四川省瀘州市瀘縣第五中學高三上學期期末數(shù)學（文）試題

瀘縣五中高2021級高三上期末考試文科數(shù)學本試卷共4頁，22小題，滿分150分.考試用時120分鐘.第I卷選擇題（60分）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先化簡集合，然后根據交集的定義計算.【詳解】由題意，，，根據交集的運算可知，.故選：A2.某工廠生產A，B，C三種不同型號的產品，它們的產量之比為2∶3∶5，用分層抽樣的方法抽取一個容量為n的樣本．若樣本中A型號的產品有20件，則樣本容量n為（）A.50 B.80 C.100 D.200【答案】C【解析】【分析】直接由分層抽樣的定義按比例計算即可.【詳解】由題意樣本容量為.故選：C.3.已知，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由已知得，根據復數(shù)除法運算法則，即可求解.詳解】，.故選：B.4.設x，y滿足約束條件，則z＝2x＋y的最小值是（）A.－15 B.－9 C.1 D.9【答案】A【解析】【分析】作出可行域，z表示直線的縱截距，數(shù)形結合知z在點B(－6，－3)處取得最小值.【詳解】作出不等式組表示的可行域，如圖所示，目標函數(shù)，z表示直線的縱截距，，數(shù)形結合知函數(shù)在點B(－6，－3)處縱截距取得最小值，所以z的最小值為－12－3＝－15.故選：A【點睛】本題考查簡單的線性規(guī)劃問題，屬于基礎題.5.已知是定義在上的函數(shù)，那么“函數(shù)在上單調遞增”是“函數(shù)在上的最大值為”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】利用兩者之間的推出關系可判斷兩者之間的條件關系.【詳解】若函數(shù)在上單調遞增，則在上的最大值為，若在上的最大值為，比如，但在為減函數(shù)，在為增函數(shù)，故在上的最大值為推不出在上單調遞增，故“函數(shù)在上單調遞增”是“在上的最大值為”的充分不必要條件，故選：A.6.將函數(shù)的圖像向左平移個單位長度后得到曲線C，若C關于y軸對稱，則的最小值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先由平移求出曲線的解析式，再結合對稱性得，即可求出的最小值.【詳解】由題意知：曲線為，又關于軸對稱，則，解得，又，故當時，的最小值為.故選：C.7.設是等比數(shù)列，且，，則（）A.12 B.24 C.30 D.32【答案】D【解析】【分析】根據已知條件求得的值，再由可求得結果.【詳解】設等比數(shù)列的公比為，則，，因此，.故選：D.【點睛】本題主要考查等比數(shù)列基本量的計算，屬于基礎題．8.已知向量，滿足，且，，則與的夾角為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據向量數(shù)量積的運算律和定義即可得到夾角大小.【詳解】由已知可得，設，又，，所以．故選：C．9.在正方體中，下列結論正確的是（）A.與所成的角為 B.與所成的角為C.與所成的角為 D.與所成的角為【答案】A【解析】【分析】根據空間直線與直線夾角定義逐項判斷即可.【詳解】如圖正方體中，設其棱長為1，易知直線與直線平行，所以與所成的角即為與所成的角，即為，而三角形為正三角形，所以，所以A正確；同理與平行，與所成的角即為與所成角，即為，三角形為正三角形，所以，所以C錯誤；因為，，，平面，平面，所以平面，所以與所成的角即為，則B錯誤；因為與平行，所以與所成角與與所成的角相等，即為，三角形中，，，所以不為，則D錯誤；故選：A10.已知，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據角的變換，結合三角函數(shù)恒等變換，即可求解.【詳解】.故選：D11.已知一個四面體的五條棱都等于2，則它的體積的最大值為（）A. B. C.1 D.2【答案】C【解析】【分析】首先根據題意得到四面體中至少有兩個面是邊長為2的正三角形，以其中一個為底面，則當另一個正三角形所在平面與它垂直時，四面體體積最大，再計算其體積即可.【詳解】由于有五條棱長都等于2，則四面體中至少有兩個面是邊長為2的正三角形，以其中一個為底面，則當另一個正三角形所在平面與它垂直時，四面體體積最大，如圖所示：此時和為邊長為的正三角形，且平面平面.取的中點，連接.因為，所以.又因為平面平面，所以平面.所以，，所以.故選：C12.