2024年高考數(shù)學(xué)三輪沖刺考點(diǎn)歸納第六章-平面向量幾何意義的應(yīng)用模型 （含解析）

模型1平面向量幾何意義的應(yīng)用

E模型構(gòu)建

【問題背景】平面向量作為一種基本工具，在平面幾何問題的求解中起到極其重要的

作用，而教材中對(duì)于平面向量給出了幾何表示和坐標(biāo)表示兩種形式，相比較而言，學(xué)生

對(duì)于向量的坐標(biāo)表示更容易接受和理解，但對(duì)向量的幾何表示包括幾何運(yùn)算往往感到比

較困難，然而從平面向量的幾何意義來看，其中又有很多獨(dú)特之處，如能合理地運(yùn)用向

量的加法、減法的平行四邊形法則或三角形法則以及向量平行與垂直的充要條件，結(jié)合

平面向量的基本定理等這些幾何意義，那么在解決平面幾何問題時(shí)往往就能起到避繁就

簡的效果.

【解決方法】

【典例1］（平面向量與解三角形交匯，雙空題I2023天津）在三角形ABC中，

ZA=|,|BC|=1,。為線段A3的中點(diǎn)，E為線段的中點(diǎn)，若設(shè)A8=a,AC=），則

AE可用。/表示為；若BF=；BC,則AE.AF的最大值為.

【套用模型】

第一步：整體審題

根據(jù)題中：若設(shè)AB=a,AC=6,顯然以它們作為基底向量，借助與向量的加法，減法

等運(yùn)算表示出新的向量，再結(jié)合向量數(shù)量積的運(yùn)算，運(yùn)用函數(shù)和不等式的相關(guān)知識(shí)求最

值.

第二步：尋找聯(lián)想.題中已指定了兩個(gè)不共線的向量，故聯(lián)想到平面向量基本

定理.

在，ASC中，/A=],BC=1,點(diǎn)。為A8的中點(diǎn)，點(diǎn)E為8的中點(diǎn).對(duì)于第一空，用

AB=a,=6表示AE即可；對(duì)于第二空，可作出圖形，再進(jìn)行分析.

第三步：確定方法并運(yùn)算.選擇合適的三角形，借助向量的加法、減法和數(shù)乘

運(yùn)算表示出新的向量，再結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算處理問題.

第一空由于后為8的中點(diǎn)，所以AE=；(AC+AD),又。是48的中點(diǎn)，所以

AD=~AB.

2

由于AB=a,AC=>,所以=+

第二空作出圖形，如圖1所示.

圖1

因?yàn)锽尸所以2尸2+/。=0，

AF+FC=AC,

由《可得AF+FC+2(AF+PB)=AC+2AB,

AF+FB=AB

9I

即3AF=2&+b，^AF=-a+-b.

^■^AE-AF=[^a+^b\-^a+^b\=^2a2+5a-b+2b2

t己AB=x,AC=y,

jr

在.ABC中,根據(jù)余弦定理得BC2=x2+y2-2xycos—=x2+y2-xy=l,

于是蛇”=22個(gè)+學(xué)+2)=曰等+2).

由f+,2一孫=]和基本不等式得，x2+y2-xy=l>2xy-xy=xy,當(dāng)且僅當(dāng)x=y=1時(shí)

試卷第2頁，共8頁

取得等號(hào)，故則x=y=l時(shí)，尸有最大值7^.

24

第四步：得出結(jié)論

1113

故答案為：—a+—b；--.

4224

27r

【典例2】（22-23高三下?陜西咸陽?期末）如圖2,ABC中，AB=AC=4,ZBAC^―,

半徑為1的A分別交AB,AC于點(diǎn)及尸，點(diǎn)尸是劣弧所上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則尸8.尸C的

取值范圍是.

圖2

【套用模型】

第一步：整體審題

根據(jù)本題中的圖形是一個(gè)等腰三角形為背景，故聯(lián)想到可以建立平面直角坐標(biāo)系，用坐

標(biāo)法處理本題.再結(jié)合向量數(shù)量積的運(yùn)算，運(yùn)用函數(shù)和不等式的相關(guān)知識(shí)求相關(guān)的范圍.

第二步：尋找聯(lián)想.

