2024年高考模擬數(shù)學(xué)試卷6（新高考Ⅱ卷專用）（解析版）

備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)模擬卷06(新高考II卷專用)

第I卷(選擇題)

一、單項(xiàng)選擇題

1.已知集合4=｛%|^<0j,B=｛y\y=｝,則AClB=()

A.(0,2]B.[2,4]C.[0,4]D.(0,4]

K答案XD

K解析U因?yàn)閍=卜I?<0j=｛x|0<x<4],B=｛y\y=V%-2｝=(y\y>0],

所以2CB=(0,4].

故選：D.

2.已知復(fù)數(shù)z滿足|z-i|=|z|,則|z|的最小值為()

117

A.iB.-C.;D.1

K答案工B

K解析X設(shè)2=x+yi(x,yeR),

由|z—i|=|z|得：|x+(y—l)i|=|x+yi|,.?.x2+(y—l)2=x2+y2,

整理可得：y=i,/.z=x+1i,

|z|=Jx2+j>|(當(dāng)且僅當(dāng)X=0時(shí)取等號(hào))，|z|的最小值為

故選：B.

3.已知數(shù)列｛aj滿足：對(duì)任意的neN*,總存在meN*,使得&=am,則稱為“回旋

數(shù)列”.以下結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)是()

①若斯=2023n,則｛斯｝為“回旋數(shù)列”；

②設(shè)｛an｝為等比數(shù)列，且公比q為有理數(shù)，則｛即｝為“回旋數(shù)列”；

③設(shè)｛斯｝為等差數(shù)列，當(dāng)?shù)?1,d<0時(shí),若｛%J為“回旋數(shù)列”,則d=—1；

④若｛an｝為“回旋數(shù)列”，則對(duì)任意neN*,總存在meN*,使得廝=5..

A.1B.2C.3D.4

[答案』B

K解析X①由an=2023n可得Sn=2023(1+2+3+…+n)=2023X吟山，

由Sn=am可得2023X叢羅=2023m,取m=^羅即可，則｛a"為“回旋數(shù)列"，故①正確;

②當(dāng)q=l時(shí)，Sn=nat,am=at,

由Sn=am可得na】=a;故當(dāng)n=2時(shí)，很明顯na1=a］不成立，故｛a"不是"回旋數(shù)列，②

錯(cuò)誤”；

n

③｛an｝是等差數(shù)列，故am=1+(m-l)d,Sn=n+d,

因?yàn)閿?shù)列｛an｝是“回旋數(shù)列"，所以l+(m—l)d=n+/0d,即皿=等+的羅+乙

其中的嚴(yán)為非負(fù)整數(shù)，所以要保證等恒為整數(shù)，

2d

故d為所有非負(fù)整數(shù)的公約數(shù)，且d<0,所以d=-1,故③正確；

④由①可得當(dāng)an=2023n時(shí)，｛aQ為“回旋數(shù)列”，

m(I+1)

取a2=2023x2,Sm=2023X^,顯然不存在m,使得Sm=a2=2023x2,故④錯(cuò)誤

故選：B

4.已知平面向量出b,1滿足次=(2,1),b=(1,2),且日12若31=3V2,貝［成=<)

A.V10B.2V5C.5V2D.3亞

(答案』A

a-c=2x+y=0fx=-V2

K解析U設(shè)不=(x,y),則

b-c=x+2y=3V2[y=2企

所以口=代+y2=V2T8=V10.

故選:A

5.三位同學(xué)參加某項(xiàng)體育測(cè)試，每人要從100m跑、引體向上、跳遠(yuǎn)、鉛球四個(gè)項(xiàng)目中選出

兩個(gè)項(xiàng)目參加測(cè)試，則有且僅有兩人選擇的項(xiàng)目完全相同的概率是()

A.—B.-C.—D.—

1231212

(答案》C

k解析》三個(gè)同學(xué)選擇兩個(gè)項(xiàng)目的試驗(yàn)的基本事件數(shù)有(Cj)3個(gè)，它們等可能，

有且僅有兩人選擇的項(xiàng)目完全相同的事件A含有的基本事件數(shù)有-1)個(gè)，

所以有且僅有兩人選擇的項(xiàng)目完全相同的概率P(A)=省籌&=

故選：C

6.己知a為第三象限角，若tana=3,貝l］sin(a—弓)=()

(答案IA

K解析U由已知可得tana="^=3,所以sina=3cosa.

cosa

又si/a+cos2a=1,所以lOcos2a=1,解得cosa=±嚕.

