求解函數(shù)解析式的幾種常用方法

求解函數(shù)解析式的幾種常用方法5求解函數(shù)解析式的幾種常用方法高考要求求解函數(shù)解析式是高考重點(diǎn)考查內(nèi)容之一，需引起重視本節(jié)主要幫助考生在深刻理解函數(shù)定義的基礎(chǔ)上，掌握求函數(shù)解析式的幾種方法，并形成能力，并培養(yǎng)考生的創(chuàng)新能力和解決實(shí)際問題的能力重難點(diǎn)歸納求解函數(shù)解析式的幾種常用方法主要有1、換元法：已知的表達(dá)式，欲求，我們常設(shè)，從而求得，然后代入的表達(dá)式，從而得到的表達(dá)式，即為的表達(dá)式。2、待定系數(shù)法若已知的結(jié)構(gòu)時(shí)，可設(shè)出含參數(shù)的表達(dá)式，再根據(jù)已知條件，列方程或方程組，從而求出待定的參數(shù)，求得的表達(dá)式。3、湊配法若已知的表達(dá)式，欲求的表達(dá)式，用換元法有困難時(shí)，（如不存在反函數(shù)）可把看成一個(gè)整體，把右邊變?yōu)橛山M成的式子，再換元求出的式子。4、消元法若已知以函數(shù)為元的方程形式，若能設(shè)法構(gòu)造另一個(gè)方程，組成方程組，再解這個(gè)方程組，求出函數(shù)元，稱這個(gè)方法為消元法。5、賦值法在求某些函數(shù)的表達(dá)式或求某些函數(shù)值時(shí)，有時(shí)把已知條件中的某些變量賦值，使問題簡單明了，從而易于求出函數(shù)的表達(dá)式。另外，在解題過程中經(jīng)常用到分類討論、等價(jià)轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法典型題例示范講解1，1)的一段拋物線，試寫出函數(shù)f(x)的表達(dá)式，并在圖中作出其圖像命題意圖本題主要考查函數(shù)基本知識(shí)、拋物線、射線的基本概念及其圖像的作法，對(duì)分段函數(shù)的分析需要較強(qiáng)的思維能力因此，分段函數(shù)是今后高考的熱點(diǎn)題型知識(shí)依托函數(shù)的奇偶性是橋梁，分類討論是關(guān)鍵，待定系數(shù)求出曲線方程是主線錯(cuò)解分析本題對(duì)思維能力要求很高，分類討論、綜合運(yùn)用知識(shí)易發(fā)生混亂技巧與方法合理進(jìn)行分類，并運(yùn)用待定系數(shù)法求函數(shù)表達(dá)式解(1)當(dāng)x≤－1時(shí)，設(shè)f(x)=x+b∵射線過點(diǎn)(－2，0)∴0=－2+b即b=2，∴f(x)=x+2(2)當(dāng)－1<x<1時(shí)，設(shè)f(x)=ax2+2∵拋物線過點(diǎn)(－1，1)，∴1=a·(－1)2+2,即a=－1∴f(x)=－x2+2(3)當(dāng)x≥1時(shí)，f(x)=－x+2綜上可知f(x)=作圖由讀者來完成例8已知f(2－cosx)=cos2x+cosx,求f(x－1)解法一(換元法）∵f(2－cosx)=cos2x－cosx=2cos2x－cosx－1令u=2－cosx(1≤u≤3),則cosx=2－u∴f(2－cosx)=f(u)=2(2－u)2－(2－u)－1=2u2－7u+5(1≤u≤3)∴f(x－1)=2(x－1)2－7(x－1)+5=2x2－11x+4(2≤x≤4)解法二(配湊法）f(2－cosx)=2cos2x－cosx－1=2(2－cosx)2－7(2－cosx）+5∴f(x)=2x2－7x－5(1≤x≤3),即f(x－1)=2(x－1)2－7(x－1)+5=2x2－11x+14(2≤x≤4)學(xué)生鞏固練習(xí)1若函數(shù)f(x)=(x≠)在定義域內(nèi)恒有f［f(x)］=x,則m等于()A3 B C－ D－32設(shè)函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于直線x=1對(duì)稱，在x≤1時(shí)，f(x)=(x+1)2－1,則x>1時(shí)f(x)等于()Af(x)=(x+3)2－1 Bf(x)=(x－3)2－1Cf(x)=(x－3)2+1 