四川省仁壽第一中學校（北校區(qū)）2022-2023學年高二下學期4月月考文科數(shù)學試題

仁壽一中北校區(qū)高二下學期4月月考數(shù)學試卷（文科）考試時間：120分鐘總分：150分一．選擇題（共60分，每小題5分）1.在復平面內(nèi)，復數(shù)z滿足，則復數(shù)z對應(yīng)的點位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】先求出復數(shù)z，即可求出答案.【詳解】，復數(shù)z對應(yīng)的點為則復數(shù)z對應(yīng)的點位于第四象限故選：D.2.完成下列兩項調(diào)查：①從某社區(qū)125戶高收入家庭、280戶中等收入家庭、95戶低收入家庭中選出100戶，調(diào)查社會購買能力的某項指標；②從某中學的15名藝術(shù)特長生中選出3名調(diào)查學習負擔情況．宜采用的抽樣方法依次是（）A.①簡單隨機抽樣，②系統(tǒng)抽樣B.①分層抽樣，②簡單隨機抽樣C.①系統(tǒng)抽樣，②分層抽樣D.①②都用分層抽樣【答案】B【解析】【分析】可以從總體的個體有無差異和總數(shù)是否比較多入手選擇抽樣方法，①中某社區(qū)420戶家庭的收入差異較大;②中總體數(shù)量較少，且個體之間無明顯差異.【詳解】①中某社區(qū)420戶家庭的收入有了明顯了差異，所以選擇樣本時宜選用分層抽樣法;②個體沒有差異且總數(shù)不多可用簡單隨機抽樣法．故選：B【點睛】本題主要考查抽樣方法的特點及適用范圍，屬于容易題.3.由變量與相對應(yīng)的一組數(shù)據(jù)得到的線性回歸方程為，根據(jù)樣本中心滿足線性回歸方程，則（）A.45 B.51 C.67 D.63【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意求出，由于樣本中心點在回歸直線上，所以將代入回歸方程可求出.【詳解】由題意得，因為線性回歸方程為，所以，故選：B.4.從裝有兩個紅球和兩個白球的口袋內(nèi)任取兩個球，那么互斥而不對立的事件是（）A.至少有一個白球與都是紅球 B.恰好有一個白球與都是紅球C.至少有一個白球與都是白球 D.至少有一個白球與至少一個紅球【答案】B【解析】【分析】列舉每個事件所包含的基本事件，結(jié)合互斥事件和對立事件的定義，依次驗證即可.【詳解】解：對于A，事件：“至少有一個白球”與事件：“都是紅球”不能同時發(fā)生，但是對立，故A錯誤；對于B，事件：“恰好有一個白球”與事件：“都是紅球”不能同時發(fā)生，但從口袋內(nèi)任取兩個球時還有可能是兩個都是白球，所以兩個事件互斥而不對立，故B正確；對于C，事件：“至少有一個白球”與事件：“都是白球”可以同時發(fā)生，所以這兩個事件不是互斥的，故C錯誤；對于D，事件：“至少有一個白球”與事件：“至少一個紅球”可以同時發(fā)生，即“一個白球，一個紅球”，所以這兩個事件不是互斥的，故D錯誤.故選：B.5.將二進制數(shù)化為十進制數(shù)，結(jié)果為（）A.11 B.18 C.20 D.21【答案】D【解析】【分析】根據(jù)不同進制轉(zhuǎn)化算法計算可得.詳解】解：.故選：D6.甲、乙兩名同學12次考試中數(shù)學成績的莖葉圖如圖所示，則下列說法正確的是（）A.甲同學比乙同學發(fā)揮穩(wěn)定，且平均成績也比乙同學高B.甲同學比乙同學發(fā)揮穩(wěn)定，但平均成績比乙同學低C.乙同學比甲同學發(fā)揮穩(wěn)定，且平均成績也比甲同學高D.乙同學比甲同學發(fā)揮穩(wěn)定，但平均成績比甲同學低【答案】C【解析】【分析】由莖葉圖中的數(shù)據(jù)，利用平均數(shù)及方差公式求出兩人成績的平均數(shù)，根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)的分散程度，及平均數(shù)的方差的統(tǒng)計意義得出得到結(jié)果．【詳解】由莖葉圖中的數(shù)據(jù)，得甲同學次考試成績的平均數(shù)是．