2023屆高考沖刺必刷押題密03數(shù)學(xué)試卷（新高考地區(qū)專用）（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE12023屆高考數(shù)學(xué)沖刺必刷押題密03卷（新高考地區(qū)專用）一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題滿分5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，選對(duì)得5分，選錯(cuò)得0分．1．設(shè)復(fù)數(shù)z滿足，則（

）A． B． C． D．〖答案〗D〖解析〗由題知，于是，所以.故選：D2．已知全集，集合，，且滿足，則（

）A． B． C． D．〖答案〗B〖解析〗由題可知，，因?yàn)?，所以，即，所以，所以，故選：B．3．某人將斐波那契數(shù)列的前6項(xiàng)“1，1，2，3，5，8”進(jìn)行排列設(shè)置數(shù)字密碼，其中兩個(gè)“1”必須相鄰，則可以設(shè)置的不同數(shù)字密碼有（

）A．120種 B．240種 C．360種 D．480種〖答案〗A〖解析〗將兩個(gè)1捆綁在一起，則可以設(shè)置的不同數(shù)字密碼有種.故選：A4．大衍數(shù)列來(lái)源于《乾坤譜》中對(duì)易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論，主要用于解釋中國(guó)傳統(tǒng)文化中的太極衍生即太極生兩儀原理，如圖所示（圖中表示太極，表示陽(yáng)儀、表示陰儀）．若數(shù)列的每一項(xiàng)都代表太極衍生過(guò)程中經(jīng)歷過(guò)的兩儀數(shù)量總和，即為天一對(duì)應(yīng)的經(jīng)歷過(guò)的兩儀數(shù)量總和0，為衍生到地二時(shí)經(jīng)歷過(guò)的兩儀數(shù)量總和2，為衍生到天三時(shí)經(jīng)歷過(guò)的兩儀數(shù)量總和4，…，按此規(guī)律，則為（

）A．84 B．98 C．112 D．128〖答案〗C〖解析〗表示衍生到天十五時(shí)經(jīng)歷過(guò)的兩儀數(shù)量總和，則.故選：C5．已知，則（

）A． B． C． D．〖答案〗A〖解析〗，，得，得，可得，，，，又，得，解得.故選：A6．拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，以為直徑的圓交軸于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的內(nèi)切圓直徑最小值為(

).A． B． C． D．〖答案〗B〖解析〗由題意知，設(shè)直線的方程為，.由得，，故，，.，以為直徑的圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，圓心到軸的距離為，故.設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，由的面積公式得，，即，故.令，則且，所以，因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，.因此的內(nèi)切圓直徑最小值為.故選：B7．已知，（b＞1），則（

）A． B．C． D．〖答案〗C〖解析〗若，則，∴，，，故A錯(cuò)．若，則，∴，，故B錯(cuò)．若，則，，．對(duì)于C，，故C對(duì)，對(duì)于D，，而，故D錯(cuò)，故選：C．8．已知函數(shù)是定義在上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為．若對(duì)任意有，，且，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．〖答案〗D〖解析〗設(shè)，則恒成立，故函數(shù)在上單調(diào)遞增.，則，即，故.，即，即，故，解得.故選：D二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題滿分5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分，有選錯(cuò)的得0分．9．甲袋中裝有4個(gè)白球，2個(gè)紅球和2個(gè)黑球，乙袋中裝有3個(gè)白球，3個(gè)紅球和2個(gè)黑球．先從甲袋中隨機(jī)取出一球放入乙袋，再?gòu)囊掖须S機(jī)取出一球．用，，分別表示甲袋取出的球是白球、紅球和黑球，用B表示乙袋取出的球是白球，則（

）A．，，兩兩互斥 B．C．與B是相互獨(dú)立事件 D．〖答案〗AB〖解析〗對(duì)于A，由題意可知，，不可能同時(shí)發(fā)生，所以，，兩兩互斥，所以A正確，對(duì)于B，由題意可得，所以，所以B正確，對(duì)于C，因?yàn)椋?，，所以，所以與B不是相互獨(dú)立事件，所以C錯(cuò)誤，對(duì)于D，由C選項(xiàng)可知D是錯(cuò)誤的，故選：AB10．對(duì)于函數(shù)，，下列說(shuō)法正確的是（

