2024年初中數(shù)學升學考試復習-旋轉的性質

旋轉的性質

52.（2023?天津）如圖，把△48C以點Z為中心逆時針旋轉得到△/￡>￡,點比C的對應點分別是點。,

E,且點￡在的延長線上，連接AD,則下列結論一定正確的是（）

A.ZCAE=ABEDB.AB=AEC.ZACE=ZADED.CE=BD

【答案】A

【分析】由旋轉的性質可得N4BC=N/QE,ZBAD=ZCAE,由三角形內(nèi)角和定理可得N8￡Q=N

BAD=ZCAE.

【解答】解：如圖，設與3E的交點為。，

?.?把△4BC以點/為中心逆時針旋轉得到△ZQE,

/.ZABC=ZADE,ZBAD=ZCAE,

又：ZAOB=ZDOE,

：.ZBED=ZBAD=ZCAE,

故選：A.

【點評】本題考查了旋轉的性質，掌握旋轉的性質是解題的關鍵.

旋轉的性質

41.（2023?邵陽）如圖，在等邊三角形48c中，。為45上的一點，過點。作8C的平形線?！杲籒C

于點E,點尸是線段上的動點（點尸不與。、E重合）.將AZB尸繞點N逆時針方向旋轉60°,

得至U△/C。，連接￡。、PQ,PQ交4C于F.

（1）證明：在點尸的運動過程中，總有NP￡0=12O°.

（2）當會為何值時，^幺。F是直角三角形？

備用圖

【答案】（1）見解析過程;

(2)V3.

【分析】（1）由旋轉的性質可得以=。4ZR4Q=6Q°,通過證明點Z,點P,點￡,點。四點共

圓，可得/H。+/尸￡0=180°,即可得結論；

（2）由旋轉的性質可得NB4Q=60°,ZP=/。，由角的數(shù)量關系可求ND4尸=30°,ZAPD=9Q°,

即可求解.

【解答】（1）證明：,??將尸繞點幺逆時針方向旋轉60°,

：.PA=QA,ZR4Q=60°,

.??△NPQ是等邊三角形，

/.ZAQP=60°,

,JDE//BC,

：.ZAED=ZACB=60°,

ZAQP=ZAED,

??.點/，點尸，點￡,點。四點共圓,

.ZR4Q+ZPEQ=18Q°,

AZPEQ=120°；

(2)解：如圖,

根據(jù)題意：只有當N4F0=9O°時，成立，

?.,△480繞點Z逆時針方向旋轉60°,得到△NC0,

AZPAQ=60°,AP=AQ,

△4P0是等邊三角形，

AZPAQ=60°,

VZAFQ=90°,

/.ZB4F=ZQAF=30°,

???△48C是等邊三角形，

/.ZABC=ZBCA=ZCAB=60°,

,CDE//BC,

：.ZADP=ZABC=60°,

/.ZDAP=30°,ZAPD=90°,

tanZADP=tan60°——PD—V3.

【點評】本題考查了旋轉的性質，等邊三角形的判定和性質，銳角三角函數(shù)等知識，靈活運用這些性

質解決問題是解題的關鍵.

旋轉的性質

29.(2023?張家界)如圖，Z。為NA4c的平分線，且NR4C=50°,將四邊形480C繞點幺逆時針方

向旋轉后，得到四邊形45,O'C',且NCMC'=100°,則四邊形4BOC旋轉的角度是75°.

C'

A

O'

0

【答案】75°.

【分析】依據(jù)2。為NA4c的平分線可知，ZBAO=ZCAO^^ZBAC=25°,依據(jù)旋轉的性質可知N

CA0'=3=25°,旋轉角為NCM。'，AOAO'=ZOAC'-ZC'Z。'代入數(shù)據(jù)即可得解.

【解答】解：：幺。為NA4c的平分線，ZBAC=50°,

1

：./BAO=/CAO=/BAC=25°.

依據(jù)旋轉的性質可知NC'AO'=|=25°,旋轉角為NCM。'，

.".ZOAO1=ZOAC-ZCA0'=100°-25°=75°.

