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高級中學名校試卷PAGEPAGE1重慶市渝東九校聯(lián)盟2022-2023學年高一下學期期中數(shù)學試題一、單項選擇題:本大題共8小題,每小題5分,共40分,在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.請將〖答案〗填在后面選擇題答題框內(nèi).1.復平面上表示復數(shù)的點所在的象限是()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗C〖解析〗復平面上復數(shù)對應(yīng)的點的坐標是,在第三象限.故選:C2.已知向量,,且,則()A. B. C.-12 D.12〖答案〗B〖解析〗因為向量,,且,所以,解得.故選:B.3.在中,若,,,則角()A. B. C. D.或〖答案〗A〖解析〗因為在中,若,,,所以由正弦定理得,即,解得,因為,所以,所以,故選:A4.如圖,已知水平放置的按斜二測畫法得到的直觀圖為,若,,則的面積為().A.3 B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意,,,,.故選:C.5.在平行四邊形ABCD中,設(shè)M為線段BC的中點,N為線段AD上靠近D的三等分點,,,則向量()A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因為平行四邊形ABCD中,設(shè)M為線段BC的中點,N為線段AD上靠近D的三等分點,所以,因為,,所以故選:B6.已知非零向量,滿足,,若,則實數(shù)的值為()A.4 B.-4 C. D.〖答案〗D〖解析〗,即;故選:D.7.設(shè)直三棱柱的所有頂點都在一個球面上,且球的表面積為,,則此直三棱柱的高是()A.1 B.2 C. D.4〖答案〗D〖解析〗設(shè)外接圓得圓心為,半徑為,直三棱柱得高為,直三棱柱外接球得球心為,半徑為,則,且平面,由正弦定理得,所以,因為,所以,所以,所以,即直三棱柱得高為.故選:D.8.在中,a,b,c分別為角A、B、C的對邊,O為的外心,且有,,若,,則()A.1 B.-2 C.0 D.〖答案〗A〖解析〗由題可知,,由正弦定理有:所以,即,因為,所以,由正弦定理有:,又,所以,所以,因為,所以,因為,所以,因為O為的外心,取中點,所以,根據(jù)圓的性質(zhì)可知,直線過點,如圖,在中可知,,又正弦定理有:,即,所以,所以與相互平分,所以四邊形是平行四邊形,所以,所以,所以,故B,C,D錯誤.故選:A.二、多項選擇題:本大題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全部選對得5分,部分選對得2分,有選錯的得0分.9.如圖所示,觀察下列四個幾何體,其中判斷正確的是()A.①是棱臺 B.②是圓臺C.③是四面體 D.④是棱柱〖答案〗CD〖解析〗圖①不是由棱錐截來的,所以①不是棱臺;圖②上、下兩個面不平行,所以②不是圓臺;圖③是四面體;圖④上下兩個面平行,其他面是平行四邊形,且每相鄰兩個四邊形的公共邊平行,所以④是棱柱.故選:CD.10.已知為直線,為兩個不同平面,則下列命題中不正確的是()A.如果,,那么 B.如果,,那么C.如果,,那么 D.如果,,,那么〖答案〗BCD〖解析〗對于A中,如果,,根據(jù)平行線的性質(zhì),可得,所以A正確;對于B中,如果,,則或相交或異面,所以B錯誤;對于C中,如果,,只有當時,可得,所以C不正確;對于D中,如果,,,則或異面,所以D不正確.故選:BCD.11.已知,下列說法錯誤的是()A.若,則B.若,則C.若,則D.若,,則的最大值為6〖答案〗BD〖解析〗對于A,因為,所以,故A正確;對于B,當時,,此時,故B錯誤;對于C,若,則,所以,故C正確;對于D,設(shè),則,所以,所以復數(shù)在復平面內(nèi)對應(yīng)點的軌跡為以為圓心,為半徑的圓,表示圓上的點到原點的距離,,所以的最大值為,故D錯誤.故選:BD.12.