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文檔簡介

2024年新高考數(shù)學(xué)模擬試題3

一、單選題

1.用分層抽樣的方法從某社區(qū)的500名男居民和700名女居民中選取12人參與社區(qū)服務(wù)滿意度調(diào)研,則女居民比

男居民多選取()

A.8人B.6人C.4人D.2人

2.若集合M={,y=ln(4-/)},N=[-2,2],則MCN=()

A.[—2,2]B.(-2,2)C.(-℃,2]D.[—2,In4]

3.最早的測雨器記載見于南宋數(shù)學(xué)家秦九韶所著的《數(shù)書九章》(1247年).該書第二章為“天時(shí)類”,收錄了有關(guān)

降水量計(jì)算的四個(gè)例子,分別是“天池測雨”、“圓罌測雨”、“峻積驗(yàn)雪”和“竹器驗(yàn)雪”.如圖“竹器驗(yàn)雪”法是下雪時(shí)用

一個(gè)圓臺(tái)形的器皿收集雪量(平地降雪厚度=器皿中積雪體積除以器皿口面積),已知數(shù)據(jù)如圖(注意:單位cm),

4.拋物線C:V=2px(p>0)的焦點(diǎn)為且拋物線C與橢圓一+9=1在第一象限的交點(diǎn)為A,若AFLx軸,則夕=

2

()

A.2B.1C.D.-

33

5.如圖1,兒童玩具紙風(fēng)車的做法體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美,取一張正方形紙折出“十”字折痕,然后把四個(gè)角向中心點(diǎn)

翻折,再展開,把正方形紙兩條對(duì)邊分別向中線對(duì)折,把長方形短的一邊沿折痕向外側(cè)翻折,然后把立起來的部分

向下翻折壓平,另一端折法相同,把右上角的角向上翻折,左下角的角向下翻折,這樣,紙風(fēng)車的主體部分就完成

T,如圖2,是一個(gè)紙風(fēng)車示意圖,則()

C.OA+OD=2OED.OA+OC+OD=D

23-1

6.設(shè)A,5為兩個(gè)事件,已知尸(A)=W,P(3)=M,P(A|3)=/,則P(A|5)=()

7.幾何學(xué)史上有一個(gè)著名的米勒問題:“設(shè)點(diǎn)M,N是銳角的一邊04上的兩點(diǎn),試在邊QB上找一點(diǎn)?,使

得/MPN最大.”如圖,其結(jié)論是:點(diǎn)P為過M,N兩點(diǎn)且和射線QB相切的圓與射線。8的切點(diǎn).根據(jù)以上結(jié)論解

決以下問題:在平面直角坐標(biāo)系xoy中,給定兩點(diǎn)M(0,2),N(2,4),點(diǎn)尸在九軸上移動(dòng),當(dāng)/MPN取最大值時(shí),點(diǎn)

C.2或6D.1或3

8.^a=0.001+sinO.OOl,Z?=lnl.OOlc=e03—1,則()

A.b>c>aB.c>a>bC.c>b>aD.a>c>b

二、多選題

9.已知直線/,m,平面。,(3,則下列說法錯(cuò)誤的是().

A.mill,Illa,則nz//a

B.HIP,mlIp,lua,mua,則。〃分

C.l//m,lua,mu/3,則?!ㄈf

D.HIP,mlIp,lua,mua,Im=M,則?!?/p>

10.已知/(x)=sin2x+gcos2x,貝1J()

A.函數(shù)的最小正周期為兀

B.將函數(shù)/(x)的圖象向右平移5個(gè)單位,所得圖象關(guān)于,軸對(duì)稱

6

JT冗

C.函數(shù)“X)在區(qū)間上單調(diào)遞減

D.若/貝即111+3』11旭+胃=1

Q

11.若%y滿足(x+y)2-§母=2,則()

33

A.y-x>-A/3B.y-x<2C.xy>-D.xy>

三、填空題

12.若復(fù)數(shù)z=3—4i+|3-4i|,則|z|=

13.已知數(shù)列{%}滿足4=L2tz?+1-??+aA+1=0(neN*),則數(shù)列{4}的通項(xiàng)公式為.

fV22

14.已知產(chǎn)是雙曲線C:Z-L=X(2>0)上任意一點(diǎn),若尸到C的兩條漸近線的距離之積為5,則C上的點(diǎn)到焦點(diǎn)

843

距離的最小值為.

