>-D_

-433

技法02權(quán)方和不等式的應(yīng)用及解題技巧

喟3?常見題型解讀

在條件等式求最值或“1”的妙用求最值中，我們通常使用基本不等式（鏈）來求最值，解題中往往會(huì)遇

到思路繁瑣，計(jì)算量大的情況，學(xué)生不易求解，而此時(shí)的權(quán)方和不等式優(yōu)勢(shì)極其明顯，可以做到快速求

解，常在小題中使用.

知識(shí)遷移

權(quán)方和不等式的初級(jí)應(yīng)用：若a,b,x,y>Q則—+—>（a+Z?）2當(dāng)且僅當(dāng)-=-時(shí)取等.

xyx+yxy

（注：熟練掌握權(quán)方和不等式的初級(jí)應(yīng)用，足以解決高考中的這類型最值問題的秒殺）

02

跟我學(xué)?解題思維剖析

例2.（2023?浙江模擬）已知。且2。+6=3,則」二+7T二的最小值為（）

24Z-126-1

91

A.1B.-C.9D.：

22

解題

因?yàn)?。+6=3,所以4Q+26=6

由權(quán)方和不等式《+上2"肛可得

xJx+y

114122I2（2+1）2

-----1------++>=9

a-12b-l4。一42Z?-14Q—42b-l4a—4+26—1

2179

當(dāng)且僅當(dāng)，=小即。="力=￡時(shí)，等號(hào)成立.

4a-42b-Io3

【答案】C

喘磊而?知識(shí)遷移強(qiáng)化

1.（2023?四川?校聯(lián)考一模）已知正數(shù)x,丁滿足x+y=5,則一二+—二的最小值是____.

x+2y+2

21

2.（2023?遼寧鞍山?鞍山一中?？级＃┰O(shè)。>0力>2且。+6=4,則一+丁的最小值是____.

ab-2

22

3.（2023?黑龍江佳木斯?佳木斯一中?？寄M預(yù)測(cè)）已知正數(shù)x,y滿足x+y=4,若?！渡?、+二恒成

x+1y+2

立，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

技法03普通型糖水不等式的應(yīng)用及解題技巧

需高=?常見題型解讀

在應(yīng)用不等式的性質(zhì)進(jìn)行代數(shù)式大小比較時(shí)，我們除了常規(guī)的不等式性質(zhì)，特值，還可以學(xué)習(xí)糖水不等

式及其倒數(shù)形式，常在小題中使用，能做到快速求解.

知識(shí)遷移

1.糖水不等式定理：

h+ITLh

若a>b>0,m>0f則一定有----->-

a^-ma

通俗的理解：就是a克的不飽和糖水里含有b克糖，往糖水里面加入m克糖,則糖水更甜；

2.糖水不等式的倒數(shù)形式：

設(shè)a>b>0,m>0,則有：—>a+m

bb+m

02

跟我學(xué)?解題思維剖析

例3-1.（2023?湖南長(zhǎng)沙?長(zhǎng)郡中學(xué)?？级＃┮阎獙?shí)數(shù)。,仇。滿足0<a<6<c,則下列說法正確的是（

bb+c

A.，JB.—>-----

c-ab-aaa+c

1:1

D.ab+c1>ac+bc

Q(0_Q)b^c-a)

解題

技巧點(diǎn)撥

【法一】由糖水不等式的倒數(shù)形式，b>a>0,c>0,則有：2〉絲二

aa+c

【法二】—>—'C<=>b（a+c\>a（b+c\obe>ac<=>b>a,故B正確；

aa+c

因?yàn)?<Q<b<c,所以有。一〃>人一〃>0,」一<」一，故A錯(cuò)誤；

c-ab-a

1111

——x>77——.^->-^b>a故C正確；

a^c-a)b\c-a)abf

ab+c2>ac+bcc(c-b)-a^c-b)>0?(c-6z)(c-/))>0,故D正確.

