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絕密★啟用前
2024年高考押題預(yù)測(cè)卷01【北京卷】
數(shù)學(xué)
(考試時(shí)間:120分鐘試卷滿分:150分)
注意事項(xiàng):
1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。
2.回答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng),用橡
皮擦干凈后,再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?;卮鸱沁x擇題時(shí),將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。
3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。
第一部分(選擇題共40分)
一、選擇題:本題共10小題,每小題4分,共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目
要求的。
1.設(shè)集合。={1,2,3,4},M={2,3},則必知=()
A.{1,4}B.{1,3}C.D.
2.設(shè)xdR,貝rx=0”是“x2=x”的()
A.充分不必要條件B.必要不充分條件
C.充要條件D.既不充分也不必要條件
3.拋物線d=2y的焦點(diǎn)坐標(biāo)為()
A.B.(1,0)C.D.0,
4.已知復(fù)數(shù);三,aeR是純虛數(shù),則在復(fù)平面中,復(fù)數(shù)z=a+i的共軌復(fù)數(shù)彳對(duì)應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)是()
1+31
A.(―3,—1)B.(—3,1)C.(1,—3)D.(1,3)
”的值為()
5.已知角。的終邊上有一點(diǎn)尸的坐標(biāo)是(3,4),貝IJcos
43「34
A.——B.--C.-D.-
5555
6.在數(shù)列{4}中,4=1,〃2=9,4+2=3%+]—2%—1。,則{4}的前〃項(xiàng)和S〃的最大值為(
A.64B.53C.42D.25
7.已知直線依+丁一1=0與圓C:(x-iy+(y+4)2=l相交于A,B兩點(diǎn),且ABC為等腰直角三角形,則實(shí)
數(shù)。的值為()
A.一或一1B.11C.1或一1D.1
7
8.設(shè)。=2°6,6=2%c=0.5°%則()
A.a<b<cB.b<a<c
C.b<c<aD.c<b<a
22
9.雙曲線土-匕=1的漸近線與圓Y+y2-4x+3=0的位置關(guān)系為
124
A.相切B.相交但不經(jīng)過圓心C.相交且經(jīng)過圓心D.相離
10.已知/(x)是定義在(0,+8)上的增函數(shù),其導(dǎo)函數(shù)廣(幻滿足罷?+則下列結(jié)論正確的是
/(x)
A.對(duì)于任意xw(0,+oo),/(x)<0B.對(duì)于任意xe(0,+oo),/(x)>。,
C.當(dāng)且僅當(dāng)xe(l,+a>)J(x)<0D.當(dāng)且僅當(dāng)xe(L”)"(x)>0
第二部分(非選擇題共U0分)
二、填空題:本題共5小題,每小題5分,共25分。
11.二項(xiàng)式(》-±)6展開式的常數(shù)項(xiàng)是.
12.函數(shù)小)=倡:':::則”皿卜一.
13.如圖,在梯形ABCD中,AB//CD,AB=4,AD=3,CD=2,AM=2MD<如果ACBM=-3,則
ABAD=
14.在AABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,6,c,若2$出。0?3=251114+5指3,且AABC的面積S=@c,
4
則的最小值為
15.平面直角坐標(biāo)系中,A(-l,0),8(1.0),若曲線C上存在一點(diǎn)P,使尸4P5<0,則稱曲線C為“合作曲
線”,有下列曲線①f+V=;;②y=x2+l;③2y2_/=1;④31+丁=1;⑤2x+y=4,
其中“合作曲線''是.(填寫所有滿足條件的序號(hào))
三、解答題:本題共6小題,共85分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步聚。
16.(14分)
在如圖所示的直三棱柱A3C-AgG中,D,石分別是5C,4q的中點(diǎn).
(1)求證:DE7/平面ACGA;
(2)若為直角三角形,AB=BC=2,AAl=y/3,求直線DE與平面ABC所成角的大?。?/p>
(3)若ABC為正三角形,AB=AAi=4,問:在線段A5上是否存在一點(diǎn)M,使得二面角A-ME-。的
兀
大小為2三?若存在,求出點(diǎn)M的位置;若不存在,說明理由.
17.(13分)
已知函數(shù)〃x)=2cosx-cos(x+0),d<m,從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已
知,使函數(shù)”X)存在.
條件①:/圖=1;
條件②:函數(shù)〃尤)在區(qū)間0,-上是增函數(shù);
條件③:VxeR,/(x)>/^.
注:如果選擇的條件不符合要求,得。分;如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答,按第一個(gè)解答計(jì)
分.
