2023-2024學年高三第二次模擬考試數(shù)學試卷含解析

2023-2024學年高三第二次模擬考試數(shù)學試卷

請考生注意：

1.請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答

案寫在答題紙相應的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。

2.答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.已知集合河={1,2,3,…,*（nwN*），若集合4={4,4}三/，且對任意的〃eM，存在e{—1,0,1}使

得6=2卬+〃勺，其中l(wèi)<i<j<2,則稱集合A為集合M的基底.下列集合中能作為集合

/={1,2,3,4,5,6}的基底的是（）

A.{1,5}B.{3,5}C.{2,3}D.{2,4}

2.如圖，在棱長為4的正方體—4月￡2中，E,F,G分別為棱AB,BC,CQ的中點，M為棱AO的中點,

設P,。為底面A3C。內(nèi)的兩個動點，滿足。尸//平面EFG,=J萬，則尸M+尸。的最小值為（）

3.某市政府決定派遣8名干部（5男3女）分成兩個小組，到該市甲、乙兩個縣去檢查扶貧工作，若要求每組至少3人,

且女干部不能單獨成組，則不同的派遣方案共有（）種

A.240B.320C.180D.120

九3+］元〉0

4.已知函數(shù)/（'）='是奇函數(shù)，則g（7（—D）的值為（）

g（x）,x<0

A.-10B.-9C.~7D.1

5.已知函數(shù)/（x）=W，。=/（2°3）,b=/（0.2°3）,c=/（log032）,則a,b,c的大小關系為（）

A.b<a<cB.c<b<aC.b<c<aD.c<a<b

6.已知等差數(shù)列{4}的前〃項和為S〃，若$8=16,a6=\,則數(shù)列{4}的公差為（）

2322

A.B.C.D.

22i

i

7.下列與函數(shù)y=-7=定義域和單調(diào)性都相同的函數(shù)是()

111

A.y=210g2

C-y=lOg2-D.y=/

8.如圖，正四面體P-ABC的體積為K,底面積為S,。是高7W的中點，過。的平面a與棱Q4、PB、PC分

別交于。、E、F,設三棱錐P-的體積為％,截面三角形DEF的面積為So,則()

A.V<8%,S<4S0B.V<8%,S24so

C.V28%,S<4S0D.V28%,SN4so

TTqr

9.把函數(shù)v=sin(x+—)圖象上各點的橫坐標伸長為原來的2倍，縱坐標不變，再將圖象向右平移￡個單位，那么所

63

得圖象的一個對稱中心為()

A.(1,0)B.(?,0)C.哈,0)D.(0,0)

/、flog〃x+a,x〉0/、/、

10.已知a>0且awl,函數(shù),若y(a)=3,則/(—a)=()

3—1,xWU

228

A.2B.-C.——D.——

339

11.已知集合4={尤||尤—1|43,X￡2},3=卜€(wěn)2|2"￡4},則集合3=()

A.{-1,0,1}B.{0,1}C.{1,2}D.{0,1,2)

22

12.過雙曲線C:)-多=1(。>0,6>0)的右焦點廠作雙曲線C的一條弦A3,且￡A+FB=0,若以45為直徑的圓

ab

經(jīng)過雙曲線C的左頂點，則雙曲線C的離心率為()

A.72B.73C.2D.75

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知函數(shù)/'(x)=-V+sinx,若/(a)=M,則/(一。)=.

14.在ABC中，AB=2小,AC<，ABAC=90°,貝!JABC繞6C所在直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體的表

面積為.

15.在AABC中，已知AB-AC+28A-BC=3C4-C8，貝！IcosC的最小值是.

22

16.已知雙曲線。:3-左=1(a力>0)的左右焦點為耳，鳥，過工作x軸的垂線與C相交于A,3兩點，￡3與V軸

相交于。.若耳8,則雙曲線C的離心率為.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)已知動圓M恒過點［o,g),且與直線、=-；相切.