【答案】BCD

例3-2.(2020?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題)已知55V83134V85.設(shè)a=log53,6=log85,c=logi38,則()

A.a<b<cB.b<a<cC.b<c<aD.c<a<b

解題

技巧點(diǎn)撥

【法一】

?…8,24

1cIn3+In—In—1

m3551n5c,

a=——<----------=——<——=b,

吊5ln5+ln8In8In8

5

1339

i°ln3+ln—In—1

又——去—<M0=。，

M5M5+ln”lnl3lnl3

5

用排除法，選A.

4

5454

【法二】5<8log85<log88,

4

445

13<8,nlog1313<log13S^c>^^>b<c

若log53fflog85olog53log581,

但log5310g卓:

a<b

綜上所述，a<b<c.

【法三】

由題意可知。、…以。』）本鬻嘿翳高(Ig3+lg8?JIg3+lg8?Jlg24?<i

[2)[21g5Jllg25j:.a<b；

4

由6=log85,得8，=5,由55<8,，得85b<8,「.56<4,可得臺(tái)<《；

4

由—log/,得13。=8,由13—85,得13,<135。，/.504,可得。>不

綜上所述，a<b<c.

【答案】A

唱篇Hi?知識(shí)遷移強(qiáng)化

1.（2022?江蘇階段練習(xí)）生活經(jīng)驗(yàn)告訴我們，?？颂撬杏?克糖，（。>0,b>0,且a>b）,若再添

加C克糖（c>0）后，（假設(shè)全部溶于水），糖水會(huì)更甜，于是得出一個(gè)不等式：稱之為“糖水不

a+ca

等式”，則下列命題一定正確的是（）

DYY1h

A.若a>6>0,m>0,則——與一大小關(guān)系不隨加的變化而變化

a+ma

bb+m

B.若a>6>0,-b<m<0則一<----

faa+m

一什r八7八rrnib+db+c

C.右a>b>0,c>d>0,貝U—7<

a+aa+c

D.若a>0,b>0,則，+6<3+-L_

1+a+b\+a1+b

2.若等比數(shù)列前n項(xiàng)和為S.（q〉0,q>0）,比較SnSn+2與*的大小.

八TH口dsin/sin5sinC八

3.證明：ABC中，----------+------------+------------<2

sin5+sinCsinC+sin/sinA+sinB

技法04對(duì)數(shù)型糖水不等式的應(yīng)用及解題技巧

識(shí)高考?常見題型解讀

在應(yīng)用不等式的性質(zhì)進(jìn)行代數(shù)式大小比較時(shí)，我們除了常規(guī)的不等式性質(zhì)，特值，還可以學(xué)習(xí)對(duì)數(shù)型糖

水不等式及其倒數(shù)形式，常在小題中使用，能做到快速求解.

知識(shí)遷移

(1)設(shè)〃eN+，且n>l,則有l(wèi)og“+i〃<log0+2(〃+l)

(2)設(shè)a>b>l,m>0,則有l(wèi)ogfl<loga+m(Z)+m)

(3)上式的倒數(shù)形式：設(shè)a>b>l,m>Q,則有l(wèi)og^a>log6+m(a+ni)

02

跟我學(xué)?解題思維剖析

例4.(2022?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題)已知9m=10間=10"—11乃=8加—9,貝!J()

A.a>0>bB.a>b>0C.b>a>0D.b>0>a

解題

【法一】對(duì)數(shù)型糖水不等式

因?yàn)?"'=10,所以機(jī)=log910.在上述推論中取。=9,6=10,可得m=log910>log1011=Igl1,

且m=log910<log89.

所以a=10m-ll>10lgll-ll=0,Zj=8"—9<8砥99—9=0,即a〉0〉b,選A.

【法二】普通型糖水不等式

由已知條件9枚=10,可得m=log910.同公式(2)的證明過程，可以得到根=四處〉

1g9

,,10,100

IglO+lg-Igp-0

--------備=-^I=lg10k〉lgll,即m>lgu.

