2024年初中數(shù)學(xué)升學(xué)考試復(fù)習(xí)-旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

52.（2023?天津）如圖，把△48C以點(diǎn)Z為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△/￡>￡,點(diǎn)比C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)。,

E,且點(diǎn)￡在的延長(zhǎng)線上，連接AD,則下列結(jié)論一定正確的是（）

A.ZCAE=ABEDB.AB=AEC.ZACE=ZADED.CE=BD

【答案】A

【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得N4BC=N/QE,ZBAD=ZCAE,由三角形內(nèi)角和定理可得N8￡Q=N

BAD=ZCAE.

【解答】解：如圖，設(shè)與3E的交點(diǎn)為。，

?.?把△4BC以點(diǎn)/為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△ZQE,

/.ZABC=ZADE,ZBAD=ZCAE,

又：ZAOB=ZDOE,

：.ZBED=ZBAD=ZCAE,

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

41.（2023?邵陽(yáng)）如圖，在等邊三角形48c中，。為45上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)。作8C的平形線?！杲籒C

于點(diǎn)E,點(diǎn)尸是線段上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)尸不與。、E重合）.將AZB尸繞點(diǎn)N逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°,

得至U△/C。，連接￡。、PQ,PQ交4C于F.

（1）證明：在點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，總有NP￡0=12O°.

（2）當(dāng)會(huì)為何值時(shí)，^幺。F是直角三角形？

備用圖

【答案】（1）見(jiàn)解析過(guò)程;

(2)V3.

【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得以=。4ZR4Q=6Q°,通過(guò)證明點(diǎn)Z,點(diǎn)P,點(diǎn)￡,點(diǎn)。四點(diǎn)共

圓，可得/H。+/尸￡0=180°,即可得結(jié)論；

（2）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得NB4Q=60°,ZP=/。，由角的數(shù)量關(guān)系可求ND4尸=30°,ZAPD=9Q°,

即可求解.

【解答】（1）證明：,??將尸繞點(diǎn)幺逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°,

：.PA=QA,ZR4Q=60°,

.??△NPQ是等邊三角形，

/.ZAQP=60°,

,JDE//BC,

：.ZAED=ZACB=60°,

ZAQP=ZAED,

??.點(diǎn)/，點(diǎn)尸，點(diǎn)￡,點(diǎn)。四點(diǎn)共圓,

.ZR4Q+ZPEQ=18Q°,

AZPEQ=120°；

(2)解：如圖,

根據(jù)題意：只有當(dāng)N4F0=9O°時(shí)，成立，

?.,△480繞點(diǎn)Z逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°,得到△NC0,

AZPAQ=60°,AP=AQ,

△4P0是等邊三角形，

AZPAQ=60°,

VZAFQ=90°,

/.ZB4F=ZQAF=30°,

???△48C是等邊三角形，

/.ZABC=ZBCA=ZCAB=60°,

,CDE//BC,

：.ZADP=ZABC=60°,

/.ZDAP=30°,ZAPD=90°,

tanZADP=tan60°——PD—V3.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)等知識(shí)，靈活運(yùn)用這些性

質(zhì)解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵.

旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

29.(2023?張家界)如圖，Z。為NA4c的平分線，且NR4C=50°,將四邊形480C繞點(diǎn)幺逆時(shí)針?lè)?/p>

向旋轉(zhuǎn)后，得到四邊形45,O'C',且NCMC'=100°,則四邊形4BOC旋轉(zhuǎn)的角度是75°.

C'

A

O'

0

【答案】75°.

【分析】依據(jù)2。為NA4c的平分線可知，ZBAO=ZCAO^^ZBAC=25°,依據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知N

CA0'=3=25°,旋轉(zhuǎn)角為NCM。'，AOAO'=ZOAC'-ZC'Z。'代入數(shù)據(jù)即可得解.

【解答】解：：幺。為NA4c的平分線，ZBAC=50°,

1

：./BAO=/CAO=/BAC=25°.

依據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知NC'AO'=|=25°,旋轉(zhuǎn)角為NCM。'，

.".ZOAO1=ZOAC-ZCA0'=100°-25°=75°.