(1)求。的值;
JT
(2)求/(x)在區(qū)間一萬,。上的最大值和最小值.
18.(13分)
某校高一年級(jí)學(xué)生全部參加了體育科目的達(dá)標(biāo)測(cè)試,現(xiàn)從中隨機(jī)抽取40名學(xué)生的測(cè)試成績(jī),整理數(shù)據(jù)
并按分?jǐn)?shù)段[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]進(jìn)行分組,假設(shè)同一組中的每個(gè)
數(shù)據(jù)可用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替,則得到體育成績(jī)的折線圖(如下).
本各分?jǐn)?shù)段人數(shù)
45~55~65~75~85~95體普成績(jī)
(1)體育成績(jī)大于或等于70分的學(xué)生常被稱為“體育良好”.已知該校高一年級(jí)有1000名學(xué)生,試估計(jì)
高一全年級(jí)中“體育良好”的學(xué)生人數(shù);
(2)為分析學(xué)生平時(shí)的體育活動(dòng)情況,現(xiàn)從體有成績(jī)?cè)冢?0,50)和[60,70)的樣本學(xué)生中隨機(jī)抽取2人,求
在抽取的2名學(xué)生中,恰有1人體育成績(jī)?cè)冢?0,70)的概率;
(3)假設(shè)甲、乙、丙三人的體育成績(jī)分別為a,b,c,且分別在[70,80),[80,90),[90,100]三組中,其
中a,b,ceN.當(dāng)數(shù)據(jù)a,b,c的方差s?最小時(shí),寫出a,b,c的值(結(jié)論不要求證明)
19.(15分)
r22113e
設(shè)橢圓方+v事=1(a>6)的右焦點(diǎn)為尸,右頂點(diǎn)為A,已知[由+阿=畫,其中。為原點(diǎn),e為
橢圓的離心率.
(I)求橢圓的方程;
(II)設(shè)過點(diǎn)A的直線/與橢圓交于點(diǎn)8(8不在x軸上),垂直于/的直線與1交于點(diǎn)M,與>軸交于
點(diǎn)、H,若BFLHF,且NMOA=/M4O,求直線的/斜率.
20.(15分)
已知函數(shù)/(尤)=e*sinx+^x2+1
(1)求曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,/(0))處的切線方程;
(2)若函數(shù)8(了)=0(111元-左)+/。)-6,11工-1有兩個(gè)極值點(diǎn)玉,巧(不丁々),且不等式
g(占)+g(尤2)<〃玉+尤2)恒成立,求實(shí)數(shù)彳的取值范圍.
21.(15分)
設(shè)有數(shù)列{0”},若存在唯一的正整數(shù)左(左.2),使得以則稱{4}為“上墜點(diǎn)數(shù)列記{%}的前〃項(xiàng)
和為S”.
[2〃+1,小,2*
⑴判斷:氏=(-2)",2='''“eN是否為“左墜點(diǎn)數(shù)列”,并說明理由;
2,n>2
c
⑵已知{叫滿足4=1,\an+l-an\=a+l,且是“5墜點(diǎn)數(shù)列",若lim多=3,求。的值;
(3)設(shè)數(shù)列共有2022項(xiàng)且4>0.已知q-%+%=s,a2+a3++a2O22=t.若{%}為“P墜點(diǎn)數(shù)
列”且⑸}為“4墜點(diǎn)數(shù)列“,試用s,f表示s20M.