Ig9+吟lgl°9

所以a>10lgll-ll=0,即a>0.

…i8i80

gl0+lglg

vlgl0j9V

?ig9+lg|.

QA

logs9

log8y<log89,即m<log89,所以6<8-9=0,即b<0.

綜上，a>Q>b,選A.

睛翁福?知識(shí)遷移強(qiáng)化

1.比較log23,log34,log45的大??？

2.比較大?。簂og74與log96?

3.（2022?安徽黃山?統(tǒng)考一模）下列不等式不正確的是（）

A.V7-V5<V6-2B.7t31<3.1"

C.5sin—>cos——D.log3<log5

51046

題型01不等式相關(guān)解題技巧

（基本不等式鏈、權(quán)方和不等式、兩類糖水不等式）

技法01基本不等式鏈的應(yīng)用及解題技巧

技法02權(quán)方和不等式的應(yīng)用及解題技巧

技法03普通型糖水不等式的應(yīng)用及解題技巧

技法04對(duì)數(shù)型糖水不等式的應(yīng)用及解題技巧

I________________________________________________________________________________________

技法01基本不等式鏈的應(yīng)用及解題技巧

喟1?常見題型解讀

本題型通常考查基本不等式及其基本不等式鏈的應(yīng)用，掌握基本不等式鏈，可以較快速解決代數(shù)式的大

小比較及其相關(guān)最值求解，常以小題形式考查.

02

跟我學(xué)?解題思維剖析

例1.（2022?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題）若x,歹滿足一+/—盯=i,則（）

A.x+y<lB.x+y—2

C.x2+y2<2D.x2+y2>l

技巧點(diǎn)撥o

由基本不等式鏈：，汨"〉0力〉0）,可得ab<f￡±^Y<（?,MR）,

ab

對(duì)于AB

由/+/-個(gè)=1可變形為，（x+yj-1=3盯匕上］

解得-2Wx+yW2,當(dāng)且僅當(dāng)x=y=-l時(shí)，x+y=-2,當(dāng)且僅當(dāng)x=y=l時(shí)，x+y=2,所以A錯(cuò)誤，B

正確;

對(duì)于C

22

【法一】由Y+/一肛=1可變形為（/+/）-1=孫^土產(chǎn)，解得當(dāng)且僅當(dāng)x=y=±l時(shí)取等

號(hào)，所以C正確

【法二】由［號(hào):，中｛亨［，得/一孫+/N2［亨：一［號(hào):，

又因?yàn)椤?了2=1,所以一<L即；（x+y）2<l,x+y<2.

【法三】x-=（x+方-3［簽1%+獷

又因?yàn)楣活?了2=1,所以^-（x+j）2<l,x+y<2.

【答案】：BC.

睛條練?知識(shí)遷移強(qiáng)化

1.（2023?湖北?模擬預(yù)測(cè)）（多選）若。>0,b>0,a+b=2,則下列不等式中對(duì)一切滿足條件的。，b恒

成立的有（）

21

A.ab<1B.Q+Z）W2C.t/2+Z>22D.—i—3>/2,

ab

【答案】ABC

【分析】利用基本不等式及其變形公式和“1”的靈活運(yùn)用即可求解.

【詳解】解：對(duì)/選項(xiàng)：a>0,b>0,a+b=2,

2=a+b>2y[ab,即仍VI（當(dāng)且僅當(dāng)。=6時(shí)等號(hào)成立），故/選項(xiàng)正確;

對(duì)3選項(xiàng)：a+b=2,而242成立,

,a+6W2成立，故8選項(xiàng)正確；

對(duì)C選項(xiàng):學(xué)4用卡卜

:.a2+b2>2（當(dāng)且僅當(dāng)。=b時(shí)等號(hào)成立），故。選項(xiàng)正確；

對(duì)。選項(xiàng)：=]胃=：口+生曰+行，（當(dāng)且僅當(dāng)竺=￡時(shí)等號(hào)成立），

ab\abJ22^ab）2ab

.-.-+-^-+72,故。選項(xiàng)錯(cuò)誤.

ab2

故選：ABC.