的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,則下列結(jié)論正確的是()A.B.若是所在平面內(nèi)一點,且,則點為的內(nèi)心C.若,則是等腰三角形D.若,,則的外接圓半徑〖答案〗ABD〖解析〗A選項,由余弦定理得,由正弦定理得,則,所以A選項正確.B選項,表示方向的單位向量,表示方向的單位向量,根據(jù)向量加法和減法的運算法則可知,與相互垂直,由于,所以與垂直,所以與共線,而表示以為鄰邊菱形的對角線,所以在的角平分線上,同理可得在的角平分線上,所以是三角形的內(nèi)心,所以B選項正確.C選項,由得,整理得,由余弦定理得,整理得,所以三角形是直角三角形,故C選項錯誤.D選項,由,得,由,得,即,,,,設(shè)三角形外接圓的半徑為,由正弦定理得,則,解得,所以D選項正確.故選:ABD三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.13.已知,與的夾角為,是與同向的單位向量,則在方向上的投影向量為________.〖答案〗〖解析〗在方向上的投影向量為.故〖答案〗為:.14.已知圓錐的軸截面是邊長為的等邊三角形,則此圓錐的表面積為________.〖答案〗〖解析〗圓錐軸截面是邊長為的等邊三角形,圓錐底面半徑,圓錐母線長,圓錐的表面積.故〖答案〗:.15.如圖,為了測量山高BC,分別選擇山下平地的A處和另一座山的山頂M處為測量觀測點.從A點測得M點的仰角,C點的仰角以及,從M點測得,已知山高米,則________,山高________米.〖答案〗①.②.〖解析〗因為在中,由,,所以,所以,在中,,,,則由,得,在中,由正弦定理得,即,,得,在,,,則,故〖答案〗為:,16.在中,點D滿足,過點D的直線交線段AB于點M、交線段AC的延長線于點N,記,,則的最小值為________.〖答案〗〖解析〗因為過點D的直線交線段AB于點M、交線段AC的延長線于點N,記,,所以,且,,由,得,又三點共線,所以,故,當且僅當,即時,取等號,所以的最小值為.故〖答案〗為:.四、解答題:本題共6小題,共70分,解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或計算步驟.17.已知復數(shù)滿足.(1)求;(2)若是方程的一個根,求的值.解:(1)由得:,.(2)由(1)知:,則,,解得:,.18.已知,,.(1)設(shè),求的值;(2)當與的夾角為銳角時,求的取值范圍.解:(1)因為,,,且,所以,所以,解得,所以(2)因為,,所以,因與的夾角為銳角,所以,且與不共線,由,得,解得,當與不共線時,,解得,綜上且,所以的取值范圍為19.如圖,在中,,,.(1)求的長度;(2)在邊上取一點,使,求的面積.解:(1)在中,由余弦定理得,即,所以.(2)設(shè),則,在中,由余弦定理得,在中,由余弦定理得,由,即,解得,所以,,,所以,所以的面積為.20.在正方體中,M,N分別是線段,BD的中點.(1)求證:平面;(2)若正方體的棱長為2,求三棱錐的體積.(1)證明:連接,如下圖:是線段的中點,底面是長方形,是線段的中點,又是線段的中點,在中,,平面,平面,平面.(2)解:取的中點為,連接,如下圖:分別是線段中點,在中,,,又在正方體中,平面,平面,為的中點,,.21.在銳角中,a,b,c分別為內(nèi)角A、B、C的對邊,且有,在下列條件中選擇一個條件完成該題目:①;②;③.(1)求A的大小;(2)求的取值范圍.解:(1)選①,因為,由正弦定理得,又,所以,因為,所以;選②,因為,所以,又,所以;選③,因為,由正弦定理得,即,則,則,又,所以,因為,所以;(2)由(1)得,因,所以,則,因為為銳角三角形,所以,所以,所以,所以,即的取值范圍為.22.已知,是平面內(nèi)任意兩個非零不共線向量,過平面內(nèi)任一點O作,,以O(shè)為原點,分別以射線、為x、y軸的正半軸,建立平面坐標系,如圖(1).我們把這個由基底,確定的坐標系稱為基底坐標系.當向量,不垂直時,坐標系就是平面斜坐標系,簡記為.對平面內(nèi)任一點P,連結(jié)OP,由平面向量基本定理可知,存在唯一實數(shù)對,使得,則稱實數(shù)對為點Р在斜坐標系中的坐標.