2024屆安徽高三期末測試數學試題 含答案

2024屆高三名校期末測試6.4出（,。1五人站成一排，如果4,3必須相鄰,那么排法種數為（)

A.24B.120C.48D.60

數學7.若系列橢圓Cn：為12+/=1（0〈凡〈1,〃￡寸）的離心率〃=弓）"，則an=

中()

考生注意：

度BJ-g）"cjl-（1）"D.J1—（J）”

1.試卷分值：150分，考試時間：120分鐘。

2.考生作答時，請將答案答在答題卡上。選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆8.已知等差數列{a.}（公差不為0）和等差數列g”}的前〃項和分別為S“、T”，如

把答題卡上對應題目的答案標號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水2

果關于z的實系數方程1003X-S1OO3^+T1OO3=0有實數解，那么以下1003

中簽字筆在答題卡上各題的答案區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在個方程/一對Z+d=0?=1,2,…，1003）中，有實數解的方程至少有（）個

試題卷、草稿紙上作答無效。A.499B.500C.501D.502

3.所需答案均要答在答題卡上，否則無效?？荚嚱Y束后只交答題卡。

二、多選題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有

如

多項符合題目要求，全部選對得6分，部分選對得部分，有選錯的得。分）

展一、單選題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項9.已知一組數據：12,31,24,33,22,35,45,25,16,若去掉12和45,則剩下的數據

中中，只有一個選項是符合題目要求的.）與原數據相比，下列結論正確的是（）

K-1.已知集合。={1,2,3,4,5},4={2,3},8={工|工=242￡2},則BClCuA=A.中位數不變B.平均數不變

（）

田C.方差不變D.第40百分位數不變

A.{4}B.{2,4}C.{1,2}D.{1,3,5）10.雙曲線C：［一］=l（a>0,b>0）,左、右頂點分別為A,B,0為坐標原點，如

賽ab

2.復數尸的虛部為（）

圖，已知動直線I與雙曲線C左、右兩支分別交于P,Q兩點，與其兩條漸近

莘A.8B.-8C.8iD.-8i

線分別交于R,S兩點，則下列命題正確的是（）

3.已知向量a=（0,-2）,b=（l,t）,若向量》在向量a上的投影向量為一會,則

如A.存在直線/，使得AP〃OR

a?b=（）B"在運動的過程中，始終有|PR|=|SQ|

C.若直線I的方程為y=^+2,存在3使得SABB取至I」

A.2B.C.-2D.

乙u最大值

4.在△ABC中,“C=箕是"sin?A+sin?8=1”的（）D.若直線I的方程為？=一號（工一a）,屈=2。,則雙

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

曲線C的離心率為居

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

11.如圖所示,有一個棱長為4的正四面體P—ABC容器，。是PB的中點,E是

5.過點（0,—2）與圓x2+y2-4x-l=0相切的兩條直線的夾角為a,則cosa=

CD上的動點，則下列說法正確的是（）

（）

A.直線AE與PB所成的角為方

數學試題第1頁（共6頁）數學試題第2頁（共6頁）

（分）甲、乙兩人進行射擊比賽，每次比賽中，甲、乙各射擊一次，甲、乙每次

B.AABE的周長最小值為4+庖16.15

至少射中環(huán).根據統(tǒng)計資料可知，甲擊中環(huán)、環(huán)、環(huán)的概率分別為

C.如果在這個容器中放入1個小球（全部進入），則小889100.

7,0.2,0.1,乙擊中8環(huán)、9環(huán)、10環(huán)的概率分別為0.6,0.2,0.2,且甲、乙兩人

球半徑的最大值為名

射擊相互獨立.

D.如果在這個容器中放入4個完全相同的小球（全部（1）在一場比賽中，求乙擊中的環(huán)數少于甲擊中的環(huán)數的概率；

（2）若獨立進行三場比賽，其中X場比賽中甲擊中的環(huán)數多于乙擊中的環(huán)

進入），則小球半徑的最大值為交3

0數，求X的分布列與數學期望.

三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）

12.小于300的所有末尾是1的三位數的和等于,

13.已知函數〃z）=ln（z+D一舞了若/Gc）＞0恒成立，則a=

14.已知拋物線力＞0）,點P為拋物線上的動點，點A（4—與,0）與點

尸的距離IAP|的最小值為2,則p=.

四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程或

演算步驟）

15.（13分）在Z\ABC中,A,B,C的對邊分別為a,6,c,已知6=V^,c=4,acosC+6=0.