ABC是頂角為半、腰為4的等腰三角形，A的半徑為1,P是劣弧所上的一個(gè)動(dòng)

點(diǎn)，求尸8PC的取值范圍.有題圖，可以考慮建系；也可以考慮取三角形底邊的中點(diǎn)，

用幾何法解決.

第三步：確定方法并運(yùn)算，運(yùn)用坐標(biāo)法處理，結(jié)合三角函數(shù)進(jìn)行處理.

方法一:坐標(biāo)法如圖3,以A為原點(diǎn)，垂直于的直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系xAy,

冗?

則3(2,-2班),C(2,2岔)，設(shè)P(cos6,sin。)，其中Oe

所以尸8?尸C=(2-cos0,-2.y/3-sin0)-(2-cos0,2g-sind)

=(2-cos0)2+sin2，-12=-7-4cos，.

因?yàn)閏os。?,所以PRPCe[-11,一9].

方法二：幾何法如圖4,取BC的中點(diǎn)連接則兩個(gè)動(dòng)向量產(chǎn)bPC均可用一

個(gè)動(dòng)向量和一個(gè)定向量MC表示.PBPC=(PM-MC)(PM+MC)=PM，-MC-

因?yàn)镸C為定值，所以尸3.PC的變化可由尸M的變化確定.

連接AM,易得AM=2,MC=26,當(dāng)尸為劣弧E尸與AM的交點(diǎn)時(shí)，取得最小值,

為AM-1=1；連接EM,尸M的最大值為

EM=ylBE2+BM2-2BE-BMcosZ.EBM=招?

所以PM?-MC?的取值范圍是即「小尸。4-11,-9].

第四步：得出結(jié)論

所以P8PCe[-ll,-9]

相似題—>1舉一反三

一、單選題

(22-23高三下?黑龍江大慶?期中)

1.在AABC中.已知D是BC延長線上一點(diǎn).點(diǎn)E為線段AD的中點(diǎn).若BC=2CD.且

3

AE=AAB+-AC.^\\X={)

試卷第4頁，共8頁

A

￡1

C.D.

33

（22-23高三下?湖南長沙?階段練習(xí)）

2.如圖，在,ABC中，已知AB=AC=1,NA=120。，E,尸分別是邊AB,AC上的點(diǎn),

且AEuZAB，AF=juAC,其中4,且4+4〃=1,若線段跖，的中點(diǎn)分

別為M,N,則|加叫的最小值為（）

「百口3幣

k_z?-----------u?--------

77

（22-23高三上?山西呂梁?期中）

3.如圖，在ABC中，。為線段8c上一點(diǎn)，且8O=2OC，G為線段A。的中點(diǎn)，過

點(diǎn)G的直線分別交直線AB,AC于￡>,E兩點(diǎn)，AB=mAD（m>0）,AC=nAE（n>0）,

19

則的最小值為（）

mm+^n

343」

（2023?湖北武漢?一模）

4.在中，ARAC=0」AB|=4，Bq=5,。為線段3c的中點(diǎn)，石為線段3c垂直平

分線,上任一異于。的點(diǎn)，則AE-C3=

（22-23高三上?浙江?開學(xué)考試）

5.婆羅摩芨多是公元7世紀(jì)的古印度偉大數(shù)學(xué)家，曾研究過對(duì)角線互相垂直的圓內(nèi)接

四邊形，我們把這類四邊形稱為婆羅摩芨四邊形.如圖，已知圓。內(nèi)接四邊形A8C。

中，對(duì)角線AC13D于點(diǎn)P,過點(diǎn)P的直線EE分別交一組對(duì)邊AB,CD于點(diǎn)E,F,

且CF=fD，貝!I①PE-A3=0;②|4@=2口打；③外。+依2+尸/+正￡為定值；④

A.1B.2C.3D.4

（22-23高三上?浙江溫州?期末）

6.在面積為2的.ASC中，E,尸分別是AB,AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在直線石廠上，則

uunuuruun曰［/士日/、

PCPB+BC2的取小值是（）

A.1B.2C.2#>D.4A

二、填空題

（22-23高三上?江蘇南通?期中）

7.如圖，在三角形ABC中，點(diǎn)。是邊A3上一點(diǎn)，且DB=2AD，點(diǎn)尸是邊8C的中點(diǎn),

過A作8的垂線，垂足為E,若AE=4,則AE.AF=.

