四川省廣安市2024屆高三第二次診斷性考試數(shù)學（文）試題（含答案與解析）

廣安市高2024屆第二次診斷性考試

數(shù)學（文科）

本試卷滿分150分、考試時間120分鐘.

注意事項：

1.答卷前、考生務必將自己的姓名、座位號和準考證號填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改

動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本

試卷上無效.

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

1.已知集合0={123,4,5,6,7,8,9},A={2,4,6,8},B={3,4,5,6}；則（）

A.{1,9}B.{1,7}C.{1,7,9}D.{2,3,4,5,6,8}

1Q,

2.復數(shù)z=---i,則|z|=（）

1-i

A.岳B.75C.2D.72

3.某公司收集了某商品銷售收入》（萬元）與相應的廣告支出x（萬元）共10組數(shù)據(jù)（七,K）

（，=1,2,3,…,10）,繪制出如下散點圖，并利用線性回歸模型進行擬合.

能肖售收入”萬元

60.

50.***

40-,?,

30-?'A

2%........................

1.01.52.02.53：035404.55.055廣善支出

x/方兀

若將圖中10個點中去掉A點后再重新進行線性回歸分析，則下列說法正確的是（）

A.決定系數(shù)尺2變小B.殘差平方和變小

c.相關系數(shù)r的值變小D.解釋變量x與預報變量y相關性變?nèi)?/p>

4.已知O,E分別為一ABC的邊A5,AC的中點，若?！甓?,4）,B（-2,-3）,則點。的坐標為

()

A.(4,5)B.(1,1)C.(-5,-7)D.(-8,-11)

5.已知數(shù)列｛4｝滿足q=2,an+l=—一~-（〃eN*），則4024=（）

an+1

11

A.-3B.——C.-D.2

23

x+y-4W0

6.已知平面區(qū)域C=-y—2<0,則x—2y的最大值為（）

x>0

A.8B.4C.3D.2

7.在區(qū)間（0,；隨機取1個數(shù)x,則x使得sinx+cosjoYS的概率為（）

I2J2

1123

A.-B.—C.—D.一

6334

8.已知函數(shù)/（x）=cos2x+sin2x,則下列說法中，正確的是（）

A.7（%）的最小值為-1

B.“X）在區(qū)間-上單調(diào)遞增

C."%）的最小正周期為2兀

D./（X）的圖象可由g（x）=0cos2x的圖象向右平移S個單位得到

9.如圖，菱形A3CD的對角線AC與交于點。，所是△BCD的中位線，AC與所交于點G,

已知??？砂是△CEF繞所旋轉(zhuǎn)過程中的一個圖形，且尸定平面A3CD.給出下列結論:

①5￡>//平面？EF；

②平面PAC±平面ABCD；

③"直線PF±直線AC"始終不成立.

其中所有正確結論序號為（）

A①②③B.①②C.①③D.②③

10已知函數(shù)/(x)=(ox+l)e1給出下列4個圖象:

其中，可以作為函數(shù)/(力的大致圖象的個數(shù)為()

A.1B.2C.3D.4

22

11.已知耳(-。,0),區(qū)(c,o)分別是雙曲線c：=—==1(?>0,b>0)的左右焦點，若過6的直線

ab

與圓（x—gc]+y2=02相切，與C在第一象限交于點P,且P無,X軸，則c的離心率為（）

A.275B.3C.1D.逐

12.已知b,c均為正數(shù)，?=1+—-2°,/=4+〃（2—3"）,—~—=log4（c+3）,貝！J。，b>c

的大小關系為（）

A.b<c<aB.b<a<cC.a<c<bD.a<b<c

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

⑷%<0

13.已知函數(shù)/'(%)='~.則/「/(—2)]的值為_________.

log2x,x>0

14.已知/(x)=x2—X+1,則曲線y=/(x)在點(1,/(1))處的切線方程為.

n

15.已知數(shù)列｛4｝的前幾項和為"，且％=1,an+l-an=2,則S”=.