2.（2023?廣東汕頭?金山中學(xué)校考三模）（多選）若。>0,6>0,。+6=4,則下列不等式對(duì)一切滿足條件a,6

恒成立的是（）

A.y[ab<2B.y[a+4b<2

C.—+b2>4D.-+->1

3ab

【答案】ACD

【分析】對(duì)于A,B,D,利用基本不等式即可求得答案；對(duì)于C,利用6=4-。，求出:+/==，（。一3）2+4,

結(jié)合。的范圍，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得.

【詳解】對(duì)于A,a>0,b>0,a+b>2y^b,即施4三=2,當(dāng)且僅當(dāng)a=6=2時(shí)等號(hào)成立，所以A正

確；

對(duì)于B,a>0,b>0,（。+布>=。+6+2疝=4+2旅44+2x2=8,

又五+6>0,則&+新V20,當(dāng)且僅當(dāng)。=6=2時(shí)等號(hào)成立，所以B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,a+b=4,b=4-a>0,所以0<a<4,

則三+〃=《+（4_.）2=9一8a+16=9（0-3）2+424,并且。=3時(shí)等號(hào)成立.，所以C正確;

3333

對(duì)于D,a>0,b>0,a+b=4,所以=

a+b…ba、1

x(2+-+-)>-x(2+2

44ab4

當(dāng)且僅當(dāng)2=：,即a=6=2時(shí)等號(hào)成立，所以D正確.

ab

故選：ACD.

3.（2023?江蘇模擬）（多選）已知實(shí)數(shù)無，了滿足3/+3/-2a=5,則（）

A.xy<lB.x+y>-y/5C.x2+y2>-D_

-433

【答案】BCD

【分析】根據(jù)基本不等式可判斷ABC；將題設(shè)配方可得Jx-2丫+畫=5,結(jié)合畫20進(jìn)行求解即可判

{3）33

斷D.

【詳解】對(duì)于A,5=3x2+3y2-2xy>3-2xy-2xy=4xy

當(dāng)且僅當(dāng)x=y=±@時(shí)等號(hào)成立，即孫4二，故A錯(cuò)誤；

24

對(duì)于B,由3—+3/-2初=5,得3（x+>）2-8盯二5,

即3（x+y『=8町+5W8.[苫^]+5,

當(dāng)且僅當(dāng)x=y=土白時(shí)等號(hào)成立，即-逐Wx+ywVL故B正確；

對(duì)于C,由3%2+3/一2初=5,^-2xy=5-3^x2+y2^<x2+y2,

當(dāng)且僅當(dāng)工=->=±?時(shí)等號(hào)成立，即/+/2二，故C正確；

-44

22

H+^^=5,

即與>0,即一至Vx-24姮，故D正確.

333

故選：BCD.

技法02權(quán)方和不等式的應(yīng)用及解題技巧

喟、考?常見題型解讀

在條件等式求最值或“1”的妙用求最值中，我們通常使用基本不等式（鏈）來求最值，解題中往往會(huì)遇

到思路繁瑣，計(jì)算量大的情況，學(xué)生不易求解，而此時(shí)的權(quán)方和不等式優(yōu)勢(shì)極其明顯，可以做到快速求

解，常在小題中使用.