（22-23高三上?天津南開?期末）

8.如圖，在ABC中，AB=3,AC=2,ZBAC=m°,D,E分別是邊AB,AC上的

點(diǎn)，AE=1,且=則網(wǎng)=，若尸是線段OE的中點(diǎn)，且PA=xPB+yPC,

則x+y=.

試卷第6頁，共8頁

A

（23-24二上,天津東麗?期中）

27r1

9.在ABC中，44=彳，ABC面積為百，點(diǎn)。為"的中點(diǎn)，CE=§a>,設(shè)AB=a,

AC=b，則AE用a，b表示為.若點(diǎn)尸為BC的中點(diǎn)，則AQAF的最小

值為

（22-23高三下?浙江?期中）

10.如圖，設(shè)jWC中的角A,B,C所對(duì)的邊是a,b,c,已知AB=l,AC=3,r>C=33O,

ABAC1

而—=5,點(diǎn)分別為邊9AC上的動(dòng)點(diǎn)，線段所交9于點(diǎn)G,且

工語=3極，若AG=SA。，則向卜.

O1111

11.在ABC中，M是邊BC的中點(diǎn)，N是線段的中點(diǎn).設(shè)AB=a,AC=b,試用a力

表示AN為；若/從=?,A8C的面積為g■，則當(dāng)〔罔=時(shí)，AM-AN

取得最小值.

（22-23高三下?重慶南岸?期中）

12.如圖，在.ABC中，已知AB=2,AC=3,NZMC=60。，點(diǎn)。，E分別在邊AB,AC上,

且AW=3AE，AB=2AD'點(diǎn)尸為線段。E上的動(dòng)點(diǎn)，則2QCF的取值范圍是.

C

（2023?天津?一模）

13.如圖，在，ABC中，AB=3,AC=2,ABAC=60°,分別邊AB,AC上的點(diǎn),AE=1

且AQ-AE=；,則,若P是線段OE上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則BPCP的最

小值為?

（22-23高三上?天津和平?期末）

14.如圖，在ABC中，AB=2,AC=1,D,E分別是直線A8,AC上的點(diǎn)，AE=2BE，

CD=4AC,S.BDCE=-2＞則/BAC=.若P是線段DE上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則BPCP

的最小值為.

15.如圖，在&ABC中，4=4若，c=4,ZBAC=g乃.尸為ABC內(nèi)部（包含邊界）

試卷第8頁，共8頁

參考答案:

1.A

【分析】通過利用向量的三角形法貝山以及向量共線，由AE=gAD,AD=BD-BA,

3

A。=-BA,,求解AE，結(jié)合條件，即可求得答案.

13

【詳角軍［AE=-AD,AD=BD-BA,AC=BC-BA,BD=-BC9

^\^.AE=-AD=-(BD-BA\=-BD+-AB

22、722

Q1Q1

=-BC+-AB=-(BA+AC\+-AB

424、12

331

=——AB+-AC+-AB

442

13

=——AB+-AC

44

3

由AE=XA3+zAC

A.=——

4

故選:A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量的三角形法則，解題關(guān)鍵是掌握向量的基礎(chǔ)知識(shí)，考查了分析能

力和計(jì)算能力，屬于中檔題.

2.C

【分析】根據(jù)平面向量加法的運(yùn)算法則，結(jié)合平面向量基本定理和平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性

質(zhì)進(jìn)行求解即可.

【詳解】因?yàn)锳E=XAB，AF=/JAC,所以

MN=ME+EB+BN=^FE^+(l-A)AB+^BC=^AE-AF^+(l-A)AB+^AC-AB^

因?yàn)閄+44=l,

所以M7V=2〃AB+g(l_〃)AC,所以

\MN\=J2/AB+1(1-//)AC=^4/Z2AB2+^-(1-//)2Ac"+2//(l-/z)AB.AC,

因?yàn)锳B=AC=1,ZA=120°,

答案第1頁，共13頁

所以.叫=小4〃2+；(1_〃)2_2〃(1_〃)；=?。俊?_|，〃+：,

_3

當(dāng)〃=--/=：e(O,l)時(shí)，有最小值，

2x—7

4

故選：C

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：運(yùn)用平面向量加法的運(yùn)算法則，利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)是解題

的關(guān)鍵.