16.一個圓錐的頂點和底面圓都在半徑為2的球體表面上，當圓錐的體積最大時，其底面圓的半徑為

三、解答題：共70分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題,

每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生依據(jù)要求作答.

(-)必考題：共60分.

17.某校在課外活動期間設置了文化藝術類活動和體育鍛煉類活動，為了解學生對這兩類活動的參與情

況，統(tǒng)計了如下數(shù)據(jù)：

文化藝術類體育鍛煉類合計

男100300400

女50100150

合計150400550

(1)通過計算判斷，有沒有90%的把握認為該校學生所選擇課外活動的類別與性別有關系？

(2)為收集學生對課外活動建議，在參加文化藝術類活動的學生中按性別用分層抽樣的方法抽取了6名同

學.若在這6名同學中隨機抽取2名，求所抽取的2名同學中至少有1名女生的概率.

附表及公式:

P(K2>k^0.150.100.050.0250.010

k°2.0722.7063.8415.0246.635

n(ad-bc)

其中K?=-----————/―----------,n-aA-b+c+d.

(6Z+/?)((?++(?)(/?+

18.如圖，在三棱錐P—A5C中，M為AC邊上的一點，ZAPC=ZPMA=9Q°,cosZCAB=—

3

AB=2PC=瓜,PA=6.

(1)證明：ACJ_平面PBM；

(2)設點。為邊P6的中點，試判斷三棱錐P-AQ2的體積是否有最大值？如果有，請求出最大值；如

果沒有，請說明理由.

19.已知4ABe的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為b,2acosC-ccosB-bcosC.

(1)求角C；

(2)若CD是角平分線，CD=46，的面積為18百，求。的值.

20.在直角坐標系x0y中，設尸為拋物線C:/=2px(p>0)的焦點，M為C上位于第一象限內(nèi)一

點.當必7.OF=0時，△OEM的面積為L

(1)求。的方程；

(2)當Mp.op=_3時，如果直線/與拋物線。交于A,8兩點，直線M4,MB斜率滿足

左M4.左MB=-2.證明直線/是恒過定點，并求出定點坐標?

21.已知函數(shù)=

(1)若/(%)存在極值，求。的取值范圍；

(2)若a<l,xe(0,+oo),證明：/(x)>x-sinx.

(二)選考題：共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一

題記分.

［選修4-4：坐標系與參數(shù)方程］

%=l+2cos。

22.在平面直角坐標系九0y中，曲線C的參數(shù)方程為〈0.(戊為參數(shù)).以坐標原點為極點，

y=2sina

X軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線/的極坐標方程為夕sin(6-=竽.

(1)求C的普通方程和/的直角坐標方程；

(2)設直線/與x軸相交于點A,動點B在。上，點M滿足AM=MB，點/的軌跡為E,試判斷曲線

C與曲線E是否有公共點.若有公共點，求出其直角坐標；若沒有公共點，請說明理由.

［選修4-5：不等式選講］

23.已知b,。均為正數(shù)，且Q+Z?+C=3.

19

(1)是否存在。，b,c,使得一+——w(O,5),說明理由；

ab+c

(2)證明：>3+a+g+b+，3+cW6.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

1.已知集合0=乩2,3,4,5,6,7,8,9},A={2,4,6,8},6={3,4,5,6},則1（AuB）=（）

A.{1,9}B.{1,7}C.{1,7,9}D.{2,3,4,5,6,8）

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，利用并集、補集的定義求解即得.

【詳解】由4={2,4,6,8},6={3,4,5,6},得A5={2,3,4,5,6,8},

而。={123,4,5,6,7,8,9},所以電(AB)={1,7,9}.

故選：C

1Q,

2.復數(shù)z=---i,則目=()

1-i

A.713B.75C.2D.a

【答案】D

【解析】

【分析】由復數(shù)的運算結合模長公式計算即可.

【詳解】因“二+了乎+:)—一5,

1-i(l-i)(l+i)

所以忖=拒,

故選：D.