試卷第2頁,共6頁

四、解答題

15.已知在ABC中,三邊。也c所對(duì)的角分別為A,B,C,已知a(cosA+cos3cosC)=JWbsinAcosC.

⑴求C;

(2)若。=2,△ABC外接圓的直徑為4,求ABC的面積.

16.某高中為了了解高中學(xué)生暑假期間閱讀古典名著的時(shí)間x(小時(shí)/每周)和他們的語文成績y(分)的關(guān)系,某

實(shí)驗(yàn)小組做了調(diào)查,得到一些數(shù)據(jù)(表一).

表一

編號(hào)12345

學(xué)習(xí)時(shí)間X247710

語文成績y829395108122

(1)請(qǐng)根據(jù)所給數(shù)據(jù)求出語文成績y的平均數(shù)和方差;

(2)基于上述調(diào)查,學(xué)校為了確認(rèn)學(xué)生喜歡閱讀古典名著與語文成績的關(guān)系,抽樣調(diào)查了200位學(xué)生.按照是否喜歡

閱讀古典名著與語文成績是否優(yōu)秀統(tǒng)計(jì),得到下列數(shù)據(jù),請(qǐng)依據(jù)表中數(shù)據(jù)及小概率值。=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn),分析“喜

歡閱讀古典名著與語文成績優(yōu)秀,,是否有關(guān).

表二

語文成績優(yōu)秀語文成績不優(yōu)秀合計(jì)

喜歡閱讀7525100

不喜歡閱讀5545100

合計(jì)13070200

a0.100.050.010

Xa2.7063.8416.635

〃(ad-bc¥

(a+6)(c+d)(a+c)(6+d)

17.如圖,四棱錐P-ABCD中,PA=PB=AB=AD=2,BC=4,ADIIBC,ADJ.AB,AC與BD交于點(diǎn)O,過

點(diǎn)。作平行于平面PAB的平面a.

P

⑴若平面a分別交PC,BC于點(diǎn)E,F,求。跖的周長;

(2)當(dāng)P£>=20時(shí),求平面a與平面PC。夾角的正弦值.

試卷第4頁,共6頁

22

18.已知橢圓C:上+&=1,。為坐標(biāo)原點(diǎn),若橢圓C'與橢圓C的離心率相同,焦點(diǎn)都在同一坐標(biāo)軸上,橢圓C'

82

的長軸長與橢圓C的長軸長之比為1:0.

(1)求橢圓C'的方程;

(2)已知點(diǎn)尸在橢圓C上,點(diǎn)A,B在橢圓C'上,若OP=Q4+O8,則四邊形OAPB的面積是否為定值?若是,求出

定值;若不是,請(qǐng)說明理由.

19.若一個(gè)兩位正整數(shù)m的個(gè)位數(shù)為4,則稱機(jī)為“好數(shù)”.

⑴求證:對(duì)任意“好數(shù)”皿病-16一定為20的倍數(shù);

(2)若m=p2_q2,且PM為正整數(shù),則稱數(shù)對(duì)(p,q)為“友好數(shù)對(duì)”,規(guī)定:=例如24=5?-『,稱數(shù)對(duì)(5,1)

為“友好數(shù)對(duì)",貝1]"(24)=(,求小于70的“好數(shù)”中,所有“友好數(shù)對(duì)”的“(⑴的最大直

試卷第6頁,共6頁

參考答案:

1.D

【分析】由分層抽樣的概念,求出男、女居民選取的人數(shù)即可得解.

【詳解】由題可知,男居民選取^xl2=5人,女居民選取12-5=7人,

則女居民比男居民多選取2人.

故選:D.

2.D

【分析】求對(duì)數(shù)型函數(shù)值域可得集合結(jié)合集合交運(yùn)算即可求得結(jié)果.

