2024年1月武威市高三數(shù)學(xué)高考一模試題卷附答案解析

2024年1月武威市高三數(shù)學(xué)高考一模試題卷

（試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘）2024.1

本試卷主要考試內(nèi)容：高考全部?jī)?nèi)容.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目

要求的.

1.已知集合4={1，3,5,8,9},8={1,2,5,7,8,9,11},則AcB的子集個(gè)數(shù)為（）

A.4B.8C.16D.18

2.在復(fù)平面內(nèi)，（2-公）（3+1）對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.函數(shù)/（力=/—31的圖象在點(diǎn)（TJ（T）處的切線方程為（）

A2尤+y+4=0B=OQx-2y-3=0口x+2y+5=0

4.若力＞。，且a+?=/，則2a+b的最小值為（）

A.6B.9C.4D.8

5.如圖，在棱長(zhǎng)都相等的正三棱柱AB。-AgC中，尸為棱CG的中點(diǎn)，則直線4瓦與直線BP所成的角

為（）

A.30°B.45°c.60°D,90°

6,已知向量滿足忖WK卜+2可=2四則［%=（）

5^_54_4

A.4B.4c.D.§

7.已知函數(shù)"x）=4sinxcosx,g（x）=sin2x-Wcos2x的定義域均為R,則（）

A.當(dāng)“幻取得最大值時(shí)，8（尤）取得最小值

B.當(dāng)8（幻取得最大值時(shí)，八無(wú)）=一1

C./⑺與才（尤）的圖象關(guān)于點(diǎn)13J對(duì)稱

1

JQ—__

D.八九）與g（?的圖象關(guān)于直線3對(duì)稱

/、f|3x-l|,x<l

/（x）=F

8.已知函數(shù)U°g2尤"*1,若函數(shù)g（x）=/（x）+，”有3個(gè)零點(diǎn)，則優(yōu)的取值范圍是（）

A.（a4,（-2,啖,（。,1）D（-1,0）

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部

選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.某市組織舉辦了信息安全知識(shí)競(jìng)賽.已知某校現(xiàn)有高一學(xué)生1200人、高二學(xué)生1000人、高三學(xué)生1800

人，利用分層抽樣的方式隨機(jī)抽取100人參加校內(nèi)選拔賽，賽后前10名學(xué)生成績(jī)（滿分100分）為75,

78,80,84,84,85,88,92,92,92,則（）

A.選拔賽中高一學(xué)生有30人

B.選拔賽前10名學(xué)生成績(jī)的第60百分位數(shù)為85

C.選拔賽前10名學(xué)生成績(jī)的平均數(shù)為85

D.選拔賽前10名學(xué)生成績(jī)的方差為33.2

22

10.已知直線1：如+（%一2）y+2=0與圓Jx+y-4x+6y-23=0）點(diǎn)p在圓c上，則（）

A.直線1過(guò)定點(diǎn)0」）

B.圓C的半徑是6

C.直線1與圓C一定相交

D.點(diǎn)P到直線1的距離的最大值是6+宕

E?土+匕=l（a>6>0）e=FF

11.已知橢圓,/b2的離心率22分別為它的左、右焦點(diǎn)，48分別為它的左、

右頂點(diǎn)，P是橢圓E上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且伊耳閭的最大值為26，則下列選項(xiàng)正確的是（）

A.當(dāng)尸不與左、右端點(diǎn)重合時(shí)，△尸片工的周長(zhǎng)為定值4+2石

B.當(dāng)尸尸J?解時(shí)，忸閭=1

C.有且僅有4個(gè)點(diǎn)尸，使得APG工為直角三角形

D.當(dāng)直線叢的斜率為1時(shí)，直線PB的斜率為4

12.如圖，在邊長(zhǎng)為4的正方形ABC。中剪掉四個(gè)陰影部分的等腰三角形，其中。為正方形對(duì)角線的交

點(diǎn)，OE=OE'=OF=OF'=OG=OG=OH=OH',將其余部分折疊圍成一個(gè)封閉的正四棱錐，若該正

四棱錐的內(nèi)切球半徑為5,則該正四棱錐的表面積可能為（）

2

AFrB

A.12B.4+4&c.8D.5+2石

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

--工

13.二項(xiàng)式I的展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為

14.已知尸為拋物線。：/=2刃(。>0)上一點(diǎn)，點(diǎn)7^^的焦點(diǎn)的距離為16,到x軸的距離為10,則

p=

15.奇函數(shù)滿足"4-x)=/(x),〃l)=l,則〃5)=

16.古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派通過(guò)研究正五邊形和正十邊形的作圖，發(fā)現(xiàn)了黃金分割率.黃金分割率的值

6T=2sinlS°sind-

也可以用2sinl8°表示，即2~,設(shè)6為正五邊形的一個(gè)內(nèi)角，則sin36°

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

.??.a—2,c—3>/3,B—-

17.在"RC中，角A，6，C所對(duì)的邊分別為”,瓦C,已知6.