3.某公司收集了某商品銷售收入y（萬元）與相應的廣告支出x（萬元）共io組數(shù)據(jù)（%,%）

（Z=1,2,3,,10）,繪制出如下散點圖，并利用線性回歸模型進行擬合.

。銷售收入M萬元

60.

50-.??,

40-,?*

30卜,?A

1.52.02.5303：5434.55.05.5廣善支出

x/萬元

若將圖中10個點中去掉A點后再重新進行線性回歸分析，則下列說法正確的是（）

A.決定系數(shù)R2變小B.殘差平方和變小

C.相關系數(shù)廠的值變小D.解釋變量x與預報變量y相關性變?nèi)?/p>

【答案】B

【解析】

【分析】從圖中分析得到去掉A點后，回歸效果更好，再由決定系數(shù)，殘差平方和，相關系數(shù)和相關性的概

念和性質(zhì)作出判斷.

【詳解】從圖中可以看出A點較其他點，偏離直線遠，故去掉A點后，回歸效果更好，

故決定系數(shù)尺2會變大，更接近于1,殘差平方和變小，

相關系數(shù)r的絕對值，即年|會更接近于1，由圖可得x與了正相關，故廠會更接近于1,

即相關系數(shù)廠的值變大，解釋變量x與預報變量y相關性變強，

故A、C、D錯誤，B正確.

故選：B.

4.已知。，E分別為的邊A3,AC的中點，若￡>￡=（3,4）,B（-2,-3）,則點。的坐標為

（）

A（4,5）B.（1,1）C.（-5,-7）D,（-8,-11）

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)向量的數(shù)乘運算，向量坐標與終點、始點的關系可解.

【詳解】因為。，E分別為A5,AC的中點，

所以3。=2。￡=（6,8）,

設C（x,y）,又5（—2,—3）,所以（x+2,y+3）=（6,8）

%+2=6x=4

即《，解得《「

y+3=8y=5

故選：A

5.已知數(shù)列｛〃/滿足。i=2,Cln+1——―-（〃wN、），則。2024

+1

11

A.-3B.-----C.一D.2

23

【答案】A

【解析】

【分析】列舉出數(shù)列的前幾項，即可找到規(guī)律，從而得解.

Q—1

【詳解】因為4=2,=」七，

又2024=4x506，所以〃2。24=%=-3

故選：A

x+y—4Vo

6.已知平面區(qū)域Q=<九-y—2VO,則九一2y的最大值為()

x>0

A.8B.4C.3D.2

【答案】B

【解析】

【分析】畫出可行域，作直線/：z=x-2y,其中z可視為直線/在>軸上的截距，當直線/經(jīng)過區(qū)域中的點

(0,-2)時，直線/在y軸上的截距最小，此時z取最大值.

x+y-4<0

【詳解】如下圖所示，不等式組。={x-y-2W0所表示的可行域如下圖中的陰影部分表示,

x>0

在直線方程X—y—2=0,令龍=0,解得y=-2,

得點A的坐標為（0,—2）,作直線/:z=x-2y,

其中z可視為直線/在y軸上的截距，

當直線,經(jīng)過區(qū)域中的點（0,-2）時，

直線/在y軸上的截距最小，此時z取最大值，

即zmax=0+4=4.

x-y-2=0

y^x-2y=0

x+y-4=0

故選：B.

7.在區(qū)間隨機取1個數(shù)%,貝使得sin%+cos%〉^—的概率為（

2

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)sinx+cos%>』5得出x的區(qū)間長度，再求出總區(qū)間長度，利用幾何概型公式求得答案.

2

【詳角軍】=+Xsinx+cosx>?

兀兀3兀

所以sinx+—e

4)244*T

「一兀兀2兀71

即有%+￡時，sinXH-----

4

715兀

xe

12512J-

5兀兀

在區(qū)間(o，G上隨機取一個數(shù)無，貝1尤使得5111X+<：05》〉'^的概率為工..-=—

I2」2工3

2

故選：C.