3.C

【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算的幾何表示及向量共線可得〃?+2〃=6,然后利用基本不等式

即得.

【詳解】因?yàn)锽O=2OC，

所以AO-A3=2(AC-AO),gpAO^-AB+-AC,

v'33

又因?yàn)镚為線段AO的中點(diǎn)，

所以+沁］，+

八33JbJ

因?yàn)锳B=7"A。，AC=nAE，

所以AG=—AO+-AE,

63

因?yàn)?。、G、E三點(diǎn)共線，

m77

所以—H—=1,即m+2〃=6,

63

正」19(19Vm+m+4n)1(八m+4n9m)

所以一+-----=—+-----------------=—10+--------+---------

mm+4nm+4nj12121mm+4nJ

/1-------------------、

1s一/加+4〃9m」(10+2囪)=3,

>—10+2J-------------------

12Vmm+4n12、'3

當(dāng)且僅當(dāng)j=上，

即m=2〃=3時(shí)取等號(hào).

mm+4n

故選：C.

4.A

【分析】利用勾股定理求得AC|=3,利用向量垂直的性質(zhì)可得。E.C8=0，利用平面向量

答案第2頁，共13頁

運(yùn)算的平行四邊形法則與三角形法則，可得AECB

由AB.AC=O，得AB1AC,|AB|=4,|BC|=5,

由勾股定理，得|4。=3,

因?yàn)镋為線段2c垂直平分線/上任一異于。的點(diǎn)，

所以。E-CB=O，

u\^AECB=(AD+DE)CB=ADCB+DECB=ADCB

=1(AB+AC).(AB-AC)=1(AB2-AC2)=|,故選A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查向量的幾何運(yùn)算及數(shù)量積公式、向量的夾角，屬于中檔題.向量的幾

何運(yùn)算法則是：(1)平行四邊形法則(平行四邊形的對(duì)角線分別是兩向量的和與差)；(2)

三角形法則(兩箭頭間向量是差，箭頭與箭尾間向量是和).

5.D

【分析】對(duì)于①：根據(jù)圓的性質(zhì)可得NEP3+/ABP=90,由此可判斷；

對(duì)于②：根據(jù)平面幾何知識(shí)可得GD=2OF,AB=GD,由此可判斷；

對(duì)于③：由勾股定理可判斷；

對(duì)于④：根據(jù)向量的線性運(yùn)算和向量數(shù)量積運(yùn)用可判斷.

【詳解】解：對(duì)于①：因?yàn)锳C人3。，CF=FD，所以點(diǎn)尸是8的中點(diǎn)，且有PP=C4如，

所以ZPDF=ZDPF=NEPB,

又ZABD=ZACD,ZPDC+ZPCD=90,所以NE尸3+/ABP=90,所以PEJ_AB,所以

PEAB=0,故①正確；

對(duì)于②：連接CO并延長交圓。于G,連接GD,則GO_LCD,又。尸，CD,所以O(shè)f7/GD,

且GD=2OF,

XZGCD+ZCGD=90,ZDAP+ZADP=90,NDAP=NCGD,所以ZADB=/GC￡),

答案第3頁，共13頁

所以Afi=GD,所以AB=2O尸，Bp|AB|=2|0F|,故②正確;

對(duì)于③：PA+PB+P52+PD=|AB|2+|CD|2=|GD|2+|CD|2=|CG|2,CG為圓的直徑,所以

P4?+P32+PC?+PD?為定值，故③正確；

對(duì)于④：ABCD+ADBC

=仍8-網(wǎng)?（/>￡>-尸C）+（PD-尸A）.（PC_PB）

=PBPD-PBPC-PAPD+PAPC+PDPC-PDPB-PAPC+PAPB，

又ACLBD,所以尸PC=O,PAPD=O,PD-PC=O,PA-PB=0,

所以AB.C￡>+AD-3C=0，故④正確，

所以正確的命題的個(gè)數(shù)是4個(gè)，

故選：D.