⑴求生

⑵求sin2A.

18.已知｛%｝是遞增的等差數(shù)列，電，為是方程/-1"+70=0的根.

(1)求｛%｝的通項(xiàng)公式;

(2)求數(shù)列的前〃項(xiàng)和.

19.某單位招聘會(huì)設(shè)置了筆試、面試兩個(gè)環(huán)節(jié)，先筆試后面試.筆試設(shè)有三門(mén)測(cè)試，三門(mén)測(cè)試相互獨(dú)立,

三門(mén)測(cè)試至少兩門(mén)通過(guò)即通過(guò)筆試，通過(guò)筆試后進(jìn)入面試環(huán)節(jié)，若不通過(guò)，則不予錄用.面試只有一次機(jī)

會(huì)，通過(guò)后即被錄用.已知每一門(mén)測(cè)試通過(guò)的概率均為2,面試通過(guò)的概率為5.

⑴求甲通過(guò)了筆試的條件下，第三門(mén)測(cè)試沒(méi)有通過(guò)的概率；

(2)已知有100人參加了招聘會(huì)，X為被錄取的人數(shù)，求X的期望.

3

20.如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-4耳￡"中，點(diǎn)E,尸分別在棱8月上，AB=2,AD=1,M=3；

DtE=BF=l

(1)證明：￡F±A>￡.

⑵求平面A'EF與平面ABCD的夾角的余弦值.

22

C:工-當(dāng)=l(a>0,b>0)

21.已知雙曲線或b-的右焦點(diǎn)為-2，°),實(shí)軸長(zhǎng)為2后.

(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵過(guò)點(diǎn)4(°/)，且斜率不為0的直線/與雙曲線c交于P，Q兩點(diǎn)，°為坐標(biāo)原點(diǎn)，若△°尸。的

面積為求直線/的方程.

f(x)=—+671n(.x+l)

22.已知函數(shù)e，\

⑴當(dāng)a=O時(shí)，求的最大值；

⑵若"X)4°在^口口)上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

4

1.c

【分析】根據(jù)求出AcB中元素個(gè)數(shù)，然后由集合子集個(gè)數(shù)公式求解即可.

【詳解】因?yàn)锳8={1,5,8,9},所以AcB有4個(gè)元素，故子集個(gè)數(shù)為24=16.

故選：C

2.D

【分析】先根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算求出復(fù)數(shù)，再根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義即可得解.

【詳解】因?yàn)殪?萬(wàn)川+嶺―4i,

所以其對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限.

故選：D.

3.B

【分析】求得「（門(mén)=4二-6x,結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可求解.

【詳解】由函數(shù)”為）=丁-31,可得/（彳）=4/-6x,所以尸（-1）=2且=

所以所求切線方程為＞+2=2（%+1）,即2x-y=0.

故選:B.

4.B

【分析】根據(jù)條件得至然后將原式變形為（如咕+力，再利用基本不等式求解出最小值.

“+2"=2+_!=1

【詳解】因?yàn)椤?必=。匕，所以abab

2a+Z?=（2a+b）]—i—=5H---1----N5+2J------=9

因?yàn)閎）ab\ab

2bla

當(dāng)且僅當(dāng)a~b,即a=6=3時(shí)，等號(hào)成立,

所以勿+6的最小值為9,

故選：B.

5.D

【分析】作直線A片與直線成的平行線，然后解三角形即可得出答案.

5

【詳解】

如圖設(shè)E,F分別為棱AB,B片的中點(diǎn)，連接麻，F(xiàn)G,EC%EC,

E,F分別為棱肛明的中點(diǎn)，所以EF/m,

因?yàn)槭瑸槔釩G的中點(diǎn)，所以GPm且"=阿，

所以四邊形C/忙為平行四邊形，所以“「/BP,

所以/匹G（或其補(bǔ)角）為直線4月與直線3尸所成的角.

設(shè)正三棱柱ABC-A4G的棱長(zhǎng)為2“，

則阿|=2缶四=小周=缶陽(yáng)|=忸4=6

\EC\=J忸cf_|BC『=y/3aEG=J|EC'+|CC/二77a

所以環(huán)「+附小=的「，所以所廠G,"FG=90；

故選:D.

