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文檔簡介
2024年新高考數(shù)學(xué)模擬試題3
一、單選題
1.用分層抽樣的方法從某社區(qū)的500名男居民和700名女居民中選取12人參與社區(qū)服務(wù)滿意度調(diào)研,則女居民比
男居民多選取()
A.8人B.6人C.4人D.2人
2.若集合M={,y=ln(4-/)},N=[-2,2],則MCN=()
A.[—2,2]B.(-2,2)C.(-℃,2]D.[—2,In4]
3.最早的測雨器記載見于南宋數(shù)學(xué)家秦九韶所著的《數(shù)書九章》(1247年).該書第二章為“天時(shí)類”,收錄了有關(guān)
降水量計(jì)算的四個(gè)例子,分別是“天池測雨”、“圓罌測雨”、“峻積驗(yàn)雪”和“竹器驗(yàn)雪”.如圖“竹器驗(yàn)雪”法是下雪時(shí)用
一個(gè)圓臺(tái)形的器皿收集雪量(平地降雪厚度=器皿中積雪體積除以器皿口面積),已知數(shù)據(jù)如圖(注意:單位cm),
4.拋物線C:V=2px(p>0)的焦點(diǎn)為且拋物線C與橢圓一+9=1在第一象限的交點(diǎn)為A,若AFLx軸,則夕=
2
()
A.2B.1C.D.-
33
5.如圖1,兒童玩具紙風(fēng)車的做法體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美,取一張正方形紙折出“十”字折痕,然后把四個(gè)角向中心點(diǎn)
翻折,再展開,把正方形紙兩條對(duì)邊分別向中線對(duì)折,把長方形短的一邊沿折痕向外側(cè)翻折,然后把立起來的部分
向下翻折壓平,另一端折法相同,把右上角的角向上翻折,左下角的角向下翻折,這樣,紙風(fēng)車的主體部分就完成
T,如圖2,是一個(gè)紙風(fēng)車示意圖,則()
C.OA+OD=2OED.OA+OC+OD=D
23-1
6.設(shè)A,5為兩個(gè)事件,已知尸(A)=W,P(3)=M,P(A|3)=/,則P(A|5)=()
7.幾何學(xué)史上有一個(gè)著名的米勒問題:“設(shè)點(diǎn)M,N是銳角的一邊04上的兩點(diǎn),試在邊QB上找一點(diǎn)?,使
得/MPN最大.”如圖,其結(jié)論是:點(diǎn)P為過M,N兩點(diǎn)且和射線QB相切的圓與射線。8的切點(diǎn).根據(jù)以上結(jié)論解
決以下問題:在平面直角坐標(biāo)系xoy中,給定兩點(diǎn)M(0,2),N(2,4),點(diǎn)尸在九軸上移動(dòng),當(dāng)/MPN取最大值時(shí),點(diǎn)
C.2或6D.1或3
8.^a=0.001+sinO.OOl,Z?=lnl.OOlc=e03—1,則()
A.b>c>aB.c>a>bC.c>b>aD.a>c>b
二、多選題
9.已知直線/,m,平面。,(3,則下列說法錯(cuò)誤的是().
A.mill,Illa,則nz//a
B.HIP,mlIp,lua,mua,則。〃分
C.l//m,lua,mu/3,則?!ㄈf
D.HIP,mlIp,lua,mua,Im=M,則?!?/p>
10.已知/(x)=sin2x+gcos2x,貝1J()
A.函數(shù)的最小正周期為兀
B.將函數(shù)/(x)的圖象向右平移5個(gè)單位,所得圖象關(guān)于,軸對(duì)稱
6
JT冗
C.函數(shù)“X)在區(qū)間上單調(diào)遞減
D.若/貝即111+3』11旭+胃=1
Q
11.若%y滿足(x+y)2-§母=2,則()
33
A.y-x>-A/3B.y-x<2C.xy>-D.xy>
三、填空題
12.若復(fù)數(shù)z=3—4i+|3-4i|,則|z|=
13.已知數(shù)列{%}滿足4=L2tz?+1-??+aA+1=0(neN*),則數(shù)列{4}的通項(xiàng)公式為.
fV22
14.已知產(chǎn)是雙曲線C:Z-L=X(2>0)上任意一點(diǎn),若尸到C的兩條漸近線的距離之積為5,則C上的點(diǎn)到焦點(diǎn)
843
距離的最小值為.