2024年高考押題預(yù)測(cè)卷01【北京卷】
數(shù)學(xué).參考答案
第一部分(選擇題共40分)
一、選擇題:本題共10小題,每小題4分,共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目
要求的。
910
12345678
AB
AAAADBCD
第二部分(非選擇題共110分)
二、填空題:本題共5小題,每小題5分,共25分。
8
53
2.9-13.-14.315.①③④
2
三、解答題:本題共6小題,共85分。解答應(yīng)寫出文字說明'證明過程或演算步聚。
16.(14分)
【詳解】(1)取AG中點(diǎn)尸,連接跖,b,
因?yàn)镋為AA的中點(diǎn),所以所〃4G,EP=:AG,
又因?yàn)?。為BC的中點(diǎn),所以,
所以EF//CD,EF=CD,
所以四邊形EFCD是平行四邊形,
所以CF//DE,
又C/u平面ACGA,平面ACGA,
所以DE//平面AC£A;
(2)取AB中點(diǎn)G,連接EG,DG,
因?yàn)樗倪呅蜛A8用為矩形,且瓦6為4中,48的中點(diǎn),
所以B]E//BG,BiE=BG,
所以四邊形與EG8為平行四邊形,所以BBJ/EG
因?yàn)閹缀误w為直三棱柱,
所以3月,平面ABC,所以EG,平面ABC,
所以直線DE與平面ABC所成角即為NEDG,
因?yàn)閆>,G為3C,AB中點(diǎn),
所以£>G=[AC=gjAB2+3c2=母,且BB、=EG=6,
所以tan/£DG=£^=*=N^,
DGV22
所以ZEDG=arctan,
2
所以直線DE與平面ABC所成角的大小為arctan
2
連接EG,因?yàn)?,ABC為正三角形,所以瓦G也是正三角形,
因?yàn)镋為AA中點(diǎn),所以
因?yàn)閹缀误w為直三棱柱,所以8為1平面A4G,
因?yàn)镋C|U平面AAG,所以3EG,
因?yàn)锽B[ABt=B[,BB[,AB{u平面AlABBl,
所以EG,平面AA34,
以E為原點(diǎn),以馬,EG方向?yàn)閤,z軸正方向,在平面AAB耳內(nèi)過點(diǎn)E垂直于4月方向?yàn)閥軸,建立如圖所
則E(0,0,0),£(卜1,4,白),4(2,4,0),2(-2,4,0),設(shè)AM=XS4(4e[0,1]),
所以(2-%,4-%,-z“)=;l(4,0,0),所以加(2-444,0),
所以EM=(2-42,4,0),助=卜1,4,括),
設(shè)平面MED的一個(gè)法向量為〃=(x,y,z),
n-EM=(2-42)x+4y=0
所以
n-ED=-x+4y+Qz=0
取平面4處的一個(gè)法向量機(jī)二(0,0,1),
6-82
I加川1
所以k°s/,川=甌=
229
lx4+(22-1)2+6-82
131
解得丸=5或4=茄(舍去),
此時(shí)由圖可知,二面角A-。的平面角為鈍角,
2冗
所以當(dāng)M為中點(diǎn)時(shí),二面角A-。的大小為§.
17.(13分)
【詳解】(1)由題意得:/(x)=2coax,cos(x+0)=2cos%,[cosxcos0—sinxsin。]
=2cos^9cos2x一2sin夕cosxsinx=cos夕(cos2x+l)-sin°sin2x
=cos(pcos2x-sincpsin2x+coscp=cos(2x一夕)+coscp
當(dāng)選條件①:f=cos0[cos/+1)—sin(psin/=gcos(p-sin(p=cos]
又因?yàn)镸l<^,所以一方<0<方,所以一焉<0+5<葛,
所以cos,+1]=l時(shí),即得:9+2=。,即夕=T.
當(dāng)選條件②:
/(x)=2cosx-cos(x+協(xié)=cos(2%-0)+coscp
從而得:當(dāng)2防1一兀<2無一。<2E,左eZ時(shí),/(%)單調(diào)遞增,
化簡(jiǎn)得:當(dāng)防1一色會(huì)尤VE+%eZ時(shí),仆)單調(diào)遞增,
7T
又因?yàn)楹瘮?shù)“X)在區(qū)間0,-上是增函數(shù),
hi--+—<0
77TT
所以得:\,keZ,解之得:-2E+—W0V-2far+7i,keZ,
E+"2
[24
當(dāng)%=0時(shí),得兀,與已知條件時(shí)矛盾,故條件②不能使函數(shù)/(x)存在.
故:若選條件②,。不存在.
當(dāng)選條件③:
由\/xeRJ(x)2/,/(%)=2cosx-cos(x+夕)=cos(lx-(p)+cos(p,
471
得當(dāng)x=g時(shí),COS(2X-9)=COST,又因?yàn)閨。|<],
所以得?—9=兀,得
(2)當(dāng)選條件①:
由(1)知:(?=-|,則得:/(x)=cos^2x+yj+1,
又因?yàn)閤e-|-,0,所以+,
所以當(dāng)尤=-g時(shí),〃x)有最大值/f-2〕=cos,t+t]+〈=cosO+〈=];
所以當(dāng)X=-]時(shí),/(X)有最小值一■|j=COS]—7T+[]+;=COs1一5j+g=O;
當(dāng)選條件③:
由(1)知:夕=:,則得:/(^)=cos^2x-|-^+p
_,__,、>7T?_714兀71
又因?yàn)橐挥凇?所以一"T'一§'
所以當(dāng)x=0時(shí),有最大值"O)=cos,T+:=;+;=l;
所以當(dāng)X=一々時(shí),〃尤)有最小=COS、?_m]+;=COS(-7t)+;=一;;
18.(13分)
【詳解】(1)由折線圖,樣本中體育成績(jī)大于或等于70分的學(xué)生有40-2-6-2=30人,
30
所以該校高一年級(jí)學(xué)生中“體育良好”的學(xué)生人數(shù)大約為lOOOx—=750人;
40
(2)成績(jī)?cè)赱40,50)有2名學(xué)生,設(shè)為1,2;[60,70)有2名學(xué)生,設(shè)為A,8,
故抽取2名學(xué)生的情況有:(1,2),(1,A),(1,3),(2,A),(2,3),(A,3),共6種情況,
其中恰有1人體育成績(jī)?cè)冢?0,70)的情況有:(1,A),(LB),(2,A),(2,3),共4種情況,
4?