8.已知函數(shù)/'(x)=cos2x+sin2x,則下列說法中，正確的是()

A.7(%)的最小值為-1

B.7⑺在區(qū)間上單調(diào)遞增

C.7(%)的最小正周期為2兀

D.7(%)的圖象可由g(x)=0cos2x的圖象向右平移S個單位得到

8

【答案】D

【解析】

【分析】利用兩角和的正弦公式將函數(shù)化簡，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)計算可得.

【詳解】因為/(x)=cos2x+sin2x==A/2sin12x+：

因為—l<sin2x+；VI,所以—J5、/5,所以〃％需=—④，故A錯誤;

7171兀n3n713兀

當xe時2x+—e因為y=sinx在上不單調(diào),

4J444'T44

所以“力在區(qū)間K上不單調(diào)，故B錯誤;

了(%)的最小正周期7=苧=兀，故c錯誤；

將g(x)=0COS2x的圖象向右平移9個單位得到

8

71故正確.

y=0cos2卜一：)=V2COSf2x-j=0cos=\^sin[2x+：J,D

2

故選：D

9.如圖，菱形ABCD的對角線AC與交于點。，所是△3CD的中位線，AC與石廠交于點G,

已知！。即是△CEF繞所旋轉(zhuǎn)過程中的一個圖形，且Pe平面A3CD.給出下列結論：

①BD//平面PEF；

②平面PAC±平面ABCD；

③"直線PF±直線AC"始終不成立.

其中所有正確結論的序號為()

A.①②③B.①②C.①③D.②③

【答案】B

【解析】

【分析】利用線面平行的判定判斷①；利用面面垂直的判定推理判斷②；舉例說明判斷③.

【詳解】菱形A3CD的對角線AC與交于點。，ER是△3CD的中位線，貝UEFVABD,

而石尸u平面？EF，BDe平面PEF，因此6￡>//平面？即，①正確；

連接PG,由BOLAC,得EF_LAG,EFLPG,而AGPG=G,AG,PGu平面尸AC,

則石尸上平面P4C,又石尸u平面A3CD,因此平面出平面A3CD,②正確；

顯然NPG4是二面角P—跖—A的平面角，！Q印由△CEF繞所旋轉(zhuǎn)過程中,

NPGA從180逐漸減小到0(不包含180和0)，當NPGA=90時，AGA.PG,

PGEF=G,PG,EFu平面PEF，則AGL平面？即，而PRu平面PEF,于是PFJLAG,③錯

誤，

所以所有正確結論的序號為①②.

故選：B

10.已知函數(shù)/(x)=(av+l)e"給出下列4個圖象:

其中，可以作為函數(shù)/(X)的大致圖象的個數(shù)為()

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【解析】

【分析】對。的情況進行分類討論，借助于導數(shù)對函數(shù)的單調(diào)性進行分析即可判斷函數(shù)的大致圖象.

【詳解】由題意知，〃力定義域為R,

當a=0時，/(x)=e\由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知函數(shù)/(九)單調(diào)遞增，可對應①；

當a>0時，/'(x)=(at+a+l)e",令/'(x)=0可得：x=—92<0,所以當時，

/(%)<0,當時，/(%)>0,所以，函數(shù)/(%)先減后增，且當x<—工時，

/(%)<0,此時可對應②；

當時，/,(x)=(av+a+l)eA,當/'(x)=0時x=—"L當xej—oo,-"，時，/'(%)>0,當

akciJ

時，/，(%)<0,所以，函數(shù)/(x)先增后減，

當。<一1時，x=—幺土<0,且此時所以可對應③，

aa

當一1<。<0時，％=—巴巴>0,止匕時一工〉1,所以可對應④.

aa

故選：D.