又a為第三象限角,

V10.c3^10

所以,cosa=----，sina=3cosa=-----.

ioio

ina-.71,.713V10\[2V10y/22V5

所以,sin(?)=sin(a+：)=sinacos-+cosasin-=------X---------X—=------.

441021025

故選:A.

7.如圖1所示，宮燈又稱宮廷花燈，是中國(guó)彩燈中富有特色的漢民族傳統(tǒng)手工藝品之一.圖

2是小明為自家設(shè)計(jì)的一個(gè)花燈的直觀圖，該花燈由上面的正六棱臺(tái)與下面的正六棱柱組成,

若正六棱臺(tái)的上、下兩個(gè)底面的邊長(zhǎng)分別為4dm和2dm,正六棱臺(tái)與正六棱柱的高分別為1dm

和6dm,則該花燈的表面積為（）

A.(108+30V3)dm2B.(72+30V3)dm2

C.(64+24V3)dm2D.(48+24V3)dm2

[答案XA

k解析U正六棱柱的六個(gè)側(cè)面面積之和為2x6x6=72dm2,

正六棱柱的底面面積為"x22x6=6V3dm2,

4

如圖所示,正六棱臺(tái)ABCDEF-AiBigDiEiFi中，=2dm,AB=4dm,

過(guò)點(diǎn)A1,Bi，J,Di，Ei，F(xiàn)i分別作A/2,B1B2,gC2,D。2,E1E2,F#2垂直于底面ABCDEF于點(diǎn)

A?,B2,C2,D2,E2,F2,

連接AD,BE,CF相交于點(diǎn)0,貝必2,B2,C2,D2,E2,F2分別為0A,0B,0C,0D,0E,OF的中點(diǎn),

過(guò)點(diǎn)A?作A?G，AB于點(diǎn)G,連接A]G,貝必修為正六棱臺(tái)的斜高，

其中A/2=ldm,AG=AB-jBz=idm,AA2=|A0=2dm,

2

由勾股定理得A2G=JA2A2—AG?=V3dm,故A1G=7A2G+AtA^=2dm,

所以正六棱臺(tái)的斜高為2dm,

又正六棱臺(tái)的下底面面積為￥x42x6=24V3dm2,

所以該花燈的表面積為72+6V3+36+24V3=108+30V3(dm2).

故選：A.

8.己知定義在(—2,2)上的函數(shù)/(x)滿足/⑺+e4%/(-x)=0,且/(I)=e2,尸⑺為/(%)的

導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)x6[0,2)時(shí),f'(x)>2/(x),則不等式e2xf(2-%)<e4的解集為()

A.(l,+oo)B.(1,2)C.(0,1)D.(1,4)

(答案》D

K解析》設(shè)g(x)=^,2<x<2,

g(x)+g(_x)=詈+合=&[f(x)+e4xf(-x)]=0,

所以g(x)是奇函數(shù).

當(dāng)xe[0,2)時(shí),fr(x)>2f(x),

則g，(x)=f'(x>：](x).2冷=>0,

所以g(x)在[0,2)上單調(diào)遞增，則g(x)在(-2,2)上單調(diào)遞增,

不等式e2xf(2—x)<即竽要<1=畔，

e氣一"鏟

所以「2<2：X<2=I<X<4,

所以不等式e2xf(2-x)<e4的解集為(1,4).

故選：D

二、多項(xiàng)選擇題

9.已知函數(shù)/(久)=sin(3x+0)(3>0,\(p\<§的最小正周期是7i,把它圖象向右平移g個(gè)單

位后得到的圖象所對(duì)應(yīng)的函數(shù)為奇函數(shù)，下列正確的是()

A.函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線％=浮寸稱B.函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)信,0)對(duì)稱

C.函數(shù)/(久)在區(qū)間［-”總上單調(diào)遞減D.函數(shù)f(x)在用上有3個(gè)零點(diǎn)

