2024年高三數(shù)學(xué)練習(xí)題及答案（三）

一'單項(xiàng)選擇題:

2

1.已知集合2={劉》〈研，5={x|logl(x-4x)>log21),若2口8=0,則實(shí)數(shù)。的

23

取值范圍為

A.(-1,5)B.[0,4]

C.(-℃,-!]D.(-oo,-l)

【答案】D

【解析】由8={x|log』(x2_4x)2k)g21},得.；2一l,o)u(4,5],

若/c5=0,則a<-l.故答案為D.

2."C=5"是"點(diǎn)(2,1)到直線3x+4y+C=0的距離為3"的()

A.充要條件

B.充分不必要條件

C.必要不充分條件

D.既不充分也不必要條件

【答案】B

|3x2+4xl+C|

【解析】由題意知點(diǎn)(2,1)到直線3x+4y+C=0的距離為3等價(jià)于=3,

6+了

解得C=5或C=-25,所以"C=5"是"點(diǎn)(2,1)到直線3x+4v+C=0的距離為3"的充分

不必要條件，故選B.

Q

3.已知隨機(jī)變量J服從正態(tài)分布則尸(J24)=()

A.0.0013B.0.0026C.0.0228D.0.0456

【答案】C

【解析】正態(tài)曲線的對稱軸是x=l,P仔>1）=0.5,〃=1,5若X?N（n，。2）,有P3

-o<X<n+o）=0.6826,P（廠2o<X印+2o）=0.9544,P（n-3o<X<n+3a）=0.9974,,

所以P（—2<J<4）=0.9544,所以產(chǎn)怎24）=0.5—；x0.9544=0,0228,故選C.

4.一個(gè)物體的位移s（米）與時(shí)間/（秒）的關(guān)系為s=2+10”/，則該物體在3秒末的瞬時(shí)

速度是（）

A.6米/秒B.5米/秒C.4米/秒D.3米/秒

【答案】C

【解析】由題意,物體的位移s（米）與時(shí)間/（秒）的關(guān)系為s=2+10/則s'=10-2t,

當(dāng)/=3時(shí)，§'=10-2x3=4,即3秒末的瞬時(shí)速度為4米/秒，故選C.

5.將函數(shù)/（x）=2sin（2x+e）的圖象沿x軸向右平移己個(gè)單位后，得到的函數(shù)圖象關(guān)于

■V軸對稱，則。的值可以是（）

A冗71571_2乃

A.—B.-C.—D.—

3663

【答案】C

【解析】函數(shù)/（x）=2sin（2x+0）的圖象沿x軸向右平移季個(gè)單位后的解析式是

若函數(shù)圖象關(guān)于J軸對稱，當(dāng)x=0時(shí),

717111r

——+(p=—+左7T,左￡Z,

57r

解得：(P=—+k7T,keZ

6

當(dāng)左=0時(shí)，(p=——.

6

故選：C

6.已知函數(shù)/(x)=《-a.若"X)沒有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

A.[0,e)B.(0,1)C.(0,e)D.(0,1)

【答案】A

【解析】當(dāng)a=0時(shí)，/(%)=—,令幺=0,則/=0,:/>0恒成立，，J=0無解，即

XXX

/(%)=^無零點(diǎn)。故選：Ao

x

7.若點(diǎn)P是曲線y=x2—Inx上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線y=x—2的最小距離為()

A.—B.1C.VID.2

2

【答案】C

【解析】因?yàn)辄c(diǎn)P是曲線y=x2—Inx上任意一點(diǎn)，所以當(dāng)點(diǎn)P處的切線和直線y=x—2

平行時(shí)，點(diǎn)P到直線y=x—2的距離最小.

因?yàn)橹本€y=x—2的斜率等于1,曲線y=x2—Inx的導(dǎo)數(shù)y'=2x--,

x

令y'=l,可得x=1或x=-g(舍去)，所以在曲線y=x2—lnx上與直線y=x—2平行

的切線經(jīng)過的切點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1)，

”1-2|

所以點(diǎn)P到直線y=x-2的最小距離為=V2,

Vi+T

故選：C.

8.已知函數(shù)若/色一劫之八一切，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

A.(-8月B.住,+8)c.o,-D.-,1

【答案】A

【解析】函數(shù)〃x)=eT=，］在(-*0］上為減函數(shù)，

函數(shù)y=—x2—2%+1的圖像開口向下，對稱軸為x=-l,

所以函數(shù)/(x)=-V—2x+l在區(qū)間(0,+s)上為減函數(shù)，

2

_ae-°=-0-2x0+1.

