2024高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)-數(shù)學(xué)文化

【二輪復(fù)習(xí)T學(xué)文化】

專題19數(shù)學(xué)文化

以數(shù)學(xué)名著為背景以現(xiàn)代科技或數(shù)學(xué)時事為背景以數(shù)學(xué)家為背景

P1-3P4-6P6-9

考向一以數(shù)學(xué)名著為背景

【方法儲備】

在數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史中，有很多的數(shù)學(xué)著作問世，它們起著數(shù)學(xué)傳播的作用，使得前人的思想和方法得以傳承，如

中國古代的《九章算術(shù)》、歐洲的《圓錐曲線論》等，而且這些書籍中的思想和方法在高中數(shù)學(xué)中也有所體現(xiàn)。

【典例精講】

例1.(2023?安徽省?模擬題)大約在公元222年，趙爽為《周髀算經(jīng)》一書作序時介紹了“勾股圓方圖”，亦稱“趙

爽弦圖”(如圖1).某數(shù)學(xué)興趣小組類比“趙爽弦圖”構(gòu)造出圖2,其中A45C為正三角形，AD,BE,CF圍成的

ISJJEF也為正三角形.若D為BE的中點，則M)EF與&4BC的面積比為---------；設(shè)7兀=二，+〃，，

則＜+〃=.個、C

解：A4D8中經(jīng)120。.設(shè)QE=］，則3=2,/------1—/LE\

由余弦定理得482=1+4-2x1X2XCOS120。=7,x.//

故ADE廠與A45C的面積比為相似比平方等于1:7.AB

4,、圖1圖2

由余弦定理得COS經(jīng)氏4。=:大，經(jīng)BADe(0"),

2J7

R3/7

所以sin經(jīng)胡。=27?延長也交BC于G,所以sin經(jīng)5G4=sin(經(jīng)BAD+60o)=余，

AGF；

AQJR_____="'7.G

由正弦定理得.囊即高603Ji，所以/G=k，)^一

sm60"sm經(jīng)BG4~'3

2萬“?|

766

設(shè)〃，=4J+八「,因為4G4共線，所以x+y=1,因為“，=/￡),所以N.l=xAa+yXC,

677

所以4+〃二二(％+y)二；

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【二輪復(fù)習(xí)T學(xué)文化】

【拓展提升】

練1-1(2023?湖北省?期中考試)公元前3世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯結(jié)合前人的研究成果，寫出了經(jīng)典之作《圓

錐曲線論》，在此著作第七卷《平面軌跡》中，有眾多關(guān)于平面軌跡的問題，例如：平面內(nèi)到兩定點距離之比等

于定值(不為1)的動點軌跡為圓.后來該軌跡被人們稱為阿波羅尼斯圓.已知平面內(nèi)有兩點A(~1,0)和5(2,1),且該

，5

平面內(nèi)的點P滿足|尸4|=?石|PB1,若點P的軌跡關(guān)于直線加x+號一2=0(m,n>0)對稱，則，+-的最小值是()

mn

A.10B.20C.30D.40

解：設(shè)點P的坐標(biāo)為(xj),因為|PA\=h\PB\,

所以(x+1)2+/=2J(Y-2)2+(y-嗎，

化簡得f+J—10x-4y+9=0,BP(x-5)2+(y-2)2=20,

所以點P的軌跡方程為(x—5)2+(y-2)2=20,

因為P點的軌跡關(guān)于直線3:+ny—2=0(m>0,”>0)對稱，

所以圓心(5,2)在此直線上，即5加+2〃=2,m>0,n>0,

-25|24、IAn2Snrl~4n_25m

所以一+—=—(5m+2〃)(二+-)=10+-(—+——)10+J—?------=20,

mn)mn?mn\mn

4〃25m

當(dāng)且僅當(dāng)一二——,即〃二；加時，等號成立，

mn

故選區(qū)

練1-2(2023?山東省?期中考試)《海島算經(jīng)》是中國學(xué)者劉徽編撰的一部測量數(shù)學(xué)著作，現(xiàn)有取自其中的一個問題：