(1)求圓心M的軌跡E的方程；

(2)設P是軌跡E上橫坐標為2的點，0尸的平行線/交軌跡E于A,B兩點,交軌跡E在P處的切線于點T,問：

是否存在實常數(shù)力使|尸7/=/11Ali.|75|,若存在，求出2的值；若不存在，說明理由.

22

18.(12分)已知橢圓C:=+多=1(a>b>0)的兩個焦點分別為Fi(—0,0)、F2(、歷，0).點M(1,0)

a~b~

與橢圓短軸的兩個端點的連線相互垂直.

(1)求橢圓C的方程；

(2)已知點N的坐標為(3,2),點P的坐標為(m,n)(m彳3).過點M任作直線1與橢圓C相交于A、B兩點，

設直線AN、NP、BN的斜率分別為ki、k2,k3,若ki+k3=2k2,試求m,n滿足的關系式.

19.(12分)已知AABC中，內(nèi)角A氏C所對邊分別是a,b,c,其中a=2,c=g.

(1)若角A為銳角，且sinC=Y3,求sinB的值；

3

(2)設/(C)=GsinCcosC+3cos2。，求/(C)的取值范圍.

20.(12分)已知函數(shù)/(x)=x+a?+lnx(。為常數(shù))

(I)當。=—5時，求/(尤)的單調(diào)區(qū)間；

(II)若/(尤)為增函數(shù)，求實數(shù)。的取值范圍.

21.(12分)如圖，。是在△ABC邊AC上的一點，△BCD面積是△A5O面積的2倍，ZCBD=2ZABD=2G.

D

(I)若0=2,求的值；

6sinC

(II)若3C=4,AB=2叵,求邊AC的長.

22

22.(10分)設直線/與拋物線V=2y交于A,3兩點，與橢圓^+三=1交于C,。兩點，設直線04,。氏。。,8

(。為坐標原點)的斜率分別為41，%，&，心，若OALO3.

(1)證明：直線/過定點，并求出該定點的坐標；

(2)是否存在常數(shù)X,滿足左+左2=丸(%+&)?并說明理由.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、C

【解析】

根據(jù)題目中的基底定義求解.

【詳解】

因為1=—Ix2+lx3,

2=Ix2+Ox3，

3=0x2+lx3,

4=lx2+lx2,

5=lx2+lx3,

6=Ix3+lx3,

所以｛2,3｝能作為集合M=｛1,2,3,4,5,6｝的基底，

故選:C

【點睛】

本題主要考查集合的新定義，還考查了理解辨析的能力，屬于基礎題.

2、C

【解析】

把截面ERG畫完整，可得P在AC上，由=J萬知。在以。為圓心1為半徑的四分之一圓上，利用對稱性可得

PM+P。的最小值.

【詳解】

如圖，分別取GQ,4A的中點連接GH,HI,IJ,JE,易證及凡G,8,/，共面，即平面跳G為截面

EFGHIJ,連接A，,ACAC,由中位線定理可得AC//石尸，平面EFG,EFu平面MG,則AC//平

面跳G,同理可得A。1//平面ERG,由ACIA。=A可得平面ARC//平面EFG,又，P//平面EFG,P在

平面ABCD上，AP&AC.

正方體中。。，平面ABC。，從而有；.DQ=gQ2—DD；=1,二。在以。為圓心1為半徑的四

分之一圓（圓在正方形A3CD內(nèi)的部分）上，

顯然M關于直線AC的對稱點為E,

PM+PQ=PE+PQ>PE+PD-DQ>ED-DQ=742+22-1=2石—1，當且僅當E,P,Q,。共線時取等號，

二所求最小值為2喬-1.

故選：C.

【點睛】

本題考查空間距離的最小值問題，解題時作出正方體的完整截面求出尸點軌跡是第一個難點，第二個難點是求出。點

軌跡，第三個難點是利用對稱性及圓的性質(zhì)求得最小值.

3、C

【解析】

在所有兩組至少都是3人的分組中減去3名女干部單獨成一組的情況，再將這兩組分配，利用分步乘法計數(shù)原理可得

出結(jié)果.