（1）求a；

⑵已知點D在線段BC上，且NADB=^，求AD長.

數學試題第3頁（共6頁）數學試題第4頁（共6頁）

17.(15分)如圖，圓臺。。的軸截面為等腰梯形AACQ,AC=2AA=2AC=4,(17分)阿波羅尼斯是古希臘著名數學家，他的主要研究成果集中在他的代

B為底面圓周上異于A,C的點.表作《圓錐曲線》一書中.阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一，指的是已知動

(1)在平面BCG內，過Ci作一條直線與平面A|AB平行,并說明理由.點M與兩定點Q,P的距離之比器-=4(a>0,271))是一個常數，那么

(2)設平面AiABCl平面CCB=/,QGZ,BG與平面QAC所成角為a,當四

棱錐B-A.ACC,的體積最大時，求sina的取值范圍.動點M的軌跡就是阿波羅尼斯圓，圓心在直線PQ上.已知動點M的軌跡是

阿波羅尼斯圓，其方程為/+y2=4,定點分別為橢圓C：r+2=l

(a>6>0)的右焦點F與右頂點A,且橢圓C的離心率為e=3.

(1)求橢圓C的標準方程；

(2)如圖，過右焦點F斜率為左(4>0)的直線/與橢圓C相交于B,D(點B在

了軸上方)，點S,T是橢圓C上異于B,D的兩點，SF平分NBSD,TF平分

NBTD.

①求盟的取值范圍；

②將點S、F、T看作一個阿波羅尼斯圓上的三點，若△SFT外接圓的面積為

華，求直線/的方程.

18.(17分)已知函數/(x)=lnx—axi.x—l').

(D當aVO時，探究/'(z)零點的個數；

(2)當a>0時，證明

&2+8a—a

數學試題第5頁(共6頁)數學試題第6頁(共6頁)

2024屆高三名校期末測試-數學

參考答案、提示及評分細則

題號1234567891011

答案ABCABCADADBDACD

一、單選題(本大題共8小題，每小題5分，共40分)

1.【答案】A

【解析】：U={1,2,3,4,5},A={2,3}CuA={1,4,5},又B={z|z=2及，歸CZ)

ABQCuA={4}.故選：A.

2.【答案】B

【解析】因為(i—工)3=6+爐=-8i.故選：B.

1

3.【答案】C

【解析】由題b在。上的投影向量為|b|?cos"島=(："。=(0,口,

又一：a=(0,1),；.r=l,即b=(1,1),a<6=0Xl+(—2)X1=—2.故選：C.

4.【答案】A

【解析】在AABC中，A+B+C=TT,則B=n~C—A,

充分性：當C=5時,B=￡—A,sinB=sin=cosA,

sin?A+sin2B=sin2A+cos2A=1,所以“C=T■”是“sin?A+sin2B=l”的充分條件;

必要性:當sin?A+sin2B=1時，取A=雪,8=雪+與=4+3，

_L乙JL乙乙乙

此時滿足sin2A+sin2B=sin2T^+COS2雪=1,但

J.乙J.乙J乙

所以“C=9'是"sin?A+sin2B=l”的不必要條件.

綜上所述，“C=尹是"sin?A+sin2B=1”的充分不必要條件.故選：A.

5.【答案】B

【解析】圓/十十一4z—1=0圓心C(2,0),半徑為r=V5；

朝。處安坐17F/-H-O\

設P（o,—2）,切線為PA、PB,則PC=，^—=2&\4PBC中，sinM=f1=電，所以cos

2PC2#

a=1—2siiV告=一；.故選:B.

6.【答案】C

【解析】將A,B看成一體,A,B的排列方法有A?種方法，然后將A和B當成一個整體與其他三

個人一共4個元素進行全排列，即不同的排列方式有A〉根據分步計數原理可知排法種數為

AiAf=48,故選：C.

7.【答案】A

【解析】橢圓C,,可化為:早+午=1.

因為0<%<1,所以離心率或=￡=—~7=—=（，解得:=1—（.故選：A.

ar[\N/\4，

8.【答案】D

【解析】由題意得：SU-4X1003T1O03>0，其中S1003=10033+?Q=1003^502,

八0。3=10必仇+2.=1003砥2，代入上式得：^02-4砥2>0,

要方程—Q漢+d=0（,=1,2,3,…，1003）無實數解，則——40V0,顯然第502個方程有解.