今有望海島，立兩表齊，高三丈，前后相去千步，令后表與前表參相直，從前表卻行一百二十三步，人目著地，

取望島峰，與表末參合，從后表卻行一百二十七步，人目著地，取望島峰，亦與表末參合，問島高幾何？用現(xiàn)代

語言來解釋，其意思為：立兩個3丈高的標(biāo)桿，之間距離為1000步，兩標(biāo)桿與海島的底端在同一直線上.從第一

個標(biāo)桿M處后退123步，人眼貼地面，從地上A處仰望島峰，人眼，標(biāo)桿頂部和山頂三點共線；從后面的一個標(biāo)

桿N處后退127步，從地上B處仰望島峰，人眼，標(biāo)桿頂部和山頂三點也共線，則海島的高為(3丈=5步)()

A.1200步B.1300步C.1155步D.1255步

解：設(shè)海島的高為CD,CD=x步，CM=y步，八

由題可知，EM=FN=5步,跖V=1000步，阪4=123步，〃八

NB=127步,

N

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【二輪復(fù)習(xí)T學(xué)文化】

由EM//CD,得NAMEsRACD,有以=AM

CDAC

5123

即一=--------①.

x123+y

同理，由NF11CD,得WNFst^BCD，有網(wǎng)=旦過

CDBC

5127

即一②.

x1127+y

由①②解得%=1255.

故選D

練1-3（2023、江蘇省?模擬題）在《九章算術(shù)》中，將四個面都是直角三角形的四面體稱為鱉般，在鱉膈Z—BCD中，

ABJ平面BCD,BC\CD,且4B=BC=CD,M為AD的中點，則異面直線BM與CD夾角的余弦值為（）

叵石

A.B.—D.——

332

解：如圖，正方體內(nèi)三棱錐力一BCD即為滿足題意的鱉廊4—5CQ,

以B為原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長為1,

則B（0,0,0）,4（0,0,1）,C（0,1,0）,,M-11

......1

一—1]1、-/3777從"CD2yf^

則8"力?0.0）,geo卜畫商I*不

則異面直線BM與CD夾角的余弦值為3

3

故選：A.

考向二以現(xiàn)代科技或數(shù)學(xué)時事為背景

【方法儲備】

以現(xiàn)代科技或數(shù)學(xué)時事為背景的數(shù)學(xué)文化考題特別關(guān)注科普知識，注重傳統(tǒng)文化在現(xiàn)實中的創(chuàng)造性和創(chuàng)新性發(fā)展,

體現(xiàn)中國傳統(tǒng)科技文化對人類發(fā)展和社會進(jìn)步的貢獻(xiàn)，踐行社會主義核心價值觀。

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【二輪復(fù)習(xí)T學(xué)文化】

【典例精講】

例2.（2022?全國乙卷理科）嫦娥二號衛(wèi)星在完成探月任務(wù)后，繼續(xù)進(jìn)行深空探測，成為我國第一顆環(huán)繞太陽飛行

的人造行星.為研究嫦娥二號繞日周期與地球繞日周期的比值，用到數(shù)列｛bj：%=1+b2=1+｛丁，b3+

……，依此類推，其中akWN*（k=1,2,…）,則（）

A.bi<b5B.b3<bsC.b6<b2D.b4<b7

>

解：由已知bl=1+-,b2=1+…/1,我，故bl>b2；同理可得b2<b3,

—>-------1------

bi>b3,又因為a2a2+——，故b2<b4,

a3+a4

于是得bi>b2>b3>b4>b5>b6>b7>...,排除A.

1.1,

a2a2+11,故b2Vb6，排除c,而bi>b?>b&,排除B.

a3+"a6

故選D.

【拓展提升】

練2-1（2023?寧夏回族自治區(qū)?模擬題）截至2023年2月，“中國天眼”發(fā)現(xiàn)的脈沖星總數(shù)已經(jīng)達(dá)到740顆以上.被