【詳解】因?yàn)?-尤2>()n_2<x<2,所以y=ln(4-J)定義域?yàn)?-2,2),

所以04尤2<4n0<4-fV4nln(4-尤②)Vln4,即M=(-oo,ln4],

所以MN=[-2,ln4].

故選:D.

3.C

【分析】根據(jù)梯形中位線定理,結(jié)合圓臺(tái)體積公式進(jìn)行求解即可.

【詳解】如圖所示,可求得器皿中雪表面的半徑為鋁*=15cm,

2

所以平地降雪厚度的近似值為>X20X(1()2+15+10x15)_95.

---------------------.--------------——cm

?tx20212

故選:C

4.C

【分析】根據(jù)題設(shè)可得A(點(diǎn),。),再由點(diǎn)在橢圓上,代入求參數(shù)即可.

【詳解】由題設(shè)嗎,。),且A在第一象限,軸,則嗎,p),

又A在橢圓上,故之+/=lnp2=§,而。>0,故〃=逑.

893

故選:C

5.C

【分析】根據(jù)題意,結(jié)合圖形,易于判斷A,B兩項(xiàng);對(duì)于C項(xiàng),理解折紙過程知點(diǎn)E是線段AD的中點(diǎn),易得結(jié)論;

對(duì)于D項(xiàng),合并其中兩個(gè)向量后,只需判斷余下的兩向量能否共線即可.

【詳解】不妨設(shè)|=|OC|=|OE|=1,貝U|a4|=|OZ>|=JI,

對(duì)于A項(xiàng),顯然OC與0£方向不一致,所以O(shè)CxOE,故A項(xiàng)錯(cuò)誤;

對(duì)于B項(xiàng),由圖知/A03是鈍角,則O4O3=|OA|.|O3|cosNAO3<0,故B項(xiàng)錯(cuò)誤;

對(duì)于C項(xiàng),由題意知點(diǎn)E是線段AD的中點(diǎn),則易得:OE=;(OA+O。),即得:OA+OD=2OE,故C項(xiàng)正確;

對(duì)于D項(xiàng),由。4+OC+OD=(OA+OD)+OC=2OE+OC,而0E與0C顯然不共線,故。4+OC+ODwO.即D項(xiàng)

錯(cuò)誤.

故選:C.

6.B

【分析】根據(jù)給定條件,利用全概率公式列式計(jì)算即得.

3—32——

【詳解】由尸(2)=^^P(B)=l--=-,顯然P(A)=P(B)P(A|8)+P5)P(A]石),

23211

因此二=1(川8)+(*],所以尸(A|3)=§.

故選:B

7.A

【分析】利用米勒問題的結(jié)論,將問題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)尸為過M,N兩點(diǎn)且和x軸相切的圓與x軸的切點(diǎn),求出切點(diǎn)的橫

坐標(biāo)即可.

【詳解】由題意知,點(diǎn)尸為過M,N兩點(diǎn)且和x軸相切的圓與x軸的切點(diǎn),

答案第1頁,共8頁

已知M(0,2),N(2,4),則線段MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1,3),直線MN斜率為/=1,

線段跖V的垂直平分線方程為y-3=-(x-l),即x+y-4=0.

所以以線段MN為弦的圓的圓心在直線x+y-4=0上,

所以可設(shè)圓心坐標(biāo)為C(a,4-a),

又因?yàn)閳A與x軸相切,所以圓C的半徑r=|4-H,又因?yàn)?/p>

所以(a-0)~+(4-a-2)2=(4-a)2,解得。=2或。=-6,

即切點(diǎn)分別為尸(2,0)和尸'(-6,0),兩圓半徑分別為2,10.

由于圓上以線段(定長)為弦所對(duì)的圓周角會(huì)隨著半徑增大而圓周角角度減小,

且過點(diǎn)的圓的半徑比過尸的圓的半徑大,

所以ZMPNcZMPN,故點(diǎn)尸(2,0)為所求,

所以當(dāng)4WPN取最大值時(shí),點(diǎn)P的橫坐標(biāo)是2.

故選:A.