故在抽取的2名學(xué)生中,恰有1人體育成績(jī)?cè)冢?0,70)的概率為尸=;=;;
(3)甲、乙、丙三人的體育成績(jī)分別為。,及c,且分別在[70,80),[80,90),[90,100]三組中,其中a,6,ceN,
要想數(shù)據(jù)"c的方差d最小,則。也c三個(gè)數(shù)據(jù)的差的絕對(duì)值越小越好,故“=79,c=90,
則甲、乙、丙三人的體育成績(jī)79+平6+9均0值169為+Z7,
33
故方差
+='[(68-與2+(26-169)2
(6/-10146+43386),
對(duì)稱軸為人=一-10一14^=84.5,
12
故當(dāng)Z?=84或85時(shí),/取得最小值,
。也。的值為79,84,90或79,85,90.
19.(15分)
/、113c113c
【詳解】解:(I)設(shè)“G。),由西+網(wǎng)=畫,即二片G,
可得/=3c2,又/—=/=3,
22
所以02=1,因此/=4,所以橢圓的方程為工+2L=1.
43
(II)設(shè)3(%,力),直線的斜率為刈人工0),則直線/的方程為y=%(x—2),
工+匚1
由方程組彳43'消去y,整理得(4/+3)尤2-163尤+16/-12=0,
y=k(x-2),
解得x=2或x=
4r+3
.g^^zg8k2一6I,-7--—12k
由題息倚4=4防+3,從而%=止+3,
於「9-4/12k)
設(shè)(班),由()知產(chǎn)()
“0,11,0,有切=(-1,%),~[4k2+3"4k2+3)
由斯,HF,得BF-HF=0,
2
止-912kyH9-4k
所以2+2=0,解得y
4k+34k+3H12k
1Q-4^2
因此直線MH的方程為產(chǎn)-上工+之羨,
19-4公
y-___JQ________20/+9
設(shè)”(乙,%),由方程組<k12k'消去y,得尤M=
12伊+1廠
y=Z(x-2),
在AMAO中,ZMOA=ZMAOo|M4|=|Ma,
20k2+9
即(人一2『+另=右+,3化簡(jiǎn)得X“=l,即12伏2+])=1,
解得上=_逅或左=逅,
44
所以直線/的斜率為k=-逅或左=逅
44
20.(15分)
【詳解】解:(1)因?yàn)?(x)=eXsinx+;%2+i,
所以f\x)=exsinx+excosx+x,
所以切線斜率無=/'(0)=L又以0)=1,
故曲線y=/(x)在點(diǎn)(o,/(o))處的切線方程為:
y-l=lx(x-0),即%_y+l=0.
(2)因?yàn)間(x)=<7(lnx-x)+f(x)-exsinx-1=a(lnx-x)+^x2,
所以g'(x)=之竺叱(尤>0),
X
因?yàn)楹瘮?shù)且(%)=。(1口]-%)+/(%)-6、11%-1有兩個(gè)極值點(diǎn)玉,巧(石。工2),
則<(%)=。有兩個(gè)不同的正根,即無2一以+〃=0有兩個(gè)不同的正根,
△=4—4Q>0
則xi+x2=a>0=><7>4,
xxx2=a>0
不等式g(%)+g(W)<"%+%)恒成立等價(jià)于
g(%)+g(X2)二g(Xl)+g(%2)
恒成立,
芯+x2a
1212
又g(%)+g(%2)=〃(lnxi-xl)+—xl+?(lnx2—x2)+—x2
=Q(ln%i+Inx2)-6Z(X1+兀2)+;(%;+%;)
12
=Qinxxx2—a(Xj+JT2)+—[(^+x2)-2x[x2]
=alna-+—(Q2-2a)=alna—--a,
所以X>ga)+gQ2)=inq_:aT,
+x22
令y=lnq-g<7-l(a>4),則/=工一:<0,
所以y=Inq-;。一1在(4,+oo)上單調(diào)遞減,
所以y<21n2—3,所以;1221n2—3.