稱為“中國天眼”的500米口徑球面射電望遠(yuǎn)鏡（E4ST）,是目前世界上口徑最大，靈敏度最高的單口徑射電望

遠(yuǎn)鏡（圖1）.觀測時它可以通過4450塊三角形面板及2225個觸控器完成向拋物面的轉(zhuǎn)化，此時軸截面可以看作拋

物線的一部分.某學(xué)校科技小組制作了一個FAST模型，觀測時呈口徑為4米，高為1米的拋物面，則其軸截面

所在的拋物線（圖2）的頂點到焦點的距離為（）

解：如圖所示建立直角坐標(biāo)系，

設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，=2py（p>0）,

由題意可知點A（2,1）在拋物線上，

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1二被習(xí)一ft學(xué)文化】

：22=X1,解得p=2

:焦點F（0,1）,

:焦點到頂點的距離為1,

故選4

練2-2（2023?山東省?月考試卷）2023年5月10日21時22分，搭載天舟六號貨運飛船的長征七號遙七運載火箭，

在我國文昌航天發(fā)射場點火發(fā)射，約10分鐘后，天舟六號貨運飛船與火箭成功分離并進(jìn)入預(yù)定軌道?已知火箭的

最大速度v（單位：版/s）與燃料質(zhì)量〃（單位：kg）、火箭質(zhì)量加（單位：館）的函數(shù)關(guān)系為v=21n（l+!）.若已

知火箭的質(zhì)量為3100kg,火箭的最大速度為11?/s,則火箭需要加注的燃料質(zhì)量為（參考數(shù)值為ln2?0.69,

In244.69~5.50,結(jié)果精確到0.0k,It=lOOOAg）（）

A.243.6%B.244.69/C.755.44/D.890.23/

解：依題意，m=3100,

令v=21n（1+-）=11,貝UIn（1+—）2=Ine11,

11003100

所以（1+2L）2=e",l+匕=發(fā)5,工=f5-1~*24469-1

=244.69-1=243.69,

所以M=3100x243.69=755439炫~755.44?.

故選：C.

練2-3（2023?河南省?模擬題）2023年1月底，人工智能研究公司OpenAI發(fā)布的名為"ChatGTP”的人工智能聊天程序

進(jìn)入中國，迅速以其極高的智能化水平引起國內(nèi)關(guān)注.深度學(xué)習(xí)是人工智能的一種具有代表性的實現(xiàn)方法，它是

G

以神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)為出發(fā)點的，在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化中，指數(shù)衰減的學(xué)習(xí)率模型為L=4￡）5,其中L表示每一輪優(yōu)化時使

用的學(xué)習(xí)率，人表示初始學(xué)習(xí)率，D表示衰減系數(shù)，G表示訓(xùn)練迭代輪數(shù)，G。表示衰減速度.已知某個指數(shù)衰減

的學(xué)習(xí)率模型的初始學(xué)習(xí)率為0.8,衰減速度為12,且當(dāng)訓(xùn)練迭代輪數(shù)為12時，學(xué)習(xí)率衰減為0.5.則學(xué)習(xí)率衰減

到0.2以下（不含0.2）所需的訓(xùn)練迭代輪數(shù)至少為（）（參考數(shù)據(jù)：1g2~0.3010）

A.35B.36C.37D.38

GG

解：由于￡=所以Z=0.8x0后，

U55~

依題意0.5=0.8x2）12牽。二,則上二0.8x（小，

88

<C?

由￡=0.8x（<0.2得（一廣<-,

8K4

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【二輪復(fù)習(xí)T學(xué)文化】

5-1G5

1g(^12<1g一,一1g-<-1g4,

58541285

12lg424lg2241g224根0.3010

lg8-lg531g2-(1-lg2)41g2-1<03010-1

所以所需的訓(xùn)練迭代輪數(shù)至少為36.

故選A

考向三以數(shù)學(xué)家為背景

【方法儲備】

數(shù)學(xué)歷史名題或者直接提供了相應(yīng)數(shù)學(xué)內(nèi)容的現(xiàn)實背景，或與深刻的數(shù)學(xué)內(nèi)容相結(jié)合，或者深刻揭示了實質(zhì)性的

數(shù)學(xué)思想，或者與經(jīng)典的解法相互關(guān)聯(lián)，以中外數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)的數(shù)學(xué)名題為背景命題，也是以數(shù)學(xué)文化為背景的高

考試題的一大特色.

【典例精講】

例3.(2023?山東省?期末考試)高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號.用他名

字定義的函數(shù)稱為高斯函數(shù)/(x)=[A],其中卜]表示不超過x的最大整數(shù).已知正項數(shù)列｛?！埃那皀項和為5,,

I/I>I

且S"=:+---，令，"■"■，則[a++...+]=()

2(arJ、-+、一,

A.7B.8C.17D.18

1(1)

解：當(dāng)”=1時，國=%=一|%+—|,

2(q)

解得%=1(負(fù)值舍去).