設方程/-Q11+仇=0與方程X2—<21003^+^1003=0的判別式分別為A1,△1003，

則△]+A1003=（酒—4仇）+（（21003—4仇003）=譜+?W03-4（仇十61003）>

3（2a1，2）2

（"'+烈"-4X2仇。z=1—86302=2（渥。z-46302）>0,

等號成立的條件是m=。1003，所以A1<0,A1003<0至多一個成立，

同理可證：△2<0,%。。2<0至多一個成立，…△soiVO.AosVO至多一個成立，且以。2》。，綜上，在

所給的1003個方程中，無實數根的方程最多501個，故有實數解的方程至少有502個.

故選：D.

二、多選題（本大題共3小題，每小題6分，共18分）

9.【答案】AD

【解析】將原數據按從小到大的順序排列為12,16,22,24,25,31,33,35,45,

其中位數為25,平均數是（12+16+22+24+25+31+33+35+45）+9=27,

方差是白[（TH1/十（—5）—（—3）—（—2）2+4?+6?+8—2=等，

由40%X9=3.6,得原數據的第40百分位數是第4個數24.

將原數據去掉12和45,得16,22,24,25,31,33,35,

其中位數為25,平均數是（16+22+24+25+31+33+35）+7=野，

方差號x[L打+（-竽）】（-打+（-野+（并+（/+（寄卜詈,

朝。區(qū)安結97￥T/-H-n\

由40%X7=2.8,得新數據的第40百分位數是第3個數24,

故中位數和第40百分位數不變，平均數與方差改變，故A,D正確，B,C錯誤.

故選：AD.

10.【答案】BD

【分析】根據與漸近線平行的直線不可能與雙曲線有兩個交點可對A項判斷;設直線左z+

[分別與雙曲線聯立，漸近線聯立，分別求出P,Q和R,S坐標，從而可對B、C項判斷；根據而

=2豆，求出6=成《，從而可對D項判斷.

【解析】對于A項：與漸近線平行的直線不可能與雙曲線有兩個交點，故A項錯誤；

ry=kx-\-t

對于B項：設直線/：）=%l+方，與雙曲線聯立）2_，得：（。2—。2公）式2—2Q2比1一

。一/=1

（a2t2+a2b2）=0,

設P（ii）,Q（i2,）2）,由根與系數關系得：6+久2=,4支2=一二人；，

所以線段PQ中點N（衛(wèi)產，竺產）=（房，。/-6,

\N乙）、b—akb—ak'

將直線/：丁=—十方,與漸近線y=~x聯立得點s坐標為s（D、,J：J,

將直線l：y=kx+t與漸近線）=一%聯立得點R坐標為我（分瑞，，

所以線段RS中點M（后三%,二^+），

所以線段PQ與線段RS的中點重合，所以|PR|—'Qi[RSI=|SQ|.故B項正確;

對于。項：由B項可得R（El/y，Sw=!|OB|><5=!|OB|丹，因為

|。引為定值，

當左越來越接近漸近線y=一。丈的斜率一”時，/冷趨向于無窮，

aab-rak

所以SACKB會趨向于無窮，不可能有最大值，故C項錯誤;

2

對于D項:聯立直線,與漸近線廠方，解得s(^a—，^―ab

y/2b~\-ay/2b~\-a

2

聯立直線,與漸近線、=一?：,解得R（aab由題可知，忌=2SB,

——a

所以Vs—)R=2(NB—%)即3ys=yR+2yB,

產=—，解得6=北a,所以e="，故D項正確.

印+a42b~a

故選：BD.

11.【答案】ACD

【解析】A選項，連接AD,由于。為PB的中點，

所以PB±CD,PB±AD,yLCD。AD=D,AD,CDU平面ACD,

所以直線平面ACD,又AEU平面ACD,所以PB，AE.故A正確；

朝。區(qū)安結0吊/"1+0可\

B選項，把△ACD沿著CD展開與平面BDC在同一個平面內，連接AB交C。于點E,

則AE+BE的最小值即為AB的長，由于AD=CD=2VI,AC=4,

222（2福）j（2①1一1

,A^_CD+AD~AC

COSZADC-2CD?AD

2X273X2V33

7Tn/ADC=一等

cosNADB=cos

所以AB?=BD2+AD2~2BD-ADcosZADB=22+（273）2-2X2X273X（-=16+

粵，故AB=J16+呼=4；1十./ABE的周長最小值為4+4jl+*B錯誤;