所以函數(shù)/(x)在(-*+8)上為減函數(shù).

由/伍―1)2/(—0得a—1<—a.解得

故選A.

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多

項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分。

9.四邊形45co內(nèi)接于圓0,AB=CD=5,AD=3,ZBCD=60°,下列結(jié)論正確的有

()

A.四邊形45co為梯形B,圓。的直徑為7

C.四邊形/BCD的面積為2D.A43D的三邊長度可以構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列

4

【答案】ACD

【解析】VAB=CD=5,AD=3,ZBCD=60

/BAD=120°

可證MAD=ACDA

ABAD=ZCDA=120°

:./BCD+NCD4=180。

BCHDA

顯然48不平行CD

即四邊形為梯形，故/正確；

在A54D中由余弦定理可得AD?

.-.5￡>2=52+32-2X5X3COS120°=49

BD=1

二圓的直徑不可能是7,故3錯誤；

在ABCD中由余弦定理可得BD2=CB2+CD2-2CBCDcosZBCD

.?.72=C82+52-2x5xC8cos60。解得CB=8或CB=-3（舍去）

iiA715/3

S"=—45?4Dsinl200=—X5X3X4=QE

^BAD2224

_1「八?（八。_16Q百—40A/3

..Sc——CB,CDsin60——x5x8x—二----

型KRCDri2224

.W4g_15V340A/3_55A/3

??^ABCD~、bBCD十^\BAD~1~—~

故C正確；

在AA8Z）中，AD=3,AB=5,BD=7,^^AD+BD=2AB

.1A/I8D的三邊長度可以構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，故。正確；

故選：ACD

io.我們通常稱離心率為近匚的橢圓為"黃金橢圓".如圖，已知橢圓

2

22

C：A+4=l（4>b>0）,4,4,4,82為頂點(diǎn)，片,鳥為焦點(diǎn)，尸為橢圓上一點(diǎn)，滿足下

ab

列條件能使橢圓。為"黃金橢圓”的有（）

A.M冏，由與，出即為等比數(shù)列

B./月用出=90。

C.PF,Lx軸，且尸?！?g

D.四邊形4層4瓦的內(nèi)切圓過焦點(diǎn)片，鳥

【答案】BD

【解析】VC:^+p-=l（t7>Z>>0）

.1?4（一-0），&（a，0）目（0⑼也（0,。），耳（-G0）,F2（c,0）

對于兒|4于|,|耳刃,陽次|為等比數(shù)列

2

則14幣?|F2A2|=|和|

（a-C）2=（2C）2

.\a-c=2c

，e=；不滿足條件，故4錯誤；

對于2：/耳44=90。

??.|4川=忸闿2+怛闖2

「.（a+c）=Q?+a2+/

c?+ac—/=0即e?+e—l=0解得e=~1或e=~-（舍去）滿足條件

22

故3正確；

對于C：PF^x軸，且尸O〃4片

￡

kk

P0=A2B,BPT=A解得b=c

—c—a

?：a2=b2+c2

，e=￡=R=^不滿足題意，故。錯誤；

ay/2c2

對于。：四邊形4與4瓦的內(nèi)切圓過焦點(diǎn)片，乙

即四邊形4與4月的內(nèi)切圓的半徑為c,

:.ab=cyla2'+b~

c4-3a~c2+a4=0

.-.e4-3e2+l=0l?Me2(舍去)或e?=21^

22

V5-1

e=-----

2

故。正確

故選：BD

11.如圖，在正方體N8C。-中，點(diǎn)尸在線段8c上運(yùn)動，則()