）A．在處取得極大值 B．有兩個(gè)不同的零點(diǎn)C． D．在上是單調(diào)函數(shù)〖答案〗ABC〖解析〗由函數(shù)，可得，其中，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在處取得極大值，故A正確，D錯(cuò)誤；因?yàn)?，可得，又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)，所以在上必有一個(gè)零點(diǎn)，由，所以為的一個(gè)零點(diǎn)，又由在上單調(diào)，所以在上無(wú)零點(diǎn)，所以恰有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，故B正確；因?yàn)?，，可得，所以，又在上單調(diào)遞減，所以，所以，所以C正確.故選：ABC.11．如圖，平面四邊形中，是等邊三角形，且，是的中點(diǎn).沿將翻折，折成三棱錐，在翻折過(guò)程中，下列結(jié)論正確的是（

）A．存在某個(gè)位置，使得與所成角為銳角B．棱上總會(huì)有一點(diǎn)，使得平面C．當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，D．當(dāng)平面平面時(shí)，三棱錐的外接球的表面積是〖答案〗BC〖解析〗對(duì)于A選項(xiàng)，取中點(diǎn)，連接，，因?yàn)槭堑冗吶切?，所以，又因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，故錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，取中點(diǎn)，連接，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面，故正確；對(duì)于C選項(xiàng)，設(shè)到平面的距離為，因?yàn)榍?，所以，所以，故要使三棱錐的體積最大，則最大，所以當(dāng)?shù)耐队霸诶馍蠒r(shí)，最大，且，此時(shí)平面，平面，所以，因?yàn)?，，平面，所以平面，平面，所以，故正確；對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)闉橹苯侨切?，所以過(guò)作，設(shè)為三棱錐的外接球的球心，外接球的半徑為，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，，所以平面，所以，過(guò)點(diǎn)作交于，如圖所示，所以四邊形為矩形，所以，所以在中，，即，在中，，即，進(jìn)而解得，所以三棱錐的外接球的表面積為，故錯(cuò)誤.故選：BC12．已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．B．曲線在點(diǎn)處的切線可能與直線垂直C．D．〖答案〗ACD〖解析〗對(duì)于A，，令，則，令，解得：，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，；有兩個(gè)極值點(diǎn)，有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，，即，，A正確；對(duì)于B，曲線在點(diǎn)處的切線斜率，若該切線與直線垂直，則，即，與矛盾，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由題意知：，即，則，由A知：，由二次函數(shù)性質(zhì)知：，C正確；對(duì)于D，由題意知：，即，又，，即；要證，只需證，即證，即證，設(shè)，則只需證，令，則，在上單調(diào)遞增，，，則，D正確.故選：ACD．填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分，其中16題第一空2分，第二空3分。13．冪函數(shù)滿足：任意有，且，請(qǐng)寫(xiě)出符合上述條件的一個(gè)函數(shù)___________．〖答案〗（〖答案〗不唯一）〖解析〗取，則定義域?yàn)镽，且，，，滿足.故〖答案〗為：.14．在正三棱柱中，，若該三棱柱內(nèi)接于球O，且三棱錐的體積為，則球O的表面積最小為_(kāi)________.〖答案〗〖解析〗如圖所示，正三棱柱中，，且該三棱柱內(nèi)接于一球O，三棱錐的體積為，可得，解得，因?yàn)槿庵钦庵?，設(shè)為正的外接圓的圓心，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，又因?yàn)闉榍虻陌霃?，所以球的表面積最小值為為.故〖答案〗為：.15．已知，則__________.〖答案〗〖解析〗因?yàn)?，所以，令，得，又，即，令，兩邊相加得：，故〖答案〗為?6．大約在公元222年，趙爽為《周髀算經(jīng)）一書(shū)作序時(shí)介紹了“勾股圓方圖”，亦稱“趙爽弦圖”（如圖1）．某數(shù)學(xué)興趣小組類比“趙爽弦圖”構(gòu)造出圖2：為正三角形，，，圍成的也為正三角形．若為的中點(diǎn)，①與的面積比為_(kāi)__________；②設(shè)，則___________．〖答案〗〖解析〗如圖：連接，由題意知，且分別為的中點(diǎn)，.所以，,得.，，化簡(jiǎn)得，所以故〖答案〗為：①；②.四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．在①；②；③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并解決該問(wèn)題．問(wèn)題：在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且滿足___________．（1）求角A的大小；（2）若D為線段延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且，求的面積．解：（1）若選擇①，∵．∴，∵，∴，即，∵∴；若選擇②，∵，∴，∴，∴，，∵∴；若選擇③，∵，∴，∴，∴，∴，又∵．∴，∴，∵，∴；（2）設(shè)，，，在中，用余弦定理可得，即①，又∵在中，，即.即，即②，在中，用余弦定理可得，即③，③+①可得，將②式代入上式可得，．18．設(shè)是各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列，，是和的等比中項(xiàng)，的前項(xiàng)和為，.（1）求和的通項(xiàng)公式;（2）設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.（i）求數(shù)列的前項(xiàng)和；（ii）求.