故答案為：75°.

【點評】本題考查了旋轉的性質，等腰三角形的性質，平行線的判定，菱形的判定，熟練運用旋轉的

性質是本題的關鍵.

旋轉的性質

28.（2023?綏化）已知等腰△NBC,ZA=12Q°,AB=2.現(xiàn)將△ZBC以點8為旋轉中心旋轉45°,得

到BC,延長C'A'交直線5c于點Q.則2,。的長度為4+2遮或4—2舊.

【答案】4+2力或4一2班.

【分析】分兩種情況：①當△48。繞點8逆時針旋轉45°得到△/'8C',過點8作于。，

作8。的垂直平分線交于X,交4。于R連接AF,先求出ND=15°,再求出4E=1,

BE=V3,進而得DF=BF=2g,EF=3,據(jù)此可求得4。的長；

②當△4BC繞點5順時針旋轉45°得到△/'BC,過點。作。河，4。于M作幺。的垂直平分線

尸。交48于0,先求出/48。=15°,設HW=x,則4D=2x,DM=后,進而可求得DQ=BQ=

2V3x,QM=3x,據(jù)此可求出x,進而可求得4。的長.

【解答】解：???將△4BC繞點8旋轉45°得到BC',

???有以下兩種情況：

①當△4BC繞點8逆時針旋轉45°得到BC,

過點8作于￡,作5。的垂直平分線HF交于H,交4D于F,連接8R

?.?△48C為等腰三角形，ZA=120°,AB=2,

：.ZBA'C=ZA=120°,A'B=AB=2,ZABC=30°,

:./DAB=60°,

由旋轉的性質得：ZA'BA=45°,

：.ZA'BC=ZA'BA+ZABC=15°,

又?:ZA'BC=ZDA'B+ZD,

即75°=60°+ZD=15°,

在中，ZDA'B=60°,A'B=2,

：.ZA'BE=30°,

.?.a/E^-2AB=1,

由勾股定理得：BE=yjA'B2-A'E2=瓜

■:HF為BD的垂直平分線，

：.DF=BF,

：.ZD=ZFBD=15°,

AZEFB=ZD+ZFBD=3Q°,

:.BF=2BE=2?故：DF=BF=2?

由勾股定理得：EF=VBF2-BE2=3,

：.A/。=ZE+EF+OF=4+2倔

②當△4BC繞點5順時針旋轉45°得到AHBC',

過點D作DMLA'D于M,作AD的垂直平分線PQ交A'B于Q,

由旋轉的性質得：ZABA'=45°,NBAC=N4=120°,A，B=AB=2,

：.ZA'BD=ZABA'-ZABC=15°,ZBA'D=60°,

'：DM±A'D,

：.ZA'DM=30°,

在Rt^/3河中，ZA'DM=3Q°,設HM=x,

則A'D=2A'M=2x,

由勾股定理得：DM=y/A'D2-A'M2=y/3x,

,:P。為BD的垂直平分線，

：.BQ=DQ,

：.ZA'BD=ZQDB=15°,

/DQM=ZA,BD+ZQDB=30°,

：.DQ=BQ=2DM=2限，

由勾股定理得：QM=y]QD2_DM2=3%,

"：A'M+QM+BQ=A'B,

'.x+3x+2-\/3x=2,

.".x—2—V3>

即a/D=2久=4-2V3.

綜上所述：A'。的長度為4+2百或4—2g.

故答案為：4+2百或4一2百.

【點評】此題主要考查了圖形的旋轉變換及性質，等腰三角形的性質，直角三角形的性質，勾股定理

等，解答此題的關鍵是理解題意，熟練掌握圖形的旋轉變換，理解在直角三角形中，30°的角所對的

直角邊等于斜邊的一半，分類討論是解答此題的難點，漏解是解答此題的易錯點之一.

29.(2023?綏化)如圖，△48C是邊長為6的等邊三角形，點E為高8。上的動點.連接CE,將CE繞

點C順時針旋轉60°得到CE.連接4F,EF,DF,則△CD9周長的最小值是3+3遮.