Df(x)=(x－1)2－13已知f(x)+2f()=3x,求f(x)的解析式為_________4已知f(x)=ax2+bx+c,若f(0)=0且f(x+1)=f(x)+x+1,則f(x)=_________5設(shè)二次函數(shù)f(x)滿足f(x－2)=f(－x－2),且其圖像在y軸上的截距為1，在x軸上截得的線段長為，求f(x)的解析式6設(shè)f(x)是在(－∞,+∞)上以4為周期的函數(shù)，且f(x)是偶函數(shù)，在區(qū)間［2，3］上時(shí)，f(x)=－2(x－3)2+4，求當(dāng)x∈［1,2］時(shí)f(x)的解析式若矩形ABCD的兩個(gè)頂點(diǎn)A、B在x軸上，C、D在y=f(x)(0≤x≤2)的圖像上，求這個(gè)矩形面積的最大值7動(dòng)點(diǎn)P從邊長為1的正方形ABCD的頂點(diǎn)A出發(fā)順次經(jīng)過B、C、D再回到A，設(shè)x表示P點(diǎn)的行程，f(x)表示PA的長，g(x)表示△ABP的面積，求f(x)和g(x),并作出g(x)的簡圖8已知函數(shù)y=f(x)是定義在R上的周期函數(shù)，周期T=5，函數(shù)y=f(x)(－1≤x≤1)是奇函數(shù)，又知y=f(x)在［0，1］上是一次函數(shù)，在［1，4］上是二次函數(shù)，且在x=2時(shí)，函數(shù)取得最小值，最小值為－5(1)證明f(1)+f(4)=0;(2)試求y=f(x),x∈［1,4］的解析式；(3)試求y=f(x)在［4，9］上的解析式參考答案1解析∵f(x)=∴f［f(x)］==x,整理比較系數(shù)得m=3答案A2解析利用數(shù)形結(jié)合，x≤1時(shí)，f(x)=(x+1)2－1的對(duì)稱軸為x=－1,最小值為－1，又y=f(x)關(guān)于x=1對(duì)稱，故在x>1上，f(x)的對(duì)稱軸為x=3且最小值為－1答案B3解析由f(x)+2f()=3x知f()+2f(x)=3由上面兩式聯(lián)立消去f()可得f(x)=－x答案f(x)=－x4解析∵f(x)=ax2+bx+c,f(0)=0,可知c=0又f(x+1)=f(x)+x+1,∴a(x+1)2+b(x+1)+0=ax2+bx+x+1,即(2a+b）x+a+b=bx+x+1故2a+b=b+1且a+b=1,解得a=,b=,∴f(x)=x2+x答案x2+x5解利用待定系數(shù)法，設(shè)f(x)=ax2+bx+c,然后找關(guān)于a、b、c的方程組求解，f(x)=6解(1)設(shè)x∈［1,2］,則4－x∈［2,3］,∵f(x)是偶函數(shù)，∴f(x)=f(－x),又因?yàn)?是f(x)的周期，∴f(x)=f(－x)=f(4－x)=－2(x－1)2+4(2)設(shè)x∈［0，1］，則2≤x+2≤3,f(x)=f(x+2)=－2(x－1)2+4,又由(1）可知x∈［0,2］時(shí)，f(x)=－2(x－1)2+4,設(shè)A、B坐標(biāo)分別為(1－t,0）,(1+t,0)(0＜t≤1,則|AB|=2t,|AD|=－2t2+4,S矩形=2t(－2t2+4)=4t(2－t2),令S矩=S，∴=2t2(2－t2)·(2－t2)≤()3=,當(dāng)且僅當(dāng)2t2=2－t2,即t=時(shí)取等號(hào)∴S2≤即S≤,∴Smax=7解(1)如原題圖，當(dāng)P在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，PA=x;當(dāng)P點(diǎn)在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，由Rt△ABD可得PA=;當(dāng)P點(diǎn)在CD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，由Rt△ADP易得PA=;當(dāng)P點(diǎn)在DA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，PA=4－x,故f(x)的表達(dá)式為f(x)=(2)由于P點(diǎn)在折線ABCD上不同位置時(shí)，△ABP的形狀各有特征，計(jì)算它們的面積也有不同的方法，因此同樣必須對(duì)P點(diǎn)的位置進(jìn)行分類求解如原題圖，當(dāng)P在線段AB上時(shí)，△ABP的面積S=0；當(dāng)P在BC上時(shí)，即1＜x≤2時(shí)，S△ABP=AB·BP=(x－1）；當(dāng)P在CD上時(shí)，即2＜x≤3時(shí)，S△ABP=·1·1=；當(dāng)P在DA上時(shí)，即3＜x≤4時(shí)，S△ABP=(4－x)故g(x)=8(1)證明∵y=f(x)是以5為周期的周期函數(shù)，∴f(4)=f(4－5)=f(－1),又y=f(x)(－1≤x≤1)是奇函數(shù)，∴f(1)=－f(－1)=－f(4),∴f(1)+f(4)=0(2)解當(dāng)x∈［1,4］時(shí)，由題意，可設(shè)f(x)=a(x－2)2－5(a≠0),由f(1)+f(4)=0得a(1－2)2－5+a(4－2)2－5=0，解得a=2,∴f(x)=2(x－2)2－5(1≤x≤4)(3)解∵y=f(x)(－1≤x≤1)是奇函數(shù)，∴f(0)=－f(－0),∴f(0)=0,又y=f(x)(0≤x≤1)是一次函數(shù)，∴可設(shè)f(x)=kx(0≤x≤1),∵f(1)=2(1－2)2－