知識(shí)遷移

權(quán)方和不等式的初級(jí)應(yīng)用：若a,b,x,y>0則—+—>（a+Z?r當(dāng)且僅當(dāng)-=-時(shí)取等.

xyx+yxy

（注：熟練掌握權(quán)方和不等式的初級(jí)應(yīng)用，足以解決高考中的這類型最值問題的秒殺）

02

跟我學(xué)?解題思維剖析

例2.（2023?浙江模擬）已知。且2。+6=3,貝+的最小值為（）

2a—\2/?-1

9i

A.1B.-C.9D.g

22

解題

因?yàn)?a+6=3,所以4a+26=6

,、沙-底9cTb2、(a+b)2口

由權(quán)方和不等式——■12-----------可得

x歹x+y

114122I2(2+1V八

____?_____=______?_____=______?_____>')—9

a-126-14a-42b-l4?！?2b-l~4a-4+2b-l

當(dāng)且僅當(dāng)丁7=小，即。時(shí)，等號(hào)成立.

4^7-42/7-163

【答案】C

唁京正?知識(shí)遷移強(qiáng)化

1.(2023?四川?校聯(lián)考一模)已知正數(shù)x,y滿足x+y=5,則」彳+—二的最小值是____.

x+2y+2

【答案】I4

【分析】將x+>=5轉(zhuǎn)化為g[(x+2)+(y+2)]=l,然后利用基本不等式求解.

【詳解】因?yàn)閤+y=5,所以x+2+y+2=9,即g[(x+2)+(y+2)]=l,

因?yàn)檎龑?shí)數(shù)x，y,所以x+2>0,y+2>0,

11Or占卜+2+尸2）=孑2+y+2x+2

所以-------1--------

x+2y+2x+2y+2

當(dāng)且僅當(dāng)X=y=j等號(hào)成立.

、4

故答案為：—.

21

2.(2023?遼寧鞍山?鞍山一中校考二模)設(shè)。>0/>2且。+6=4,則4+丁=的最小值是____.

ab-2

【答案】I+V2

2

【分析】結(jié)合已知條件并由乘"1”法將^+士變形為3+也義+旦，再由基本不等式即可求解.

ab-2ab-2

【詳解】因?yàn)閍+6=4,所以。+(6-2)=2,1[?+(Z)-2)]=1,

所以2+士3+亞芻a

H----------

ab-2b-2

因?yàn)閍>0,b>2,

lL2（Z）-2）a11Ll2（b-2）

所以由基本不等式得工+工+?a

ab-22ab-22vab-2

卜=4-20

當(dāng)且僅當(dāng)a6-2即廣時(shí)，等號(hào)成立，

,A/b=2及

。+匕=4i

綜上所述：2+不二的最小值是]+0.

ab-22

故答案為：—+V2.

22

3.(2023?黑龍江佳木斯?佳木斯一中?？寄M預(yù)測(cè))已知正數(shù)x,丁滿足、+歹=4,若J+上二恒成

x+1y+2

立，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

【答案】I叫一

【分析】首先對(duì)關(guān)系式進(jìn)行恒等變換，進(jìn)一步整理得(x+1~1)2+(J+2~2)2=

x+1y+2

(x+l)22(：+l)+l+(y+2)2—4?+2)+4,最后利用基本不等式的應(yīng)用求出結(jié)果.

x+1y+2

【詳解】已知正數(shù)x，V滿足x+y=4,

所以(尤+1)+(>2)=7,所以：gl+亨=1

卜/?/(x+1-1)>3+2-歹

x+1y+2x+1>+2

(X+1)2-2(X+1)+1(y+2)2-4(y+2)+4

x+1y+2

4

=x+1—2H--------Fy+2-4+

x+1y+2

14

------------1-------------+1

x+1y+2

4

+1

y+2

14(x+l)y+241

=-+-------+^-------+-+l

77(y+2)7(x+l)7

』+2/T三/4(x+l)>+2

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),取等號(hào);

7y7(y+2)7(x+l)773+2)7(x+l)

(22A

要使二+上恒成立，只需滿足'即可,

x+ly+2x+ly+2J.

\J/min

故Ma</6—.