2

【解析】根據(jù)平面幾何知識(shí)，結(jié)合三角形面積公式，可得=即可求得pc.網(wǎng)

sin"

的表達(dá)式，由余弦定理結(jié)合基本不等式，可得叱24比s進(jìn)而可得院.明+院2的

表達(dá)式，利用導(dǎo)數(shù)判斷y=；的單調(diào)性,即可求得函數(shù)的最小值，即可得答案.

sin”

【詳解】因?yàn)镋,尸分別是AB,AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在直線所上，

所以跖到BC的距離即為點(diǎn)A到8C距離的一半，

所以ABC的面積=2=PBC的面積，即5詠=1，設(shè)角3PC=6,6w（0,萬），

12

所以SMC=—依PCsin8=l，gpPBPC=——，

2sin。

所以PC?尸2=1尸即尸c|cos，=2叱,

1111sin8

答案第4頁，共13頁

由余弦定理得：BC2=PB2+PC2-2PB-PCcos6,

顯然PB,PC>0,所以PB?+PC222PB?尸C,

AAcosf)

所以BC?=PB-+PC2-2PB-PCCOS9>2PB-PC-2PB-PCcos0=------------,

sin0sin0

uunuurumi29cos844cosf)4—2cosf)

所以PCP3+BC>^^+—-一/coso,

sin。singsingsing

人_4-2cos6n,，—(4-2cos0)'sin-(4-2cos^)(sind)'_2-4cos6

''sin。'''sin20sin20'

令y'=0,解得cos<9=；,

當(dāng)cos。e(0,3時(shí)，即。時(shí)，y>0,函數(shù)y=上至里為增函數(shù)，

23sin〃

1jr4—2cosf)

當(dāng)cos。4"』)時(shí)，即?！?0,小時(shí)，y<0,函數(shù)y=-F-為減函數(shù)，

所以當(dāng)cosd=:時(shí)，即sine=3時(shí)，函數(shù)y=4-2c；s"有最小值,且為26，

22sin夕

所以品.明+隴2的最小值是2君.

故選：C

【點(diǎn)睛】解題的關(guān)鍵是熟練掌握數(shù)量積公式，面積公式，基本不等式等，并靈活應(yīng)用，易錯(cuò)

4—2cosf)

點(diǎn)為當(dāng)y=cosd在〃e(0,7)為減函數(shù)，所以y=“；為先減后增函數(shù),即有最小值，

sm”

考查分析理解，計(jì)算求值的能力，綜合性強(qiáng)，屬中檔題.

7.32

【分析】根據(jù)線段對(duì)應(yīng)向量的位置關(guān)系，利用向量加減、數(shù)量積運(yùn)算律及幾何意義得到

AE-AF=2AE-AC=2\AE\1,即可求結(jié)果.

【詳解】由題設(shè)+

-1.―—.1一.3-1

AEAF=-AE^AB+AC)=-AE^3AD+AC)=-AEAD+-AEAC

22229

313

又AD=AC+m^AEAF=-AE^AC+CD)+-AEAC=2AEAC+-AECD,

222

由AE，CD及數(shù)量積幾何意義，則AEAF=2AE.AC=21AE『=32.

故答案為：32

8.1

【分析】由向量的數(shù)量積計(jì)算可得平面向量的線性運(yùn)算可得尸4=-,尸2-1PC，由

答案第5頁，共13頁

平面向量的基本定理可得x，y的值，進(jìn)而可得結(jié)論.

【詳解】由AE=1,ZBAC=60°,所以=[網(wǎng)xcos60o=；|AD卜，

所以同「1；

由尸是OE的中點(diǎn)，所以AP=g（AO+AE）,

所以尸4=-3（4。+陰=一3148+；回=一!48一；/

又AB=PB-PA,AC=PC-PA,

所以PA=_\（P2_網(wǎng)_：（PC-網(wǎng)，

23

化簡可得FA=——PB——PC,

77

23

5LPA=xPB+yPC,所以％=一,丁=一亍，

所以x+y=—

故答案為：1,-1

121

9.-a+-b-##0.5

632

【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算，結(jié)合石為的中點(diǎn)進(jìn)行求解；用。，匕表示出A尸，結(jié)合上

一空答案，于是4￡.人尸可由4力表示，然后根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算和基本不等式求解.

【詳解】因?yàn)镃E=gc。，貝|JAE-AC=|（Ar>-AC）=|AB-|AC,,可得

12,

AE=-AB--AC+AC=-AB+-AC=--a+—b;

636363

AF+FC=AC

因?yàn)辄c(diǎn)尸為2C的中點(diǎn)，，則EB+尸C=0，可得，

AF+FB=AB

得至lj2AF+（FC+FB^=AC+AB,

即2A尸=。+6，即4尸=彳。+彳6.