解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)椋呛偷牡缺戎许?xiàng)，所以，即，解得，因?yàn)槭歉黜?xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列，所以，故，因?yàn)椋?，兩式相減得：，當(dāng)時(shí)，，，是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，.（2）（i），所以.（ii）當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，設(shè)，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，設(shè)，，所以，故，所以.19．如圖，四面體中，，E為的中點(diǎn)．（1）證明：平面平面；（2）設(shè)，點(diǎn)F在上，當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，求與平面所成的角的正弦值．（1）證明：因?yàn)椋珽為的中點(diǎn)，所以；在和中，因?yàn)椋?，所以，又因?yàn)镋為的中點(diǎn)，所以；又因?yàn)槠矫?，，所以平面，因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫?（2）解：連接，由（1）知，平面，因?yàn)槠矫?，所以，所以，?dāng)時(shí)，最小，即的面積最小.因?yàn)椋?，又因?yàn)椋允堑冗吶切?，因?yàn)镋為的中點(diǎn)，所以，，因?yàn)?，所?在中，，所以.以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取，則，又因?yàn)椋?，所以，設(shè)與平面所成的角的正弦值為，所以，所以與平面所成的角的正弦值為.20．互花米草是禾本科草本植物，其根系發(fā)達(dá)，具有極高的繁殖系數(shù)，對(duì)近海生態(tài)具有較大的危害．為盡快消除互花米草危害，2022年10月24日，市政府印發(fā)了《莆田市互花米草除治攻堅(jiān)實(shí)施方案》，對(duì)全市除治攻堅(jiān)行動(dòng)做了具體部署．某研究小組為了解甲、乙兩鎮(zhèn)的互花米草根系分布深度情況，采用按比例分層抽樣的方法抽取樣本．已知甲鎮(zhèn)的樣本容量，樣本平均數(shù)，樣本方差；乙鎮(zhèn)的樣本容量，樣本平均數(shù)，樣本方差．（1）求由兩鎮(zhèn)樣本組成的總樣本的平均數(shù)及其方差；（2）為營(yíng)造“廣泛發(fā)動(dòng)、全民參與”的濃厚氛圍，甲、乙兩鎮(zhèn)決定進(jìn)行一次“互花米草除治大練兵”比賽，兩鎮(zhèn)各派一支代表隊(duì)參加，經(jīng)抽簽確定第一場(chǎng)在甲鎮(zhèn)舉行．比賽規(guī)則：每場(chǎng)比賽直至分出勝負(fù)為止，勝方得1分，負(fù)方得0分，下一場(chǎng)在負(fù)方舉行，先得2分的代表隊(duì)獲勝，比賽結(jié)束．當(dāng)比賽在甲鎮(zhèn)舉行時(shí)，甲鎮(zhèn)代表隊(duì)獲勝的概率為，當(dāng)比賽在乙鎮(zhèn)舉行時(shí)，甲鎮(zhèn)代表隊(duì)獲勝的概率為．假設(shè)每場(chǎng)比賽結(jié)果相互獨(dú)立.甲鎮(zhèn)代表隊(duì)的最終得分記為X，求．參考數(shù)據(jù)：．解：（1）根據(jù)題意，得，因?yàn)?，同理，所以，所以總樣本的平均?shù)為，方差.（2）依題意可知，的所有可能取值為，設(shè)“第場(chǎng)比賽在甲鎮(zhèn)舉行，甲鎮(zhèn)代表隊(duì)獲勝”為事件，“第場(chǎng)比賽在乙鎮(zhèn)舉行，甲鎮(zhèn)代表隊(duì)獲勝”為事件，則，所以，，，所以.21．已知雙曲線的右頂點(diǎn)為，左焦點(diǎn)到其漸近線的距離為2，斜率為的直線交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，且．（1）求雙曲線的方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線與雙曲線交于P，Q兩點(diǎn)，直線，分別與直線相交于，兩點(diǎn)，試問(wèn)：以線段為直徑的圓是否過(guò)定點(diǎn)?若過(guò)定點(diǎn)，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：（1）∵雙曲線的左焦點(diǎn)到雙曲線的一條漸近線的距離為，而，∴．∴雙曲線的方程為．依題意直線的方程為．由消去y整理得：，依題意：，，點(diǎn)A，B的橫坐標(biāo)分別為，則．∵，∴．∴，∴．即，解得或（舍去），且時(shí)，，∴雙曲線的方程為．（2）依題意直線的斜率不等于0，設(shè)直線的方程為．由消去整理得：，∴，．設(shè)，，則，．直線的方程為，令得：，∴．同理可得．由對(duì)稱性可知，若以線段為直徑的圓過(guò)定點(diǎn)，則該定點(diǎn)一定在軸上，設(shè)該定點(diǎn)為，則，，故．解得或．故以線段為直徑的圓過(guò)定點(diǎn)和．22．已知函數(shù)，.（1）討論的單調(diào)性；（2）若，求證：.（1）解：因?yàn)?，所以①若，則，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增②若，則，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)或時(shí)，，單調(diào)遞增；③若，則，在上單調(diào)遞增；④若，則，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)或時(shí)，，單調(diào)遞增.綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增.（2）證明：因?yàn)?，所以，即，設(shè)則，易知在上單調(diào)遞增因?yàn)?，所以，所以存在，使得所以，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增所以設(shè)，則，在上單調(diào)遞增，所以，所以，即.2023屆高考數(shù)學(xué)沖刺必刷押題密03卷（新高考地區(qū)專用）一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題滿分5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，選對(duì)得5分，選錯(cuò)得0分．1．設(shè)復(fù)數(shù)z滿足，則（