乙同學次考試成績的平均數(shù)是，甲同學數(shù)學成績比較分散，乙同學數(shù)學成績相對集中，所以乙同學比甲同學發(fā)揮穩(wěn)定，且平均成績比甲同學高．故選：C7.若下面的程序框圖輸出的是30，則條件①可為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】用列舉法，通過循環(huán)過程直接得出與的值，當時，此時，退出循環(huán)，從而可得判斷框的條件．【詳解】循環(huán)前，，，第1次判斷后循環(huán)，，，第2次判斷并循環(huán)，，，第3次判斷并循環(huán)，，，第4次判斷并循環(huán)，，，第5次判斷不滿足條件①并退出循環(huán)，輸出．條件①應(yīng)該是或故選：B8.哈六中數(shù)學興趣小組的同學們?yōu)榱擞嬎懔袛?shù)學組二維碼中黑色部分的面積，在如圖一個邊長為的正方形區(qū)域內(nèi)隨機投擲個點，其中落入黑色部分的有個點，據(jù)此可估計黑色部分的面積為A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)黑色部分的面積為，利用幾何概型概率計算公式列出方程能估計黑色部分的面積.【詳解】設(shè)黑色部分的面積為，正方形二維碼邊長為4,

在正方形區(qū)域內(nèi)隨機投擲400個點，其中落入黑色部分的有225個點，，解得，據(jù)此可估計黑色部分的面積為9，故選C.【點睛】本題主要考查幾何概型概率公式以及模擬實驗的基本應(yīng)用，屬于簡單題，求不規(guī)則圖形的面積的主要方法就是利用模擬實驗，列出未知面積與已知面積之間的方程求解.9.下列說法正確的是（）A.在做回歸分析時，殘差圖中殘差點分布的帶狀區(qū)域的寬度越窄表示回歸效果越差B.某地氣象局預(yù)報：6月9日本地降水概率為90%，結(jié)果這天沒下雨，這表明天氣預(yù)報并不科學C.數(shù)據(jù)2，3，4，5的方差是數(shù)據(jù)4，6，8，10的方差的一半D.在回歸直線方程，當解釋變量每增加1個單位時，預(yù)報變量多增加個單位【答案】D【解析】【分析】由殘差圖與模擬效果的關(guān)系判斷A；由大概率事件也不一定發(fā)生判斷B；第二組數(shù)據(jù)是由第一組乘以2得到的，可由方差的關(guān)系判斷C；由回歸分析模型的性質(zhì)以及回歸方程b的含義判斷D．【詳解】對于A選項：在做回歸分析時，殘差圖中殘差點分布的帶狀區(qū)域的寬度越窄表示回歸效果越好，故A選項錯誤；對于B選項：概率只說明事件發(fā)生的可能性，事件不一定發(fā)生，所以并不能說明天氣預(yù)報不科學，故B選項錯誤；對于C選項：根據(jù)所給的數(shù)據(jù)，看出第二組是由第一組乘以2得到的，前一組的方差是后一組的四分之一，標準差是一半，故C選項錯誤；對于D選項：在回歸直線方程中，當解釋變量每增加1個單位時，預(yù)報變量增加個單位，故D選項正確．

故選：D．10.已知直線，直線，其中實數(shù)，則直線與交點位于第一象限的概率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出直線與直線的交點坐標，根據(jù)交點在第一象限求出實數(shù)的取值范圍，再利用幾何概型的概率公式可求得所求事件的概率.【詳解】若直線與相交，則，可得，聯(lián)立可得，所以，當時，直線與直線的交點為在第一象限，所以，，解得，所以，直線與的交點位于第一象限的概率為.故選：A.11.以模型去擬合一組數(shù)據(jù)時，為了求出回歸方程，設(shè)，將其變換后得到經(jīng)驗回歸方程，則的值分別是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】模型兩邊取對數(shù)，又，可得，又已知回歸方程，可求的值.【詳解】由題意得，設(shè)，可得.又經(jīng)驗回歸方程為，所以，故.故選：B12.公元前5世紀下半葉開奧斯地方的希波克拉底解決了與化圓為方有關(guān)的化月牙形為方.