【分析】令/(x)=x+sinx,g(x)=ln(x+l),/z(x)=e*-l,p(x)=〃(x)-/(x)=e*-l-x-sinx,

4(x)=〃(x)-g(x)=e,-1-ln(x+l),然后利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性,利用函數(shù)的單調(diào)性可比較大小.

【詳解】令〃x)=x+sinx,g(無)=ln(x+l),/z(x)=eJ-l,

/?(x)=/z(x)-/(x)=el-1-x-sinx,^(x)=/i(x)-g(x)=ex-l-ln(x+l),

貝!]"(無)=eA—1—cosx,q'(x)=e1---,

令聞x)=p'(x),加(x)=e*+sinx,當(dāng)xe0,:1時(shí),m(x)>0,所以p'(x)在。,小時(shí)單調(diào)遞增,

所以當(dāng)xe0,£|時(shí),=Ve-l-cos—-1-cos—=Ve-l-^-<0

p'(%)<p'/I

2262

所以p(x)在xe0,g1時(shí)單調(diào)遞減,所以M0—001)<P(0)=0,所以c<4;

當(dāng)xe。,;]時(shí),/(x)=e*--令=X1

貝ipz'(x)=e+------>0,

(X+l>

所以〃(x)=d(x)在0,;]上單調(diào)遞增,所以d(x)2/(O)=。,

所以q(x)在0,£|上單調(diào)遞增,

所以4(0001)>4(0)=0,所以c〉b,

綜上,a>c>b.

故選:D.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛:此題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,考查比較大小,解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知條件構(gòu)造函數(shù),然后利用導(dǎo)數(shù)判

斷函數(shù)的單調(diào)性,再利用單調(diào)性比較大小,考查數(shù)學(xué)計(jì)算能力,屬于較難題.

9.ABC

【分析】由線面平行,面面平行的判定可判斷各選項(xiàng)的正誤.

【詳解】選項(xiàng)A中,機(jī)可能在a內(nèi),也可能與。平行,故A錯(cuò)誤;

選項(xiàng)B中,。與夕也可能相交,故B錯(cuò)誤;

選項(xiàng)C中,a與夕也可能相交,故C錯(cuò)誤;

答案第2頁,共8頁

選項(xiàng)D中,依據(jù)面面平行的判定定理可知?!ㄊ?,故D正確.

故選:ABC.

10.ACD

【分析】運(yùn)用輔助角公式化簡,得至(無)=2sin12x+g,再結(jié)合正弦型圖象與性質(zhì),三角函數(shù)圖象的平移變換逐

項(xiàng)判斷即可.、

【詳解】由/(x)=sin2x+gcos2x,得/(x)=2;sin2x+

cos2x=2sin2x+—.

2JI3)

對(duì)于A:最小正周期為7=3=兀,所以A正確;

對(duì)于B:將函數(shù)/(x)的圖象上所有點(diǎn)向右平移

6

7171._

所得圖象的函數(shù)解析式為g(%)=2sin2X--+—=2sin2x,

3

而g(x)為奇函數(shù),所以其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,所以B錯(cuò)誤;

TTTT37rTT77r

對(duì)于C:^2kn+-<2x+—<2kji-\---,左eZ,化簡得E+—<x<kn-\-----,

2321212

717?!浮浮?,兀兀兀7兀

當(dāng)左=0時(shí),—<x<——,又因?yàn)槲?—

12121212

TTTT

所以函數(shù)在正,§單調(diào)遞減,所以c正確;

,所以sin(20+1

對(duì)于D選項(xiàng):因?yàn)?/p>

71

sin0+—Icos0+-

所以+《卜71卜,166]_

sin(dos[o+^,所以

68sin26>+-Ucos20+-8

66

tan18+g

-,也就是8tan(e+7]-tan2[o+k]=l,

即得

tan2(6+gj+166

所以D正確.

故選:ACD.

11.ABD

【分析】令y-x=r,代入已知條件,再由判別式可求得,的范圍,從而可判斷A,B選項(xiàng),將已知條件變形為

x2+y2=jxy+2,再由均值不等式可得沖的范圍,再利用代入法并化簡即可判斷C,D選項(xiàng).

