2024屆高三《三角函數(shù)與解三角形》每日一題12題 試題含答案

高三《三角函數(shù)與解三角形》每日一題12題

1.已知函數(shù)/(%)=Asin(m+°)-1卜>0,0>0Jd<若函數(shù)V=|/("的部分圖象

如圖所示，則下列結(jié)論中正確的是()

7T

A./⑴的最大值為3B./⑺的圖象關(guān)于點(---1)對稱

C.直線2瓜+>—岳+2=0是曲線/(x)的一條切線

D.若關(guān)于x的方程/(x)=0在區(qū)間<〃)上有2023個零點，貝|加的最小值為

1011〃

2.(1)已知函數(shù)/(x)=sinx+ocosx(aeR)的圖象的一條對稱軸是％=工，則函數(shù)

6

g(x)=2sinx-7(x)的最大值為()

(2)(多選)已知函數(shù)/(x)=asinx-/)cosx為常數(shù)，QwO,x￡E)在工二：處取

得最小值，則函數(shù)了=/［1—x］的()

A.最大值為42b,且它的圖象關(guān)于直線x=乃對稱

B.最大值為缶，且它的圖象關(guān)于點］彳,。］對稱

C.最大值為伍,且它的圖象關(guān)于點(肛0)對稱

D.最大值為41b,且它的圖象關(guān)于直線x=彳%對稱

3.已知函數(shù)/(》)=痛5卜2》+卜052乂，現(xiàn)有如下幾個命題：①該函數(shù)為偶函數(shù)；

TT7T

@［——，—］是該函數(shù)的一個單調(diào)遞增區(qū)間；③該函數(shù)的最小正周期為"；④該函數(shù)的圖

46~

象關(guān)于點(——,0)對稱；⑤該函數(shù)的值域為［-1,2］.其中正確命題的編號為

4.如圖是函數(shù)/(x)=/sin(sx+0時的部分圖象.⑴求函數(shù)/(X)的

表達式；(2)若函數(shù)/(x)滿足方程/(x)=a(0<a<1),

求在［0,2加內(nèi)的所有實數(shù)根之和；(3)把函數(shù)>=/(%)

的圖象的周期擴大為原來的兩倍，然后向右平移2上7r個單

3

位，再把縱坐標伸長為原來的兩倍，最后向上平移一個單

位得到函數(shù)y=g(x)的圖象.若對任意的04加W3,方程

|g(fcc)|=m在區(qū)間［0,不］上至多有一個解，求正數(shù)左的取值范圍.

5.已知函數(shù)/(%)=6cos(ttw+(p){co>0,0<^<^),對VxeR都有f(x)<|f且

jr\7LTC\

X=—-是/(X)的一個零點.若y=/(X)-6在一,二上有且只有一個零點，則。的最大

6v156)

值為.

/JT\JT

6.已知函數(shù)/(x)=3sin［?c—kj(o〉°)，當xe0,—時，函數(shù)/(x)的最大值為。，則

滿足條件的①的個數(shù)為.

7.在銳角A48c中，B=~,角的對邊分別為a,ac,+=—,則

3ac2ac

a+c的取值范圍是.

B+c

8.在條件①2cos4(bcosC+ccos3)=Q,②csin--=asinC,③

(sinB-sinC)2=sin2A-sinBsinC

中任選一個，補充到下面問題中，并給出問題解答.已知A43C的內(nèi)角4民。的對邊分別

是a,b,c,且a=b-c=2,，求5c邊上的高

9.在銳角A4BC中，角4伉。所對的邊分別為凡”。，且A4BC的面積S=〃c(l—cos/),

則上的取值范圍為

be

10.在AA8C中，AB=3,AC=2,D為BC邊上一點、,且4D平分/氏4c.

(1)若BC=3,求CD與4D；A

(2)若NADC=60°,設(shè)NBAD=6,求tan，.

11.已知AABC的內(nèi)角4民C的對邊分別是a,b,c,D是邊BC上一點，/BAD=a,

ZCAD=/3,AD=d,且2acsina+2absin/3=3bc.