6.B

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合向量的數(shù)量積和模的計(jì)算公式，準(zhǔn)確計(jì)算，即可求解.

If/I=l,|z?|=2,la+2Z?|=2A/3

【詳解】由門(mén)口??,

一（°+2b）2=|a|+4（t-b+4\b\=l+4a-Z?+16=12,?a'^~~~T

可得??11解得4.

故選:B.

7.D

【分析】利用三角恒等變換與三角函數(shù)的圖象及其性質(zhì)，對(duì)每個(gè)選項(xiàng)逐一判斷即可.

g(x)=2sin2x~—2x=—+7.kn(keZ)

［詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：f（x）=2sin2xI3人當(dāng)了⑺取得最大值時(shí)，2

則g（x）=l,A錯(cuò)誤.

TTTT、冗

/、2x----=—+2k/r(k€Z)2x=——+2k7T(kGZ)//、1

對(duì)于選項(xiàng)B：當(dāng)g(x)取得最大值時(shí)，32，則6,〃x)=l,B錯(cuò)誤.

6

——n

所以/(元)與g(x)的圖象關(guān)于直線-3對(duì)稱，c錯(cuò)誤，D正確.

故選：D.

8.D

【分析】轉(zhuǎn)化為/(“)與丁=一根圖象有3個(gè)不同的交點(diǎn)，畫(huà)出兩函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合得到答案.

［詳解］令g(x)=/(x)+〃y°,故f(x)=T\

的圖象,

函數(shù)g(x)=/(x)+”2有3個(gè)零點(diǎn)，即“6與y=-加圖象有3個(gè)不同的交點(diǎn),

則

解得硝TO).

故選：D

9.ACD

【分析】對(duì)于A,按分層比例驗(yàn)算即可；對(duì)于BCD,由百分位數(shù)的概念、平均數(shù)以及方差運(yùn)算公式逐一驗(yàn)

算即可.

1200x---------------------=30

【詳解】選拔賽中高一學(xué)生有1200+1000+1800人，所以A正確；

85+88_E5

因?yàn)?0x60%=6,所以選拔賽前10名學(xué)生成績(jī)的第60百分位數(shù)為一二一.，所以B錯(cuò)誤；

-1

x=—x(75+78+80+84+84+85+88+92+92+92)=85

因?yàn)?°,所以c正確；

s1」(100+49+25+1+1+0+9+49+49+49)=33.2

因?yàn)?°,所以D正確.

故選：ACD.

10.BC

【分析】求解直線經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)，圓心與半徑，兩點(diǎn)間的距離判斷選項(xiàng)的正誤即可.

［詳解］直線1：7.+0"—2)y+2=0,gpm(x+y)-2y+2=0

7

卜+y=0\x=-l

由［一2y+2=0,解得［y=l,則直線1過(guò)定點(diǎn)（T/），故A錯(cuò)誤；

圓C：爐+>2-4%+6>—23=0,即（工一2）2+（>+3）?=36,

則圓C的圓心坐標(biāo)為C（2，—3）,半徑為6,故B正確；

因?yàn)辄c(diǎn)（TJ）與。（2廠3）的距離為d=7（2+1）2+（-3-1）2=5<6,

則點(diǎn)（T/）在圓C的內(nèi)部，所以直線1與圓C一定相交，故C正確；

點(diǎn)P到直線1的距離的最大值是1+5=6+5=11,故D錯(cuò)誤.

故選：BC.

11.ABD

【分析】A：先求解出橢圓方程，然后根據(jù)焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)等于%+2c求得結(jié)果；B：先求解出尸的縱

坐標(biāo)，由此可求歸制，根據(jù)橢圓定義可求LI；C：先計(jì)算焦點(diǎn)三角形頂角的最大值，然后再分析「點(diǎn)

的個(gè)數(shù)；D：先計(jì)算出原B-怎A為定值，然后可計(jì)算出心也

【詳解】對(duì)于A：因?yàn)殁钍c同耳聞，當(dāng)且僅當(dāng)尸為右頂點(diǎn)時(shí)取等號(hào)，

又因?yàn)殚y的最大值為2班,所以2c=2"。=昆

cA/3X21

c——=—.----1-y2=1

因?yàn)閍2,所以"=21=1,所以橢圓石的方程為4?,

因?yàn)椤魇?的周長(zhǎng)為附+幽+1月閭=2。+2c=4+2色故A正確;