今有斜坐標系(長度單位為米,如圖(2)),且,,設(shè)(1)計算的大??;(2)質(zhì)點甲在上距O點4米的點A處,質(zhì)點乙在oy上距O點1米的點B處,現(xiàn)在甲沿的方向,乙沿的方向同時以3米/小時的速度移動.①若過2小時后質(zhì)點甲到達C點,質(zhì)點乙到達D點,請用,,表示;②若時刻,質(zhì)點甲到達M點,質(zhì)點乙到達N點,求兩質(zhì)點何時相距最短,并求出最短距離.解:(1)因為,,所以,又,所以,所以,即的大小為.(2)①如圖所示:依題意,過2小時后質(zhì)點甲到達C點(在點左邊),且有,質(zhì)點乙到達D點,且有,故.②時刻時,質(zhì)點甲到達M點,質(zhì)點乙到達N點,如圖所示:,,則,所以兩質(zhì)點間的距離,因為,所以當時,取得最小值為,所以小時后,兩質(zhì)點相距最短,最短距離為米.重慶市渝東九校聯(lián)盟2022-2023學年高一下學期期中數(shù)學試題一、單項選擇題:本大題共8小題,每小題5分,共40分,在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.請將〖答案〗填在后面選擇題答題框內(nèi).1.復平面上表示復數(shù)的點所在的象限是()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗C〖解析〗復平面上復數(shù)對應(yīng)的點的坐標是,在第三象限.故選:C2.已知向量,,且,則()A. B. C.-12 D.12〖答案〗B〖解析〗因為向量,,且,所以,解得.故選:B.3.在中,若,,,則角()A. B. C. D.或〖答案〗A〖解析〗因為在中,若,,,所以由正弦定理得,即,解得,因為,所以,所以,故選:A4.如圖,已知水平放置的按斜二測畫法得到的直觀圖為,若,,則的面積為().A.3 B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意,,,,.故選:C.5.在平行四邊形ABCD中,設(shè)M為線段BC的中點,N為線段AD上靠近D的三等分點,,,則向量()A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因為平行四邊形ABCD中,設(shè)M為線段BC的中點,N為線段AD上靠近D的三等分點,所以,因為,,所以故選:B6.已知非零向量,滿足,,若,則實數(shù)的值為()A.4 B.-4 C. D.〖答案〗D〖解析〗,即;故選:D.7.設(shè)直三棱柱的所有頂點都在一個球面上,且球的表面積為,,則此直三棱柱的高是()A.1 B.2 C. D.4〖答案〗D〖解析〗設(shè)外接圓得圓心為,半徑為,直三棱柱得高為,直三棱柱外接球得球心為,半徑為,則,且平面,由正弦定理得,所以,因為,所以,所以,所以,即直三棱柱得高為.故選:D.8.在中,a,b,c分別為角A、B、C的對邊,O為的外心,且有,,若,,則()A.1 B.-2 C.0 D.〖答案〗A〖解析〗由題可知,,由正弦定理有:所以,即,因為,所以,由正弦定理有:,又,所以,所以,因為,所以,因為,所以,因為O為的外心,取中點,所以,根據(jù)圓的性質(zhì)可知,直線過點,如圖,在中可知,,又正弦定理有:,即,所以,所以與相互平分,所以四邊形是平行四邊形,所以,所以,所以,故B,C,D錯誤.故選:A.二、多項選擇題:本大題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全部選對得5分,部分選對得2分,有選錯的得0分.9.如圖所示,觀察下列四個幾何體,其中判斷正確的是()A.①是棱臺 B.②是圓臺C.③是四面體 D.④是棱柱〖答案〗CD〖解析〗圖①不是由棱錐截來的,所以①不是棱臺;圖②上、下兩個面不平行,所以②不是圓臺;圖③是四面體;圖④上下兩個面平行,其他面是平行四邊形,且每相鄰兩個四邊形的公共邊平行,所以④是棱柱.故選:CD.10.已知為直線,為兩個不同平面,則下列命題中不正確的是()A.如果,,那么 B.