故答案為：75°.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的判定，菱形的判定，熟練運(yùn)用旋轉(zhuǎn)的

性質(zhì)是本題的關(guān)鍵.

旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

28.（2023?綏化）已知等腰△NBC,ZA=12Q°,AB=2.現(xiàn)將△ZBC以點(diǎn)8為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)45°,得

到BC,延長(zhǎng)C'A'交直線5c于點(diǎn)Q.則2,。的長(zhǎng)度為4+2遮或4—2舊.

【答案】4+2力或4一2班.

【分析】分兩種情況：①當(dāng)△48。繞點(diǎn)8逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得到△/'8C',過(guò)點(diǎn)8作于。，

作8。的垂直平分線交于X,交4。于R連接AF,先求出ND=15°,再求出4E=1,

BE=V3,進(jìn)而得DF=BF=2g,EF=3,據(jù)此可求得4。的長(zhǎng)；

②當(dāng)△4BC繞點(diǎn)5順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得到△/'BC,過(guò)點(diǎn)。作。河，4。于M作幺。的垂直平分線

尸。交48于0,先求出/48。=15°,設(shè)HW=x,則4D=2x,DM=后,進(jìn)而可求得DQ=BQ=

2V3x,QM=3x,據(jù)此可求出x,進(jìn)而可求得4。的長(zhǎng).

【解答】解：???將△4BC繞點(diǎn)8旋轉(zhuǎn)45°得到BC',

???有以下兩種情況：

①當(dāng)△4BC繞點(diǎn)8逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得到BC,

過(guò)點(diǎn)8作于￡,作5。的垂直平分線HF交于H,交4D于F,連接8R

?.?△48C為等腰三角形，ZA=120°,AB=2,

：.ZBA'C=ZA=120°,A'B=AB=2,ZABC=30°,

:./DAB=60°,

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：ZA'BA=45°,

：.ZA'BC=ZA'BA+ZABC=15°,

又?:ZA'BC=ZDA'B+ZD,

即75°=60°+ZD=15°,

在中，ZDA'B=60°,A'B=2,

：.ZA'BE=30°,

.?.a/E^-2AB=1,

由勾股定理得：BE=yjA'B2-A'E2=瓜

■:HF為BD的垂直平分線，

：.DF=BF,

：.ZD=ZFBD=15°,

AZEFB=ZD+ZFBD=3Q°,

:.BF=2BE=2?故：DF=BF=2?

由勾股定理得：EF=VBF2-BE2=3,

：.A/。=ZE+EF+OF=4+2倔

②當(dāng)△4BC繞點(diǎn)5順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得到AHBC',

過(guò)點(diǎn)D作DMLA'D于M,作AD的垂直平分線PQ交A'B于Q,

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：ZABA'=45°,NBAC=N4=120°,A，B=AB=2,

：.ZA'BD=ZABA'-ZABC=15°,ZBA'D=60°,

'：DM±A'D,

：.ZA'DM=30°,

在Rt^/3河中，ZA'DM=3Q°,設(shè)HM=x,

則A'D=2A'M=2x,

由勾股定理得：DM=y/A'D2-A'M2=y/3x,

,:P。為BD的垂直平分線，

：.BQ=DQ,

：.ZA'BD=ZQDB=15°,

/DQM=ZA,BD+ZQDB=30°,

：.DQ=BQ=2DM=2限，

由勾股定理得：QM=y]QD2_DM2=3%,

"：A'M+QM+BQ=A'B,

'.x+3x+2-\/3x=2,

.".x—2—V3>

即a/D=2久=4-2V3.

綜上所述：A'。的長(zhǎng)度為4+2百或4—2g.

故答案為：4+2百或4一2百.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了圖形的旋轉(zhuǎn)變換及性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理

等，解答此題的關(guān)鍵是理解題意，熟練掌握?qǐng)D形的旋轉(zhuǎn)變換，理解在直角三角形中，30°的角所對(duì)的

直角邊等于斜邊的一半，分類討論是解答此題的難點(diǎn)，漏解是解答此題的易錯(cuò)點(diǎn)之一.

29.(2023?綏化)如圖，△48C是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，點(diǎn)E為高8。上的動(dòng)點(diǎn).連接CE,將CE繞

點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到CE.連接4F,EF,DF,則△CD9周長(zhǎng)的最小值是3+3遮.