試卷第2頁,共6頁
四、解答題
15.已知在ABC中,三邊。也c所對(duì)的角分別為A,B,C,已知a(cosA+cos3cosC)=JWbsinAcosC.
⑴求C;
(2)若。=2,△ABC外接圓的直徑為4,求ABC的面積.
16.某高中為了了解高中學(xué)生暑假期間閱讀古典名著的時(shí)間x(小時(shí)/每周)和他們的語文成績y(分)的關(guān)系,某
實(shí)驗(yàn)小組做了調(diào)查,得到一些數(shù)據(jù)(表一).
表一
編號(hào)12345
學(xué)習(xí)時(shí)間X247710
語文成績y829395108122
(1)請(qǐng)根據(jù)所給數(shù)據(jù)求出語文成績y的平均數(shù)和方差;
(2)基于上述調(diào)查,學(xué)校為了確認(rèn)學(xué)生喜歡閱讀古典名著與語文成績的關(guān)系,抽樣調(diào)查了200位學(xué)生.按照是否喜歡
閱讀古典名著與語文成績是否優(yōu)秀統(tǒng)計(jì),得到下列數(shù)據(jù),請(qǐng)依據(jù)表中數(shù)據(jù)及小概率值。=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn),分析“喜
歡閱讀古典名著與語文成績優(yōu)秀,,是否有關(guān).
表二
語文成績優(yōu)秀語文成績不優(yōu)秀合計(jì)
喜歡閱讀7525100
不喜歡閱讀5545100
合計(jì)13070200
a0.100.050.010
Xa2.7063.8416.635
〃(ad-bc¥
(a+6)(c+d)(a+c)(6+d)
17.如圖,四棱錐P-ABCD中,PA=PB=AB=AD=2,BC=4,ADIIBC,ADJ.AB,AC與BD交于點(diǎn)O,過
點(diǎn)。作平行于平面PAB的平面a.
P
⑴若平面a分別交PC,BC于點(diǎn)E,F,求。跖的周長;
(2)當(dāng)P£>=20時(shí),求平面a與平面PC。夾角的正弦值.
試卷第4頁,共6頁
22
18.已知橢圓C:上+&=1,。為坐標(biāo)原點(diǎn),若橢圓C'與橢圓C的離心率相同,焦點(diǎn)都在同一坐標(biāo)軸上,橢圓C'
82
的長軸長與橢圓C的長軸長之比為1:0.
(1)求橢圓C'的方程;
(2)已知點(diǎn)尸在橢圓C上,點(diǎn)A,B在橢圓C'上,若OP=Q4+O8,則四邊形OAPB的面積是否為定值?若是,求出
定值;若不是,請(qǐng)說明理由.
19.若一個(gè)兩位正整數(shù)m的個(gè)位數(shù)為4,則稱機(jī)為“好數(shù)”.
⑴求證:對(duì)任意“好數(shù)”皿病-16一定為20的倍數(shù);
(2)若m=p2_q2,且PM為正整數(shù),則稱數(shù)對(duì)(p,q)為“友好數(shù)對(duì)”,規(guī)定:=例如24=5?-『,稱數(shù)對(duì)(5,1)
為“友好數(shù)對(duì)",貝1]"(24)=(,求小于70的“好數(shù)”中,所有“友好數(shù)對(duì)”的“(⑴的最大直
試卷第6頁,共6頁
參考答案:
1.D
【分析】由分層抽樣的概念,求出男、女居民選取的人數(shù)即可得解.
【詳解】由題可知,男居民選取^xl2=5人,女居民選取12-5=7人,
則女居民比男居民多選取2人.
故選:D.
2.D
【分析】求對(duì)數(shù)型函數(shù)值域可得集合結(jié)合集合交運(yùn)算即可求得結(jié)果.