【答案】3+3療

【分析】分析已知，可證明得/CAF=/CBE=30。，可知點P在△Z5C外，使N

CAF=30°的射線Z尸上，根據(jù)將軍飲馬型，求得。尸+CF的最小值便可求得本題結果.

【解答】解：：AN5c是等邊三角形，

：.AC=BC=6,ZABC=ZBCA=60°,

VZECF=60°,

：.ZBCE=60°-ZECA=ZACF,

"：CE=CF,

:.ABCEmAACF(S4S),

：.ZCAF=ZCBE,

,.,△4BC是等邊三角形，8。是高，

11

：.ZCBE^-ZABC=3Q°,CD^-AC=3,

22

過。點作CGL4F,交AF的延長線于點G,延長CG到H,使得GH=CG,連接NX,DH,DH與

ZG交于點/,連接C/,FH,

則N/CG=60°,CG=GH=/C=3,

：.CH=AC=6,

：.CH為等邊三角形，

：.DH=CD*tan60°=343,

AG垂直平分CH,

：.CI=HI,CF=FH,

：.CI+DI=HI+DI=DH=3V3,

CF+DF=HF+DF^DH,

當/與/重合時，即。、F、X三點共線時，CF+D9的值最小為：CF+DF=DH=3?

：.ACDF的周長的最小值為3+3V3.

故答案為：3+3同

【點評】本題主要考查了等邊三角形的性質，旋轉的性質，全等三角形的性質與判定，將軍飲馬的應

用，關鍵在于證明三角形全等確定E點運動軌跡.

30.（2023?黑龍江）如圖，在中，ZBAC=30°,C5=2,點E是斜邊25的中點，把Rt/XZBC

繞點Z順時針旋轉，得RtZXZFO,點C,點8旋轉后的對應點分別是點。，點R連接CF,EF,

CE,在旋轉的過程中，△（7￡/面積的最大值是4+舊.

【答案】4+V3.

【分析】線段CE為定值，點尸到CE距離最大時，△CEE的面積最大，畫出圖形，即可求出答案.

【解答】解：?；線段CE為定值,

點F到CE的距離最大時，ACEF的面積有最大值.

在中，ZBAC=30°,E是幺5的中點，

：.AB=2BC=4,CE=AE=UB=2,AC=AB*COS30°=2^3,

2

：.ZECA=ZBAC=30°,

過點A作AGLCE交CE的延長線于點G,

：.AG^-AC^V3,

2

:點尸的在以Z為圓心，48長為半徑的圓上，

：.AF=AB=4,

...點F到CE的距離最大值為4+V3,

SACEF=|CE-(4+V3)—4+V3,

故答案為：4+V3.

【點評】本題主要考查了旋轉的性質，特殊直角三角形的性質，點的運動軌跡等知識，采取動靜互換,

畫出的面積最大時的圖形是解題的關鍵.

旋轉的性質

48.（2023?聊城）如圖，已知等腰直角△Z5C,NZC5=90°,幺8=奩，點C是矩形ECG/與△NBC的

公共頂點，且CE=1,CG=3；點。是C5延長線上一點，且CD=2.連接5G,DF,在矩形ECGE

繞點C按順時針方向旋轉一周的過程中，當線段8G達到最長和最短時，線段。/對應的長度分別為

m和n,則以的值為（）

n

A.2B.3C.V10D.V13

【答案】D

【分析】當點G在線段8c的延長線時時，G5有最大值，由勾股定理可求此時G尸的長，當點G在

線段CB的延長線上時，G5有最小值，由勾股定理可求此時GP的長，即可求解.

【解答】解：在等腰直角△NBC,ZACB=90°,AB=也,

：.AC=BC=1,

在XBCG中，CG-BC<BG<CG+BC,

即2<BG<4,

如圖，當點G在線段5c的延長線時時，G3有最大值，

：.DG=DC+CG=5,GF=1,

DF—y/DG2+GF2=V25+1=V26—m,

當點G在線段CB的延長線上時，G8有最小值,

：.DG=CG-DC=\,FG=\,

DF—y）FG2+DG2—V1+1—V2—n,

/.-n=V13,

故選：D.