K答案』AC

K解析X因?yàn)楹瘮?shù)Kx)=sin(3x+(p)(3>0,|cp|<§的最小正周期是兀,所以3=午=2,

則f(x)=sin(2x+cp),

把它圖象向右平移g個(gè)單位后得到的圖象所對(duì)應(yīng)的函數(shù)為y=sin(2x+(p-y),

因?yàn)閥=sin9x+cp—亨)為奇函數(shù),所以(p—^=kTi,kGZ,即(p=g+kmkGZ,

因?yàn)樗詋=-l,年=一泉所以f(x)=sin卜x*),

對(duì)于A,f(g)=sin(2x工一3=1,所以函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=*寸稱，故A正確；

對(duì)于B，，偌)=sin(2x^-9=sin(—》=—)3

所以函數(shù)f(x)的圖象不關(guān)于點(diǎn)(卷,0)對(duì)稱，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,當(dāng)xe［一；,一3時(shí)，2x-^ec

函數(shù)y=sinx在［一日,一||上單調(diào)遞減，

所以函數(shù)f(x)在區(qū)間［-；,-總上單調(diào)遞減，故C正確；

對(duì)于D,由f(x)=sin(2x—二)=0,得2x—N=kir,即x=^+jkeZ,

\3/326

令泮手+浮齊解得三k轉(zhuǎn)，又kez,所以k=i或k=2,

所以函數(shù)f(x)在［：,：］上有2個(gè)零點(diǎn)，分別為g,p故D錯(cuò)誤.故選：AC.

10.用于加熱水和食物的太陽(yáng)灶應(yīng)用了拋物線的光學(xué)性質(zhì)：一束平行于拋物線對(duì)稱軸的光線,

經(jīng)過(guò)拋物面(拋物線繞它的對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)所得到的曲面叫拋物面)反射后，集中于它的焦點(diǎn).

用一過(guò)拋物線對(duì)稱軸的平面截拋物面，將所截得的拋物線C放在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)稱

軸與x軸重合，頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合.若拋物線C：，2=4%的焦點(diǎn)為「O為坐標(biāo)原點(diǎn)，一條平

行于X軸的光線人從點(diǎn)〃射入，經(jīng)過(guò)。上的點(diǎn)力(%i，yD反射，再經(jīng)過(guò)C上另一點(diǎn)8(%2，丫2)反

射后，沿直線G射出，則()

A.C的準(zhǔn)線方程為x=-1

B.yi72=-2

C.若點(diǎn)M(2,l),則|4B|=￡

D.設(shè)直線AO與C的準(zhǔn)線的交點(diǎn)為M則點(diǎn)N在直線6上

K答案XAD

《解析》由題意，拋物線y2=4x,可得焦點(diǎn)F(l,0),準(zhǔn)線方程為x=—1,所以A正確;

由拋物線的光學(xué)性質(zhì)可知，直線AB經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)F,且斜率不為0,

設(shè)直線AB:x=my+l,聯(lián)立方程組「；，整理得y2—4my—4=0,

可得△=(—4m)2+16>0,所以YiYz=—4,所以B錯(cuò)誤；

若點(diǎn)M(2,l),則yi=1,所以丫2=-4,所以Xi=：,x2=4,

所以|AB|=X1+X2+2=；+4+2=R，所以C錯(cuò)誤；

44

f_Yi

又由直線OA:y=&x,聯(lián)立方程組y—￡X,解得yN=—9=—與=—2,

xi(x=-1X19yi

由丫1丫2=-4，得丫2=土，所以yN=y2，所以點(diǎn)N在直線h上，所以D正確.故選：AD.

Yi

11.如圖，棱長(zhǎng)為2的正方體ABC?！猌/iCiDi中，BE=xBC,C^F=yC^C,瓦Z=z瓦瓦

x,y,zE(OJ),則下列結(jié)論中正確的是()

aG

A.存在y,使得％。1AF

B.當(dāng)x=y=｝時(shí)，存在z使得41G〃平面AEF

C.當(dāng)x=y=z=^,異面直線力iG與EF所成角的余弦值為?