32_

對(duì)于B：當(dāng)尸月,斗8時(shí)，與=一石，所以1+為，

|P/\|=—

所以yP=+—2,所以?112,

7

因?yàn)橐灿妹?2a=4,所以“-5,故B正確;

八tanZF.QO=tanZF,QO=-=—=y/3

對(duì)于C：設(shè)橢圓的上頂點(diǎn)為0,因?yàn)閎1

所以3QO=5QO=60。，所以“P6的最大值為120。，

所以存在4個(gè)點(diǎn)P,使得〃尸耳=90。，

又因?yàn)榇嬖?個(gè)點(diǎn)P使/尸肥=90°,存在2個(gè)點(diǎn)p使2尸6片=90°,

8

所以存在8個(gè)點(diǎn)尸，使得耳鳥(niǎo)為直角三角形，故C錯(cuò)誤;

對(duì)于D：因?yàn)椤埃ㄒ?，。），3（2,0）,設(shè)尸1,%）（/，±2）,

尤+*=1北=1-江

則4，所以°4,

1_芯_

kk____--4_=_1

所以PAPB入0-2%+2需一4只一44,

=-4=_J_

因?yàn)椤耙?1,所以建kpA4,故D正確，

故選：ABD.

12.BC

【分析】設(shè)翻折前隹'=M°<x<2）,根據(jù)三角形及棱錐的性質(zhì)可得棱錐的高與斜高，進(jìn)而可得四棱錐

的體積與表面積，結(jié)合內(nèi)切球的性質(zhì)可得解.

。//HC

MF

【詳解】

設(shè)翻折前隹'="（°<》<2）,則翻折后EF=0x,OM=2叵-

斜高

OO22

該四棱錐的高'=>IOM-O'M=V8-4X；

11i-----4

=￡。。'.8四邊形MG”=￡XJ8—4xx2%2=—

則333

.........................一S=S正方形的8-4s△。底尸，=16-4xx2x(4-2x)=8x

9

13%FFGH_J_____

因?yàn)樵撜睦忮F的內(nèi)切球半徑為萬(wàn)，所以S-2,即=

+_1—^/5

則X-1=（無(wú)T（f-1）=0,解得x=^x=F-或"二-（舍）

故S=8或4+4指.

故選：BC.

13.7

【分析】求出展開(kāi)式的通項(xiàng)，再令未知數(shù)的次數(shù)等于零，即可得解.

(41丫(-Y-r(1丫8-4r

5-丁Tr+l=c[/--X-'=(-iyq2-^―

【詳解】I義町展開(kāi)式的通項(xiàng)為<>27

U=o

令3,得廠=2,

所以常數(shù)項(xiàng)為C>2~=7.

故答案為：7

14.12

【分析】根據(jù)題意結(jié)合拋物線的定義分析求解.

__P_

【詳解】由題意可知拋物線C"=2刀(°>0)的準(zhǔn)線方程為'=-5,

4+10=1610

根據(jù)拋物線的定義可得2,所以P=12.

故答案為：12

15.-1

【分析】直接由函數(shù)的對(duì)稱性、奇函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)換運(yùn)算即可.

【詳解】由八"無(wú))=/(力可得“X)的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱,所以〃5)=/(-1)=-”1)=-1

故答案為：-L

丁+1

16.2

【分析】根據(jù)條件先求解出e的值，然后根據(jù)誘導(dǎo)公式以及二倍角的正弦公式求解出結(jié)果.

生*。8。

【詳解】由題可知5,

sin。_sin108°_sin(9。。+18。)_cos18°_cos18°_]_2_后+1

所以sin360sin36sin36sin362sin18°cos1802sin18°百-12,

石+1

故答案為：

10

_逑

17.⑴舊；⑵13.

【分析】（1）應(yīng)用余弦定理解三角形;

sinA=^

（2）由正弦定理求得13,根據(jù)平方關(guān)系、二倍角正弦公式求結(jié)果.

a=2,c—3下,B――

【詳解】（1）因?yàn)?,

b1=a2+c2-2?ccosB=4+27-2x2x373x^-=13

所以2

所以b

.l7i.AasinB屈

a=2,c=3。3,B=—sinA=-

（2）因?yàn)?及（1）結(jié)果，所以bVi3-IT

cosA=Jl-sin2A=

因?yàn)椤?lt;6,所以A為銳角，則13

sin2A=2sinAcosA=------

故13.

