2020年中考數(shù)學必考34個考點32 尺規(guī)作圖

尺規(guī)作圖問題

專題知識回顧

1.尺規(guī)作圖的定義：只用不帶刻度的直尺和圓規(guī)通過有限次操作，完成畫圖的一種作圖方法.尺規(guī)作圖可以

要求寫作圖步驟，也可以要求不一定要寫作圖步驟，但必須保留作圖痕跡。

2.尺規(guī)作圖的五種基本情況：

（1）作一條線段等于已知線段；

（2）作一個角等于已知角；

（3）作已知線段的垂直平分線；

（4）作已知角的角平分線；

（5）過一點作已知直線的垂線。

3.對尺規(guī)作圖題解法：

寫出已知，求作，作法（不要求寫出證明過程）并能給出合情推理。

4.中考要求：

（1）能完成以下基本作圖：作一條線段等于已知線段，作一個角等于已知角，作角的平分線，作線段的垂

直平分線.

（2）能利用基本作圖作三角形：已知三邊作三角形；已知兩邊及其夾角作三角形；已知兩角及其夾邊作三

角形；已知底邊及底邊上的高作等腰三角形.

（3）能過一點、兩點和不在同一直線上的三點作圓

（4）了解尺規(guī)作圖的步驟，對于尺規(guī)作圖題，會寫已知、求作和作法（不要求證明）.

專題典型題考法及解析

【例題1】（2019?湖南長沙）如圖，放&8C中，ZC=90°,Z5=30°,分別以點/和點8為圓心，大詩

AB的長為半徑作弧，兩弧相交于M、N兩點,作直線交8c于點Z）,連接則的度數(shù)是（）

A.20°B.30°C.45°D.60°

【答案】B

【解析】根據(jù)內角和定理求得NA4c=60。，由中垂線性質知DA=DB,即N5=30。，從而得出答

案.

在ALBC中，VZB=30°,ZC=90°,

AZBAC=lS00-ZB-ZC=60°,

由作圖可知MV為48的中垂線，

：.DA=DB,

：.NDAB=/B=30。,

：.ZCAD=ZBAC-ZDAB=30°.

【例題2】（2019山東棗莊）如圖，8。是菱形48。的對角線，ZCBD=15°,

（1）請用尺規(guī)作圖法，作N3的垂直平分線SF,垂足為E,交AD于F；（不要求寫作法，保留作圖痕跡）

（2）在（1）條件下，連接5/，求ND2尸的度數(shù).

【答案】見解析。

【解析】（1）分別以A.8為圓心，大于長為半徑畫弧，過兩弧的交點作直線即可。

2

如圖所示，直線即即為所求；

(2)根據(jù)ZDBF=ZABD-ZABF計算即可。

???四邊形/BCD是菱形，

AZABD=ZDBC=—ZABC^15°,DC//AB,/4=/C.

2

AZ^5C=150°,Zy45C+ZC=180°,

：.ZC=ZA=30°,

?.?跖垂直平分線段N8,

：.AF=FB,

：.ZA=ZFBA=30°,

：.ZDBF=ZABD-NFBE=45°.

【例題3】(2019年貴州安順模擬題)用直尺和圓規(guī)作一個角等于已知角，如圖，能得出/A，OB=/AOB的

依據(jù)是()

A.(SAS)B.(SSS)C.(ASA)D.(AAS)

【答案】B

【解析】我們可以通過其作圖的步驟來進行分析，作圖時滿足了三條邊對應相等，于是我們可以判定是運

用SSS,答案可得.

作圖的步驟：

①以O為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交OA、OB于點C、D；

②任意作一點O1作射線O7V,以O,為圓心，OC長為半徑畫弧，交O7V于點C]

③以C，為圓心，CD長為半徑畫弧，交前弧于點D，；

④過點D作射線CKB，.

所以NAXTB，就是與NAOB相等的角；

作圖完畢.

在AOCD與ACTCTT,

。C'=0C

<O'D'=0D,

CD，二CD

.?.△OCD也△O'C'D'(SSS),

ZA'O'B'=ZAOB,

顯然運用的判定方法是SSS.

【例題4】（2019?山東青島）請用直尺、圓規(guī)作圖，不寫作法，但要保留作圖痕跡.

已知：Za,直線/及/上兩點B.

求作：RtAABC,使點C在直線/的上方，且N/2C=90。，ZBAC=Za.

AB4

【答案】見解析。

【解析】本題考查了作圖-復雜作圖：復雜作圖是在五種基本作圖的基礎上進行作圖，一般是結合了幾何

圖形的性質和基本作圖方法.解決此類題目的關鍵是熟悉基本幾何圖形的性質，結合幾何圖形的基本性質

把復雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作.

