求極限的方法

求極限的方法求極限的方法與技巧張道強(qiáng)隴東學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，甘肅慶陽745000【摘要】極限思想貫穿整個(gè)高等數(shù)學(xué)得課程之中，極限的求解方法是我們我們學(xué)習(xí)的難點(diǎn)之一，掌握求極限的思想與方法是學(xué)好微積分的前提條件，結(jié)合學(xué)習(xí)實(shí)際，本文對常用求極限的方法進(jìn)行了歸納和延伸?！娟P(guān)鍵詞】極限方法數(shù)列函數(shù)【abstract】limitthoughttohighermathematicscoursethroughouttheentire,limitsofsolvingmethodoflearningisouronedifficultyofmastertheideasandmethodsforlimitthepremiseconditionistodowellincalculus,combiningwithactual,thispaperistostudythemethodusedforlimitsaresummedupandextension.【keywords】limitmethodsequencefunction一：引言極限是數(shù)學(xué)重要概念。在數(shù)學(xué)中，所謂的極限就是如果某個(gè)變化的量無限的逼近一個(gè)確定的數(shù)值，那么該定值就叫做變化的量的極限。常用的求極限的方法有以下幾種：1.利用極限的四則運(yùn)算法則2.利用等價(jià)無窮小求極限3.利用夾逼準(zhǔn)則求極限4.利用兩個(gè)重要極限求極限5.利用函數(shù)的定義求極限6.利用洛比達(dá)法則求極限7.利用函數(shù)的連續(xù)性求極限8.利用導(dǎo)數(shù)的定義求極限9.利用單調(diào)有界求極限10.利用級(jí)數(shù)收斂的必要條件求極限本文對其中一些常用方法在具體應(yīng)用中進(jìn)行技巧上的完善，以及補(bǔ)充其他求極限的方法如：1.無窮大除分法2.利用逐項(xiàng)消去法求極限3利用遞推數(shù)列的通項(xiàng)求極限.二.預(yù)備知識(shí)1.利用極限四則運(yùn)算法則：若假設(shè)，及則有對和差積商形式的函數(shù)求極限，自然用四則運(yùn)算解：這是一個(gè)形如的函數(shù)求極限的問題，并且底數(shù)，指數(shù)，應(yīng)當(dāng)將這個(gè)極限與極限聯(lián)系起來，因?yàn)椋恍枰獙⒌讛?shù)改寫為：于是令，則得故===注1：使用它們求極限是最重要的是對所給的函數(shù)或輸了做適當(dāng)?shù)淖冃?，使之具有相?yīng)的形式。5．利用極限的定義求極限求極限：我們以函數(shù)極限定義為例，定義如下：定義：設(shè)為定義在上的函數(shù)，A為定數(shù)，若對任給的，存在正數(shù)M（）得當(dāng)時(shí)有:則稱函數(shù)當(dāng)時(shí)以A為極限，記作：例：證：任給由于等價(jià)于而此不等式的左半部分對任何都成立，所以只考慮，其右半部分的變化范圍，為此先限制則有：故對任給的正數(shù)只須取，則當(dāng)時(shí)便有上式成立，則原式得證。注1：利用函數(shù)極限的定義適用于極限的證明，而數(shù)列極限的定義比較適用于求簡單極限，如：當(dāng)時(shí)，無限趨近于2，則6.利用洛比達(dá)法則求極限洛必達(dá)法則為：假設(shè)當(dāng)自變量x趨近于某一定值（或無窮大）時(shí)，函數(shù)和滿足：（1）和的極限都是0或都是無窮大；（2）和都可導(dǎo)，且的導(dǎo)數(shù)不為0；（3）存在（或是無窮大），則極限也一定存在，且等于，即=。論文格式。利用洛必達(dá)法則求極限，由于分類明確，規(guī)律性強(qiáng)，且可連續(xù)進(jìn)行運(yùn)算，可以簡化一些較復(fù)雜的函數(shù)求極限的過程，但運(yùn)用時(shí)需注意條件。例14．求

解：原式＝7.利用函數(shù)的連續(xù)性求極限由函數(shù)f(x)在x0點(diǎn)連續(xù)定義知，，由于初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)處處連續(xù)，所以求初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)任意點(diǎn)處的極限值，只要求其函數(shù)在該點(diǎn)處的函數(shù)值,因此可直接代入計(jì)算。

例6．

解：因?yàn)槭呛瘮?shù)的一個(gè)連續(xù)點(diǎn)，

所以原式=。

8.利用導(dǎo)數(shù)的定義求極限

若函數(shù)f(x)在x0點(diǎn)可導(dǎo)，則，利用這個(gè)定義，若所求極限的函數(shù)具有函數(shù)導(dǎo)數(shù)的定義式或可化為導(dǎo)數(shù)的定義式，則可利用導(dǎo)數(shù)的定義求極限。

例1.===9..利用單調(diào)有界求極限單調(diào)有界原理：單調(diào)有界函數(shù)必有極限（在實(shí)數(shù)系中）例1: 數(shù)列的極限解：，為單調(diào)遞增數(shù)列有又，則的上界為1則注1：單調(diào)有界準(zhǔn)則是證明數(shù)列極限常用的準(zhǔn)則。10.利用級(jí)數(shù)收斂的必要條件求極限是級(jí)數(shù)收斂的必要條件求極限解：考慮級(jí)數(shù)，因?yàn)?==故級(jí)數(shù)收斂，從而=0三.主要內(nèi)容1無窮大除分法=注1：此法較適用于多項(xiàng)式的商例1.解：原式=2利用逐項(xiàng)消去法求極限例：解：因?yàn)?=.=因?yàn)?=注1：逐項(xiàng)消去法可以用來求（極限）數(shù)列的前項(xiàng)和無窮級(jí)數(shù)的和，也可以用來求有限項(xiàng)乘積和無限項(xiàng)乘積，操作時(shí)注意觀察，，逐項(xiàng)消去將復(fù)雜數(shù)列變?yōu)楹唵蔚臄?shù)列。3.利用遞推數(shù)列的通項(xiàng)求極限利用數(shù)列的數(shù)列的遞推公式求數(shù)列通項(xiàng)公式的方法很多，例如遞推法逐項(xiàng)相消法，代換法等，一旦求出數(shù)列通項(xiàng)，就可求的數(shù)列極限。例1設(shè)數(shù)列滿足且求解：由得則令則，故數(shù)列是首項(xiàng)為，得等差數(shù)列，