(1)若/=—，證明：a=3d',

6

（2）在（1）的條件下，且8=28。,求（：05/40。的值

12.如圖,在A48c中，若5抽22+5苗28+51112。=25/§'5111/511155111。，￡)8=2,

℃=4,則DA的長度的最大值為-------------

B

三角函數(shù)與解三角形每日一題10題參考答案：

1.【答案】BCD

【詳解】由題意可知的最大值為1,最小值為-3,所以有匕1IT解得2,

因為〃0)=2sin夕-1=0,網(wǎng)＜「所以又+：=3所以7=兀，0=2,

zoZOJZ

所以函數(shù)的解析式為/(x)=2sin(2x+2-1,即的最大值為1,故A項錯誤；

令2x+?=E(左eZ),解得了=一卷+合仕eZ),所以當上=0時，八封的圖象關(guān)于點［-居對

稱，故B項正確；

設(shè)切點為上,2sin(2%+J1],由〃尤)=2sin12尤+3J-1,可得r(x)=4cos(2x+),

6

切線方程為2sin(2xo+聿)-1

所以可得

所以滿足題意;

此時切點為仁，-2),切線為2岳+y-屈+2=0,故C項正確；

令/(x)=0,得sin(2x+0=；,此時x=E(左€2)或苫=也+三化eZ),由函數(shù)八月周期為T=兀,

且一個周期內(nèi)有兩個零點，所以可得〃-"后上安X兀=1011兀，故D項正確.故選：BCD.

2.(1)根據(jù)輔助角公式，化簡/(x)=^/i7/sin(x+a)因為對稱軸是x=所以代入

6

x

f()得g+〃x￥="+/解得a=6,所以g(%)=2sinMsin%+gcosx)

=2sin2x+2^3sinxcosx=1_cos2x+V3sin2x=2sinI2x--1+1,最大值為3

22

(2)由題意得/(^)=一，2+/02^(a-b)=-^a+b^b=-a>Q,

f(x)=42bsin(x+^),/.=V2/2|sin(-x+2^)|=42b|sinx|,)最大值為亞b,

1

3

V2/?|sin(27r-x)|=V2Z?|sinx|的圖像關(guān)于直線犬="對稱，選A

4

3./(x)=V3sin2x+|cos2x|.

71n

對于①，因為了病嗚+cos—=5f-V3sin—+cos—=-6,不滿足

222

71

,所以該函數(shù)不是偶函數(shù)，①不正確;

71兀、c7171

對于②，XE“彳時’2x€萬,9，cos2尤之0,所以

7T7T

/(x)=V3sin2x+cos2x=2sin2x+i2x+*,滿足函數(shù)單增，所以②正確;

對于③，易知y=gsin2x的最小正周期為%,y=|cos2x|的最小正周期為］,所以

f(x)=V3sin2x+|cos2x|的最小正周期為乃，③正確;

7"77r317?

對于④，f瓜吟+cos——=-+-=2?/(0)=0+1=1,由于/+/(0)^0,

3

所以該函數(shù)的圖像不會關(guān)于點H，o)對稱，④不正確;

TU

對于⑤，有了=V3sin+cos—=-百<-l,⑤不正確.故答案為：②③.

2

4.(I)由圖可知：A=l,-=—即7=萬，.?”=2,，〃司=5皿2%+9)又由圖

2632

c冗71

可知：是五點作圖法中的第三點,：,2x—+(p=7T,即9=3,.，./(x)=sin2x+—.

3

7TTT

(II)因為/(x)=s沅(2x+g)的周期為"，八必=5沅(2工+］)在［0,2捫內(nèi)恰有2個周期.