先作ND4B=a,再過8點作則4D與AE的交點為C點.

如圖，A4BC為所作.

專題典型訓練題

一、選擇題

1.（2019?廣西北部灣）如凰在AlBC中，AC=BC,ZA=4Oo,觀察圖中尺規(guī)作圖的痕跡，可知ZBCG的度

數(shù)為（）

A.4OoB.45oC.50。D.6Oo

【答案】C

【解析】利用等腰三角形的性質和基本作圖得到CGLAB,則CG平分利用和三角形內角

和計算出/ACB,從而得到/BCG的度數(shù).

本題考查了作圖-基本作圖：熟練掌握基本作圖（作一條線段等于已知線段；作一個角等于已知角；作已知

線段的垂直平分線；作已知角的角平分線；過一點作已知直線的垂線）.也考查了等腰三角形的性質.

由作法得CGLAB,

?：AB=AC,

；.CG平分/ACB,ZA=ZB,

,：ZACB=180°-40°-40°=100°,

1

:./BCG="ZACB=50°.

2.（2019?貴州貴陽）如圖，在及48c中，AB=AC,以點C為圓心，C8長為半徑畫弧，交于點8和點。，

再分別以點3,。為圓心，大于±8。長為半徑畫弧，兩弧相交于點"，作射線CM交43于點若NE=

2,BE=\,則EC的長度是（）

【答案】D.

【解析】利用基本作圖得到CE，/比再根據(jù)等腰三角形的性質得到/C=3,然后利用勾股定理計算CE的

長.

由作法得則N/EC=90。，

AC=AB=BE+AE=2+1=3,

在放△/（7￡中，CE=1型_/=乖.

3.（2019?河北省）根據(jù)圓規(guī)作圖的痕跡，可用直尺成功找到三角形外心的是（）

【答案】c.

【解析】三角形外心為三邊的垂直平分線的交點，由基本作圖得到c選項作了兩邊的垂直平分線，從而可

用直尺成功找到三角形外心.

4.（2019?山東濰坊）如圖，已知//OB.按照以下步驟作圖：

①以點。為圓心，以適當?shù)拈L為半徑作弧，分別交4408的兩邊于C,。兩點，連接CD.

②分別以點C,。為圓心，以大于線段OC的長為半徑作弧，兩弧在//O8內交于點E,連接CE,DE.

③連接OE交C￡＞于點M.

下列結論中錯誤的是（）

A.ZCEO=ZDEOB.CM=MD

C.ZOCD=ZECDD.S^=—CD-OE

四邊形OCEDQ

【答案】c.

【解析】利用基本作圖得出角平分線的作圖，進而解答即可.

由作圖步驟可得：是N/08的角平分線，

：.ZCEO^ZDEO,CM=MD,S^=—CD-OE,

四邊形OCED2

但不能得出NOCD=NECD

5.（2019?湖北宜昌）通過如下尺規(guī)作圖，能確定點。是3C邊中點的是（）

【答案】A

【解析】作線段8c的垂直平分線可得線段2c的中點.

作線段8c的垂直平分線可得線段BC的中點.由此可知，選項/符合條件，故選A.

6.（經(jīng)典題）作一條線段等于已知線段。

已知：如圖，線段a.

求作：線段AB,使AB=a.

【答案】見解析。

【解析】作法：

①作射線AP；

②在射線AP上截取AB=a.

則線段AB就是所求作的圖形。

（已知）

A*r1Bi>

7.（經(jīng)典題）已知三邊作三角形。

已知：如圖，線段a,b,c.

求作：AABC,使AB=C,AC=b,BC=a.

--------------a

______________b

___________c

【答案】見解析。

【解析】作法：

①作線段AB=c；

②以A為圓心b為半徑作弧，以B為圓心

a為半徑作弧與前弧相交于C；

③連接AC,BCo

則AABC就是所求作的三角形。

-----------n

----------------b

（已知）

（已知三邊作三角形）

8.（經(jīng)典題）已知兩邊及夾角作三角形。

已知：如圖，線段m,n,Za.

求作：AABC,使NA=/a,AB=m,AC=n.

【答案】見解析。

【解析】作法：

①作NA=/a；

②在AB上截取AB=m,AC=n；

③連接BC。

則AABC就是所求作的三角形。

（已知）

:已知兩邊及夾角作三角形）

9.（經(jīng)典題）做已知線段的中點

已知：如圖，線段MN.

求作：點O,使MONO（即O是MN的中點）.

【答案】見解析。

【解析】作法：①分別以M、N為圓心，大于1/2MN的相同

線段為半徑畫弧，兩弧相交于P,Q;

②連接PQ交MN于O.

則點0就是所求作的MN的中點。

（作線段的中點、）

10.（經(jīng)典題）作已知角的角平分線。

已知：如圖，ZAOB,

求作：射線OP,使/AOP=/BOP（即OP平分/AOB）o

【答案】見解析。

【解析】作法：

①以O為圓心，任意長度為半徑畫弧，

分另?。萁籓A,OB于M,N；

②分別以M、N為圓心，大于1/2MN

的相同線段為半徑畫弧，兩弧交/AOB內于P；

③作射線OP。則射線OP就是NAOB的角平分線。

（作角平分線）

11.（經(jīng)典題）已知兩角及夾邊作三角形。

已知：如圖，/a,ZP,線段m.

求作：ZABC,使/A=/a,ZB=ZP,AB=m.

【答案】見解析。

【解析】作法：

①作線段AB=tn；

②在AB的同旁作/A=/a,作,

ZA與/B的另一邊相交于Co

則AABC就是所求作的圖形（三角形）。

m

,（已知）1

（已知兩角及夾邊作三角形）

12.（2019?河北模擬題）如圖,已知AABC（ACVBC）,,用尺規(guī)在BC上確定一點P,使PA+PC=BC,則符

合要求的作圖痕跡是（）

A

P

C.P'、D.

【答案】D

【解析】要使PA+PC=BC,必有PA=PB,所以選項中只有作AB的中垂線才能滿足這個條件，故D正確

D選項中作的是AB的中垂線，

；.PA=PB,

VPB+PC=BC,

/.PA+PC=BC

13.（2019?麗水模擬題）如圖，小紅在作線段AB的垂直平分線時，是這樣操作的：分別以點A,B為圓心,

大于線段AB長度一半的長為半徑畫弧，相交于點C,D,則直線CD即為所求.連結AC,BC,AD,BD,

根據(jù)她的作圖方法可知，四邊形ADBC一定是（）

A.矩形B.菱形C.正方形D.等腰梯形

【答案】B

【解析】根據(jù)垂直平分線的畫法得出四邊形ADBC四邊的關系進而得出四邊形一定是菱形。

???分別以A和B為圓心，大于AB的長為半徑畫弧，兩弧相交于C、D,

；.AC=AD=BD=BC,

，四邊形ADBC一定是菱形。

14.（2019?湖南益陽）已知M、N是線段48上的兩點，AM=MN=2,NB=\,以點/為圓心，/N長為半徑畫

??；再以點6為圓心，2M長為半徑畫弧，兩弧交于點C,連接/C,BC,則AABC一定是（）

A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.等腰三角形

【答案】B

【解析】依據(jù)作圖即可得到/C=/N=4,BC=BM=3,48=2+2+1=5,進而得到/C2+8C2=/32,即可得

出2U3C是直角三角形.

如圖所示，AC=AN=4,BC=BM=3,AB=2+2+}=5,

:.AC2+BC2=AB2,

...△/5C是直角三角形，且N4C8=90。，故選B.

二、填空題

15.（2019武漢）如圖，80是矩形/8CD的對角線，在8/和8。上分別截取BE,BF,使BE=BF；分別

以E,F為圓心，以大于士E尸的長為半徑作弧，兩弧在內交于點G,作射線BG交AD于點P,若

2

AP=3,則點P到BD的距離為.

【答案】3

【解析】結合作圖的過程知：BP平分/ABD,

'：ZA=90°,AP=3,

...點P到AD的距離等于4P的長，為3。

16.（2019濟南）如圖，在RtZMBC中，ZC=90°,以頂點8為圓心，適當長度為半徑畫弧，分別交48,

BC于同M,N,再分別以點M,N為圓心，大于基N的長為半徑畫弧，兩弧交于點P,作射線8尸交/C

一2ABCD

于點。.若N/=30°,則（-------=________.

3△ABD

【答案玲.

【解析】由作法得8。平分N/3C,

VZC=90°,NZ=30。，

N/BC=60。，

???/ABD=NCBD=3。。,

:?DA=DB,

在Rt/^CD中，BD=2CD,

：.AD=2CDf

^ABCD

SAABD

=1/2

17.（2019甘肅省蘭州市）如圖，矩形4BCD,NA4c=60。.以點/為圓心，以任意長為半徑作弧分別交

4B.ZC于點M、N兩點，再分別以點M、N為圓心，以大于的長為半徑作弧交于點P，作射線/尸

交BC于點、E,若BE=l,則矩形/BCD的面積等于.

【答案】3耳.

【解析】由題可知/尸是/歷IC的角平分線

ZBAC=6Oo

：./BAE=NE4C=3Q。

：.AE=2BE=2.

'.AB=73

：.NAEB=60。

又：Z.AEB=NEAC+NECA

：.ZEAC=ZECA=3Oo

..AE—EC—2

，BC=3

18.（2019四川成都）如圖，口4BCD的對角線NC與50相交于點O,按以下步驟作圖：①以點/為圓心，

以任意長為半徑作弧，分別交于點M,N；②以點。為圓心，以/〃長為半徑作弧，交OC于點；

③以點"'為圓心，以"N長為半徑作弧，在/CO8內部交前面的弧于點N'；④過點N'作射線ON'交BC

于點E,若43=8,則線段?！甑拈L為.

【答案】4

【解析】此題考察的是通過尺規(guī)作圖構造全等三角形的原理及兩直線平行的判定，連接MN和因為

AM=OM',AN=ON',MN=M'N',所以AAMN=AOM'N'（SSS）,所以，AMAN=AM'ON',

所以。E〃AB,又因為。是AC中點，所以OE是△ABC的中位線，所以。E=：A3,所以OE=4.

三、填空題

19.（2019?六盤水模擬題）如圖，在AABC中，利用尺規(guī)作圖，畫出AABC的外接圓或內切圓（任選一個.不

寫作法，必須保留作圖痕跡）

【答案】見解析。

【解析】分別利用三角形外心的確定方法以及內心的確定方法得出圓心位置，進而得出即可。

圖2

20.（2019石景山二模）下面是小華設計的“作一個角等于已知角的2倍”的尺規(guī)作圖過程.

已知：ZAOB.

求作：NAPC,使得

作法：如圖，

①在射線OB上任取一點C；

②作線段OC的垂直平分線，

交O/于點尸，交于點。；

③連接PC-,

所以//PC即為所求作的角.

根據(jù)小華設計的尺規(guī)作圖過程，

（1）使用直尺和圓規(guī)補全圖形（保留作圖痕跡）；

（2）完成下面的證明（說明：括號里填寫推理的依據(jù)）.

證明：???￡）2是線段。。的垂直平分線，

：.OP=（）.

：.ZO=ZPCO.

?：ZAPC=ZO+ZPCO（）.

，NAPC=2/A0B.

【答案】見解析。

(2)PC；線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等；

三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和.

21.(2019?湖北省仙桃市)請僅用無刻度的直尺完成下列畫圖，不寫畫法，保留畫圖痕跡.

(1)如圖①，四邊形/BCD中，AB=AD,/B=/D,畫出四邊形/BCD的對稱軸加；

(2)如圖②，四邊形48。中，AD//BC,/4=/D,畫出2c邊的垂直平分線".

【答案】見解析。

【解析】本題考查了軸對稱作圖，根據(jù)全等關系可以確定點與點的對稱關系，從而確定對稱軸所在，即

可畫出直線.

(1)連接/C,/C所在直線即為對稱軸加.

如圖①，直線機即為所求

(2)(2)延長R4,CD交于一點,連接/C,BC交于一點、,連接兩點獲得垂直平分線

如圖②，直線”即為所求

093)

22.（2019?四川省達州市）如圖，在比A4BC中,ZACB=90°,AC=2,BC=3.

（1）尺規(guī)作圖：不寫作法，保留作圖痕跡.

①作N/C2的平分線，交斜邊48于點D；

②過點。作2C的垂線，垂足為點反

（2）在（1）作出的圖形中，求。E的長.

【答案】見解析。

【解析】（1）利用基本作圖，先畫出CD平分//C3,然后作。EL8C于E。

（2）利用CD平分NACB得至I]ZBCD=45°,再判斷ACDE為等腰直角三角形，所以DE=CE,然后證明LBDE

s^BAC,從而利用相似比計算出DE.

平分//C3,

ZBCD=—ZACB=45°,

2

?:DELBC,

...△CDE為等腰直角三角形，：.DE=CE,

'：DE//AC,：.ABDEsABAC,

,DE_BEDE_3-DE

，*AC-BC，~~

..DE=一.

5

23.（2019?廣東）如圖，在A4BC中,點D是4B邊上的一點.

（1）請用尺規(guī)作圖法，在A4BC內,求作使/ADE=/B,DE交AC于E；（不要

求寫作法，保留作圖痕跡）

ADAE

（2）在（1）的條件下，若不3=2,求薪的值.