所以實(shí)數(shù)4的取值范圍為:[21n2-3,戶).
21.(15分)
【詳解】(1)解:對(duì)于?!?(-2)",由于4=—2,a2=4,a3=—8,a4=16,as=—32,
則存在的>%,a4>as,不滿足定義,故{%}不是墜點(diǎn)數(shù)列.
[2〃+1,4,2―
對(duì)于勿=2M,容易發(fā)現(xiàn)4=3,仇=5,4=4,仇=8,
即在前4項(xiàng)中只有而對(duì)于〃..3起,
1
由于bn+1-b“=2"-2"-'=2"->0,即為<6用對(duì)于*4是恒成立的.
故也}是“3墜點(diǎn)數(shù)列”.
(2)解:由絕對(duì)值定義,“+lJW=a-1.
又因?yàn)椋?}是“5墜點(diǎn)數(shù)列",則{4}中只存在且
則當(dāng)且僅當(dāng)”=4時(shí),?!?1-%=-(。+1),其余均為。”+1=。+1
故可分類列舉:
當(dāng)值,4時(shí),q=1,0-2=67+2,〃3=2〃+3,"4=3〃+4,
當(dāng)兒.5時(shí),/=2〃+3,%=3〃+4,
分組求和知:
、““—cn(n-l)z<、a+12〃一1n,io/
當(dāng)“,4日寸,Sn—ZU---——(a+1)——-—n----—,貝(J邑—6。+10,
、“Lr,ccz八-c、(n-4)(n-5)y、a+l5a+3。小
當(dāng)九.5時(shí),S〃=+(〃-4)(2〃+3)H------------(za+1)——-—?----——n+Set+8,
6Z+17
n^^〃+8〃+8
則當(dāng)〃―8時(shí),s~^ra+l
lim=lim-----2__________
ns〃n—^00及2"T"
貝!J〃=5,
(3)解:結(jié)論:S2O22=s+t,理由如下:
經(jīng)過分析研究發(fā)現(xiàn):p=q,
下利用反證法予以證明.不妨設(shè)。<4,首先研究{S“}.
由于電}為“4墜點(diǎn)數(shù)列”,則只存在%>邑,即%<°,
而對(duì)于啜*2022且左Hq,則有即處>。,
故在{a“}中有且僅有一項(xiàng)與<。,其余項(xiàng)均大于0,
又因?yàn)椋?。“}為“。墜點(diǎn)數(shù)列”,則有且僅有<T>%,
同時(shí),。<%<%<<%,0<ap<ap+x<<aq<aq+l<<a2022,
這與4<0是矛盾的,則P=qnax=%T且%
則q=s,
故^2022=s+t.
2024年高考押題預(yù)測(cè)卷01【北京卷】
數(shù)學(xué).全解全析
第一部分(選擇題共40分)
一、選擇題:本題共1。小題,每小題4分,共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目
要求的。
910
12345678
AB
AAAADBCD
1.【答案】A
【分析】根據(jù)補(bǔ)集的定義可得出集合。
【詳解】集合"={1,2,3,4},M={2,3},則=
故選:A.
2.【答案】A
【分析】對(duì)方程9=*進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化,即可進(jìn)行判斷.
【詳解】因?yàn)閂=x,故可得x=0或x=l,
則“x=0"是"=尤,,的充分不必要條件.
故選:A.
3.【答案】A
【分析】根據(jù)題意,結(jié)合拋物線的幾何性質(zhì),即可求解.
【詳解】由拋物線f=2y,可得拋物線的開口向上,且2P=2,所以p=l,
所以拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F(0,1).
故選:A.
4.【答案】A
【分析】利用復(fù)數(shù)除法計(jì)算出也="+3+(1-3。)1,從而得到。=_3,求出答案.
l+3i10
a+i+—3i)a—3ai+i—3i2Q+3+(l-3a)i
【詳角?!縤+3「(i+3i)(i—3i)—W―W'
貝l"+3=o,解得夕=—3,貝ijz=—3+i,z=-3-i
故共鈍復(fù)數(shù)N對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)為.
故選:A
5.【答案】D
【分析】利用任意角的三角函數(shù)的定義求出sina,再用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)即可求得結(jié)果.
,---------4
【詳解】因?yàn)榻莂的終邊經(jīng)過點(diǎn)(3,4),|OP|=r=V32+42=5,貝人也a=多,
所以cosI--aI=cos\--a\=sma=—.