⑴當0<a4時，方程s%(2x+()”在［0,2句內(nèi)有4個實根，設(shè)為

7%197r

石、羽、演、乂，結(jié)合圖像知為+々=hx+x=~~,故所有實數(shù)根之

6346

和為F;

2

⑵當a=@時，方程加(2x+f)=a在［0,2句內(nèi)有5個實根為0,J,7,?,2萬，故所有

2366

實數(shù)根之和為137r詈；

⑶當走Va<l時，方程s%(2x+f)=a在［。,2句內(nèi)有4個實根，設(shè)為內(nèi)、/、忍、/，結(jié)合圖

23

像知弋於寸等，故所有實數(shù)根之和為g；綜上：當。時，方程

所有實數(shù)根之和為野；當樂i寸，方程加2若j所有實數(shù)根之

和為母；

TT

(III)g(x)=2s%(x-1)+l,函數(shù)y=|g(x)|的圖象如圖所示:

則當y=lg(x)|圖象伸長為原來的5倍以上時符合題意，所以

5

5.【答案】y

【詳解】因為函數(shù)/(司=68$(8+9)(0>(),0<。<兀)，對VxeR都有〃X)V，且彳=-2是

71,Ttk[+匕

—0+9=勺兀(p=—+-71

64

〃尤)的一個零點，則化,&eZ),解得.32億&eZ),

71717

-----G)-\-(P------\~k2兀0=_萬+3(發(fā)一后2)

、62

因為函數(shù)y=〃x)-6在白卷上有且只有一個零點，則方程cos(s+。)-1=0在白］上有且

<13o)(13o)

只有一個根，因為-Kcos(s+e)Vl,所以，存在唯一的使得函數(shù)八月取到最大

值，且"％)=1,貝葉W書<27等,解得0<°<40,令仁建，則

2左+1

(P-------71

，化左，eZ),且左\"2《，所以，k、的奇偶性相同,

o/c-5

(0=-----------

2

6k'—3

由g<40可得<40,解得公〈學(xué)，即1413,當玄=13時，。=々，左為奇數(shù)，則夕=手,

2o24

3

匚匚[、[\c(753兀),(71兀1r4日75371(13)

所以,/(x)=2cos|^—x+—J,SI可得萬元+彳玲]兀，7兀J,

此時，當日尤+*4?；?兀時，函數(shù)小)取最大值，不合乎題意；

當左，=12時,。*，左為偶數(shù),T，即〃x)=6cos停X+4由仔,一可得

當x+舁[親,6n],此時，當空+:=4兀時，函數(shù)”X)取最大值，合乎題意.

6969

綜上所述，。的最大值為掌故答案為：y.

6.【答案】2

兀兀c

-jr-|7TI—7T7T7T—I——G)>()

【詳解】由題知，當xe0,：時，--,因為最大值為。，所以46

[4」61646」[0<^<3

解得.當時，即;<。<],/(力1mx=3sin[：0-2]=。解的個數(shù)，

34o233oy

轉(zhuǎn)化為方程sin旨一Ugx<|)解的個數(shù)，且$也生}胃=0<3|=|,

sin[xg{]=l>；x|=：,由圖可知有且只有一個。能夠滿足.=y_sin(竺」)

1436J339y—川14么

此時函數(shù)最大值為3

324612

3=3,顯然滿足條件，綜上，滿足條件的。有2個.

7.【答案】@，括]

2111

人「國b+C-aa-F

力,cosAcosC73―A人…TE/口--------------------------------------

斛：田----+----=——結(jié)合余弦7E埋得_2bc.2ab_W,化間得匕二

十一

ac2acac2ac

h

由正弦定理，得AABC的外接圓直徑2H=——rb

Slili

mA+

則a+c=sinA+sinC=sinA+sing-=V3s(f}

0<A<—,

7“AA+

又AABC為銳角三角形，則有。加解得苦,故會》等，

2萬

0<C=——A

13(5，

(|,6

所以o+c=V^sinA+—e—,73.故答案為

112_

8.若選①因為2cosA(Z?cosC+ccosB)=a,由正弦定理得：

4

2cosA（sinBcosC+sinCcos=sinA,即2cosAsin（5+C）=sinA,cosA=—,因為

],2_c

0<A<7T所以A=二.由余弦定理得：a2=b2-\-c2—2bccosA,所以：

93b-c=2

化簡得：c2+2c—3=0,所以c=—3（舍去）或者c=l,從而Z?=3.