Q

【詳解】令y-X=即/=不+乙代入(x+y)2一;孫=2可得:

x2+tt+-(f2-2)=0.

所以△=?一3仁-2"0,解得一百所以A正確.B正確;

Q2

由(x+y)2-]孫=2可變形為爐+/=§孫+2,

因?yàn)?氣區(qū)4盯將f+y=|孫+2代入上式可得:

-?-IV孫V現(xiàn)+1,

33

33

解得孫V”,所以C不正確,D正確.

42

答案第3頁,共8頁

故選:ABD.

12.475

【分析】先求出復(fù)數(shù)z,再求出求目從而可求解.

【詳解】因?yàn)閦=3-4i+陰衣'=8—4i,所以忖=,8?+(-4『=4岔.

故答案為:4下.

13.a=---

〃2"-1

【分析】根據(jù)給定的遞推公式,利用構(gòu)造法求出通項(xiàng)即得.

2

【詳解】數(shù)列{%}中,%=1,a?+i-??=0,顯然4戶。,

則有,=2,,+1,gp—+1=2(—+1),而'+1=2,

an+\anan+\%

因此數(shù)列{'+1}是以2為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,

an

所以:+1=2",即a,=Q.

Un/一1

故答案為:

Z—1

14.乖>_叵

【分析】根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式,即可求解.

22

【詳解】所求的雙曲線方程為土-匕=〃2>0),則漸近線方程為x土&y=0,

84

22

設(shè)點(diǎn)戶(X。,兒),則區(qū)-九=4nx;-2y;=82,

84

點(diǎn)P到c的兩條浙近線的距離之積為-卜⑸=忖一2.=陰=2,

J-)2)2333

1丫2

解得:^=4,故雙曲線。方程為:—-/=i,

故〃=&,c=8,故雙曲線。上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最小值為o-〃=百-8.

故答案為:6-e.

71

15.d)C=-

Q)26

【分析】(1)由正弦定理化邊為角,利用三角形中三內(nèi)角的三角函數(shù)關(guān)系消去角A,解三角方程即得;

(2)由正弦定理求得邊J再由余弦定理求出邊6,利用面積公式即得.

【詳解】(1)因?yàn)椤?cosA+cos5cosC)=V3Z?sinAcosC,

由正弦定理得,sinA(cosA+cosBcosC)=\/3sinBsinAcosC,

因?yàn)锳w(0,兀),sinAw0,所以cosA+cosBcosC=石sin5cosc,

因?yàn)閏osA=-cos(B+C)=sinBsinC-cosBcosC.

所以sinBsinC=石sinBcosC,

又sinfiwO,則tanC=V^,因?yàn)?。?0,兀),所以C=].

(2)由正弦定理,三;=4,則c=4sinC=2g,由余弦定理,cosC="一十廳一廠△,

sinC2ab2

解得6=4或》=-2(舍去),

故ABC的面積S=L〃6sinC=26.

2

答案第4頁,共8頁

16.(1)平均數(shù)為100,方差為189.2

(2)可以認(rèn)為“喜歡閱讀古典名著與語文成績優(yōu)秀”有關(guān)

【分析】(1)由平均數(shù)以及方差的計(jì)算公式,即可求得答案;

(2)根據(jù)已知數(shù)據(jù)計(jì)算/的值,與臨界值表比較,根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)的原則,即可得結(jié)論.

82+93+95+108+122

【詳解】(1)由題意得了==100

5

/=([(82-100)2+(93-100)2+(122-100)2]=189.2,

所以語文成績》的平均數(shù)為100,方差為1892

(2)零假設(shè)為喜歡閱讀古典名著與語文成績優(yōu)秀無關(guān).

2

+日隹主晶拓位—r-曰2200x(75x45-55x25)800_

根據(jù)表中數(shù)據(jù),可得/=--------------------=——?8o.791>6r.635=x

130x100x70x10091001

所以依據(jù)。=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn),”。不成立,

故可以認(rèn)為“喜歡閱讀古典名著與語文成績優(yōu)秀''有關(guān).