【詳解】因?yàn)?-尤2>()n_2<x<2,所以y=ln(4-J)定義域?yàn)?-2,2),
所以04尤2<4n0<4-fV4nln(4-尤②)Vln4,即M=(-oo,ln4],
所以MN=[-2,ln4].
故選:D.
3.C
【分析】根據(jù)梯形中位線定理,結(jié)合圓臺(tái)體積公式進(jìn)行求解即可.
【詳解】如圖所示,可求得器皿中雪表面的半徑為鋁*=15cm,
2
所以平地降雪厚度的近似值為>X20X(1()2+15+10x15)_95.
---------------------.--------------——cm
?tx20212
故選:C
4.C
【分析】根據(jù)題設(shè)可得A(點(diǎn),。),再由點(diǎn)在橢圓上,代入求參數(shù)即可.
【詳解】由題設(shè)嗎,。),且A在第一象限,軸,則嗎,p),
又A在橢圓上,故之+/=lnp2=§,而。>0,故〃=逑.
893
故選:C
5.C
【分析】根據(jù)題意,結(jié)合圖形,易于判斷A,B兩項(xiàng);對(duì)于C項(xiàng),理解折紙過程知點(diǎn)E是線段AD的中點(diǎn),易得結(jié)論;
對(duì)于D項(xiàng),合并其中兩個(gè)向量后,只需判斷余下的兩向量能否共線即可.
【詳解】不妨設(shè)|=|OC|=|OE|=1,貝U|a4|=|OZ>|=JI,
對(duì)于A項(xiàng),顯然OC與0£方向不一致,所以O(shè)CxOE,故A項(xiàng)錯(cuò)誤;
對(duì)于B項(xiàng),由圖知/A03是鈍角,則O4O3=|OA|.|O3|cosNAO3<0,故B項(xiàng)錯(cuò)誤;
對(duì)于C項(xiàng),由題意知點(diǎn)E是線段AD的中點(diǎn),則易得:OE=;(OA+O。),即得:OA+OD=2OE,故C項(xiàng)正確;
對(duì)于D項(xiàng),由。4+OC+OD=(OA+OD)+OC=2OE+OC,而0E與0C顯然不共線,故。4+OC+ODwO.即D項(xiàng)
錯(cuò)誤.
故選:C.
6.B
【分析】根據(jù)給定條件,利用全概率公式列式計(jì)算即得.
3—32——
【詳解】由尸(2)=^^P(B)=l--=-,顯然P(A)=P(B)P(A|8)+P5)P(A]石),
23211
因此二=1(川8)+(*],所以尸(A|3)=§.
故選:B
7.A
【分析】利用米勒問題的結(jié)論,將問題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)尸為過M,N兩點(diǎn)且和x軸相切的圓與x軸的切點(diǎn),求出切點(diǎn)的橫
坐標(biāo)即可.
【詳解】由題意知,點(diǎn)尸為過M,N兩點(diǎn)且和x軸相切的圓與x軸的切點(diǎn),
答案第1頁,共8頁
已知M(0,2),N(2,4),則線段MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1,3),直線MN斜率為/=1,
線段跖V的垂直平分線方程為y-3=-(x-l),即x+y-4=0.
所以以線段MN為弦的圓的圓心在直線x+y-4=0上,
所以可設(shè)圓心坐標(biāo)為C(a,4-a),
又因?yàn)閳A與x軸相切,所以圓C的半徑r=|4-H,又因?yàn)?/p>
所以(a-0)~+(4-a-2)2=(4-a)2,解得。=2或。=-6,
即切點(diǎn)分別為尸(2,0)和尸'(-6,0),兩圓半徑分別為2,10.
由于圓上以線段(定長)為弦所對(duì)的圓周角會(huì)隨著半徑增大而圓周角角度減小,
且過點(diǎn)的圓的半徑比過尸的圓的半徑大,
所以ZMPNcZMPN,故點(diǎn)尸(2,0)為所求,
所以當(dāng)4WPN取最大值時(shí),點(diǎn)P的橫坐標(biāo)是2.
故選:A.