D.當(dāng)無(wú)=y=z=|時(shí)，點(diǎn)G到平面AEF的距離是點(diǎn)C到平面AEF的距離的2倍

K答案』BD

k解析』如圖建立以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA所在直線為x軸，DC所在直線為y軸，DD1所在

直線為z軸的空間直角坐標(biāo)系,

則A(2,0,0),Aj(2,0,2),C(0,2,0),D(0,0,0),0^0,0,2),E(l,2-2x,0),F(0,2,2—2y),

對(duì)于選項(xiàng)A：可得西=(0,0,2),AF=(-2,2,2-2y),

因?yàn)槲?屈=2(2—2y),且ye(0,1),可知西?屈力0,

所以DiD與AF不垂直，故A錯(cuò)誤；

因?yàn)閤=y=5貝UE(l,2,0),F(0,2,l),可得II=(—1,2,0),EF=(-1,0,1),

對(duì)于選項(xiàng)B：設(shè)平面AEF法向量為H=(a,b,c),貝卡?慢=-a+2b=0,

令b=1,貝歸=c=2,可得H=(2,1,2),

設(shè)G(2,2,t),t=2-2ze(0,2),可得砧=(0,2,t-2),

令福?F=0+2+2(t—2)=0,解得t=l,

可知：當(dāng)z=|時(shí)，A1G〃平面AEF,B正確；

對(duì)于選項(xiàng)C：當(dāng)z=T時(shí)，貝I」G(2,2,1),此時(shí)A；G=(0,2,-1),

因?yàn)閏os(砧，邨)=患需=號(hào)=答，

可知：當(dāng)x=y=z=決寸，異面直線A1G與EF所成角的余弦值為嚕，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)榍?(1,0,1),CE=(1,0,0),

可得：點(diǎn)G到平面AEF的距離d=卑=：,點(diǎn)C到平面AEF的距離d，=理=：

|n|3n3

所以點(diǎn)G到平面AEF的距離是點(diǎn)C到平面AEF的距離的2倍，故D正確.

故選：BD.

12.已知a=工,6=cos%,c=3tan=d=e西m=In%，則下列不等式成立的是()

183318

A.c>b>aB.c>a>b

C.d>a>mD.a>d>m

k答案》AC

k解析X設(shè)NAOB=a為銳角，作出單位圓，與x軸交于A點(diǎn)，則A(l,0),

過(guò)點(diǎn)A作AC垂直于x軸，交射線0B于點(diǎn)C,連接AB,過(guò)點(diǎn)B作BDLx軸于點(diǎn)D,

由三角函數(shù)定義可知AC=tana,BD=sina,

設(shè)扇形OAB的面積為S],貝！JSAOAC>SI>SAAB0,即[tana>ja>jsina,故tana>a>sina,

b—a=cos;葛=1-2siM=卷—2siM合2位一siM》,

因?yàn)閟in：<[,所以b-a=2（金一sin?]）>0,故b>a,

綜上：c>b>a,A正確，B錯(cuò)誤;

令f(x)=ex—x—1,x>0,則f，(x)=ex—1,

當(dāng)x>0時(shí)，fr(x)=ex-1>0,故f(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增,

所以f島),f(0)=0,所以溫>,，

令g(x)=Inx-x+1,x>0,則g，(x)=1-1="二

當(dāng)0<x<1時(shí)，gz(x)>0,g(x)單調(diào)遞增，當(dāng)x>1時(shí)，g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減，

故g@=ln5-4+1vg⑴=0,故1啜<S-1=S,

故d>a>m,C正確，D錯(cuò)誤；

故選：AC

第II卷(非選擇題)

三、填空題

13.若隨機(jī)變量X?N(5?2),且P(X<0)=0.11,則P(5〈XW10)=.

K答案H0.39

K解析》因?yàn)閄?N(5,(j2),所以正態(tài)曲線的對(duì)稱軸是直線日=5,

又因?yàn)镻(X<0)=0.11,所以P(5<X<10)=P(0<X<5)=0.5-P(X<0)=0.5-

0.11=0.39.

故(答案』為：0.39.

14.若曲線y=Inx在點(diǎn)PG；1,月)處的切線與曲線丫=針相切于點(diǎn)(2(久2，、2)，則‘二+

R答案』-1

k解析』(Inx)，=(ex)z=ex,.,.切線斜率k---eX2,

XXI

X2X2X2

,切線方程可記為：y=/(x—Xi)+Inx1==?x-1+Inx1或y=e(x—x2)+e=e-

X2

x+(1—x2)e,

11

—=evX2(-Inx1=x

X2x2

1nxi—1=(1—x2)eti(Inx-L-1)=1—x2

貝!JX1G2+1)=X2-1,易得X2+1W0,X]=生二，

X2+1

222

???---+X=X2-11+x2=-1-+X=—X—1+X=-1.