22

11.已知罵鳥(c,0)分別是雙曲線C：=—==1(a>0,b>0)的左右焦點，若過耳的直線

ab

與圓［x—gcj+y2=c2相切，與C在第一象限交于點P,且PX軸，則c的離心率為()

C

A.2A/5B.3-yD.小

【答案】D

【解析】

【分析】設=6,根據(jù)題意求得tan6=竽，又尸乙，了軸，可求得|尸閭=之，利用

\PF\

tan0=-：----2r,列式運算得解.

電I

【詳解】如圖，設NPEK=e[o<6<方J,圓X—+y2=°2的圓心為半徑為C,

3

過點片的直線與圓M相切于點O,貝1]|。加|=。，閨知|=；。,

,八\MD\2、R入”

sin6=,,=—,則cos9=——，所以tan。=----，

區(qū)必335

因為軸，所以易得歸閶="，.tan?！?、=歸6|=",

a-5寓用2c

化簡得&Z?2=4ac，BPy/5a~+4ac-A/5C2=0，解得c=，

e=A/5.

故選：D.

2

12.已知。，b,c均為正數(shù)，a=l+：—2°,Z?=4+/?(2-3"),=log4(c+3),則“，b,

的大小關系為（）

A.b<c<aB.b<a<cC.a<c<bD.a<b<c

【答案】B

【解析】

4444

【分析】將所求拆分成a--=1-2°,b--=2-3b,c-=-log(c+3),令/(x)=x——,

abcx4

rx

g(x)=l-2,/z(x)=2-3,^(x)=-log4(x+3),且x>0,a,dc可看作函數(shù)與g(x),

h(x),q(x)的交點，通過函數(shù)單調(diào)性以及函數(shù)的增長速度結合零點存在性定理可比較出a,4c的大小.

【詳解】解：?=1+——2a可變形為：a——=l-2a,”=4+42—3〃)可變形為：b——=2—3",

aav7b

4—44/、

-----=log4(c+3)可變形為：c-=-log4(c+3),

c------------------------c

x

令/(x)=x—3,g(x)=l-2*,h[x)=2-3,^(x)=-log4(x+3),且無>0,

可知。，4c分別為函數(shù)/(尤)與g(x),h(x),q(x)的交點橫坐標，

當尤>0時，單調(diào)遞增且/⑴=—3,"2)=0,

g(x),h(x),q(x)這三個函數(shù)全部單調(diào)遞減，Xg(1)=h(l)=q(l)=-l>-3,g⑵=一3<0,

/z(2)=-7<0,q(2)=-log45<-1<0,

由零點存在性定理可知：a,Z?,CG(1,2),所以只需判斷g(x),h(x),q(x)這三個函數(shù)的單調(diào)性，在

xe(l,2)范圍內(nèi)下降速度快的，交點橫坐標小，下降速度慢的交點橫坐標大，

由圖象可知，q(x)=Tog4(x+3)下降速度最慢，所以c最大，

g'(x)=—2"ln2,//(x)=-3rln3,x>0時，g,(x)>h,(x),所以交點a>b,

故選：B

【點睛】關鍵點點睛：將等式變形為函數(shù)交點的問題，通過比較函數(shù)增長的快慢來求解.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

⑷%<0

13.已知函數(shù)/'(>)='~.則/「/(—2)]的值為_________.

log2x,x>0

【答案】-4

【解析】

【分析】先求/(-2)的值，結合所求結果的符號，再代入"%)解析式求得.

【詳解】Q/(-2)=4-2=—>0,

16

???/[/(-2)]=/^=1嗎,=log22T=_4.

故答案為：-4.

14.已知/(幻=必—x+1,則曲線y=/(x)在點(1,/⑴)處的切線方程為.

【答案】丁=%

【解析】

【分析】求出函數(shù)/(無)的導數(shù)，再根據(jù)導數(shù)的幾何意義求出切線方程.

【詳解】由/(x)=x2—x+l求導得尸(x)=2x—1,則/⑴=1,而/⑴=1,

所以所求切線方程為y—l=>(x—1),即丁=匕

故答案為：丁=%

15.已知數(shù)列｛qJ前〃項和為5.且%=1,an+l-an=2",則S“=.