【詳解】

兩組至少都是3人，則分組中兩組的人數(shù)分別為3、5或4、4,

又因為3名女干部不能單獨成一組，則不同的派遣方案種數(shù)為Cl+^-1耳=180.

IAJ

故選：c.

【點睛】

本題考查排列組合的綜合問題，涉及分組分配問題，考查計算能力，屬于中等題.

4、B

【解析】

根據(jù)分段函數(shù)表達式，先求得了(-1)的值，然后結(jié)合了(冷的奇偶性，求得g(/(-l))的值.

【詳解】

d+xx20

因為函數(shù)/(九)='一是奇函數(shù)，所以/(—1)=—7(1)=-2,

、g(x),x<0

g(/(-l))=g(-2)=/(-2)=-/(2)=-10.

故選：B

【點睛】

本題主要考查分段函數(shù)的解析式、分段函數(shù)求函數(shù)值，考查數(shù)形結(jié)合思想.意在考查學生的運算能力，分析問題、解決

問題的能力.

5、B

【解析】

可判斷函數(shù)“X)在R上單調(diào)遞增，且2°3〉l〉0.2°3〉o>iogo32,所以c<b<a.

【詳解】

03

/(%)=更匚=1—--在R上單調(diào)遞增，且2°3>1>O.2>0>log032,

e*+1ex+1

所以c</?<a.

故選：B

【點睛】

本題主要考查了函數(shù)單調(diào)性的判定，指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，利用單調(diào)性比大小等知識，考查了學生的運算求解

能力.

6,D

【解析】

根據(jù)等差數(shù)列公式直接計算得到答案.

【詳解】

依題意，§8（一+火）=8（%+&）=]6,故%+4=4,故%=3,故1=絲二與=—2,故選：D.

82233

【點睛】

本題考查了等差數(shù)列的計算，意在考查學生的計算能力.

7、C

【解析】

1

分析函數(shù)y=方=的定義域和單調(diào)性，然后對選項逐一分析函數(shù)的定義域、單調(diào)性，由此確定正確選項.

【詳解】

函數(shù)V=耳的定義域為（Q+"）'在（0,+8）上為減函數(shù).

A選項，＞=2題2*的定義域為（0,+8）,在（0,+8）上為增函數(shù)，不符合.

B選項，j=log2Q^|的定義域為E,不符合.

C選項，y=log2'的定義域為（0,+“），在（0,+。）上為減函數(shù)，符合.

D選項，,=?的定義域為[0,+8）,不符合.

故選：C

【點睛】

本小題主要考查函數(shù)的定義域和單調(diào)性，屬于基礎題.

8、A

【解析】

設AB=2,取E尸與重合時的情況，計算出當以及匕的值，利用排除法可得出正確選項.

【詳解】

如圖所示，利用排除法，取跖與重合時的情況.

p

不妨設AB=2,延長MEIJIN,使得PN//AM.

PD1

■,PO=OH,:.PN=MH,AH=2MH,AM=3MH=3PN,則——=-,

AD3

由余弦定理得§￡>2=AB2+AP2—ZAB-ADCOS&UZZ+I』］-2x2x-x-=—,

3。224

22

DM=^BD-BM=-,Sn=-x2x-=-,

2°222

又s弋X2?3.堂吟=2g〉l,

當平面。跖〃平面ABC時，S=4S0,:.S<4S0,排除B、D選項；

LI“PD11..8K)

因為---=—,.'.V=—V,此時，----=2>1,

AD30°4V

當平面￡>Eb〃平面ABC時，8%=V,r.8%2丫，排除C選項.

故選：A.

【點睛】

本題考查平行線分線段成比例定理、余弦定理、勾股定理、三棱錐的體積計算公式、排除法，考查了空間想象能力、

推理能力與計算能力，屬于難題.

9、D

【解析】

試題分析：把函數(shù)y=sin(x+-)圖象上各點的橫坐標伸長為原來的2倍(縱坐標不變)，可得y=sin(4x+￡)的圖象

626

7T\71711

再將圖象向右平移g個單位，可得y=sin[—(x-—)+—]=sin—x的圖象，那么所得圖象的一個對稱中心為(0,0),

32362

故選D.