）A． B． C． D．〖答案〗D〖解析〗由題知，于是，所以.故選：D2．已知全集，集合，，且滿足，則（

）A． B． C． D．〖答案〗B〖解析〗由題可知，，因?yàn)椋?，即，所以，所以，故選：B．3．某人將斐波那契數(shù)列的前6項(xiàng)“1，1，2，3，5，8”進(jìn)行排列設(shè)置數(shù)字密碼，其中兩個(gè)“1”必須相鄰，則可以設(shè)置的不同數(shù)字密碼有（

）A．120種 B．240種 C．360種 D．480種〖答案〗A〖解析〗將兩個(gè)1捆綁在一起，則可以設(shè)置的不同數(shù)字密碼有種.故選：A4．大衍數(shù)列來(lái)源于《乾坤譜》中對(duì)易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論，主要用于解釋中國(guó)傳統(tǒng)文化中的太極衍生即太極生兩儀原理，如圖所示（圖中表示太極，表示陽(yáng)儀、表示陰儀）．若數(shù)列的每一項(xiàng)都代表太極衍生過(guò)程中經(jīng)歷過(guò)的兩儀數(shù)量總和，即為天一對(duì)應(yīng)的經(jīng)歷過(guò)的兩儀數(shù)量總和0，為衍生到地二時(shí)經(jīng)歷過(guò)的兩儀數(shù)量總和2，為衍生到天三時(shí)經(jīng)歷過(guò)的兩儀數(shù)量總和4，…，按此規(guī)律，則為（

）A．84 B．98 C．112 D．128〖答案〗C〖解析〗表示衍生到天十五時(shí)經(jīng)歷過(guò)的兩儀數(shù)量總和，則.故選：C5．已知，則（

）A． B． C． D．〖答案〗A〖解析〗，，得，得，可得，，，，又，得，解得.故選：A6．拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，以為直徑的圓交軸于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的內(nèi)切圓直徑最小值為(

).A． B． C． D．〖答案〗B〖解析〗由題意知，設(shè)直線的方程為，.由得，，故，，.，以為直徑的圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，圓心到軸的距離為，故.設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，由的面積公式得，，即，故.令，則且，所以，因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，.因此的內(nèi)切圓直徑最小值為.故選：B7．已知，（b＞1），則（