17.(1)4

⑵落

【分析】(1)依題意可得AO=;OC,再根據(jù)面面平行的性質(zhì)得到OE//R4,OF//AB,EF//PB,根據(jù)三角形相似的

性質(zhì)計(jì)算可得;

(2)首先證明平面平面A3CD,取AB的中點(diǎn)G,即可得到PG_L平面A3C。,再建立空間直角坐標(biāo)系,利

用空間向量法計(jì)算可得.

【詳解】(1)由題意可知,四邊形ABCD是直角梯形,

,△AOD與△CO3相似,又AD=gBC,

AO=—OC,OD=—OB,

22

因?yàn)檫^點(diǎn)0作平行于平面上鉆的面a分別交PC,BC于點(diǎn)E,F,

即平面OE產(chǎn)〃平面上4B,平面OEF1平面PBC=EF,平面PBCc平面以5=尸3,

平面OEF平面PAC=OE,平面PAC「平面=

平面。砂平面ASC=O尸,平面ASCc平面%B=AB,

由面面平行的性質(zhì)定理得OE7/B4,OF//AB,EF//PB,

所以口上鉆與。麻相似,相似比為3:2,即岑=冬=粵=),

OFOEEF2

因?yàn)橐籔LB的周長為6,所以.OEF的周長為4.

(2)?.,平面a〃平面...平面。與平面PCD的夾角與平面PAB與平面PCD的夾角相等,

VAD=2,叢=2,PD=2>/2,;?PD?=AD?+PA2,

AD±PA,又ABPA=A,鉆,乃4<=平面上鉆,;."),平面上4^,

ADu平面ABC。,.,.平面力IB_L平面ABC。,

取AB的中點(diǎn)G,因?yàn)?,ABC為等邊三角形,;.PGJ_A3,平面平面ABCD=AB,

PGu平面PAB,PG_1_平面ABCD,

以A點(diǎn)為原點(diǎn),43所在直線為x軸,AD所在直線為,軸,過點(diǎn)A與PG平行的直線為z軸,建立如圖所示空間直

角坐標(biāo)系,

答案第5頁,共8頁

ZA

則A(0,0,0),0(020),P(l,0,5/3),C(2,4,0),AZ)=(0,2,0),DC=(2,2,0),£>P=(1,-2,V3),

設(shè)平面PCD的法向量〃=(%,y,z),

DCF=0[2X+2J=0

則,即c后c,

DPn=0[x-2y+j3z=0

取x=l,貝(J〃=(1,-1,一百),

???AD_L平面B4B,JA。是平面的一個(gè)法向量,

AD-n1不

設(shè)平面。與平面PCD夾角為,,貝!Jcos。=——廠=7=子所以sin6=

AD\\nJ555

所以平面a與平面PCO夾角的正弦值為半.

18.(1)—+/=1

4.

(2)面積是定值,為2.

【分析】(1)利用橢圓的性質(zhì)計(jì)算即可;

(2)利用平行四邊形的性質(zhì)及三角形面積公式計(jì)算即可.

22

【詳解】(1)根據(jù)題意易知兩橢圓焦點(diǎn)都在X軸上,不妨設(shè)c*+/l(a>b>0),

易矢口橢圓C的長軸長2加=40,所以橢圓C的長軸長擊x472=4=2a

橢圓C的曷心率e=/82_J2/=6=1,

故橢圓C'的方程二+y2=l;

4-

(2)是定值,理由如下:

82

設(shè)尸(工,%),A(%,%),3(%,%),根據(jù)點(diǎn)在橢圓上可知,++y;=i,

Xx+X1=XQ

因?yàn)镺P=Q4+O8,所以四邊形(MP3是平行四邊形,且

/+%=%

即(西+々)|(必+%)一1①,

82

又才+考+(;+;)=2=才+*+(必+%)=1@,

4v12782

答案第6頁,共8頁

①-②得:+yxy2-0,

因?yàn)閠S=[苧+%%:+尸產(chǎn):=1,

所以[再1,即忱為7闖=2,

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