如圖，以O(shè)為圓心的大圓直徑為4,以AB為直徑的半圓面積等于AO與BO所夾四分之一大圓的面積,由此可知，月牙形區(qū)域的面積與△AOB的面積相等.現(xiàn)在在兩個圓所覆蓋的區(qū)域內(nèi)隨機取一點，則該點來自陰影部分的概率是A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】分別計算出上方陰影部分的面積和下方陰影部分面積，再代入幾何概型公式即可.【詳解】上方陰影部分的面積等于的面積.下方陰影部分面積等于.所以根據(jù)幾何概型得所求概率：.故選：【點睛】本題主要考查幾何概型，求出方陰影部分的面積和下方陰影部分面積是解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題.二．填空題（共20分，每小題5分）13.用秦九韶算法計算多項式當?shù)闹禃r，其中的值為_________.【答案】36【解析】【分析】本題可以先將多項式轉(zhuǎn)化為，再令即可求出結(jié)果.【詳解】，，當時，，，，.故答案為：.14.若復數(shù)z滿足|z－i|≤(i為虛數(shù)單位)，則z在復平面內(nèi)所對應(yīng)的圖形的面積為_____________．【答案】2π【解析】【詳解】分析：由的幾何意義可知，點的軌跡是以為圓心，為半徑的實心圓，由圓的面積公式可得結(jié)論.詳解：，在復平面內(nèi)對應(yīng)點的的軌跡是以為圓心，為半徑的實心圓，該圓的面積為，故答案為.點睛：復數(shù)的模的幾何意義是復平面內(nèi)兩點間的距離，所以若，則表示點與點的距離，表示以為圓心，以為半徑的圓.15.已知變量x和y的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表：x678910y457如果由表中數(shù)據(jù)可得經(jīng)驗回歸直線方程為，那么，當時，殘差為______.（注：殘差=觀測值預(yù)測值）【答案】##【解析】分析】先求出回歸方程，再根據(jù)回歸方程求出預(yù)測值，最后計算殘差即可.【詳解】，所以，所以時，，所以殘差為.故答案為：.16.已知正方體的棱長為，則在該正方體內(nèi)任取一點，則其到頂點的距離大于的概率為____________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)幾何概型的知識求得正確答案.【詳解】到頂點的距離等于的點的軌跡是以為球心，半徑為的球面的八分之一，所以到頂點的距離大于的概率為.故答案為：三．解答題（共90分）17.已知是虛數(shù)單位，復數(shù)（）．（1）若為純虛數(shù)，求；（2）若在復平面內(nèi)對應(yīng)的點在第四象限，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)復數(shù)的概念可得出關(guān)于實數(shù)的等式與不等式，解出的值，可得出復數(shù)，再利用共軛復數(shù)的定義可得出復數(shù)；（2）根據(jù)復數(shù)的幾何意義可得出關(guān)于實數(shù)的不等式組，即可解得實數(shù)的取值范圍.【小問1詳解】解：若為純虛數(shù)，則，解得，則，所以.【小問2詳解】解：若在復平面內(nèi)對應(yīng)的點在第四象限，則，解得.即實數(shù)的范圍為.18.某校對高一年級800名學生進行食堂滿意度調(diào)查，分性別得到的調(diào)查結(jié)果如下：男同學女同學滿意400350不滿意2030（1）從這800名學生中隨機抽取一人，求該學生是女同學且對食堂滿意的概率；（2）該校準備在本次調(diào)查對食堂不滿意的學生中，用等比例分層隨機抽樣的方法按性別抽取5人進行進一步調(diào)查，了解對食堂不滿意的原因，并在這5人中隨機選出2人發(fā)一份小禮品，求這2人恰好是一男一女的概率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)古典概型概率計算公式計算出所求概率.