如果,,那么C.如果,,那么 D.如果,,,那么〖答案〗BCD〖解析〗對于A中,如果,,根據(jù)平行線的性質(zhì),可得,所以A正確;對于B中,如果,,則或相交或異面,所以B錯誤;對于C中,如果,,只有當時,可得,所以C不正確;對于D中,如果,,,則或異面,所以D不正確.故選:BCD.11.已知,下列說法錯誤的是()A.若,則B.若,則C.若,則D.若,,則的最大值為6〖答案〗BD〖解析〗對于A,因為,所以,故A正確;對于B,當時,,此時,故B錯誤;對于C,若,則,所以,故C正確;對于D,設(shè),則,所以,所以復數(shù)在復平面內(nèi)對應(yīng)點的軌跡為以為圓心,為半徑的圓,表示圓上的點到原點的距離,,所以的最大值為,故D錯誤.故選:BD.12.的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,則下列結(jié)論正確的是()A.B.若是所在平面內(nèi)一點,且,則點為的內(nèi)心C.若,則是等腰三角形D.若,,則的外接圓半徑〖答案〗ABD〖解析〗A選項,由余弦定理得,由正弦定理得,則,所以A選項正確.B選項,表示方向的單位向量,表示方向的單位向量,根據(jù)向量加法和減法的運算法則可知,與相互垂直,由于,所以與垂直,所以與共線,而表示以為鄰邊菱形的對角線,所以在的角平分線上,同理可得在的角平分線上,所以是三角形的內(nèi)心,所以B選項正確.C選項,由得,整理得,由余弦定理得,整理得,所以三角形是直角三角形,故C選項錯誤.D選項,由,得,由,得,即,,,,設(shè)三角形外接圓的半徑為,由正弦定理得,則,解得,所以D選項正確.故選:ABD三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.13.已知,與的夾角為,是與同向的單位向量,則在方向上的投影向量為________.〖答案〗〖解析〗在方向上的投影向量為.故〖答案〗為:.14.已知圓錐的軸截面是邊長為的等邊三角形,則此圓錐的表面積為________.〖答案〗〖解析〗圓錐軸截面是邊長為的等邊三角形,圓錐底面半徑,圓錐母線長,圓錐的表面積.故〖答案〗:.15.如圖,為了測量山高BC,分別選擇山下平地的A處和另一座山的山頂M處為測量觀測點.從A點測得M點的仰角,C點的仰角以及,從M點測得,已知山高米,則________,山高________米.〖答案〗①.②.〖解析〗因為在中,由,,所以,所以,在中,,,,則由,得,在中,由正弦定理得,即,,得,在,,,則,故〖答案〗為:,16.在中,點D滿足,過點D的直線交線段AB于點M、交線段AC的延長線于點N,記,,則的最小值為________.〖答案〗〖解析〗因為過點D的直線交線段AB于點M、交線段AC的延長線于點N,記,,所以,且,,由,得,又三點共線,所以,故,當且僅當,即時,取等號,所以的最小值為.故〖答案〗為:.四、解答題:本題共6小題,共70分,解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或計算步驟.17.已知復數(shù)滿足.(1)求;(2)若是方程的一個根,求的值.解:(1)由得:,.(2)由(1)知:,則,,解得:,.18.已知,,.(1)設(shè),求的值;(2)當與的夾角為銳角時,求的取值范圍.解:(1)因為,,,且,所以,所以,解得,所以(2)因為,,所以,因與的夾角為銳角,所以,且與不共線,由,得,解得,當與不共線時,,解得,綜上且,所以的取值范圍為19.如圖,在中,,,.(1)求的長度;(2)在邊上取一點,使,求的面積.解:(1)在中,由余弦定理得,即,所以.(2)設(shè),則,在中,由余弦定理得,在中,由余弦定理得,由,即,解得,所以,,,所以,所以的面積為.20.在正方體中,M,N分別是線段,BD的中點.(1)求證:平面;(2)若正方體的棱長為2,求三棱錐的體積.(1)證明:連接,如下圖:是線段的中點,底面是長方形,是線段的中點,又是線段的中點,在中,,平面,平面,平面.(2)解:取的中

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