設(shè)邊上的高是A,所以《bcsinA=:",所以〃=￡H；

2214

若選②由題設(shè)及正弦定理，sinCsin'；0=sinAsinC,因為sinCwO,所以

?BCI.-1ccc-r/n.B+CAA.AA

sin---=sinA,由A+5+C=180,可得sin---=cos—,pgfcos—=2sin—cos—,

AA1■rr

因為cos｝。，故sin]=，因此A=《，下同選①；

若選③由已知得sin?B+sin2C—sin2A=sinBsinC,故由正弦定理得+c?—儲=bc.

由余弦定理得COSAJ、、一/二.因為0<4<?,所以4=9,下同選①.故答案為題.

2bc2314

9.由三角形面積公式S=g/?csinA結(jié)合S=bc（l-cosA）,可知;sinA=l-cosA,即

SinA=2（1-cosA）,又由平方關(guān)系sir?A+cos2A=1,所以40-cosA）?+cos2A=1,即

cosA=—

IcosA=1

2解得f（舍去）,

5cosA-8cosA+3=0,或1si?nA4=0八

sinA=-

[5

由余弦定理有4=從+,2一%ccosA,所以=J+C23CCOSA=2+合2COSA，+：）,

bebecbcb5

令f=2,所以f==故只需求出'的范圍即可，由正弦定理邊化角得

cbecb5t5

bsinBsin[兀一（A+C）]sin（A+C）_sinAcosC+cosAsinC_sinA+CQS^_4+3

csinCsinCsinCsinCtanC5tanC5

注意到在銳角中，有A+C>],簡單說明如下：

若A+CW｝貝1]3=兀-（4+。）2兀-]=即B不是銳角，但這與；,加。是銳角三角形矛盾，

所以在銳角..ABC中，有A+C>f,有0<]-A<C<1,因為正切函數(shù)y=tanx在（0,「上單調(diào)遞

222\乙）

/、sin|--A|。.343435

〃（兀AI（2）cosA53>>—<t=----------1—<-H—=—

增，所以tanC>tan『A==嬴片丁“從而55tanC55><353,

cosJJ54

5

而函數(shù)在(|,1)單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以

：=〃l)V/S<maxjd?=max偌,《｝=||.綜上：’的取值范圍為.

10.(1)如下圖所示：因為AQ平分/BAC,所以

c-ABADsinABAD

3ABD_2_______________________________/又因為。在加上，所以

S~1

°ACD--ACADsinZCAD

2

jABD1^=巖，因此黑=；，又BC=3,所以CO="

C/J

,ACD-CDhCD25

2

在,ABC中，AB=BC=3,AC=2,可得cosC=04一十。'「一')=*+2-—3?=J_.在二中，由余

2CACB2x3x23

弦定理可得A￡)2=AC2+C￡)2-2ACXCDXCOSC=22+(9]-2x2x-x-=—,故A￡>=逑.

⑸53255

(2)如下圖所示：因為AQ平分/BAC,NDAC=NBAD=。,

所以8=60。-仇。=120。-。，在4ABe中，由正弦定理可得

ABAC?一…

sin(1200-6>)=sin(600-6>)'又AB=3，AC=2,所以

3sin(60。_。)=2sin(120°-0),展開并整理得

^^-cos0-—sin0=5/3cos0+sin^,解得tan〃=^^.

225

11.(1)在△ABD中，由正弦定理得吸=吸，則

BDAD

m。=型產(chǎn)0,在&ACD中，由正弦定理得需=%,則

dCDAD

CDsinC

sin0=因為2acsina+2"sin尸=3Z?c,所以sin°+sin"=g,而

dbc2a

s^+sin^=BDsinB+CDsinC=BOsinAcz)sinA^D+CD)卜,所以J_=3,即”3..

bcbdcd~ld~2d2d2a

(2)由CD=2BD,得CO=T，BD=(,在△ABD中，由余弦定理得

cosNADB=BD：：D-=苫獸,在；/CD中，由余弦定理得COSZ4DC=14c°=加二上,

2BDS2a2CDd4〃

由/ADB+/WC=180。，cosZADB=-cosZADC,即2a-孝=_54一式,整理得，^—修=火,

2a24a~

在"BC中，由余弦定理得cosA=匕匚日=-二=-￡=-無，：.c=43b,故片―52=652,即

2bc2bc2b2

6