【答案】3+3療

【分析】分析已知，可證明得/CAF=/CBE=30。，可知點(diǎn)P在△Z5C外，使N

CAF=30°的射線Z尸上，根據(jù)將軍飲馬型，求得。尸+CF的最小值便可求得本題結(jié)果.

【解答】解：：AN5c是等邊三角形，

：.AC=BC=6,ZABC=ZBCA=60°,

VZECF=60°,

：.ZBCE=60°-ZECA=ZACF,

"：CE=CF,

:.ABCEmAACF(S4S),

：.ZCAF=ZCBE,

,.,△4BC是等邊三角形，8。是高，

11

：.ZCBE^-ZABC=3Q°,CD^-AC=3,

22

過(guò)。點(diǎn)作CGL4F,交AF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,延長(zhǎng)CG到H,使得GH=CG,連接NX,DH,DH與

ZG交于點(diǎn)/,連接C/,FH,

則N/CG=60°,CG=GH=/C=3,

：.CH=AC=6,

：.CH為等邊三角形，

：.DH=CD*tan60°=343,

AG垂直平分CH,

：.CI=HI,CF=FH,

：.CI+DI=HI+DI=DH=3V3,

CF+DF=HF+DF^DH,

當(dāng)/與/重合時(shí)，即。、F、X三點(diǎn)共線時(shí)，CF+D9的值最小為：CF+DF=DH=3?

：.ACDF的周長(zhǎng)的最小值為3+3V3.

故答案為：3+3同

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，將軍飲馬的應(yīng)

用，關(guān)鍵在于證明三角形全等確定E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡.

30.（2023?黑龍江）如圖，在中，ZBAC=30°,C5=2,點(diǎn)E是斜邊25的中點(diǎn)，把Rt/XZBC

繞點(diǎn)Z順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得RtZXZFO,點(diǎn)C,點(diǎn)8旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)。，點(diǎn)R連接CF,EF,

CE,在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，△（7￡/面積的最大值是4+舊.

【答案】4+V3.

【分析】線段CE為定值，點(diǎn)尸到CE距離最大時(shí)，△CEE的面積最大，畫(huà)出圖形，即可求出答案.

【解答】解：?；線段CE為定值,

點(diǎn)F到CE的距離最大時(shí)，ACEF的面積有最大值.

在中，ZBAC=30°,E是幺5的中點(diǎn)，

：.AB=2BC=4,CE=AE=UB=2,AC=AB*COS30°=2^3,

2

：.ZECA=ZBAC=30°,

過(guò)點(diǎn)A作AGLCE交CE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,

：.AG^-AC^V3,

2

:點(diǎn)尸的在以Z為圓心，48長(zhǎng)為半徑的圓上，

：.AF=AB=4,

...點(diǎn)F到CE的距離最大值為4+V3,

SACEF=|CE-(4+V3)—4+V3,

故答案為：4+V3.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，特殊直角三角形的性質(zhì)，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡等知識(shí)，采取動(dòng)靜互換,

畫(huà)出的面積最大時(shí)的圖形是解題的關(guān)鍵.

旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

48.（2023?聊城）如圖，已知等腰直角△Z5C,NZC5=90°,幺8=奩，點(diǎn)C是矩形ECG/與△NBC的

公共頂點(diǎn)，且CE=1,CG=3；點(diǎn)。是C5延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且CD=2.連接5G,DF,在矩形ECGE

繞點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一周的過(guò)程中，當(dāng)線段8G達(dá)到最長(zhǎng)和最短時(shí)，線段。/對(duì)應(yīng)的長(zhǎng)度分別為

m和n,則以的值為（）

n

A.2B.3C.V10D.V13

【答案】D

【分析】當(dāng)點(diǎn)G在線段8c的延長(zhǎng)線時(shí)時(shí)，G5有最大值，由勾股定理可求此時(shí)G尸的長(zhǎng)，當(dāng)點(diǎn)G在

線段CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，G5有最小值，由勾股定理可求此時(shí)GP的長(zhǎng)，即可求解.