【答案】2,,+l-n-2

【解析】

【分析】利用累加法求出數(shù)列｛4｝的通項，再分組求和即可得解.

【詳解】數(shù)列｛4｝中，由得當“22時，氏―

1_2〃

則%=%+（4一4）+（“3-％）++（a-a_）=l+21+22++21=----=2"-1,

nn11—2

顯然。1=1滿足上式，因此％=2〃-1,

所以第=2（1_2"）_〃=2向_/_2.

故答案為：2用-〃-2

16.一個圓錐的頂點和底面圓都在半徑為2的球體表面上，當圓錐的體積最大時，其底面圓的半徑為

?武士.4x/2

【答案】-^―

3

【解析】

【分析】設圓錐的底面半徑為小高為/I,分圓錐頂點與底面在球心。的異側和同側兩種情況討論，由圖

可得廠2=M4—九）,得V=：癡2（4-丸）結合不等式求最大值.

【詳解】設圓錐的底面半徑為小高為人則圓錐的體積為V=—兀/"，

3

當圓錐頂點與底面在球心。的同側時，有h=2—001=2—可4—戶，0<h<2,

/.r2=/z（4-/z）,

_1—/Ai\172/C（/Z+/Z+8-2/ZY256兀

T2

:.V=—7ih（4-/z）=—TI/Z2（8-2/z）<—TLX---------------------=---------，

3663J81

Q

當且僅當/z=8—2/z,即//=—時等號成立，X0</z<2,所以等號不成立.

3

當圓錐頂點與底面在球心。的異側時，//=2+OO]=2+，4-產(chǎn),2</?<4,

:.產(chǎn)=h（4-h）,

=g兀*（4—力）=_|兀?（8—2人）<：兀當且僅當力=8—2力，即丸=|

時等號成立.

此時，=%，即一逑.

93

所以當圓錐的體積最大時，其底面圓的半徑為逑.

故答案為：逑.

3

【點睛】思路點睛：由題意可知圓錐頂點與球心。在底面同側或異側，設圓錐的底面半徑為小高為〃，

根據(jù)圖形關系可得r2=h（4-h）,則V=：汕2（4—/i）可轉(zhuǎn)化為V=-nh\4-h）=-nh~（8-2/i）,利

336

用基本不等式求最值，注意取等號條件是否成立.

三、解答題：共70分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題,

每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生依據(jù)要求作答.

（一）必考題：共60分.

17.某校在課外活動期間設置了文化藝術類活動和體育鍛煉類活動，為了解學生對這兩類活動的參與情

況，統(tǒng)計了如下數(shù)據(jù)：

文化藝術類體育鍛煉類合計

男100300400

女50100150

合計150400550

(1)通過計算判斷，有沒有90%的把握認為該校學生所選擇課外活動的類別與性別有關系？

(2)為收集學生對課外活動建議，在參加文化藝術類活動的學生中按性別用分層抽樣的方法抽取了6名同

學.若在這6名同學中隨機抽取2名，求所抽取的2名同學中至少有1名女生的概率.

附表及公式：

2

P（K>k0）0.150.100.050.0250.010

k°2.0722.7063.8415.0246.635

其中K2=—、/—b+c+d.

7(a+b)^c+d)(a+c)(b+d)n=a+

【答案】(1)有90%的把握認為該校學生所選擇課外活動的類別與性別有關

【解析】

分析】(1)根據(jù)表格計算得到K?，對比臨界值表可得結論；

(2)根據(jù)分層抽樣原則可得男女生人數(shù)，由古典概型和對立事件概率公式可求得結果.

【小問1詳解】

2

由表格數(shù)據(jù)可得：^=550x(100xl00-300x50)=275^8i9>2706)

150x400x400x15072

，有90%的把握認為該校學生所選擇課外活動的類別與性別有關.