【點評】本題考查了旋轉的性質，勾股定理，矩形的性質，勾股定理等知識，確定5G最長和最短時

的位置是解題的關鍵.

旋轉的性質

47.（2023?荷澤）如圖，點E是正方形4BCD內(nèi)的一點，將繞點5按順時針方向旋轉90°,得

到△C8R若/4BE=55°,則N￡GC=80度.

【答案】80.

【分析】先根據(jù)正方形的性質可得NZ5C=90°,從而可得NE8C=35°,然后根據(jù)旋轉的性質可得:

BE=BF,/EBF=90：從而可得NBEF=NBEE=45°,最后利用三角形的外角性質進行計算，即

可解答.

【解答】解：?.?四邊形Z5CD是正方形,

AZABC=90°,

VZABE=55°,

ZEBC=ZABC-ZABE=35°,

由旋轉得：BE=BF,ZEBF=90°,

AZBEF=ZBFE=45°,

<?,ZEGC是ABEG的一個外角，

/.ZEGC=ZBEF+ZEBC=80°,

故答案為：80.

【點評】本題考查了旋轉的性質，正方形的性質，熟練掌握旋轉的性質，以及正方形的性質是解題的

關鍵.

旋轉的性質

51.（2023?宜賓）如圖，△48C和是以點/為直角頂點的等腰直角三角形，把△NDE以Z為中

心順時針旋轉，點/為射線AD、CE的交點.若AB=W,AD=1.以下結論：①BD=CE；②BDL

CE-,③當點E在氏4的延長線上時，MC=萼；④在旋轉過程中，當線段"3最短時，的面

積為點其中正確結論有（）

BC

A.1個B.2個C.3個D.4個

【考點】旋轉的性質；垂線段最短；全等三角形的判定與性質；等腰直角三角形.

【分析】證明△氏4。等可判斷①，由三角形的外角的性質可判斷②，證明NQCA/SNECZ,有

篝=專1,即可判斷③；以Z為圓心，4D為半徑畫圓，當CE在OZ的下方與OZ相切時，"3的值

最小，可得四邊形是正方形，在RtZU/BC中，MC=7BC2—MB2=遮+1,然后根據(jù)三角

形的面積公式可判斷④.

【解答】解：???△48C和是以點Z為直角頂點的等腰直角三角形，

：.BA=CA,DA=EA,ZBAC=ZDAE=90°,

/.ZBAD=ZCAE,

:.△BAD2LCAE(SAS),

：.BD=CE,ZABD=ZACE,故①正確；

設/ABD=/ACE=x,ZDBC=45°-x,

：.ZEMB=ZDBC+ZBCM=ZDBC+ZBCA+ZACE=45°-x+45°+x=90°,

:.BDLCE,故②正確；

當點E在氏4的延長線上時，如圖：

同理可得NQMC=90°,

/.ZDMC=ZEAC,

"：ZDCM=ZECA,

：./DCMs^ECA

.MC_CD

AC~EC9

'：AB=V3^AC,AD=1=AE,

：.CDAC-AD^^3-1,CE=yjAE2+AC2=2,

?MC_V3-1

,飛二~r，

.?.MC=萼，故③正確；

④以/為圓心，為半徑畫圓，如圖:

VZBMC=9Q°,

??.當CE在ON的下方與ON相切時，"3的值最小，

ZADM=ZDME=ZAEM=9Q°,

,:AE=AD,

???四邊形AEMD是正方形，

：?MD=AE=1,

,:BD=7AB2-AD?=J（a2—了=瓶

CE=BD=V2,BM=BD-MD=V2-1,

MC=CE+ME=V2+1,

,:BC=舊B=V6,

:.MB=^BC2-MC2=J（V6）2-（V2-l）2=V2+1,