【解答】解：在等腰直角△NBC,ZACB=90°,AB=也,

：.AC=BC=1,

在XBCG中，CG-BC<BG<CG+BC,

即2<BG<4,

如圖，當(dāng)點(diǎn)G在線段5c的延長(zhǎng)線時(shí)時(shí)，G3有最大值，

：.DG=DC+CG=5,GF=1,

DF—y/DG2+GF2=V25+1=V26—m,

當(dāng)點(diǎn)G在線段CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，G8有最小值,

：.DG=CG-DC=\,FG=\,

DF—y）FG2+DG2—V1+1—V2—n,

/.-n=V13,

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，矩形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，確定5G最長(zhǎng)和最短時(shí)

的位置是解題的關(guān)鍵.

旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

47.（2023?荷澤）如圖，點(diǎn)E是正方形4BCD內(nèi)的一點(diǎn)，將繞點(diǎn)5按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°,得

到△C8R若/4BE=55°,則N￡GC=80度.

【答案】80.

【分析】先根據(jù)正方形的性質(zhì)可得NZ5C=90°,從而可得NE8C=35°,然后根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得:

BE=BF,/EBF=90：從而可得NBEF=NBEE=45°,最后利用三角形的外角性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算，即

可解答.

【解答】解：?.?四邊形Z5CD是正方形,

AZABC=90°,

VZABE=55°,

ZEBC=ZABC-ZABE=35°,

由旋轉(zhuǎn)得：BE=BF,ZEBF=90°,

AZBEF=ZBFE=45°,

<?,ZEGC是ABEG的一個(gè)外角，

/.ZEGC=ZBEF+ZEBC=80°,

故答案為：80.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，以及正方形的性質(zhì)是解題的

關(guān)鍵.

旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

51.（2023?宜賓）如圖，△48C和是以點(diǎn)/為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，把△NDE以Z為中

心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)/為射線AD、CE的交點(diǎn).若AB=W,AD=1.以下結(jié)論：①BD=CE；②BDL

CE-,③當(dāng)點(diǎn)E在氏4的延長(zhǎng)線上時(shí)，MC=萼；④在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)線段"3最短時(shí)，的面

積為點(diǎn)其中正確結(jié)論有（）

BC

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【考點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；垂線段最短；全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形.

【分析】證明△氏4。等可判斷①，由三角形的外角的性質(zhì)可判斷②，證明NQCA/SNECZ,有

篝=專1,即可判斷③；以Z為圓心，4D為半徑畫(huà)圓，當(dāng)CE在OZ的下方與OZ相切時(shí)，"3的值

最小，可得四邊形是正方形，在RtZU/BC中，MC=7BC2—MB2=遮+1,然后根據(jù)三角

形的面積公式可判斷④.

【解答】解：???△48C和是以點(diǎn)Z為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，

：.BA=CA,DA=EA,ZBAC=ZDAE=90°,

/.ZBAD=ZCAE,

:.△BAD2LCAE(SAS),

：.BD=CE,ZABD=ZACE,故①正確；

設(shè)/ABD=/ACE=x,ZDBC=45°-x,

：.ZEMB=ZDBC+ZBCM=ZDBC+ZBCA+ZACE=45°-x+45°+x=90°,

:.BDLCE,故②正確；

當(dāng)點(diǎn)E在氏4的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖：

同理可得NQMC=90°,

/.ZDMC=ZEAC,

"：ZDCM=ZECA,

：./DCMs^ECA

.MC_CD

AC~EC9

'：AB=V3^AC,AD=1=AE,

：.CDAC-AD^^3-1,CE=yjAE2+AC2=2,

?MC_V3-1

,飛二~r，

.?.MC=萼，故③正確；

④以/為圓心，為半徑畫(huà)圓，如圖:

VZBMC=9Q°,

??.當(dāng)CE在ON的下方與ON相切時(shí)，"3的值最小，

ZADM=ZDME=ZAEM=9Q°,

,:AE=AD,

???四邊形AEMD是正方形，

：?MD=AE=1,

,:BD=7AB2-AD?=J（a2—了=瓶

CE=BD=V2,BM=BD-MD=V2-1,

MC=CE+ME=V2+1,

,:BC=舊B=V6,

:.MB=^BC2-MC2=J（V6）2-（V2-l）2=V2+1,