【小問2詳解】

抽取的6名同學中，男生有6x^=4人，女生有6x?9=2人,

150150

記事件A為“抽取的2名同學中至少有1名女生”，

則尸（Z）=||=K尸（A）=l—P（可=|,

3

即抽取的2名同學中至少有1名女生的概率為

18.如圖，在三棱錐P—A5C中，M為AC邊上的一點，ZAPC=ZPMA=9Q°,cosZCAB=

AB=2PC=娓,PA=A

（1）證明：4。，平面「風以；

（2）設點。為邊PB的中點，試判斷三棱錐P-ACQ的體積是否有最大值？如果有，請求出最大值；如

果沒有，請說明理由.

【答案】（1）詳見解析

⑵正

4

【解析】

【分析】（1）由NAPC=NPM4=90°,AB=2PC=a,PA<,求得AC,進而求得AM,然后

利用余弦定理求得從而得到5M2+A"2=A52,進而得到AC,然后利用線面垂直的判定

定理證明；

⑵根據(jù)點。為邊用的中點，得到從而有！”=%一.，由AS平面

ABC,得到平面ABC1平面得到點P到平面A8C的距離，即為點尸到8/的距離，再根據(jù)

SABC為定值，由高最大時，體積最大求解.

【小問1詳解】

解：因為ZAPC=NPM4=90°,AB=2PC=瓜,PA=?,

3a

所以ac=+由射影定理得AP2=AMAC>

2

AC/—

所以產(chǎn)=，2,由余弦定理得5M2=A“2+AB2—2AM-05/016=4,

所以5M2+41/2=衿2,則NAAffi=90，即AC_LW，

又因為AC，PM,BMcPM=M，

所以AC，平面？MB；

【小問2詳解】

因為點。為邊QB的中點,

所以%"AC=]%一PAC'又^Q-PAC=^P-ACQ，^B-PAC=^P-ABC，

所以^P-ACQ~~^P-ABC9

因為ACU平面ABC,所以平面ABC1平面尸5A1,

所以點尸到平面ABC的距離，即為點P到的距離，設為九

當/I最大時，所以三棱錐尸-ACQ的體積最大，

p\

而尸〃=一：—=1,則

AC

當力=1時，｛yp.ACQ)mm=1(%ABC)max=g*gX呼義1=^.

19.已知vABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為。，b,c,2acosC-ccosB-bcosC.

(1)求角C；

(2)若CD是NACB的角平分線，CD=46，"C的面積為18逝，求。的值.

jr

【答案】(1)c=-

3

(2)c=6百

【解析】

【分析】(1)利用正弦定理進行邊角互化，結合三角恒等變換求解角度即可.

(2)利用三角形的面積公式和余弦定理列出方程，求解即可.

【小問1詳解】

由2accosC-ccos5=>cosC及正弦定理得，2sinAcosC-sinCcosB=sinBcosC，

所以2sinAcosC=sinBcosC+sinCeosB-sin(B+C)=sinA,因為sinAw0,

所以cosC=],又C￡(0,兀)，所以。二§

【小問2詳解】

由S.ABC=18G=』absinP=1,得ab=72,

234ab

1.兀1.兀

又SABC=SD+S———CDsin—+——CDsin—，

ACBCD2bo2ao

=gx4Gx(〃+b)x；=G(〃+b),所以〃+/?=18,

jr

由余弦定理得c?=a?+/—2abcos—=(a+b)，-3ab=182—3x72=108,

所以c=6A/3.

20.在直角坐標系中，設r為拋物線。：/=2px(p>0)的焦點，/為C上位于第一象限內(nèi)一

點.當MF.Ob=0時，△OEM的面積為1.

(1)求C的方程；

(2)當MF-OF=-3時，如果直線/與拋物線。交于A,3兩點，直線M4,MB的斜率滿足

勺=-2.證明直線/是恒過定點，并求出定點坐標?