7

故答案為：

技法03普通型糖水不等式的應(yīng)用及解題技巧

喟、考?常見題型解讀

在應(yīng)用不等式的性質(zhì)進(jìn)行代數(shù)式大小比較時(shí)，我們除了常規(guī)的不等式性質(zhì)，特值，還可以學(xué)習(xí)糖水不等

式及其倒數(shù)形式，常在小題中使用，能做到快速求解.

知識(shí)遷移

i.糖水不等式定理：

若則一定有上三竺+>及z上h

a+ma

通俗的理解：就是。克的不飽和糖水里含有b克糖，往糖水里面加入m克糖,則糖水更甜；

2.糖水不等式的倒數(shù)形式：

設(shè)a>b>0,m>0,則有：—>^―m

bb+m

02

跟我學(xué)?解題思維剖析

例3-1.（2023?湖南長(zhǎng)沙?長(zhǎng)郡中學(xué)?？级＃┮阎獙?shí)數(shù)滿足0<a<6<c,則下列說法正確的是（）

A.，Jbb+c

B.—>-----

c—ab—aaa+c

1)1

12

a(c-a)b(c-a)D.ab+c>ac+bc

解題

技巧點(diǎn)撥o

【法一】由糖水不等式的倒數(shù)形式，b>a>0,c>0,則有：2〉竺9

aa+c

【法二】—>^-^-ob（a+c\>a（b+c\obc>acob>a,故B正確；

aa+c

因?yàn)?<a<b<c,—故A錯(cuò)誤;

c-ab-a

1111

——x>77——^->-<^b>a故C正確；

ayc-a)b\c-a)aby

Qb+c2>Qc+bc=c(c-b)-Q(c-6)>0o(c-Q)(c-6)〉0,故D正確.

【答案】BCD

例3-2.(2020?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題)已知55V83134V85.設(shè)a=log53,fe=log85,c=logi38,則()

A.a<b<cB.b<a<cC.b<c<aD.c<a<b

技巧點(diǎn)撥o

【法一】

I…8124

icIn3+In—In—1

m355ln5r

a=——<----------=——<——=b,7

ln5ln5+ln§ln8ln8

5

1339

i°ln3+ln—In—1

又——去―<Mo=c，

1小ln5+lnliM13lnl3

5

用排除法，選Ao

4

5454

【法二】5<8log85<log8S^b<-,

44“54

13<8,nlog1313<log138=c>b<c

若log53fflog85olog53log581,

但log5310g58<1°g53；1唯8；］鷺旦;<^lo^25j=h，a<b

綜上所述，a<b<c.

【法三】

pg3+lg8Yflg3+lg8Yflg24Y

由題意可知“、6>ce(O,l),，=log53_lg3lg8<1

Iog5-lg5'lg5(l5)2

8g尸…f

4

由6=log85,得8b=5,由55<8“，得85'<84,.1bvd,可得

4

由eulogy,得13c=8,由134<8)得13,<135，,5c>4,可得c>1.

綜上所述，a<b<c.

【答案】A

你來練?知識(shí)遷移強(qiáng)化

1.（2022?江蘇階段練習(xí)）生活經(jīng)驗(yàn)告訴我們，?？颂撬杏?克糖，（。>0,b>0,且a>b）,若再添

加c克糖（。>0）后，（假設(shè)全部溶于水），糖水會(huì)更甜，于是得出一個(gè)不等式：如>2,稱之為“糖水不

a+ca

等式“，則下列命題一定正確的是（）

hTnh

A.若a>6>0,m>0,則——與一大小關(guān)系不隨機(jī)的變化而變化

a+ma

B.若3>b>0,-b<m<0,貝!

aa+m

"7八rxm.ib+db+c

右3.>b>0jc>d7>0則—

C.fa+aJ<a+c

e什CTcL/Q+bab

D.右Q>0,b>0,貝”------<-----1-------

l+a+b1+a1+b

【答案】ACD

【分析】根據(jù)“糖水不等式”，即可判斷A；作差比較即可判斷B；若。>b〉0,c>d〉0,則

c-d>0,a+d>b+d>0,再根據(jù)“糖水不等式”即可判斷C；利用不等式的性質(zhì)即可判斷D.