考點：三角函數(shù)的圖象與性質(zhì).

10、C

【解析】

根據(jù)分段函數(shù)的解析式，知當無<0時，/(%)=3.—1,且/(x)<3,由于/(a)=3,則/'(0)=1080a+a=3,即

可求出a.

【詳解】

由題意知：

當x<0時，/(力=33—1,且〃無)<3

由于/(a)=3,則可知：a>0,

貝(1/(。)=1叫。+。=3,

6Z=2,貝！I-a=-29

9

則a)=〃-2)=3--1=方

即f(-?)=

故選：C.

【點睛】

本題考查分段函數(shù)的應用，由分段函數(shù)解析式求自變量.

11、D

【解析】

弄清集合3的含義，它的元素x來自于集合A,且不也是集合A的元素.

【詳解】

因|x—1區(qū)3,所以—2WxW4,故4={—2,—1,0,1,2,3,4},又xeZ,2"eA，貝！|x=0」,2,

故集合3={0,1,2}.

故選：D.

【點睛】

本題考查集合的定義，涉及到解絕對值不等式，是一道基礎題.

12、C

【解析】

由E4+EB=0得月是弦43的中點.進而得A3垂直于x軸，得一=a+c,再結(jié)合。力,。關系求解即可

a

【詳解】

因為~4+正3=0,所以尸是弦A5的中點.且A5垂直于“軸.因為以A5為直徑的圓經(jīng)過雙曲線。的左頂點，所以

卜22_2

—=a+c,即^~—=6z+c,則。一〃=〃，故e=—=2.

aaa

故選：c

【點睛】

本題是對雙曲線的漸近線以及離心率的綜合考查，是考查基本知識，屬于基礎題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、-M

【解析】

根據(jù)題意，利用函數(shù)奇偶性的定義判斷函數(shù)/(尤)的奇偶性，利用函數(shù)奇偶性的性質(zhì)求解即可.

【詳解】

因為函數(shù)/(xh-J+sinx,其定義域為R,

所以其定義域關于原點對稱，

又f(一x)=-(-x)3+sin(-x)=—(A3+sin%)=一/(尤)，

所以函數(shù)/(%)為奇函數(shù)，因為/(a)=”,

所以=

故答案為:

【點睛】

本題考查函數(shù)奇偶性的判斷及其性質(zhì)；考查運算求解能力；熟練掌握函數(shù)奇偶性的判斷方法是求解本題的關鍵;屬于中

檔題、常考題型.

14、6非兀

【解析】

由題知該旋轉(zhuǎn)體為兩個倒立的圓錐底對底組合在一起，根據(jù)圓錐側(cè)面積S=?力計算公式可得.

【詳解】

解：由題知該旋轉(zhuǎn)體為兩個倒立的圓錐底對底組合在一起，

在ABC中，A8=2百，AC=?，ZBAC=9Q°,如下圖所示,

2也.小

底面圓的半徑為「=4。=2

則所形成的幾何體的表面積為S="（4+/?）=乃義2x（2石+石）=6小兀.

故答案為：6^/^萬.

【點睛】

本題考查旋轉(zhuǎn)體的表面積計算問題，屬于基礎題.

15、叵

3

【解析】

分析：可先用向量的數(shù)量積公式將原式變形為：bccosA+2accosB=3abcosC,然后再結(jié)合余弦定理整理為

a2+2b2=3c2,再由cosC的余弦定理得到a,b的關系式，最后利用基本不等式求解即可.

詳解：已知AC+2BA-BC=3CA?CB，可得〃ccosA+勿ccos_B=3aZ?cosC,將角A,B,C的余弦定理代入得

221/25

a~+2b2=3c2,由a2+Z；2-c2_30+3、后，當a=b時取到等號，故cosC的最小值為衛(wèi).

lablab3

點睛：考查向量的數(shù)量積、余弦定理、基本不等式的綜合運用，能正確轉(zhuǎn)化AB.AC+2A4-8。=314?四是解題關

鍵.屬于中檔題.