22

于是收匯=++|"&+'=]

+5Q.0+4b之）

，己AB=x,AC=y,

+5孫cosl20+4y2）=g「一^i+4y2],

貝ljAEAF=—+5〃心+4/?2）=;（Y

答案第6頁，共13頁

在ABC中，S=^xysinl20=^3,/.xy=4,

由基本不等式，于是距4尸=七卜一口+4y]N514孫-彳口=上6=；,

當(dāng)且僅當(dāng)x=V=2取得等號(hào)，

貝l]x=y=2時(shí)，A￡.A尸有最小值;.

故答案為：—tZ+-;y.

63/

10.

6

31

【分析】由向量的線性運(yùn)算結(jié)合三點(diǎn)共線可得不不+丁=1,由三角形的面積滿足的關(guān)系可

11211//

得加=:,聯(lián)立即可求解2=:，〃=1，由向量的模長公式即可求解.

632

31

【詳角星】^AE=AAB,AF=jLiAC,DC=3BD,:.AD=-AB+-AC,

44

44<31、3131

.AG=—AD=—\-AB+-AC\=—AB+—AC=——AE+——

11144J11111U

31

QE,G1三點(diǎn)共線，.??---1----=1...

1U11〃

又s.」sABC，_x|AE||AF|sinA=-x-x|AB||AdsinA,:.^=-….②,

62626

i3i

由①②得2=1或（舍去），故〃=],

EF\=][AC_；AB]=《AC?一:AB-AC+^AB2=,

（或者在AAEF中可以用余弦定理求出⑼.）

故答案為：叵

6

,31,一

11.laH—b2

44

【分析】根據(jù)向量加減法的線性運(yùn)算即可求解AN，由；ASC的面積求得|A8|x|AC|的值,

利用平面向量的線性運(yùn)算與數(shù)量積運(yùn)算求出AM.■，利用基本不等式求出它取最小值時(shí)

答案第7頁，共13頁

IA8hIAC|的值，再利用余弦定理求出BC的值.

【詳解】M是邊2C的中點(diǎn)，N是線段8M的中點(diǎn)，則AM=!(A8+AC),AN=^AB+AM)

^frlAAN=-AB+-AM=-AB+-\-AB+-Ac]=-AB+-AC=-a+-b

加〃2222(22J4444

IT

如圖所示，ABC中，ZA=-,

6

所以ABC的面積為5.=9成岡4<7,吟=6,

26

所以|AB|x|AC|=4百；

AM-AA?=j(AB+AC)-+=|AB2+|AC2+|AS-AC

=-|AB|2+-|AC|2+-x|AB|x|AC|xcos-

8826

-2#RxkMx|Aq+gx4Gx——?=2義X473+3=6；

當(dāng)且僅當(dāng)IAC|=百|(zhì)AB|=26時(shí)取等號(hào),

所以AM?AN的最小值為6；

所以此時(shí)AC=26,AB=2,A=y,

6

lUBC2=AC2+AB2-2AC-AB-cos-=12+4-2x2^x2x^=4,

62

所以BC=2.

31

故答案為：—a+—b；2.

44

【分析】運(yùn)用平面向量基本定理和數(shù)量積的定義，將36CF表示為某變量的函數(shù)，進(jìn)而求

出取值范圍即可.

【詳解】因?yàn)锳B=2,AC=3,NBAC=60。，

答案第8頁，共13頁

所以AB.AC=網(wǎng)"cosABAC=3,AB=\AB\=4,AC=?=9,

^DF=2DE(O<A<1),

貝尸=20+￡)/=一：42+/1￡>￡=-；AB+/l(AE-AZ))

=--AB+A\-AC--AB\=\----A,\AB+-AAC,

2(32J[22J3

0r\

CF=CE+EF=-1AC-(1-2)Z)E=-1AC-(l-2)(AE-Ar))

=-|AC-(I-2)QAC-|AB^|一小C,

=[-27-^\AB"+[---27+-2\AB-AC+{~^=22--A+-,

U4)[232J{93)22

3iQ

對(duì)于>=42-5/1+5,其開口向上，對(duì)稱軸為x=a,

所以>=力-1+；在0怖)上單調(diào)遞減，在01上單調(diào)遞增，

當(dāng)4=0時(shí)，2尸-C尸=川-：/1+1取得最大值;，

222

3Q11

當(dāng)力=:時(shí)，BF.CF=22--2+-,

42216

所以2QCF的取值范圍是1-白，4.