S76n+7

18.⑴%=3〃-1⑵3"=丁而T

【分析】（1）根據(jù)題意，求得出和。5的值，結(jié)合等差數(shù)列的基本量運(yùn)算，進(jìn)而求得數(shù)列的通項(xiàng)公式;

生=（3w-l）x.]

（2）由（1）得到3"[3）,結(jié)合乘公比錯(cuò)位法求和，即可求解.

【詳解】⑴解:由出和%是*T9x+70=（x-5）（14）=。，

又由｛%｝是遞增的等差數(shù)列，可得出=5,%=14,

a5-a2_

設(shè)｛""｝的公差為d,則5-2,可得紇=%+（"-2）d=3w-l.

所以數(shù)列｛"'｝的通項(xiàng)公式為%=3"1.

^=（3?-1）XQT,

（2）解：由（1）知3",記數(shù)列13"J的前〃項(xiàng)和為S”,

則S"2xg+5><tj+8xgj+…+（3”l）xg]

11

所以gS"2x]j+5xg]+…+（3〃一4）xg）+（3*l）x]j

|s"+3x；+；+...+；-（3?-l）x

兩式相減，得LV7v7I/」

c76n+7\^n_\076n+7

所以〃44x3〃,即數(shù)列㈠J的前〃項(xiàng)和為〃44x3〃.

j_

19.（1）4（2）20

【分析】（1）根據(jù)條件概率計(jì)算即可；

（2）易得X服從二項(xiàng)分布，再根據(jù)二項(xiàng)分布的期望公式計(jì)算即可.

【詳解】（1）設(shè)A事件為甲通過(guò)了筆試，B事件為甲第三門(mén)測(cè)試沒(méi)有通過(guò),

尸（田=嗯2

則

j.

尸（45）=

8

1

P（AB）=8=1

尸例A）=

P⑷j_4

故甲通過(guò)了筆試的條件下，第三門(mén)測(cè)試沒(méi)有通過(guò)的概率為

（2）設(shè)某人被錄取的概率為P,

x-BIioo,1

由題可知

E（X）=100xl=20

所以5

20.（1）證明見(jiàn)解析（2）3.

【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用數(shù)量積證明垂直即可；

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，以向量法去求平面人口與平面MCD的夾角的余弦值即可解決.

12

【詳解】(1)以G為坐標(biāo)原點(diǎn)，G2,G耳，GC所在直線分別為x,y,z軸，建立如圖所示的空間

直角坐標(biāo)系，

則A(2,1,0),E(2,0,l),尸(0,1,2),所以AE=(O，T，1),EF=(-2,1,1),

因?yàn)锳￡EF=0x(-2)—lxl+lxl=0,所以

(2)由⑴4￡-(0,-U),^-(-2,1,1),

\E-m=0

<

設(shè)平面4M的法向量為機(jī)=(x,y,z),則［￡小機(jī)=0,

f—y+z=0

即［-2無(wú)+y+z=0,不妨取z=l,則加=(11,1).

易得平面A5C。，所以GC是平面A5c。的一個(gè)法向量，且。,=(0,。,3).

cosd=kos(〃7,C［C

設(shè)平面設(shè)4或7與平面ABC。的夾角為。，所以

且

故平面4或7與平面ABC。的夾角的余弦值為3.

-21=1y=/x+ly=-也x+1

⑵或」

21.(1)2233

【分析】(1)焦點(diǎn)坐標(biāo)和實(shí)軸長(zhǎng)得到“，°,再結(jié)合-儲(chǔ)得到人,即可得到雙曲線方程；

(2)聯(lián)立直線和雙曲線方程，利用韋達(dá)定理得到「Qi,根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式得到點(diǎn)°到直線/的距

離，然后利用三角形面積公式列方程，解方程即可.

【詳解】⑴由題意得。=2,2a=28,則”=忘，6=歸一片=0,

看上一1

所以雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為22.

13

⑵]

設(shè)直線/的方程為1質(zhì)+1,化*°）,尸（為％）,0區(qū)必）,

y-kx+\

1件(1_〃卜2_2爪_3=0

聯(lián)立〔22

△=4左2+120-左2)>0

22k-3

令[1-左230Q<k<-2貝/+%=可，

,解得2且

212—8左2

IPQ|=yjl+k,J(%1+%2)2_4玉%2

2

設(shè)點(diǎn)。到直線/的距離為d,則

12—8左2

SOPQ=^d-\PQ\=^-6，解彳或o（舍去），即J與

2

所以

y工+1y=H+l

所以直線’的方程為.3或-3

2

22.