）A． B．C． D．〖答案〗C〖解析〗若，則，∴，，，故A錯(cuò)．若，則，∴，，故B錯(cuò)．若，則，，．對(duì)于C，，故C對(duì)，對(duì)于D，，而，故D錯(cuò)，故選：C．8．已知函數(shù)是定義在上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為．若對(duì)任意有，，且，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．〖答案〗D〖解析〗設(shè)，則恒成立，故函數(shù)在上單調(diào)遞增.，則，即，故.，即，即，故，解得.故選：D二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題滿分5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分，有選錯(cuò)的得0分．9．甲袋中裝有4個(gè)白球，2個(gè)紅球和2個(gè)黑球，乙袋中裝有3個(gè)白球，3個(gè)紅球和2個(gè)黑球．先從甲袋中隨機(jī)取出一球放入乙袋，再?gòu)囊掖须S機(jī)取出一球．用，，分別表示甲袋取出的球是白球、紅球和黑球，用B表示乙袋取出的球是白球，則（

）A．，，兩兩互斥 B．C．與B是相互獨(dú)立事件 D．〖答案〗AB〖解析〗對(duì)于A，由題意可知，，不可能同時(shí)發(fā)生，所以，，兩兩互斥，所以A正確，對(duì)于B，由題意可得，所以，所以B正確，對(duì)于C，因?yàn)?，，，所以，所以與B不是相互獨(dú)立事件，所以C錯(cuò)誤，對(duì)于D，由C選項(xiàng)可知D是錯(cuò)誤的，故選：AB10．對(duì)于函數(shù)，，下列說(shuō)法正確的是（

）A．在處取得極大值 B．有兩個(gè)不同的零點(diǎn)C． D．在上是單調(diào)函數(shù)〖答案〗ABC〖解析〗由函數(shù)，可得，其中，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在處取得極大值，故A正確，D錯(cuò)誤；因?yàn)?，可得，又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)，所以在上必有一個(gè)零點(diǎn)，由，所以為的一個(gè)零點(diǎn)，又由在上單調(diào)，所以在上無(wú)零點(diǎn)，所以恰有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，故B正確；因?yàn)?，，可得，所以，又在上單調(diào)遞減，所以，所以，所以C正確.故選：ABC.11．如圖，平面四邊形中，是等邊三角形，且，是的中點(diǎn).沿將翻折，折成三棱錐，在翻折過(guò)程中，下列結(jié)論正確的是（