102_

故答案為：-奇，7

_Io2_

13.1-—

16

【解析】由ADAE=g利用數(shù)量積公式可求IA0的值為1,設(shè)。P的長為x,則PE=1-x,

BD=2,EC=1,利用平面向量的幾何運(yùn)算法則結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算法則，可得BP.CP=X2-]

再利用配方法可得結(jié)果

【詳解】AD-AE=|A￡>|-|AE|-COS60=|AD|X1X|=1,/.|A￡)|=1；

又因?yàn)锳E=1且ZBAC=60°,二AADE為正三角形，

:.DE=1=AD=AE,NBDP=NCEP=120,BD=2,EC=1,

設(shè)DP的長為x(0<x<l),則尸E=l-x,,

BPCP=^BD+DP^\CE+EP^

答案第9頁，共13頁

=BDCE+BDEP+DPCE+DPEP

（）

=2xlx1+2l-xI+x-l-I

xj時(shí)取等號(hào),

一記一一五

.-.BPCP的最小值為一々.

16

故答案為：1,?

16

【點(diǎn)睛】向量的運(yùn)算有兩種方法，一是幾何運(yùn)算往往結(jié)合平面幾何知識(shí)和三角函數(shù)知識(shí)解答,

運(yùn)算法則是：（1）平行四邊形法則（平行四邊形的對(duì)角線分別是兩向量的和與差）；（2）

三角形法則（兩箭頭間向量是差，箭頭與箭尾間向量是和）平面向量數(shù)量積的計(jì)算問題，往

往有兩種形式，一是利用數(shù)量積的定義式，二是利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式，涉及幾何圖形

的問題，先建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，可起到化繁為簡的妙用.

一n37

14.——

37

【分析】由題可知AE=2AB，AD=5AC，由32>CE=-2，可得

11AB-AC-5AC-2AB2=-2>代入相應(yīng)數(shù)據(jù)即可求得cos/BAC的值，從而求得/SAC；

設(shè)EP=2ED,4e[0,l],根據(jù)平面向量的混合運(yùn)算可推出2P.e尸=21%-122+7，再利用

配方法即可得解.

【詳解】：AE=28E，CD=4AC，AE=2AB-AD=5AC-

BDCE=-2,

：.（AD-AB\（AE-AC）=（3AC-AB）［AB-AC）

22

=11ABAC-5AC-2AB=1lx2xlxcosZBAC-5xl-2x4

=22cosABAC-13=-2,

解得cosNB4C='，

2

?.?ABACG（0,乃）,I.ABAC=-.

3

設(shè)EPrED，

：.BP?CP=（BE+EP）（CD+DP）

4

-AE+X（AD--AD+AE

215

答案第10頁，共13頁

=Q-2^(l-2)A￡,2+2^-1^Ar)2+^2-^-222^Ar).AE

=16&-金(1-；1)+25市-3+借X-￡-2X2卜5x4xcos?

=2U2-122+7

?、“，6-士口—*二37

??當(dāng)2=、"時(shí)，2尸.CP有取小值，為亍.

故答案為：三TT口37.

37

【點(diǎn)睛】（1）應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實(shí)質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)

行向量的加、減或數(shù)乘運(yùn)算.

（2）用向量基本定理解決問題的一般思路是：先選擇一組基底，并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論

表示成向量的形式，再通過向量的運(yùn)算來解決.

15.4[-11,-9]

【分析】方法1：

①由正弦定理求得NACB,進(jìn)而可求得6,可得在二ABC是等腰三角形，取BC的中點(diǎn)E,

在△BE4中可求得AE,再由A3+AC=2AE可求得IAB+ACI的值.

■JT

②設(shè)＜AP,AE＞=9,0e[O,y],則尸8-尸。=（尸4+43＞（巳4+40展開計(jì)算，轉(zhuǎn)化為三角

函數(shù)在給定區(qū)間上求值域，即可得結(jié)果.

方法2：

①由余弦定理求