X-i—i2------------1------------222

X2+1X2+1

故［答案］為：一1.

22

15.已知直線/與圓。：％2+y2=1相切，且交橢圓C：亍+y=1于Z(%i，yDB(%2，y2)兩點(diǎn)，

若y/2=—畀貝1J|AB|=.

K答案U竽

K解析U設(shè)直線l:x=my+t,

???直線1與圓0:x?+y2=1相切，

將直線1方程與橢圓方程聯(lián)立，得(4+3m2)y2+6mty+3t2-12=0,

所以yj2=不&，因?yàn)檠?丫2=-

由對(duì)稱性，不妨取m=l,t=V2,

6\4V30

Yi+丫2=—亍,|AB|=V1+1x

7/7

故［答案》為：學(xué).

/B\

16.已知橢圓C:《+《=l(a>6>0),C的上頂點(diǎn)為A,兩個(gè)焦點(diǎn)分別為6/2,離心率為

I，過(guò)反且斜率為爭(zhēng)勺直線與C交于D,E兩點(diǎn)，四邊形4啖石的面積為學(xué)則四邊形ADFzE的

周長(zhǎng)是.

［答案X14

K解析》設(shè)橢圓半焦距為c,因橢圓離心率為；，則￡=；今W=：=>a2=4c2,b2=a2—c2=

2a2az4

3c2,則橢圓c：M+t=l.

4c23c2

由題，設(shè)直線DE為y=f(x+c),將其與橢圓方程聯(lián)立，則13x2+8cx-32c2=0.

由題，聯(lián)立方程判別式大于0,設(shè)D(XL%),E(X2，y2)，由韋達(dá)定理，有x1+x?=-罪乂尼=

-32c2

13?

2xx2

貝lj|DEI=J(X1-X2)2+(yi—y2)2=(xx-x2)=1V(i+2)-4xtx2

22

又A(0,EC),F2(C,0),則A到直線DE距離為由=^=c,F2到DE距離為d2=^=c.

V3V3

2

因四邊形ADF2E的面積S為?，則S=SAADE+SADEF?=j'|DE|?(dt+d2)=gc=^=>

13

C=—.

8

因點(diǎn)A,F2到直線DE距離相等，且kAFz=一百今kDE,kAF2=—1今DE1AF2，則點(diǎn)A,

F2兩點(diǎn)關(guān)于直線DE對(duì)稱.

則四邊形ADF?E的周長(zhǎng)為|AD|+|DF2|+|F2E|+|EA|=2(|F2E|+|DF2|).

注意到，|DE|+|EF2|+|F2D|=IDF/+|DF2|+|EFj+|EF2|=4a=8c=13,

貝?。輡F2E|+|DF2|=13-|DE|=13-等=7,得四邊形ADF?E的周長(zhǎng)為14.

四、解答題

17.設(shè)正項(xiàng)數(shù)列｛5｝的前n項(xiàng)和為%,若%=警.

(1)求數(shù)列｛5｝的通項(xiàng)公式；

(2)若不等式去+±+…+>I-5對(duì)任意正整數(shù)及均成立，求2的取值范圍.

3sl4s2(n+2)Sn2Sn

解：(1)當(dāng)n=1時(shí)，a1=也聲，所以a1=1；

當(dāng)n22時(shí)，Sn=^曳且Sn.1

兩式相減并整理可得(an+anT)(an-an-1-1)=0.

因?yàn)閔n｝為正項(xiàng)數(shù)列,所以an—an.i=l，所以HR=1+(n-1)=n.

(2)有(1)可知Sn=g^=^羅,

1_2_11

(n+2)Snn(n+l)(n+2)n(n+l)(n+l)(n+2)'

--

兩+詬+…+(n+2)Sn22x3+2x3.3x4+…+(n+l)n.(n+l)(n+2)

_i_1

-2(n+l)(n+2)'

故土+套+…+1>A多可化為人〉康，

(n+2)Sn

因?yàn)樯现褚灰釽恒成立，所以人靈

18.在AaBC中，內(nèi)角4B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且吧七當(dāng)=唉.

sinF-sinCa+b

⑴求a；

2

b3

--

(2)若△ABC內(nèi)一點(diǎn)P滿足麗?麗=0,AAPC32,i己NACP=e,求tang的

值.