故選:D.
6.【答案】B
【分析】令an+1-an=bn,則由an+2=3a?+1-2%-10可得一10=2(〃一1。),所以數(shù)歹!J也-10}是以一2為首
項(xiàng),2為公比的等比數(shù)歹U,可得到凡“-%=10-2”,然后用累加法得到4=10"2"-7,通過{%}的單調(diào)性即
可求出S“的最大值
【詳解】由4+2=3a“+1-2氏-10,得*一a用=2(%-%-1。,
令。=么,所以%=2?-10,則令「1。=2(6“-10),
所以數(shù)列他,-10}是以4To=%-/T。=-2為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,
所以2-10=-2x2"-=-2",即優(yōu)=一2"+10,即a?+1-??=10-2",
由a2—%—10—21,%—4=1?!??,%—%=1°—2^,,cin_—10—2"1("22),
將以上n-1個(gè)等式兩邊相加得凡一q:)=]0“_2-8,
所以a“=10w-2"-7,〃22,
經(jīng)檢驗(yàn)%=1滿足上式,故%=1。"-2"-7,
當(dāng)“V3時(shí),?!?「?!?1。-2">0,即{4}單調(diào)遞增,當(dāng)“24吐。用-氏=1。-2"<。,即{%}單調(diào)遞減,
因?yàn)?/p>
3456
a3=10x3-2-7=15>0,a4=10x4-2-7=17>0,a5=10x5-2-7=11>0,a6=10x6-2-7=-11<0,
所以{4}的前W項(xiàng)和s”的最大值為$5=1+9+15+17+11=53,
故選:B
7.【答案】C
【分析】由題意可得,圓C的圓心為C(l,-4),半徑為1,結(jié)合ABC是等腰直角三角形,可得圓心c(l,-a
到直線or+y-1=0的距離等于r-sin45。,再利用點(diǎn)到直線的距離公式,從而可求得。的值.
【詳解】解:由題意得,圓C:(x-iy+(y+a)2=l的圓心為C(l,-a),半徑為1,
由于直線3+>-1=。與圓C相交于A,B兩點(diǎn),且一ABC為等腰直角三角形,
可知ZACB=90,|AB|=|AC|=r=l,
所以NC4B=NC54=45°,
圓心C(l,-a)到直線"+y-l=0的距離等于廠.sin45。=孝,
再利用點(diǎn)到直線的距離公式可得:
圓心C(l,-a)到直線ar+y-l=0的距離〃=/==走,
Va2+12
解得:a=±l,所以實(shí)數(shù)。的值為1或一1.
故選:C.
8.【答案】D
【分析】先將c=0.5°-6改寫為。=246,再利用函數(shù)y=2"的單調(diào)性判斷即可
【詳解】由題,CnO.SOSnlgj'nZ"1,對(duì)于指數(shù)函數(shù)>=2,可知在R上單調(diào)遞增,
因?yàn)?0.6<0.5<0.6,所以2~°,6<2°s<2°6,BPc<b<a
故選:D
9.【答案】A
【分析】求出漸近線方程,由點(diǎn)到直線的距離公式求出圓心到漸近線的距離,將此距離和半徑作比較,得
出結(jié)論.
22_
【詳解】雙曲線會(huì)號(hào)=1的漸近線為瓜±3y=0,
圓尤2+y2-4x+3=0,gp(x-2)2+y2=1,
圓心(-2,0)至I]直線&±3y=0的距離為呼地=1(半徑),
故漸近線與圓相切,故選A.
10.【答案】B
【解析】由題意可得寧魯+工2>1,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性,從而可以判斷[(尤2-1)/(耳]'>。,即
J\)
g(x)=(爐-l)〃x)在(0,轉(zhuǎn))上單調(diào)遞增,從而判斷出結(jié)果.
2V(元)
【詳解】因?yàn)?%2>1,/(X)是定義在(0,3)上的增函數(shù),/(x)>0,
7TT
所以2Vl(力+//(司>/(同,即2#口)+02-1)尸(》)>0,
所以[(尤2-1)〃同]'>0,
所以函數(shù)g(x)=(Y-l)/(x)在(0,-H?)上單調(diào)遞增,且g(l)=0,
所以當(dāng)xe(0,l)時(shí),g(尤)<g⑴=0,Mx2-l<0,所以此時(shí)F(x)>0,
當(dāng)xe(l,+co)時(shí),g(x)>g(l)=0,而尤2_1>0,所以此時(shí)〃x)>0,
結(jié)合選項(xiàng),可知對(duì)于任意xe(0,+oo),/(x)>0,
故選B.