16、y/3

【解析】

7A2A2

由已知可得A6=A5=’-,結(jié)合雙曲線的定義可知|A周-恒居|=2=2。，結(jié)合02=/+〃，從而可求出離心

率.

【詳解】

解：閨。|=|月。］,00〃月3,.」。制=|。劇,又則|AK|=|AB|=2|A閶.

r2r2r2

\AFA=—,:.AFX=AB=—,:.\AF\-\AF^—^2a,即尸=2/=。2一

aaa

解得c-6a，即e=A/3?

故答案為：73.

【點睛】

*

本題考查了雙曲線的定義,考查了雙曲線的性質(zhì).本題的關鍵是根據(jù)幾何關系，分析出|A8|=幺.關于圓錐曲線的問題,

一般如果能結(jié)合幾何性質(zhì)，可大大減少計算量.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)/=2＞；(2)存在，

-2

【解析】

(1)根據(jù)拋物線的定義，容易知其軌跡為拋物線；結(jié)合已知點的坐標，即可求得方程；

(2)由拋物線方程求得點P的坐標，設出直線/的方程，利用導數(shù)求得點T的坐標，聯(lián)立直線/的方程和拋物線方程,

結(jié)合韋達定理，求得|力4|,|2|,進而求得|PT「與之間的大小關系，即可求得參數(shù)X.

【詳解】

(1)由題意得，點〃與點［o,g］的距離始終等于點〃到直線、=-;的距離，

由拋物線的定義知圓心M的軌跡是以點為焦點，直線y=-；為準線的拋物線，

則￡=！，。=1.二圓心〃的軌跡方程為必=2丫.

22-

(2)因為P是軌跡E上橫坐標為2的點，

由(D不妨取代2,2),所以直線。尸的斜率為1.

因為〃/QP,所以設直線/的方程為y=x+m,mW。.

由y=5%2,得丁=%,則E在點尸處的切線斜率為2,

所以E在點P處的切線方程為y=2x-2.

y=x+m,nx=2m…+2,所22),

由＜

y=2犬一2,

所以IP?T=[⑴+2)—2]2+[(2m+2)-2y=5m2.

y=x+m,

由I2C消去y得/—2%—2m=0,

〔X=2y

由A=4+8相＞0,得相〉——且加。0.

2

設B(%2,y2),

則再+%=2,xrx2=-2m.

因為點T,A,6在直線/上，

所以|AL|=0忖-(m+2)|,|7B|=72|x2-(m+2)|,

所以|MH年|=2%-(m+2)|-|x2-(m+2)|

2

=2kpc2-(〃?+2)(尤］+x2)+(m+2)|

=21-2m—2(m+2)+(m+2)21=2m2,

5

所以|PT『9二|TX|?|7B|.

2

/.zl=—

2

故存在％=使得|PT|2=X|E4|?|7B|.

【點睛】

本題考查拋物線軌跡方程的求解，以及拋物線中定值問題的求解，涉及導數(shù)的幾何意義，屬綜合性中檔題.

尤2

18、(1):——Fy2=1；(2)m—n—1=0

3

【解析】

試題分析：(1)利用M與短軸端點構(gòu)成等腰直角三角形，可求得b的值，進而得到橢圓方程；(2)設出過M的直線

I的方程，將1與橢圓C聯(lián)立，得到兩交點坐標關系，然后將kl+k3表示為直線1斜率的關系式，化簡后得kl+k3=2,

于是可得m,n的關系式.