A.直線即，平面4CQ

B.三棱錐P-4G。的體積為定值

C.異面直線/P與4。所成角的取值范圍是［45。,90。］

D.直線C7與平面4G。所成角的正弦值的最大值為逅

3

【答案】ABD

【解析】對于選項(xiàng)A,連接與2,由正方體可得4G，及％且仍口平面4月CQ，則

班J4G,所以4。，平面瓦)4,故LBDX；同理，連接4v易證得4。，瓦九則

BD1，平面4G。,故A正確；

對于選項(xiàng)B,%一go=%-4.，因?yàn)辄c(diǎn)尸在線段與。上運(yùn)動，所以與以=；4。？層面積為

定值，且G到平面4PQ的距離即為G到平面4B0的距離，也為定值,故體積為定值，故

B正確；

對于選項(xiàng)G當(dāng)點(diǎn)P與線段B.C的端點(diǎn)重合時(shí),AP與A{D所成角取得最小值為60°，故C錯

誤；

對于選項(xiàng)D,因?yàn)橹本€22,平面4G。所以若直線￡尸與平面4G。所成角的正弦值最大,

則直線與直線8。所成角的余弦值最大，則P運(yùn)動到Bxc中點(diǎn)處，即所成角為NC/2,

設(shè)棱長為1,在RJDGB中,cosyBDi=襄=￡=造，故D正確

3D13

故選：ABD

12.已知函數(shù)/'(x)是偶函數(shù),且/(5-x)=/(5+x),若g(x)=/(x)sin?x,

h(X)=f(X)COS7VX,則下列說法正確的是()

A.函數(shù)y=g(x)是偶函數(shù)

B.10是函數(shù)〃x)的一個(gè)周期

C.對任意的xeR,都有g(shù)(x+5)=g(x-5)

D.函數(shù)y=〃(x)的圖象關(guān)于直線x=5對稱

【答案】BCD

【解析】函數(shù)”X)是偶函數(shù)，且"5—x)=/(5+x),

A/(5-x)=/(x-5)=/(5+x),

.?./[(x+5)—5]=/[(x+5)+5],即/(x)=/(x+10),

.?.10是函數(shù)〃尤)的一個(gè)周期,B對;

又：“X)是偶函數(shù)，且g(x)=/(x)sin乃X,

g(-x)=/(-x)sin(-^x)=/(%)?(-sin=-f(x)sin7ix=-g(x),

函數(shù)y=g(x)是奇函數(shù)，A錯；

Vg(x+5)=/(x+5)sin^-(x+5)=/(x+5)sin(5^+TTX)=-f(x+5)sinTIX,

g(x-5)=/(x-5)sin7i(x-5)=/(x-5)sin(—5%+nx)--f(x-5)sin7rx,

又/(x-5)=/(x+5),

g(x+5)=g(x—5),故C對；

是偶函數(shù),且/z(x)=/(x)cos%x,

/.〃(5+x)=/(5+x)cosTT(5+x)=/(5+x)COS(5TT+nx)--f(5+x)cosTIX,

h(5-x)=/(5-x)cos%(5-x)=/(5-x)cos(5?-TTX)=-f(5-x)cosnx,

/.A(5+x)=/(5+x)cos7r(5+x)=/(5+x)COS(5TT+7rx)=-f(5+x)cosnx,

又“5-%)=/(5+x),

/.)(5+>)=h(5-x),

...函數(shù)歹=〃(X)的圖象關(guān)于直線x=5對稱，D對；

故選：BCD.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.在三角形48C中，點(diǎn)M是線段5C的中點(diǎn)，BC2=20,\AB+AC\=\AB-AC\?則

\AM\=.

【答案】V5

【解析】因?yàn)閨方+%|=|方-故|方+就『■方—%「，

化簡得到萬?元=0,故A45c為直角三角形且為斜邊.

又拼=20,故園=2后,因?yàn)椤鰹樾边吷系闹芯€,故|而|=6

故答案為：V5.

5

14.已知數(shù)列｛%｝滿足log24+i-log,an=l,則“：的=.

VTTIC/i

【答案】4

aa

【解析】因?yàn)閘og2%+iTog2%=log23=l,所以3=2,即數(shù)列｛%｝是以2為公比

%an

22

的等比數(shù)列，所以巴士幺="上”=/=4.

%+%%+a\

故答案為：4.

15.在直角三角形ABC中，點(diǎn)D是斜邊AB上的點(diǎn)，且滿足/ACD=45。，/BCD=45°,

設(shè)AC=x,BC=y,DC-y[2,則x,V滿足的相等關(guān)系式是;三角形ABC

面積的最小值是.

【答案】-+-=L2

xy

【解析】作

DELAC,DFLBC：,DF=DE=1—=1>2—

xAByABxyxyyxy

:.xy>4:.S=^xy>2,面積最小值為2

16.如圖，平行四邊形形狀的紙片是由六個(gè)邊長為1的正三角形構(gòu)成的，將它沿虛線折

起來，可以得到如圖所示粽子形狀的六面體，則該六面體的表面積為;若該

六面體內(nèi)有一小球，則小球的最大體積為.