L）D

I).

【答案】見解析。

【解析】（1）如圖所示，/4DE為所求.

(2)?:NADE=NB

：.DE//BC

.AEAD

EC-DB

ADAE

*.**=2.*?------2

DBEC

24.（2019?廣西貴港）尺規(guī)作圖（只保留作圖痕跡，不要求寫出作法）：

如圖，已知A4BC,請根據(jù)基本事實作出使△DEP/△4BC.

【答案】見解析。

【解析】本題考查了作圖-復雜作圖：復雜作圖是在五種基本作圖的基礎上進行作圖，一般是結合了幾何

圖形的性質和基本作圖方法.解決此類題目的關鍵是熟悉基本幾何圖形的性質，結合幾何圖形的基本性質

把復雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作.也考查了全等三角形的判定.

先作一個/。=//,然后在的兩邊分別截取ED=84DF=AC,連接所即可得到AD跖。如圖，

FC

D1

△DE尸即為所求.

25.（2019?湖北孝感）如圖，放ZUBC中，ZACB=90°,一同學利用直尺和圓規(guī)完成如下操作：

①以點C為圓心，以CB為半徑畫弧，交4B于點G；分別以點G、B為圓心，以大于會"GB的長為半徑畫

弧，兩弧交點K,作射線CK；

②以點8為圓心，以適當?shù)拈L為半徑畫弧，交于點交的延長線于點N；分別以點M、N為圓心，

以大于￡兒亞的長為半徑畫弧，兩弧交于點尸，作直線8P交NC的延長線于點。，交射線CK于點E.

請你觀察圖形，根據(jù)操作結果解答下列問題；

（1）線段CD與CE的大小關系是_______；

（2）過點。作。尸交的延長線于點尸，若/C=12,BC=5,求力”/。2尸的值.

【答案】見解析。

【解析】（1）由作圖知C￡_L/8,BD平分/CBF,據(jù)此得/1=/2=/3,結合/CE8+N3=/2+/CDE

=90。知/（7。=/。。￡,從而得出答案；

CD=CE,

由作圖知BD平分NCBF,

；./1=/2=/3,

?/NC￡5+N3=N2+NCDE=90。,

：.ZCEB=ZCDE,

：.CD=CE,

故答案為：CD=CE；

（2）證ABCD出LBFD得CD=DF,從而設CD=DA=x,求出48="否^^=匕，矢口5山/。/尸=累

BC5解之求得苫=竽，結合尸可得答案.

即一5c=3=5

，

AB12+K13

,:BD平分NCBF,BCLCD,BFLDF,

：.BC=BF,/CBD=NFBD,

在4BCD和A5FD中，

'/DCBLDFB

ZCBD=ZFBD,

,BD=BD

:.ABCD經(jīng)4BFD(AAS),

：.CD=DF,

設CD=DF=x,

=:22=13,

在RtA4CB中,^SJAC+BC

5

sinZDAF=-=—

ADAB13

解得苫=竽

,:BC=BF=5,

DF

：.tanZDBF=—

BF252

26.（2019?廣東模擬題）如圖，點。在A/BC的48邊上，且N/CD=NA.

（1）作NADC的平分線DE,交BC于點￡（用尺規(guī)作圖法，保留作圖痕跡，不要求寫作法）；

（2）在（1）的條件下，判斷直線。E與直線/C的位置關系（不要求證明）.

A

BC

【答案】見解析。

【解析】（1）根據(jù)角平分線基本作圖的作法作圖即可;

（2）根據(jù)角平分線的性質可得田金/8。。，根據(jù)三角形內角與外角的性質可得再根據(jù)

22

同位角相等兩直線平行可得結論.

DE//AC

；DE平分/BDC,

：.ZBDE^=-ZBDC,

2

'：NACD=NA,NACD+ZA=ZBDC,

：.ZA=^-ZBDC,

2

ZA=ZBDE,

：.DE//AC.

27.（2019平谷二模）下面是小元設計的“經(jīng)過已知直線外一點作這條直線的垂線”的尺規(guī)作圖過程.

已知:如圖1,直線/和/外一點P.

求作:直線/的垂線，使它經(jīng)過點P

作法:如圖2,

（I）在直線/上任取一點4

（2）連接4P,以點尸為圓心，4P長為半徑作弧，交直線/于點2（點/,8不重合）；

（3）連接BP,作//P8的角平分線，交AB于點、H；

（4）作直線尸〃，交直線/于點

所以直線尸”就是所求作的垂線.

根據(jù)小元設計的尺規(guī)作圖過程，

（1）使用直尺和圓規(guī)