角由：(1)因?yàn)閟inB-sinAc

sinB-sinCa+b'

由正弦定理得：弊=嗅，

b-ca+b

即b?+c2—a2=be,

由余弦定理，COSA=b2：f—a2=3,

因?yàn)锳G(0,n),所以A=g.

(2)因?yàn)槎?PC=0,所以PB1PC,在aPBC中，PC=BCcos(C-6),

在AAPC中，由正弦定理得=

sinzPACsinzAPC

即BCC)(C-<)=斗=2?即BCcos(C—8)=2gsin信一。)，(*)

sin(^--0jsin^7t\3/

又因?yàn)樵?ABC中，BC=/22+32-2x2x3xcosl=V7,cosC=⑼+^了=2

勺32X3XV7小

從而sinC=*

代入(*)式得3cos?—V5sin。=2cos8+V5sin。，

即cos。=2V3sin6,

所以tan。=—.

6

19.氣象部門定義：根據(jù)24小時(shí)內(nèi)降水在平地單位面積上的積水深度(mm)來(lái)判斷降雨強(qiáng)

度.其中小雨(<10mm),中雨(10mm?25mm),大雨(25mm?50mm),暴雨(50mm?

100mm).為了了解某地的降雨情況，氣象部門統(tǒng)計(jì)了該地20個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)的降雨情況，得到當(dāng)

日24小時(shí)內(nèi)降雨量的頻率分布直方圖如圖.

(1)若以每組的中點(diǎn)代表該組數(shù)據(jù)值，求該日這20個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)的平均降雨量；

(2)①根據(jù)圖表，估計(jì)該日24小時(shí)內(nèi)降雨強(qiáng)度為暴雨的鄉(xiāng)鎮(zhèn)的個(gè)數(shù)；

②通過(guò)降雨強(qiáng)度按分層抽樣抽取5個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)進(jìn)行分析.據(jù)以往統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，降雨過(guò)后，降雨強(qiáng)度

為大雨的鄉(xiāng)鎮(zhèn)不受損失的概率為：降雨強(qiáng)度為暴雨的鄉(xiāng)鎮(zhèn)不受損失的概率為:，假設(shè)降雨強(qiáng)

34

度相互獨(dú)立，求在抽取的5個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)中，降雨過(guò)后恰有1個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)不受損失的概率.

解：(1)這五組數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的頻率分別為：0.05,0.2,0.3,0,35,0.1,

故這20個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)的平均降雨量為0.05x(走羅)+0.2X(失竺)+

0.3x+0.35x+0.1x=52.5(mm).

(2)?24小時(shí)降雨強(qiáng)度為暴雨的鄉(xiāng)鎮(zhèn)的頻率為(0.01+0.035+等)X10=0.6,

故降雨強(qiáng)度為暴雨的鄉(xiāng)鎮(zhèn)的個(gè)數(shù)為0.6X2O=12個(gè).

②若按分層抽樣抽取5個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)，

故降雨強(qiáng)度為暴雨的有5X0.6=3個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)，降雨強(qiáng)度為大雨的有2個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)，

設(shè)事件M表示“抽取的5個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)中，降雨過(guò)后恰有1個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)不受損失”.

分兩類情況，即不受損失的唯一鄉(xiāng)鎮(zhèn)為降雨強(qiáng)度為大雨或降雨強(qiáng)度為暴雨，

所以P(M)=?8x(I)1x(|)3+禺(|)2xiX(|)2=?

故抽取的5個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)中，降雨過(guò)后恰有1個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)不受損失的概率為稱.

64

20.如圖，在四棱錐P—48CD中，BCHAD,BC=2AD,M為棱AP的中點(diǎn).

⑴棱PB上是否存在點(diǎn)N,使MN//平面PDC?若存在，求出？的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

ND

(2)若平面PDC_1_平面ABC。，AB1BC,BC=CP=PD=DC,求二面角B—MD—C的正

弦值.

解：(1)如圖，分別延長(zhