數(shù)學(xué)（選修44）練習(xí)專(zhuān)題訓(xùn)練1

第1章坐標(biāo)系1．在極坐標(biāo)系中，圓ρ＝－2sinθ的圓心的極坐標(biāo)是________.解析：該圓的平面直角坐標(biāo)方程為x2＋y2＝－2y，即x2＋(y＋1)2＝1，故圓心的平面直角坐標(biāo)為(0，－1)，化為極坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(π,2))).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(π,2)))2．(2015·北京卷)在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,3)))到直線(xiàn)ρ(cosθ＋eq\r(3)sinθ)＝6的距離為_(kāi)_______.解析：點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,3)))對(duì)應(yīng)的平面直角坐標(biāo)為(1，eq\r(3))，直線(xiàn)ρ(cosθ＋eq\r(3)sinθ)＝6對(duì)應(yīng)的平面直角坐標(biāo)方程為x＋eq\r(3)y－6＝0.由點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式，得d＝eq\f(|1＋\r(3)×\r(3)－6|,\r(1＋\r(3)2))＝1.答案：13．在極坐標(biāo)系中，已知圓ρ＝2cosθ與直線(xiàn)3ρcosθ＋4ρsinθ＋a＝0相切，則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)_______.解析：將極坐標(biāo)方程化為平面直角坐標(biāo)方程，得圓的方程為x2＋y2＝2x，即(x－1)2＋y2＝1；直線(xiàn)的方程為3x＋4y＋a＝0.由題設(shè)知，圓心(1,0)到直線(xiàn)的距離為1，即有eq\f(|3×1＋4×0＋a|,\r(32＋42))＝1.解得a＝－8或a＝2.故a的值為－8或2.答案：－8或24．(2015·安徽卷)在極坐標(biāo)系中，圓ρ＝8sinθ上的點(diǎn)到直線(xiàn)θ＝eq\f(π,3)(ρ∈R)距離的最大值是________.解析：圓ρ＝8sinθ可變形為ρ2＝8ρsinθ，∴x2＋y2＝8y.∴x2＋(y－4)2＝16.∵θ＝eq\f(π,3)，即y＝eq\r(3)x，∴eq\r(3)x－y＝0.∴如圖，所求的最大距離為|AB|＝|AC|＋|CB|＝4＋2＝6.答案：65．在極坐標(biāo)系中，求直線(xiàn)ρ(eq\r(3)cosθ－sinθ)＝2與圓ρ＝4sinθ的交點(diǎn)的極坐標(biāo)．解：將ρ(eq\r(3)cosθ－sinθ)＝2化為平面直角坐標(biāo)方程，得eq\r(3)x－y＝2，即y＝eq\r(3)x－2.ρ＝4sinθ可化為x2＋y2＝4y.把y＝eq\r(3)x－2代入x2＋y2＝4y，得4x2－8eq\r(3)x＋12＝0，即x2－2eq\r(3)x＋3＝0.∴x＝eq\r(3)，y＝1.∴直線(xiàn)與圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為(eq\r(3)，1)，化為極坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,6))).6．在極坐標(biāo)系中，已知曲線(xiàn)C的方程為ρ2＝eq\f(3,1＋2sin2θ)，點(diǎn)Req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(2)，\f(π,4))).(1)以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為x軸的非負(fù)半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，把曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，R點(diǎn)的極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)．(2)設(shè)P為曲線(xiàn)C上一動(dòng)點(diǎn)，以PR為對(duì)角線(xiàn)的矩形PQRS的一邊垂直于極軸，求矩形PQRS周長(zhǎng)的最小值，及此時(shí)點(diǎn)P的平面直角坐標(biāo)．解：(1)∵x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，∴曲線(xiàn)C的平面直角坐標(biāo)方程為eq\f(x2,3)＋y2＝1，點(diǎn)R的平面直角坐標(biāo)為R(2,2)．(2)設(shè)P(eq\r(3)cosθ，sinθ)，根據(jù)題意可得|PQ|＝2－eq\r(3)cosθ，|QR|＝2－sinθ.∴|PQ|＋|QR|＝4－2sin(θ＋eq\f(π,3))．當(dāng)θ＝eq\f(π,6)時(shí)，|PQ|＋|QR|取最小值2，∴矩形PQRS周長(zhǎng)的最小值為4，此時(shí)點(diǎn)P的平面直角坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(1,2))).7．在極坐標(biāo)系中，已知直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)A(1,0)，且其向上的方向與極軸的正方向所成的最小正角為eq\f(π,3).(1)求直線(xiàn)的極坐標(biāo)方程．(2)求極點(diǎn)到該直線(xiàn)的距離．解：(1)如圖，由正弦定理，得eq\f(ρ,sin\f(2π,3))＝eq\f(1,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－θ)))，即ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,3)))＝sineq\f(2π,3)＝eq\f(\r(3),2).∴所求直線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,3)))＝eq\f(\r(3),2).(2)如圖，作OH⊥l，垂足為H.在△OHA中，OA＝1，∠OHA＝eq\f(π,2)，∠OAH＝eq\f(π,3)，則OH＝OAsineq\f(π,3)＝eq\f(\r(3),2).故極點(diǎn)到該直線(xiàn)的距離為eq\f(\r(3),2).8．在極坐標(biāo)系中，P是曲線(xiàn)ρ＝12sinθ上的動(dòng)點(diǎn)，Q是曲線(xiàn)ρ＝12coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,6)))上的動(dòng)點(diǎn)，試求PQ的最大值．解：以極點(diǎn)O為原點(diǎn)，極軸為x軸建立平面直角坐標(biāo)系xOy.將方程ρ＝12sinθ化為平面直角坐標(biāo)方程為x2＋y2＝12y，它表示圓心為(0,6)，半徑為6的圓．將ρ＝12coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,6)))化為平面直角坐標(biāo)