876

【答案】H--------71

2729

【解析】（1）因?yàn)镾=6xdxlx也）=位，所以該六面體的表面積為軍.

2222

（2）由圖形的對稱性得，小球的體積要達(dá)到最大，即球與六個(gè)面都相切時(shí)，

每個(gè)三角形面積是近，六面體體積是正四面體的2倍，所以六面體體積是變.

46

由于圖像的對稱性，內(nèi)部的小球要是體積最大，就是球要和六個(gè)面相切，連接球心和五

個(gè)頂點(diǎn)，把六面體分成了六個(gè)三棱錐，設(shè)球的半徑為R,

所以=6X（'X^^XR）nR=,

6349

所以球的體積廠=四斤4%,灰、38^/6

—(—)=----兀

339729

3738^/6

故答案為:---；----71?

2729

四、解答題：本小題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（本小題滿分10分）已知數(shù)列｛%｝滿足：（Zj+a2+H-----F%=-1）,〃eN*.

（1）求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

（2）若數(shù)列｛"｝滿足"=%1嗎%+1，求也｝的前〃項(xiàng)和丸.

【答案】（1）。"=3"\（2）北=牛、3"+；

a=-

【解析】（1）令S"-----n

當(dāng)〃=1時(shí)，ax-\

當(dāng)心2時(shí)，%=S,-Ski=3'T

當(dāng)〃=1時(shí)，滿足q=3一=1,，%=3"T

所以｛%｝的通項(xiàng)公式為4=31.

(2)由⑴得a=%log3aM=3"T1幅3"=〃?3"T

7；=1X3°+2X31+3X32+---+(?-1)X3,,-2+?X3^1@.

37；,=lx31+2x32+3x33+-??+(/7-l)x3,,-2+/2x3,,@

由①減去②得-27；.3"

所以也｝的前〃項(xiàng)和北=七23"+：.

18.(本小題滿分12分)如圖，在四棱錐P-48CO中，底面45co是矩形，尸2,平面

ABCD,P4=AD=：AB=1,點(diǎn)E、"分別在線段PC±.,且］|=襄=2,

其中0<%<1,連接CE,延長CE與D4的延長線交于點(diǎn)尸，連接PE,PF,ME.

(I)求證："E//平面PFD；

(II)若2=；時(shí)，求二面角N-PE-b的正弦值；

(III)若直線PE與平面心。所成角的正弦值為舍時(shí)，求彳值.

【答案】(I)證明見解析；(H)農(nóng)；(III)

38

【解析】(I)在線段尸。上取一點(diǎn)N,使得P肅N=%，.?P.N肅=4=記PM，

:.MNUDC^,MN=—DC,

A

AE,

------A,

AB

AE=-AB,AB//DC且AB=DC,

2

：.^.AE=MN,

四邊形為平行四邊形，

MEHAN,

又?r/Nu平面0FD,AffiV平面PFD,

.?.ME//平面PED.

(II)以4為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以4F,AB,4P為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系/(O,

0,0),尸(0,o,1),3(0,2,0),C(-l,2,0),D(-l,0,0),

E(0,1,0),F(l,0,0)

設(shè)平面PEN的一個(gè)法向量為五=(x，N，z),

PE=(O,1,-1),刀=(0,0,1),

nPE=y—z=0

令z=l,y=1,.e.m=(0,1,1),

ri'AP—z—Q

設(shè)平面PEF的一個(gè)法向量為成=(x,y,z),

麗=(0,1,-1),而=(1,0,-1),

fh'PE=y—z=0

<_____

mPF=x—z=0

令z=l,.\x=l,JV=1,m=(1,1,1),

m*n1+1V3

cos<m,n>=

|比卜團(tuán)V2*V33'

.__R2~A/6

sin<m,n>=yjl-cos<m,n>=----

3

二面角N-PE-F的正弦值為Y6.

3

(III)令￡(0,k,o),0?A,2,尸￡=(0,兒—1),

設(shè)平面尸￡/的一個(gè)法向量為々=（x,〉,z）,

麗二(0,2,—1),就=(—1,0,0),

n?PB=2y-z=0

令V=l，

nx-PB=-x=0

Z=19

???*=(0,1,2)

|/2-2|亞

由題意可得

V/z2+1?V55

h=~,

4

AE3

??"4~AB8

19.（本小題滿分12分）甲、乙、丙三名射擊運(yùn)動員射中目標(biāo)的概率分別為ga,a（0<a<

1）,三人各射擊一次，擊中目標(biāo)的次數(shù)記為《

（1）求彳的分布列及數(shù)學(xué)期望；

（2）在概率P（S=i）（i=0,1,2,3）中，若P（S=1）的值最大，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【答案】（1）S的分布列為

0123

a2

P如-a)?犯-a?)|(2a-a2)

~2

（2）（0.1]

【解析】

（1）P同是飛個(gè)人命中，3—E個(gè)人未命中”的概率.其中s的可能取值為0、1、2、3.

代22

P=0)=C；(1-1)C°(l-a)=|(l-a);

P代=1)=C；TC°(l-a)2+C；(1-1)Cia(l-a)=|(l-a2)；

P(￡=2)=CKCja(l-a)+C?(1-1)C2a2=l(2a-a2).

P(￡=3)=C^^a2=y.

所以s的分布列為

0123

1a2

P犯-a/犯-a?)2(2a-a)

T

S的數(shù)學(xué)期望為

E(^)=0x1(l-a)2+lx1(l-a2)+2x1(2a-a2)+3x^=^.

乙乙乙乙乙

122

(2)P(^=l)-P(^=0)=j[(l-a)-(l-a)]=a(l-a);

22

P(^=l)-P(^=2)=|[(l-a)-(2a-a)]=^;

22

P(^=l)-P(^=3)=1[(l-a)-a]=^.

ra(l—a)>0,

由<詈和0<aVL得OVaV；,即a的取值范圍是(0，].

o

I2—

20.(本小題滿分12分)在△ZBC中，角4B,C的對邊分別為a,b,c,且

出asinC=ccosA.a1+c2.

⑴求八和B的大小;

jr

(2)若M,N是邊AB上的點(diǎn)，NMCN=《,b=4,求ACW的面積的最小值.

【答案】(工)4=[,B=^(2)述

663

【解析】(1)「小asinC=ccosA,

.二由正弦定理得：ypisinAsinC=sinCcosA,

0<C<^,sinCw0,

-*?可得yl3sinA=cosA,即勿〃4=——；

3

,兀

A——,

6

???由/+/=〃+y/3ac.

???由余弦定理可得：cosB=2"=—

2ac2

\'0<B<7i,

6

（2）如圖所示：

CMAC

在AMCA中由正弦定理，得

sinAsz.〃/AMC

由(1)可知A=J,a=6=4,

6

2

CM=—

所以：71

sinaH—

6

2

同理CN=——

cosa

7T

由于NMCN=§,

、百473

FsCMN」CM.CN.sz,必MCN=—>----=---

aCMN

故2.7112a+n?+工一23

sinaH—cosa

626424

此時(shí)a=-

6

板&CMN的面積的最小值為生8

3

2

21.(本小題滿分12分)在直角坐標(biāo)系MJ中，曲線C：y二二與直線歹=米+。(。＞0)

4

交與M,N兩點(diǎn),

(I)當(dāng)k=0時(shí)，分別求C在點(diǎn)M和N處的切線方程;

(H)y軸上是否存在點(diǎn)P,使得當(dāng)k變動時(shí)，總有NOPM=NOPN?說明理由.

【答案】(I)y[ax-y-a=0^-Tax+y+?=0(II)存在

【解析】(I)由題設(shè)可得N(—2行,a),或M(—2^,a),N(26,a).

12

Vy'=-x,故y=土在x=2加7處的導(dǎo)數(shù)值為右，C在(2V^a,a)處的切線方程為

24

y-a-y[a(x-2y/a),即4ax-y-a=0.

2

故y=土在x=2缶處的導(dǎo)數(shù)值為-C在（-2。,a）處的切線方程為

y-a--y/a(x+2y/a),BP4ax-\-y+a-0.

故所求切線方程為Gx-y_Q=0或Gx+y+Q=0.

（II）存在符合題意的點(diǎn)，證明如下：

設(shè)P（0,b）為復(fù)合題意得點(diǎn)，"（再,必），N（乙,%）,直線PM,PN的斜率分別為3&

將歹二6+。代入C得方程整理得/_4左x-4a=0.

X]+%=4無巧々=一4。,

k+k=/