第二部分(非選擇題共110分)
二、填空題:本題共5小題,每小題5分,共25分。
11.【答案】15
【詳解】試題分析:(%-二)6的展開式的通項(xiàng)JMCjf-qA),=(_iyc6b63,
XX
令6-37=0,可得「=2,
則常數(shù)項(xiàng)為匕i=(T)2c6?=15.
12.【答案】|
【分析】先計(jì)算出-2,然后再求解了(-2)從而求解.
【詳解】由題意得/[)=1鳴)=-2,
所以4m=”一2)=1-3一、|.
Q
故答案為:—.
3
13.【答案】|
2
1?23
【詳解】試題分析:因?yàn)锳C?BM=(AD+—AB).(-AB+—4。)=一2-—ABAD=-3,所以ARAO=—.
2332
14.【答案】3
【分析】利用角的關(guān)系以及三角恒等變換相關(guān)公式將條件中的恒等式化簡(jiǎn),即可求出角C,然后利用面積
公式得到必=c,結(jié)合余弦定理以及基本不等式,即可求出必的最小值.
【詳解】因?yàn)?sinCcos5=2sinA+sin5,
而sinA=sin[%一(3+C)]=sinBcosC+sinCcosB,
代入上式化簡(jiǎn)得:2sinBcosC+sin5=0
12%
所以cosC=—,因?yàn)?<C<〃,所以C=—;
23
因?yàn)镾=,QbsinC所以得而=c;
24
因?yàn)椋āā#?=c2=a2+b2-2abcosC=a2+b2+ab>3ab,
所以必23,當(dāng)且僅當(dāng)a=〃時(shí)取等號(hào),
所以aZ?的最小值為3.
15.【答案】①③④
【分析】設(shè)點(diǎn)尸(%》),曲線。為“合作曲線”O(jiān)存在點(diǎn)ay)使得/+y2VL解出即可判斷出結(jié)論.
【詳解】解:設(shè)點(diǎn)P(x,y),曲線C上存在一點(diǎn)P,使PAPB<0,
???合作曲線O存在點(diǎn)(羽y)使得爐+y2<1.
①由/則滿足存在點(diǎn)a,y)使得爐+/<1,曲線c上存在一點(diǎn)P滿足無2+)/<1,故.1為合作曲線;
②令尸(x,v+l),則/+(爐+1)2<1,化為公+31<0,此時(shí)無解,即不滿足Y+y2<i,故*2不為合作曲線;
③由2y2_尤2=1,可得°=正,6=1,則曲線c上存在一點(diǎn)P滿足Y+V<i,故*3為合作曲線;
2
④由3/+/=1,可得:a=l,b=顯,則曲線C上存在一點(diǎn)P滿足f+y2<i,故《4為合作曲線;
3
4
⑤因?yàn)橹本€圓心到直線2x+y=4的距離"=石>1,故曲線C上不存在一點(diǎn)P滿足尤2+丁<1,故*5不為合
作曲線;
綜上可得:“合作曲線''是①③④.
故答案為:①③④
三、解答題:本題共6小題,共85分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步聚。
16.(14分)【答案】⑴證明見解析(2)arctan(3)存在,且M為中點(diǎn)
2
【分析】(1)取AC中點(diǎn)F,連接跖,cr,證明四邊形班CD是平行四邊形可得CP//DE,結(jié)合線面平行
的判定定理可完成證明;
(2)取中點(diǎn)G,連接EG,DG,先證明EG,平面ABC,然后判斷出線面角為/EDG,最后結(jié)合線段
長(zhǎng)度求解出結(jié)果;
(3)先證明EC1,平面44班"然后建立合適空間直角坐標(biāo)系,分別求解出平面皿》和平面的一個(gè)
法向量,根據(jù)法向量夾角的余弦值的絕對(duì)值的結(jié)果求解出2的值,則結(jié)果可知.