C選項，要使小球半徑最大，則小球與四個面相切，是正四面體的內切球，

設球心為。，取AC的中點M,連接過點P作PF垂直于BM于點F,

則F為AABC的中心，點。在PF上，過點。作ON^PM于點N,

因為AM=2,AB=4,所以BM=—AM?=2"，同理PM=2^3,

則MF=tBM=^，故PFuJ？W1刁底=甲，設OF=ON=R,故。P=PF—。尸=年一R,

4#_K

因為△PNOsHFM,所以第=黑，即與.解得R=咚,C正確;

FMPM2#2#3

"I-

D選項，4個小球分兩層（1個，3個）放進去，要使小球半徑要最大，則4個小球外切，且小球與

三個平面相切，設小球半徑為小四個小球球心連線是棱長為2r的正四面體Q—VKG,由C選

項可知.其高為手及，由C選項可知，PF是正四面體p—ABC的高，PF過點Q且與平面

VKG交于S,與平面HIJ交于2,則QS=^r,SF=?、由C選項可知,正四面體內切球的半

徑是高的3，如圖正四面體P—H/J中，QZ=r,QP=3r,正四面體P—ABC高為3廠+芋廠+廠

朝。區(qū)安A7F/-H-O\

=恪)<4,解得==2叱—2,D正確.

O0

故選：ACD.

三、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分)

12.【答案】3920

【解析】小于300的所有末尾是1的三位數是101,111,121,-,291,

是以101為首項，以10為公差的等差數列，所以小于300的所有末尾是1的三位數的和為S20

=20X(1)1+291)=3920,故答案為：3920.

13.【答案】1

【解析】由題意得小才)=毋一$

①當Q&0時,/(1)〉0,所以/(久)在(一1,+8)上單調遞增，

所以當-e(―1,0)時"(GV/(O)=O,與f(^)>o矛盾；

②當?！?時，當—一(―1,?！?)時"'(1)VO"(G單調遞減,

當久G(Q—l,+oo)時，/'(1)>0"(1)單調遞增，所以f(1)min=/(。一l)=lna~((2—1),

因為了(k)》0恒成立，所以InQ—(Q—1)>0,

記g(a)=lnQ—(。一l),g'(a)———1=---?

aa

當?！?0,1)時,g'(。)〉0,g(。)單調遞增，

當aG(1,)時,g'(a)VO,g(a)單調遞減,

所以g(Q)max=g(l)=o,所以Ina—(a—l)W0,

又InQ—(a—1)〉0，所以Ina—(Q—1)=0,所以Q=1.

14.【答案】2一9,4,12

【解析】設P(…)，|AP|2=］z—(4—號)2(4—號)7十(4一號「十2"=萬一

(8—31)了+(4—

二］才一(4一學)］十8力一2力2

i)當4—竽>0,即0<pw!■時，瓜尸產有最小值電一2獷，即|AP|有最小值，^二方=2,

解得夕=2土回，由于2+用>|■，故p=2一盤.

ii)當4—￥<0,即夕■時，|AP|z有最小值(4—考『，即|AP|有最小值4-1=2,解得夕

=4或12.

綜上，力的值為2一9,4,12.

四、解答題(本大題共5小題，共77分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)

15.【答案】(l)a=/W(2)塔

5

朝。區(qū)安結［吊/"1+0可\

J+方——

【解析】（由余弦定理得卜6=0,分

DacosC+6=0,Q2ab2

即Q2+362—C2=O,..?6=痣,。=4,貝！|可得a=；...................................................................5分

A2I2_22+10—16

(2)由余弦定理cosC=6分

2X72Xyio

/.sinC=,VZADB=,/.ZADC=f,.................................................8分

ADAC

則在中，由正弦定理可得而.................................9分

Foy2,75~

?AD-AC,SINC-5-4V5

13分

*sinZADC.5-,

2

16.【答案】（DO.2（2）分布列見解析期望為0.6

【解析】（1）設乙擊中的環(huán)數少于甲擊中的環(huán)數為事件B,

則事件B包括：甲擊中9環(huán)乙擊中8環(huán)，甲擊中10環(huán)乙擊中8環(huán)，甲擊中10環(huán)乙擊中9環(huán),

則P（B）=0.2X0.6+0.1X0.6+0.1X0.2=0.2..................................................................6分

（2）由題可知X的所有可能取值為0,1,2,3,..............................................................................7分

由（1）可知，在一場比賽中，甲擊中的環(huán)數多于乙擊中的環(huán)數的概率為0.2,

貝！|X?B（3,0.2）,............................................................................................................................8分

所以F(X=0)=qX0.2°X(l~0.2尸=0.512,F(X=l)=QX0.2X(l-0.2)2=0.384,

F(X=2)=QX0.22X(l-0.2)=0.096,P(X=3)=C1X0.23X(l-0.2)°=0.008,...........