由4=S,2)

1(1)

可得S“WS,「KI，

1nn-\)

所以Sn+S“T=-1—,即席=1,

一>一1

所以數(shù)列｛s：｝是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列,

故巧=1+(〃-1)根1=n,即二《，

所以“=*=工7%弋GH

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__________________________________________【二敬習(xí)一ft學(xué)文化】

所以4+與+…+%="」+0一-萬+斤/+-+而7-屈）

=1(9+='d(9+

JlOI+J2)

3399

由11<\+尸<12知，—<~~一J<9

4J101+J2

69

所以-<“+&+…+49<9

X

故[4+b2+…+偽9]=8,

故選：B.

【拓展提升】

練3-1（2023?新疆維吾爾自治區(qū)?模擬題）數(shù)學(xué)家華羅庚倡導(dǎo)的“0.618優(yōu)選法”在各領(lǐng)域都應(yīng)用廣泛，0.618就是

黃金分割比加二生「的近似值，黃金分割比還可以表示成2sinl8。，則一；-------等于（）

22cos227。-1

A4BJ7+1C2D61

2

解s由題可知2sinl80=m=八二!,所以病二4sin180.

2

22

則m4-m_2sin18,4-4sin18o_2sinl80.2cosl8o_2sin36o

2cos227,-12cos227。-1cos54Ocos54O

練3-2.（2023?遼寧省?期末考試）康托（CQm"）是十九世紀(jì)末二十世紀(jì)初德國偉大的數(shù)學(xué)家，他創(chuàng)立的集合論奠定了

現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ).著名的“康托三分集”是數(shù)學(xué)理性思維的產(chǎn)物，具有典型的分形特征，其操作過程如下：將閉區(qū)

間［0,1］均分為三段，去掉中間的區(qū)間段（;，［）,當(dāng)記為第一次操作；再將剩下的兩個區(qū)間［0」］」［，1］分別均分

為三段，并各自去掉中間的區(qū)間段，記為第二次操作：…，如此這樣，每次在上一次操作的基礎(chǔ)上，將剩下的各

個區(qū)間分別均分為三段，同樣各自去掉中間的區(qū)間段.操作過程不斷地進(jìn)行下去，以至無窮，剩下的區(qū)間集合即是

“康托三分集”.若使“康托三分集”的各區(qū)間長度之和小于（，則需要操作的次數(shù)n的最小值為（參考數(shù)據(jù)：

1g2-0.3010,1g3-0.4771）（）

A.6B.8C.10D.12

解：第一次操作去掉區(qū)間長度為,;

3

12

第二次操作去掉兩個區(qū)間長度為［的區(qū)間，長度之和為3；

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【二輪復(fù)習(xí)一數(shù)學(xué)文化】

第三次操作去掉四個區(qū)間長度為行的區(qū)間，長度之和為方；

I2

第n次操作去掉2”T個區(qū)間長度為一的區(qū)間，長度之和為丁

3.3

122"T!口一號）"]

于是進(jìn)行n次操作后去掉的區(qū)間總長度為S,=3+9++亍=——2

I-——

3

所以嗚Y，

心74

所以lg2Ig3-lg2Ig3-lg2，

所以需要操作的次數(shù)n的最小值為8,

故選：B.

練3-3（2023?浙江省?期末考試）（多選）“曼哈頓距離”是十九世紀(jì)的赫爾曼?閔可夫斯基所創(chuàng)詞匯，用以標(biāo)明兩

個點在標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)系上的絕對軸距總和，其定義如下：在直角坐標(biāo)平面上任意兩點/（%,%）,8（%,%）的曼哈頓距

離=%一引+di-必，則下列結(jié)論正確的是（）

A.若點尸(2,4),。(一2,1),則d(尸,0)=7

B.若點M(-l,0),N(l,0),則在x軸上存在點P,使得d(尸,M)+d(尸,N)=1

C.若點〃（2,1）,點P在直線x—2歹+6=0上，則4（尸,〃）的最小值是3

D,若點M在圓f