【詳解】(1)取AG中點(diǎn)尸,連接比CP,
因?yàn)镋為A4的中點(diǎn),所以EF//BCI,EF=;BCI,
又因?yàn)?。?C的中點(diǎn),所以CO//BC,a>=g3C=;AG,
所以EF〃CD,EF=CD,
所以四邊形EFCD是平行四邊形,
所以CF//DE,
又CFu平面ACGA,平面4CGA,
所以DE〃平面ACC0;
(2)取A2中點(diǎn)G,連接EG,OG,
因?yàn)樗倪呅蜛A8用為矩形,且E,G為A4,AB的中點(diǎn),
所以與E//8G,與E=BG,
所以四邊形片EG8為平行四邊形,所以BBJ/EG
因?yàn)閹缀误w為直三棱柱,
所以3瓦,平面ABC,所以EG,平面ABC,
所以直線DE與平面A3C所成角即為/EDG,
因?yàn)椤為8C,A3中點(diǎn),
所以£>G=gAC=gjAB2+8C2=應(yīng),且BB、=EG=6,
所以tan/E£>G=g0=^=逅,
DG2
所以ZEDG=arctan,
2
所以直線DE與平面ABC所成角的大小為arctan
2
(3)設(shè)存在M滿足條件,
連接EG,因?yàn)?ABC為正三角形,所以也是正三角形,
因?yàn)镋為A與中點(diǎn),所以
因?yàn)閹缀误w為直三棱柱,所以84,平面A4C,
因?yàn)镋GU平面AMG,所以BB,1EG,
因?yàn)锽B]AB]=B[,BB},AB}u平面A1ABB],
所以EC,平面AABB-
以E為原點(diǎn),以E4,,EG方向?yàn)閤,z軸正方向,在平面AA3片內(nèi)過點(diǎn)E垂直于A與方向?yàn)閥軸,建立如圖所
則E(0,0,0),£(卜1,4,白),4(2,4,0),5(-2,4,0),設(shè)e[0,1]),
所以(2一稅,4一%,—ZM)=4(4,0,0),所以舷(2—4九4,0),
所以EM=(2-444,0),即=卜1,4,右),
設(shè)平面MED的一個(gè)法向量為"=(x,y,z),
?EM=(2-4/l)x+4y=0
所以'
n?ED=-x+4y+y/3z=0
取平面4腔的一個(gè)法向量機(jī)=(o,o,i),
所以gs”,川=篙=1
2'
解得幾=51或2=玲31(舍去),
此時(shí)由圖可知,二面角A-血血-。的平面角為鈍角,
2兀
所以當(dāng)M為A3中點(diǎn)時(shí),二面角A-ME-D的大小為三.
17.(13分)【答案】(1)選擇見解析;答案見解析(2)答案見解析
【分析】(1)根據(jù)題意先把函數(shù)/(X)進(jìn)行化簡(jiǎn),然后根據(jù)所選的條件,去利用三角函數(shù)輔助角公式,三角
函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間而分別計(jì)算并判斷是否使函數(shù)/(x)存在,從而求解;
,JT
(2)根據(jù)(1)中選的不同條件下得出不同的函數(shù)”X)的解析式,然后求出在區(qū)間一萬,0上的最大值和
最小值.
【詳解】(1)由題意得:/(x)=2CO&Y?cos(x+^)=2cosx-[cosxcos(p-sinxsin(p\
=2cos^cos2x-2sin0cosxsinx=cos9(cos2x+1)—sin9sin2x
=cos/cos2x-sin^?sinlx+cos(p='cos(2x-cp)+coscp
當(dāng)選條件①:f(g)=cos(p(cosg+1)—sin°sin=gcos(p-sin(p-cos[0+]]=1,
又因?yàn)殚l<g,所以一:<e<:,所以一〈等,
222o36
所以cos,+3=l時(shí),即得:9+/o,即夕=g
當(dāng)選條件②:
/(%)=2co&x-cos(x+0)=cos(2x-0)+cos(p
從而得:當(dāng)2E-兀(2工一。<2祈義EZ時(shí),/(X)單調(diào)遞增,
化簡(jiǎn)得:當(dāng)左兀―5+5VX<阮+5,左£Z時(shí),/(%)單調(diào)遞增,
■JT
又因?yàn)楹瘮?shù)“X)在區(qū)間0,-上是增函數(shù),
lat--+—<0
22it
所以得:MeZ,解之得:-2E+巴航+兀次eZ,
E+"2
I24
當(dāng)人=0時(shí),得]<夕(兀,與已知條件時(shí)矛盾,故條件②不能使函數(shù)/(x)存在.
故:若選條件②,夕不存在.
當(dāng)選條件③:
(gj,/(x)=2cosx-cos(x+^?)=cos(2x-^)+cos^>,
得當(dāng)丈=與時(shí),cos(2x-p)=cos(?一夕]=-1,又因?yàn)閨d<],
所以得?_夕=兀,得/
(2)當(dāng)選條件①:
由⑴知:(p=~,則得:/(x)=cos^2x+-1^+^-,
___.、,71?—,,_兀2兀兀
又因?yàn)橐蝗f'°'所以2X+3£--—,
所以當(dāng)x=一e時(shí),/
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