）A．存在某個(gè)位置，使得與所成角為銳角B．棱上總會(huì)有一點(diǎn)，使得平面C．當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，D．當(dāng)平面平面時(shí)，三棱錐的外接球的表面積是〖答案〗BC〖解析〗對(duì)于A選項(xiàng)，取中點(diǎn)，連接，，因?yàn)槭堑冗吶切?，所以，又因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，故錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，取中點(diǎn)，連接，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，故正確；對(duì)于C選項(xiàng)，設(shè)到平面的距離為，因?yàn)榍?，所以，所以，故要使三棱錐的體積最大，則最大，所以當(dāng)?shù)耐队霸诶馍蠒r(shí)，最大，且，此時(shí)平面，平面，所以，因?yàn)椋?，平面，所以平面，平面，所以，故正確；對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)闉橹苯侨切危赃^(guò)作，設(shè)為三棱錐的外接球的球心，外接球的半徑為，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，，所以平面，所以，過(guò)點(diǎn)作交于，如圖所示，所以四邊形為矩形，所以，所以在中，，即，在中，，即，進(jìn)而解得，所以三棱錐的外接球的表面積為，故錯(cuò)誤.故選：BC12．已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．B．曲線在點(diǎn)處的切線可能與直線垂直C．D．〖答案〗ACD〖解析〗對(duì)于A，，令，則，令，解得：，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，；有兩個(gè)極值點(diǎn)，有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，，即，，A正確；對(duì)于B，曲線在點(diǎn)處的切線斜率，若該切線與直線垂直，則，即，與矛盾，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由題意知：，即，則，由A知：，由二次函數(shù)性質(zhì)知：，C正確；對(duì)于D，由題意知：，即，又，，即；要證，只需證，即證，即證，設(shè)，則只需證，令，則，在上單調(diào)遞增，，，則，D正確.故選：ACD．填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分，其中16題第一空2分，第二空3分。13．冪函數(shù)滿足：任意有，且，請(qǐng)寫(xiě)出符合上述條件的一個(gè)函數(shù)___________．〖答案〗（〖答案〗不唯一）〖解析〗取，則定義域?yàn)镽，且，，，滿足.故〖答案〗為：.14．在正三棱柱中，，若該三棱柱內(nèi)接于球O，且三棱錐的體積為，則球O的表面積最小為_(kāi)________.〖答案〗〖解析〗如圖所示，正三棱柱中，，且該三棱柱內(nèi)接于一球O，三棱錐的體積為，可得，解得，因?yàn)槿庵钦庵?，設(shè)為正的外接圓的圓心，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，又因?yàn)闉榍虻陌霃剑郧虻谋砻娣e最小值為為.故〖答案〗為：.15．已知，則__________.〖答案〗〖解析〗因?yàn)?，所以，令，得，又，即，令，兩邊相加得：，故〖答案〗為?6．大約在公元222年，趙爽為《周髀算經(jīng)）一書(shū)作序時(shí)介紹了“勾股圓方圖”，亦稱“趙爽弦圖”（如圖1）．某數(shù)學(xué)興趣小組類比“趙爽弦圖”構(gòu)造出圖2：為正三角形，，，圍成的也為正三角形．若為的中點(diǎn)，①與的面積比為_(kāi)__________；②設(shè)，則___________．〖答案〗〖解析〗如圖：連接，由題意知，且分別為的中點(diǎn)，.所以，,得.，，化簡(jiǎn)得，所以故〖答案〗為：①；②.四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．在①；②；③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并解決該問(wèn)題．問(wèn)題：在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且滿足___________．（1）求角A的大小；（2）若D為線段延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且，求的面積．解：（1）若選擇①，∵．∴，∵，∴，即，∵∴；若選擇②，∵，∴，∴，∴，，∵∴；若選擇③，∵，∴，∴，∴，∴，又∵．∴，∴，∵，∴；（2）設(shè)，，，在中，用余弦定理可得，即①，又∵在中，，即.即，即②，在中，用余弦定理可得，即③，③+①可得，將②式代入上式可得，．18．設(shè)是各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列，，是和的等比中項(xiàng)，的前項(xiàng)和為，.（1）求和的通項(xiàng)公式;（2）設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.（i）求數(shù)列的前項(xiàng)和；（ii）求.解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)?，是和的等比中?xiàng)，所以，即，解得，因?yàn)槭歉黜?xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列，所以，故，因?yàn)?，所以，兩式相減得：，當(dāng)時(shí)，，，是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，.（2）（i），所以.（ii）當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，設(shè)，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，設(shè)，，所以，故，所以.19．如圖，四面體中，，E為的中點(diǎn)．（1）證明：平面平面；（2）設(shè)，點(diǎn)F在上，當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，求與平面所成的角的正弦值．（1）證明：因?yàn)椋珽為的中點(diǎn)，所以；在和中，因?yàn)?，所以，所以，又因?yàn)镋為的中點(diǎn)，所以；又因?yàn)槠矫?，，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平?（2）解：連接，由（1）知，平面，因?yàn)槠矫?，所以，所以，?dāng)時(shí)，最小，即的面積最小.因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以是等邊三角形，因?yàn)镋為的中點(diǎn)，所以，，因?yàn)?，所?在中，，所以.以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取，則，又因?yàn)?，所以，所以，設(shè)與平面所成的角的正弦值為，所以，所以與平面所成的角的正弦值為.20．互花米草是禾本科草本植物，其根系發(fā)達(dá)，具有極高的繁殖系數(shù)，對(duì)近海生態(tài)具有較大的危害．為盡快消除互花米草危害，2022年10月24日，市政府印發(fā)了《莆田市互花米草除治攻堅(jiān)實(shí)施方案》，對(duì)全市除治攻堅(jiān)行動(dòng)做了具體部署．某研究小組為了解甲、乙兩鎮(zhèn)的互花米草根系分布深度情況，采用按比例分層抽樣的方法抽取樣本．已知甲鎮(zhèn)的樣本容量，樣本平均數(shù)，樣本方差；乙鎮(zhèn)的樣本容量，樣本平均數(shù)，樣本方差．（1）求由兩鎮(zhèn)樣本組