試題解析：(1)由題意，c=J^,b=l,所以a=J/+02=6

故橢圓C的方程為上+y2=l

3-

（2）①當直線1的斜率不存在時，方程為x=L代入橢圓得，y=土逅

3

不妨設A（1,逅），B（1,一逅）

33

"V6

因為ki+k3=33=2

~i--T~

又ki+k3=2k2,所以k2=l

n—2

所以m,n的關系式為----=1,即m—n—1=0

m-3

②當直線1的斜率存在時，設1的方程為y=k(x-1)

將y=k(x—1)代入§+>2=1,

整理得：(3k2+l)x2-6k2x+3k2-3=0

6k2342—3

設A(xi,yi),B(X2,y2),則石+々=3r+1*2-3/+1

又yi=k(xi—1),yi=k(X2—1)

2-?2-%_(2-％)(3-工2)+(2-%)(3-再)

所以ki+k3=I—

3—Xj3—%2(3—%)(3—w)

[2—左(％_1)](3_%2)+[2_k(々_1)](3一%)

%犬2—3(再+々)+9

2kxix?一(4左+2)(國+%2)+6左+12

x1x2-3(%i+X2)+9

07.2a72

2左x,一一(4左+2)>-^^+6左+12

3左2+13左2+1

3二-3.3"

+9

3F+13F+1

_2(12左2+6)_2

12k-+6-

n—2

所以2k2=2,所以k2=------=1

m-3

所以m,n的關系式為m—n—1=0

綜上所述，m,n的關系式為m—n—1=0.

考點：橢圓標準方程，直線與橢圓位置關系,

19、(1)其叵；(2)-,-+^3

9122.

【解析】

(1)由正弦定理直接可求sinA,然后運用兩角和的正弦公式算出sin8；

(2)化簡/(C)=6sin(2C+W]+=,由余弦定理得cosC=三注￡+利用基本不等式求出

<3)22ab41匕)

cosC>-,確定角。范圍，進而求出/(C)的取值范圍.

2

【詳解】

(1)由正弦定理，得：=

sinAsinC

.,asinC2

sinA=--------二—

c3

/.sinC<sinA,且A為銳角

,_A/5

..cosC——,cosA——

33

2娓+岳

sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=

9

“小mc1+COS2C1.mA/33

(2)f(C>\——sin2c+3x------------=J3—sin2cH-----cos2cH—

v722222

=Qsin12C+|^+|

￡

>—

lab42

.-.Ce^0,y.?.2C+ge與

n

sinf2C+—je[0,1]f(C)e—,—+A/3

【點睛】

本題主要考查了正余弦定理的應用，基本不等式的應用，三角函數(shù)的值域等，考查了學生運算求解能力.

20、(I)單調(diào)遞增區(qū)間為(4,+?0；單調(diào)遞減區(qū)間為(II)［-4,+8).

【解析】

(I)對函數(shù)/(%)進行求導，利用導數(shù)判斷函數(shù)/(光)的單調(diào)性即可；

(II)對函數(shù)/(%)進行求導，由題意知,/(%)為增函數(shù)等價于/(尤)20在區(qū)間(0,+。)恒成立，利用分離參數(shù)法和

基本不等式求最值即可求出實數(shù)。的取值范圍.

【詳解】

(I)由題意知，函數(shù)y=/(x)的定義域為(0,+“),

當叫-5時，小)=可出(2?-1)(6-2)

2x

令/，(x)=0，得％=；，或x=4,

所以/(%)，/(九)隨X的變化情況如下表：

H)j_

X4(4,+oo)

4

/'(X)+0—0+

9?)

“X)遞增------ln4遞減-6+ln4遞增

4

???/(力的單調(diào)遞增區(qū)間為(。,；|,(4,+=0).單調(diào)遞減區(qū)間為］:,4)

(II)由題意得/(%)=1+++-=2"?+2?0在區(qū)間(0,+。)恒成立，

即-a(+七］在區(qū)間(0,+“)恒成立.

^+^=>21^-=2,當且僅當?=4，即x=l時等號成立.

Vyjxyjx

所以6+《］=4,所以。的取值范圍是［-4,+8).

【點睛】

本題考查利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、利用分離參數(shù)法和基本不等式求最值求參數(shù)的取值范圍；考查運算求解能力和

邏輯推理能力；利用導數(shù)把函數(shù)單調(diào)性問題轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題是求解本題的關鍵;屬于中檔題、?？碱}型.

21、(