A+mh

【詳解】解：對(duì)于A,根據(jù)“糖水不等式“，若。>6>0,機(jī)>0,則——>-,故A正確；

a+ma

bb+mb（a+m\-a（b+m\m（b-a\

對(duì)于B,------------=----------7-------------------7----------------=—7---------------------7,因?yàn)閍>Z?>0,-b<m<0,

aa+ma^a+m）a^a+m）

LL「、t7八7八I，bb+m八口cbb+m

所以Z>-a<0,“+7">b+m>0,故-------->0,即一>----,故B錯(cuò)誤n；

aa+maa+m

對(duì)于C,若a>b>0,c><7>0,則。一d>0,a+d>b+d>0,

根據(jù)“糖水不等式"，b+d+c-db+d^即”〈生，故c正確；

對(duì)于D,若Q>0,6>0,則l+a+b>l+a>0,l+a+b>l+b>0,

1111

所以------<----，-------<----,

1+。+61+a1+a+b1+b

rrKIababCl+bb,,十也

nn<Q

所以式.“<7^+777,即";----z~t—―；，故D正確.

故選：ACD

2.若等比數(shù)列前n項(xiàng)和為S〃（％>0,q〉0）,比較SnSn+2與S"的大小

【答案】S凡33

【解析】?.?S.+2>S"+1>S"

%+S"+1

+

.Sn+2_al+qsn+iq"\5?+1.

S"+1%+qS"幺+sS"

q

故S￡+2<S2。

-、TH口sinAsin5sinC八

3.證明：ABC中，------------+------------+------------<2

sin5+sinCsinC+sin/sin/+sin5

【解析】在ABC中，根據(jù)正弦定理可知：

sinAa2a

-----------------------<-----------,

sin5+sinCb+ca+b+c

sin5b2b

同理可得:---------------=------<-----------,

sinC+sin/c+ac+a+b

sinC2c

-----------；-----二--------<-------------

sin4+sinBa+ba+b+c

sinAsinBsinC

----------+---------------+-----------

sin5+sinCsinC+sinZsinZ+sin5

ab

----1-----1----

b+cc+aa+b

2a2b2c.

<----------+----------+----------=2

b+c+ac+a+ba+b+c

技法04對(duì)數(shù)型糖水不等式的應(yīng)用及解題技巧

喟、考?常見題型解讀

在應(yīng)用不等式的性質(zhì)進(jìn)行代數(shù)式大小比較時(shí)，我們除了常規(guī)的不等式性質(zhì)，特值，還可以學(xué)習(xí)對(duì)數(shù)型糖

水不等式及其倒數(shù)形式，常在小題中使用，能做到快速求解.

知識(shí)遷移

(1)設(shè),且n>\,則有l(wèi)og“+i〃<log,，+2(〃+l)

(2)設(shè)a>b>l,m>0,則有l(wèi)ogab<\oga+m(b+m)

(3)上式的倒數(shù)形式：設(shè)a>b>l,m>0,則有l(wèi)og^a>logi+m(a+m)

02

跟我學(xué)?解題思維剖析

例4.(2022?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題)已知9m=10,a=l(T-111=8加-9,則()

A.a>0>bB.a>b>0C.b>a>0D.b>0>a

解題

【法一】對(duì)數(shù)型糖水不等式

因?yàn)?'"=10,所以m=log910.在上述推論中取a=94=10,可得m=log910>log1011=Igl1,

且m=log910<log89.

所以a=l(F—11〉10電I】-11=0,6=8"'—9<8|°暝—9=0,即?！?〉6,選A.

【法二】普通型糖水不等式

由已知條件9m=10,可得m=log910.同公式(2)的證明過程，可以得到機(jī)=四山〉

1g9

,,10,100

IglO+lg-Igp-100