【分析】令/(x)=x+sinx,g(x)=ln(x+l),/z(x)=e*-l,p(x)=〃(x)-/(x)=e*-l-x-sinx,
4(x)=〃(x)-g(x)=e,-1-ln(x+l),然后利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性,利用函數(shù)的單調(diào)性可比較大小.
【詳解】令〃x)=x+sinx,g(無)=ln(x+l),/z(x)=eJ-l,
/?(x)=/z(x)-/(x)=el-1-x-sinx,^(x)=/i(x)-g(x)=ex-l-ln(x+l),
貝!]"(無)=eA—1—cosx,q'(x)=e1---,
令聞x)=p'(x),加(x)=e*+sinx,當(dāng)xe0,:1時(shí),m(x)>0,所以p'(x)在。,小時(shí)單調(diào)遞增,
所以當(dāng)xe0,£|時(shí),=Ve-l-cos—-1-cos—=Ve-l-^-<0
p'(%)<p'/I
2262
所以p(x)在xe0,g1時(shí)單調(diào)遞減,所以M0—001)<P(0)=0,所以c<4;
當(dāng)xe。,;]時(shí),/(x)=e*--令=X1
貝ipz'(x)=e+------>0,
(X+l>
所以〃(x)=d(x)在0,;]上單調(diào)遞增,所以d(x)2/(O)=。,
所以q(x)在0,£|上單調(diào)遞增,
所以4(0001)>4(0)=0,所以c〉b,
綜上,a>c>b.
故選:D.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛:此題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,考查比較大小,解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知條件構(gòu)造函數(shù),然后利用導(dǎo)數(shù)判
斷函數(shù)的單調(diào)性,再利用單調(diào)性比較大小,考查數(shù)學(xué)計(jì)算能力,屬于較難題.
9.ABC
【分析】由線面平行,面面平行的判定可判斷各選項(xiàng)的正誤.
【詳解】選項(xiàng)A中,機(jī)可能在a內(nèi),也可能與。平行,故A錯(cuò)誤;
選項(xiàng)B中,。與夕也可能相交,故B錯(cuò)誤;
選項(xiàng)C中,a與夕也可能相交,故C錯(cuò)誤;
答案第2頁,共8頁
選項(xiàng)D中,依據(jù)面面平行的判定定理可知?!ㄊ?,故D正確.
故選:ABC.
10.ACD
【分析】運(yùn)用輔助角公式化簡,得至(無)=2sin12x+g,再結(jié)合正弦型圖象與性質(zhì),三角函數(shù)圖象的平移變換逐
項(xiàng)判斷即可.、
【詳解】由/(x)=sin2x+gcos2x,得/(x)=2;sin2x+
cos2x=2sin2x+—.
2JI3)
對(duì)于A:最小正周期為7=3=兀,所以A正確;
對(duì)于B:將函數(shù)/(x)的圖象上所有點(diǎn)向右平移
6
7171._
所得圖象的函數(shù)解析式為g(%)=2sin2X--+—=2sin2x,
3
而g(x)為奇函數(shù),所以其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,所以B錯(cuò)誤;
TTTT37rTT77r
對(duì)于C:^2kn+-<2x+—<2kji-\---,左eZ,化簡得E+—<x<kn-\-----,
2321212
717?!浮浮?,兀兀兀7兀
當(dāng)左=0時(shí),—<x<——,又因?yàn)槲?—
12121212
TTTT
所以函數(shù)在正,§單調(diào)遞減,所以c正確;
,所以sin(20+1
對(duì)于D選項(xiàng):因?yàn)?/p>
71
sin0+—Icos0+-
所以+《卜71卜,166]_
sin(dos[o+^,所以
68sin26>+-Ucos20+-8
66
tan18+g
-,也就是8tan(e+7]-tan2[o+k]=l,
即得
tan2(6+gj+166
所以D正確.
故選:ACD.
11.ABD
【分析】令y-x=r,代入已知條件,再由判別式可求得,的范圍,從而可判斷A,B選項(xiàng),將已知條件變形為
x2+y2=jxy+2,再由均值不等式可得沖的范圍,再利用代入法并化簡即可判斷C,D選項(xiàng).
Q
【詳解】令y-X=即/=不+乙代入(x+y)2一;孫=2可得:
x2+tt+-(f2-2)=0.
所以△=?一3仁-2"0,解得一百所以A正確.B正確;
Q2
由(x+y)2-]孫=2可變形為爐+/=§孫+2,
因?yàn)?氣區(qū)4盯將f+y=|孫+2代入上式可得:
-?-IV孫V現(xiàn)+1,
33
33
解得孫V”,所以C不正確,D正確.
42
答案第3頁,共8頁
故選:ABD.
12.475
【分析】先求出復(fù)數(shù)z,再求出求目從而可求解.
【詳解】因?yàn)閦=3-4i+陰衣'=8—4i,所以忖=,8?+(-4『=4岔.
故答案為:4下.
13.a=---
〃2"-1
【分析】根據(jù)給定的遞推公式,利用構(gòu)造法求出通項(xiàng)即得.
2
【詳解】數(shù)列{%}中,%=1,a?+i-??=0,顯然4戶。,
則有,=2,,+1,gp—+1=2(—+1),而'+1=2,
an+\anan+\%
因此數(shù)列{'+1}是以2為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,
an
所以:+1=2",即a,=Q.
Un/一1
故答案為:
Z—1
14.乖>_叵
【分析】根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式,即可求解.
22
【詳解】所求的雙曲線方程為土-匕=〃2>0),則漸近線方程為x土&y=0,
84
22
設(shè)點(diǎn)戶(X。,兒),則區(qū)-九=4nx;-2y;=82,
84
點(diǎn)P到c的兩條浙近線的距離之積為-卜⑸=忖一2.=陰=2,
J-)2)2333
1丫2
解得:^=4,故雙曲線。方程為:—-/=i,
故〃=&,c=8,故雙曲線。上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最小值為o-〃=百-8.
故答案為:6-e.
71
15.d)C=-
Q)26
【分析】(1)由正弦定理化邊為角,利用三角形中三內(nèi)角的三角函數(shù)關(guān)系消去角A,解三角方程即得;
(2)由正弦定理求得邊J再由余弦定理求出邊6,利用面積公式即得.
【詳解】(1)因?yàn)椤?cosA+cos5cosC)=V3Z?sinAcosC,
由正弦定理得,sinA(cosA+cosBcosC)=\/3sinBsinAcosC,
因?yàn)锳w(0,兀),sinAw0,所以cosA+cosBcosC=石sin5cosc,
因?yàn)閏osA=-cos(B+C)=sinBsinC-cosBcosC.
所以sinBsinC=石sinBcosC,
又sinfiwO,則tanC=V^,因?yàn)?。?0,兀),所以C=].
(2)由正弦定理,三;=4,則c=4sinC=2g,由余弦定理,cosC="一十廳一廠△,
sinC2ab2
解得6=4或》=-2(舍去),
故ABC的面積S=L〃6sinC=26.
2
答案第4頁,共8頁
16.(1)平均數(shù)為100,方差為189.2
(2)可以認(rèn)為“喜歡閱讀古典名著與語文成績優(yōu)秀”有關(guān)
【分析】(1)由平均數(shù)以及方差的計(jì)算公式,即可求得答案;
(2)根據(jù)已知數(shù)據(jù)計(jì)算/的值,與臨界值表比較,根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)的原則,即可得結(jié)論.
82+93+95+108+122
【詳解】(1)由題意得了==100
5
/=([(82-100)2+(93-100)2+(122-100)2]=189.2,
所以語文成績》的平均數(shù)為100,方差為1892
(2)零假設(shè)為喜歡閱讀古典名著與語文成績優(yōu)秀無關(guān).
2
+日隹主晶拓位—r-曰2200x(75x45-55x25)800_
根據(jù)表中數(shù)據(jù),可得/=--------------------=——?8o.791>6r.635=x
130x100x70x10091001
所以依據(jù)。=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn),”。不成立,
故可以認(rèn)為“喜歡閱讀古典名著與語文成績優(yōu)秀''有關(guān).
17.(1)4
⑵落
【分析】(1)依題意可得AO=;OC,再根據(jù)面面平行的性質(zhì)得到OE//R4,OF//AB,EF//PB,根據(jù)三角形相似的
性質(zhì)計(jì)算可得;
(2)首先證明平面平面A3CD,取AB的中點(diǎn)G,即可得到PG_L平面A3C。,再建立空間直角坐標(biāo)系,利
用空間向量法計(jì)算可得.
【詳解】(1)由題意可知,四邊形ABCD是直角梯形,
,△AOD與△CO3相似,又AD=gBC,
AO=—OC,OD=—OB,
22
因?yàn)檫^點(diǎn)0作平行于平面上鉆的面a分別交PC,BC于點(diǎn)E,F,
即平面OE產(chǎn)〃平面上4B,平面OEF1平面PBC=EF,平面PBCc平面以5=尸3,
平面OEF平面PAC=OE,平面PAC「平面=
平面。砂平面ASC=O尸,平面ASCc平面%B=AB,
由面面平行的性質(zhì)定理得OE7/B4,OF//AB,EF//PB,
所以口上鉆與。麻相似,相似比為3:2,即岑=冬=粵=),
OFOEEF2
因?yàn)橐籔LB的周長為6,所以.OEF的周長為4.
(2)?.,平面a〃平面...平面。與平面PCD的夾角與平面PAB與平面PCD的夾角相等,
VAD=2,叢=2,PD=2>/2,;?PD?=AD?+PA2,
AD±PA,又ABPA=A,鉆,乃4<=平面上鉆,;."),平面上4^,
ADu平面ABC。,.,.平面力IB_L平面ABC。,
取AB的中點(diǎn)G,因?yàn)?,ABC為等邊三角形,;.PGJ_A3,平面平面ABCD=AB,
PGu平面PAB,PG_1_平面ABCD,
以A點(diǎn)為原點(diǎn),43所在直線為x軸,AD所在直線為,軸,過點(diǎn)A與PG平行的直線為z軸,建立如圖所示空間直
角坐標(biāo)系,
答案第5頁,共8頁
ZA
則A(0,0,0),0(020),P(l,0,5/3),C(2,4,0),AZ)=(0,2,0),DC=(2,2,0),£>P=(1,-2,V3),
設(shè)平面PCD的法向量〃=(%,y,z),
DCF=0[2X+2J=0
則,即c后c,
DPn=0[x-2y+j3z=0
取x=l,貝(J〃=(1,-1,一百),
???AD_L平面B4B,JA。是平面的一個(gè)法向量,
AD-n1不
設(shè)平面。與平面PCD夾角為,,貝!Jcos。=——廠=7=子所以sin6=
AD\\nJ555
所以平面a與平面PCO夾角的正弦值為半.
18.(1)—+/=1
4.
(2)面積是定值,為2.
【分析】(1)利用橢圓的性質(zhì)計(jì)算即可;
(2)利用平行四邊形的性質(zhì)及三角形面積公式計(jì)算即可.
22
【詳解】(1)根據(jù)題意易知兩橢圓焦點(diǎn)都在X軸上,不妨設(shè)c*+/l(a>b>0),
易矢口橢圓C的長軸長2加=40,所以橢圓C的長軸長擊x472=4=2a
橢圓C的曷心率e=/82_J2/=6=1,
故橢圓C'的方程二+y2=l;
4-
(2)是定值,理由如下:
82
設(shè)尸(工,%),A(%,%),3(%,%),根據(jù)點(diǎn)在橢圓上可知,++y;=i,
Xx+X1=XQ
因?yàn)镺P=Q4+O8,所以四邊形(MP3是平行四邊形,且
/+%=%
即(西+々)|(必+%)一1①,
82
又才+考+(;+;)=2=才+*+(必+%)=1@,
4v12782
答案第6頁,共8頁
①-②得:+yxy2-0,
因?yàn)閠S=[苧+%%:+尸產(chǎn):=1,
所以[再1,即忱為7闖=2,
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