【答案】20.>2=4%

21.恒過定點(6,—4)

【解析】

【分析】⑴根據(jù)題意可得知FLOR設"2%]，代入拋物線方程求得先，由Ss=l,求得

。的值，得解；

(2)由已知條件求出點M的坐標為(4,4),設/:%=陽+"4(%,%),B(x2,y2),與拋物線聯(lián)立可

得%+%=4加，%%=-小，結合kMA-kMB=-2化簡可得f=47/1+6,進而即得.

【小問1詳解】

由兒房一。/二。，所以設■，及）卜%>0,

S'OFM=于々乂P=L解得P=2,

所以拋物線C的方程為丁=4x.

【小問2詳解】

2、

如圖,設M—,n,n>0,MF=,OF=（1,0）,

〃2

.-.1--=-3,解得〃=4,

4

所以點Al的坐標為（4,4）.

由題意直線/的斜率不為0,設/:%=陽+乙4（%,%）,B（x2,y2）,

x=my+t,

聯(lián)立〈2，消去x整理得V-4my-4f=0,

y=4x'

則%+%=4加，%%=-4r,△=16（”+。>0,

%-4*%-4_2

即置_4義或_4—,整理得％%+4（y+%）=-24,

T-T-

將為+%=4m，%%=-今代入上式，

.\r=4m+6,滿足A>0,

所以直線/為九=加（y+4）+6,恒過定點（6,T）.

f,,?、t?,【點睛】關鍵點睛：第二問，由題意直線/的斜率不為o,關鍵是設直線/方程為

x=my+t,再與拋物線聯(lián)立求解，這種設法有利于簡化運算.

21.已知函數(shù)/=

(1)若/(%)存在極值，求〃的取值范圍；

(2)若a<l,xe(0,-H?),證明：/(x)>x-sinx.

【答案】(1)(0,+。)

(2)證明見解析

【解析】

【分析】(1)求函數(shù)的導函數(shù)，分aWO、a>0兩種情況討論，即可得到函數(shù)的單調(diào)性，從而得到函數(shù)的

極值點，即可得解；

(2)依題意即證明e*+sinx—(a+l)x—1>0在xe(0,+8)時恒成立，設

g(x)=eA+sinx-(a+l)x-l,xG(0,-H?),利用導數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，即可得證.

【小問1詳解】

由/(x)=e*-dx—l,xeR,得/''(x)=e*—a,

當aWO時，制x)>0,則〃力單調(diào)遞增，“力不存在極值；

當a>0時，令/''(x)=0,則x=lna,

當x<lna,則/'(x)<0,即在Ina)上單調(diào)遞減，

當x>lna,則用勾>0,即在(Ina,+8)上單調(diào)遞增.

所以九=Ina是"％)的極小值點，

所以當a>0時，"％)存在極值，

綜上所述，/(%)存在極值時，。的取值范圍是(0,+。).

【小問2詳解】

欲證不等式/(x)>x-sinx在xe(0,+co)時恒成立，

只需證明+sinx-(a+l)x-l>0在xe(0,+8)時恒成立.

設g(x)=e*+sinx—(a+l)x-l,xe(0,-H?),

則g'(x)=e*+cosx-(a+l),

令小(x)=g'(x)=eX+cosr—(a+l),xe(0,+oo),

則加(x)=e*-sinx.

當xe(0,+co)時e*>1,-l<-sinx<l,所以/(x)>0,

所以m(x)即g'(%)在(0,+0)上單調(diào)遞增,

所以g'(x)>g'(O)=l—a,

因為a<l,所以g'(O)=l—aNO,

故xe(0,+8),g<x)>0,所以g(x)在(0,+a)上單調(diào)遞增,

所以g(x)>g(O)=O，

即當a<l,xe(0,+8)時，不等式/(九)>x—sinx恒成立

【點睛】方法點睛：導函數(shù)中常用兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴?/p>

等式恒成立問題.注意分類討論與數(shù)形結合思想的應用；二是函數(shù)的零點、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)

性、極(最)值問題處理.

(二)選考題：共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一

題記分.

［選修4-4：坐標系與參數(shù)方程］

x=l+2coscif

22.在平面直角坐標