（2）利用列舉法，結(jié)合古典概型概率計算公式計算出所求概率.【小問1詳解】依題意，從這800名學生中隨機抽取一人，該學生是女同學且對食堂滿意的概率為.【小問2詳解】不滿意的男女生比例為，用等比例分層隨機抽樣的方法按性別抽取5人進行進一步調(diào)查，則男生抽取人，女生抽取人，男生記為，女生記為，在這5人中隨機選出2人，基本事件為，，共個，其中一男一女的為：，，共個，所以在這5人中隨機選出2人發(fā)一份小禮品，這2人恰好是一男一女的概率為.19.2022年4月16日，神舟十三號載人飛船返回艙在東風著陸場預(yù)定區(qū)域成功著陸，航天員翟志剛，王亞平，葉光富順利出艙，神舟十三號載人飛行任務(wù)圓滿完成．為紀念中國航天事業(yè)成就，發(fā)揚并傳承中國航天精神，某校抽取100名學生進行了航天知識競賽并紀錄得分（滿分：100分），根據(jù)得分將他們的成績分成[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]六組，制成如圖所示的頻率分布直方圖．（1）求圖中a的值；（2）估計競賽成績不低于60分的概率；（3）估計這100人競賽成績的平均數(shù)（同一組數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)的中點值代替）及中位數(shù).【答案】（1）（2）（3）平均數(shù)為，中位數(shù)為【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率之和為求得.（2）根據(jù)頻率分布直方圖求得所求概率.（3）根據(jù)平均數(shù)和中位數(shù)的求法求得正確答案.【小問1詳解】，.【小問2詳解】競賽成績不低于60分的概率為.【小問3詳解】平均數(shù)為前組的頻率為，所以中位數(shù)為.20.某地擬于2024年將游泳列為中考體育內(nèi)容.為了了解當?shù)?023屆初三學生的性別和喜歡游泳是否有關(guān)，對100名初三學生進行了問卷調(diào)查，得到如下列聯(lián)表：喜歡游泳不喜歡游泳總計男生10女生20總計已知這100人中隨機抽取1人，抽到喜歡游泳的學生的概率為.（1）請補充完整上述列聯(lián)表；（2）判斷是否有的把握認為喜歡游泳與性別有關(guān).附：，.001【答案】（1）見解析（2）有的把握認為喜歡游泳與性別有關(guān)【解析】【分析】（1）根據(jù)題意計算即可完善列聯(lián)表；（2）計算卡方值，和比較即可得出結(jié)論．【小問1詳解】因為在100人中隨機抽取1人抽到喜歡游泳的學生的概率為，所以喜歡游泳的學生人數(shù)為．其中女生有20人，男生有40人，列聯(lián)表補充如下：喜歡游泳不喜歡游泳總計男生401050女生203050總計6040100【小問2詳解】因為，所以有的把握認為喜歡游泳與性別有關(guān)．21.已知關(guān)于的一元二次方程，記該方程有兩個不等的正實根為事件.（1）設(shè)拋擲兩枚質(zhì)地均勻的正方體骰子所得點數(shù)分別為、，求事件發(fā)生的概率；（2）利用計算器產(chǎn)生兩個隨機數(shù)、，且，，若，，求事件發(fā)生的概率.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）計算出基本事件的總數(shù)，列舉出事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得，即為所求；（2）根據(jù)題意求出事件所構(gòu)成的區(qū)域，作出圖形，利用面積比可求得，即為所求.【詳解】（1）拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子所得點數(shù)構(gòu)成有序數(shù)對的所有基本事件數(shù)為，用事件表示“方程有兩個不等的正實數(shù)根”，則且，則事件包含的基本事件有：、、、、、、、、、、、、、、，共個基本事件，所以，；（2）用事件表示“方程有兩個