已知，分別是雙曲線的左、右焦點，過的直線分別交雙曲線左、右兩支于A，B兩點，點C在x軸上，，平分，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據可知，再根據角平分線定理得到的關系，再根據雙曲線定義分別把圖中所有線段用表示出來，根據邊的關系利用余弦定理即可解出離心率.【詳解】因為，所以∽，設，則，設，則，．因為平分，由角平分線定理可知，，所以，所以，由雙曲線定義知，即，，①又由得，所以，即是等邊三角形，所以．在中，由余弦定理知，即，化簡得，把①代入上式得，所以離心率為．故選：A．第II卷非選擇題（90分）二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.曲線在點處的切線方程為__________．【答案】【解析】【分析】先驗證點在曲線上，再求導，代入切線方程公式即可．【詳解】由題，當時，，故點在曲線上．求導得：，所以．故切線方程為．故答案為：．14.已知實數(shù)滿足，則的最大值為________．【答案】11【解析】【分析】由約束條件作出可行域，化目標函數(shù)為直線方程斜截式，數(shù)形結合得到最優(yōu)解，把最優(yōu)解的坐標代入目標函數(shù)得到答案.【詳解】由約束條件，畫出可行域，如圖：令，化為斜截式方程得，由圖可知，當直線過點時，直線在軸上的截距最大.由得，即.所以點代入目標函數(shù)可得最大值，即最大值為.故答案為：11.15.過點作拋物線的兩條切線，切點分別為A，B，則直線AB的方程為___________.【答案】【解析】【分析】利用導數(shù)的幾何意義求出切線方程，再利用直線方程的相關知識即可求出.【詳解】拋物線可寫成：且設，則兩條切線的斜率分別為兩條切線的方程為：又兩條切線過點，所以所以直線AB的方程為：又，所以直線AB的方程為：.故答案為：.16.已知函數(shù)，則下列說法中正確的是________①一條對稱軸為；②將圖象向右平移個單位，再向下平移1個單位得到的新函數(shù)為奇函數(shù)；③若，則；④若且，則的最小值為．【答案】①③【解析】【分析】首先化簡函數(shù)為，①根據正弦函數(shù)的性質驗證即可；②利用平移變換得到判斷；③由得到，從而得到，再由，利用兩角差的正切公式求解判斷；④令得到，在同一坐標系中作出的圖象判斷.【詳解】解：函數(shù)，①因為，所以一條對稱軸為，故正確；②將圖象向右平移個單位得到，再向下平移1個單位得到，因為，所以新函數(shù)不是奇函數(shù)，故錯誤；③由得：，則，，當時，；當時，，所以，故正確；④令得：，在同一坐標系中作出的圖象如圖所示：由圖象知：，故錯誤，故答案為：①③三、解答題：共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據要求作答．（一）必考題：共60分．17.某實驗學校為提高學習效率，開展學習方式創(chuàng)新活動，提出了完成某項學習任務的兩種新的學習方式.為比較兩種學習方式的效率，選取40名學生，將他們隨機分成兩組，每組20人，第一組學生用第一種學習方式，第二組學生用第二種學習方式.40名學生完成學習任務所需時間的中位數(shù)，并將完成學習任務所需時間超過和不超過的學生人數(shù)得到下面的列聯(lián)表：超過m不超過m第一種學習方式155第二種學習方式515（Ⅰ）估計第一種學習方式且不超過m的概率、第二種學習方式且不超過m的概率；（Ⅱ）能否有的把握認為兩種學習方式的效率有差異？附：，P（）0.0500.0100.001k3.841663510.828【答案】（Ⅰ）；；（Ⅱ）有.【解析】【分析】（Ⅰ）根據古典概型概率公式求解即可.（Ⅱ）根據的計算公式計算其觀測值，并與附錄中的數(shù)據進行對比可得結論.【詳解】（Ⅰ）根據列聯(lián)表得：第一種學習方式且不超過m的概率.第二種學習方式且不超過m的概率.（Ⅱ）由于，所以有的把握認為兩種學習方式的效率有差異.【點睛】本題考查獨立性檢驗的應用問題，考查古典概型概率問題，屬于基礎題.18.已知等比數(shù)列的公比為3，且，，成等差數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據等比數(shù)列的通項公式，結合等差數(shù)列的性質進行求解即可；（2）利用錯位相減法進行求解即可.【小問1詳解】設數(shù)列的公比為．∵，，成等差數(shù)列，∴．∴∵，∴解得．∴；【小問2詳解】設，則．∴①∴②由①－②得，∴∴．19.如圖，平面平面，四邊形為矩形，為正三角形，，為的中點.（1）證明：平面平面；（2）已知四棱錐的體積為，求點到平面的距離.【答案】（1）證明見詳解（2）【解析】【分析】（1）利用平面幾何知識結合已知條件可以證明，再利用面面垂直的性質進一步證明，結合線面垂直、面面垂直判定定理即得證.（2）不妨設，則點到平面的距離即為的長度，結合附加條件四棱錐的體積為可以求得所有棱長，最終利用平面幾何知識即可求解.【小問1詳解】一方面：因為為正三角形且為的中點，所以（三線合一），又因為平面平面且平面平面，并注意到平面，所以由面面垂直的性質可知平面，又因為平面，所以由線面垂直的性質可知；另一方面：由題意不妨設，則，因為為正三角形且為的中點，所以，，所以，且，注意到與均為銳角，所以，不妨設，因為，所以，即.綜合以上兩方面有且，注意到，平面，平面，所有由線面垂直的判定有平面，又因為平面，所以平面平面.【小問2詳解】由（1）可知平面，則點到平面的距離即為的長度，一方面梯形的面積為，，所以有四棱錐的體積為，另一方面由題可知四棱錐的體積為，結合以上兩方面有，解得，因為，所以，由（1）可知，所以，所以，所以.20.設函數(shù)，其中.（Ⅰ）若，求曲線在點處的切線方程；（Ⅱ）若函數(shù)在上有極大值，求的取值范圍.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】【分析】（1）利用導數(shù)的幾何意義求解即可；（2）求導得，令，則，則可證明在上恒成立，則在遞減，即在上單調遞減，若函數(shù)在上有極大值，則只需即可.【詳解】（Ⅰ）由題意，求導得.所以，.所以曲線在點處的切線方程為.（Ⅱ），令，則.因為對于，恒成立，所以在上單調遞減，即在上單調遞減，因為在上有極大值，所以在上存在“左正右負”變號零點.由零點存在性定理：只需，即所以.所以函數(shù)在上有極大值時，的取值范圍為.【點睛】本題考查曲線的切線方程求解，考查根據函數(shù)的極值點求參數(shù)的取值范圍問題，難度較大.解答時分析清楚函數(shù)的單調性是核心.21.已知拋物線，拋物線與圓的相交弦長為4.（1）求拋物線的標準方程；（2）點為拋物線的焦點，為拋物線上兩點，，若的面積為，且直線的斜率存在，求直線的方程.【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）利用圓與拋物線的對稱性可知，點在拋物線和圓上，代入方程即可求解.（2）設直線的方程為，點的坐標分別為，將拋物線與直線聯(lián)立，分別消，再利用韋達定理可得兩根之和、兩根之積，根據向量數(shù)量積的坐標運算可得，的面積為即可求解.【詳解】（1）由圓及拋物線的對稱性可知，點既在拋物線上也在圓上，有：，解得故拋物線的標準方程的（2）設直線的方程為，點的坐標分別為.聯(lián)立方程，消去后整理為，可得，聯(lián)立方程，消去后整理為，可得，，得由有，，，可得的面積為可得，有或聯(lián)立方程解得或，又由，故此時直線的方程為或聯(lián)立方程，解方程組知方程組無解.故直線的方程為或【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求拋物線的標準方程、直線與拋物線的位置關系，考查了學生的計算能力，屬于難題.（二）選考題，共10分．請考生在第22、23題中任選一題作答．如果多做，則按所做的第一題計分．[選修44：坐標系與參數(shù)方程]（10分）22.在直角坐標系中，以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為．（1）將C的極坐標方程化為直角坐標方程；（2）設點A的直角坐標為，M為C上的動點，點P滿足，寫出Р的軌跡的參數(shù)方程，并判斷C與是否有公共點．【答案】（1）；（2）P的軌跡的參數(shù)方程為（為參數(shù)），C與沒有公共點.【解析】【分析】（1）將曲線C的極坐標方程化為，將代入可得；（2）方法一：設，設，根據向量關系即可求得P的軌跡的參數(shù)方程，求出兩圓圓心距，和半徑之差比較可得.【詳解】（1）由曲線C的極坐標方程可得，將代入可得，即，即曲線C的直角坐標方程為；（2）[方法一]【最優(yōu)解】設，設，，則，即，故P的軌跡的參數(shù)方程為（為參數(shù)）曲線C的圓心為，半徑為，曲線的圓心為，半徑為2，則圓心距為，，兩圓內含，故曲線C與沒有公共點.[方法二]：設點的直角坐標為，，，因為，所以，，，由，即，解得，所以，，代入的方程得，化簡得點的軌跡方程是，表示圓心為，，半徑為2的圓；化為參數(shù)方程是，為參數(shù)；計算，所以圓與圓內含，沒有公共點．【整體點評】本題第二問考查利用相關點法求動點的軌跡方程問題，方法一：利用參數(shù)方程的方法，設出的參數(shù)坐標，再利用向量關系解出求解點的參數(shù)坐標，得到參數(shù)方程.方法二：利用代數(shù)方法，設出點的坐標，再利用向量關系將的坐標用點的坐標表示，代入曲線C的直角坐標