.....................................................................................................................................................11分

故X的分布列為

X0123

P0.5120.3840.0960.008

所以E（X）=3X0.2=0.6........................................................................................................15分

17.【解析】（1）取BC中點P,作直線C1P，直線GF即為所求，取AB中點H,連接則有

「以〃人&「以=；4。,如圖，在等腰梯形41A（3。中，AiG=：AC.

HF#A1C1,HP=A1C1四邊形A.C.PH為平行四邊形.

二GP//A,H,又AiHU平面AjAB.GPU平面A^AB,

.??GP〃平面4AB；........................................................................................................................5分

朝。區(qū)安坐公用/"1+0可\

(2)由題意作B。'，平面AACG，即B。'為四棱錐B—AiACG的高，

在RtAABC中，NABC=90°,B0'=吟產(%學生=,AC,當且僅當BA=BC時取等

號，止匕時點O'為。2重合，........................................................7分

?.?梯形AiACG的面積S為定值，VB—&ACC,=；S?BO',

???當BO'最大,即點。'與O2重合時四棱椎B-AjACQ的體積最大，又BO2±AC,BO2=2,以

Q為原點，射線O2A,O2B,O2O1分別為z,y，z軸建立空間直角坐標系，在等腰梯形AiACG

中?AC=2AAi=2AiG=4,此梯形的圖h=\[3，顯然AiCi為△OAC的中位線，

/.O(0,0,273),A(2,0,0),B(0,2,0),C1(-l,0,73),Bq=(-l,-2，V3),AB=(-2,2,0),

B0=(0,-2,2V3),02A=(2,0,0),...........................................................................................10分

ABO，aGR,貝！jAQ=A_B+BQ=AB+ABO=(-2,2—2A,2A/3'A)?

fn?02A=2i=0

設平面QAC的一個法向量〃=(久,則《一-,

[n?AQ=-2z+(2—24)3；+2^^義之=0

取〃=(0,西義,A—1)?sina=\cos<n,BCi>|=―—'0=—]I:,.......12分

\n\iBCi|2代義，4-一2a+1

令￡=a+1,貝！Jsina=~二，當￡=0時，sinQ=0,

2#XA/4t2-10t+7

當t^O時，0<sina=-----------扈=------,熱=W平,

2人"A2-7(一1+.

當且僅當力=春，即義=|■時取等號，綜上OWsinaW空.........................15分

554

18.【解析】(1)丁'(了)=1一2az+a=—2?！笆?1,定義域為。，+8).

XX

二次函數一2a12+QX+I的判別式為。2+8〃,對稱軸為JC=—.

當QVO時，二次函數一2。尤2+QK+I的圖象開口向上，

①a?+8Q<0,即一8<aV0時"'(1)在(0,+8)上無零點；........................4分

②Q2+8Q=0,即a=-8時，/'(])在(0,+8)上有1個零點;；......................5分

③。2+8。>0,即QV—8時,『(￡)在(0,+8)有2個不同的零點；....................6分

綜上，當一8Va<0時在(0,+8)上無零點；

當a=—8時"'(久)在(0,+8)上有1個零點；

當a<一8時"'(久)在(0,+8)有2個不同的零點；.................................7分

(2)由(1)分析知，當。>0時,/(久)在(0,+8)上有1個零點，設零點為%,

則“出=”/，解得,7。=/+-'+8a,........................................................................................9分

/4a

進一^步，當0<1<況0時，/'(])〉0,當尤〉々時，/'(1)<0,

XQ-

所以/'(%)&/(20)=lnax0(x0-1)=lnxQ—ax^~\~axQ

朝。區(qū)安7/-H-aHT\

i<2JC0+1Ii

=lnXQ---------\-axo=ln%()十------(※)15分

易證In—1，所以

(2+a)“十——紅

ax1(2+<2)JC03___________4a3—2+Q_3

()&(久0—1)1Q

22222\］心+8a—a2

17分

19.【答案】⑴（十（=1⑵①（4,1）②尸咚L宇

O0\J/Z乙

【解析】（1）方法（1）特殊值法，令M（士2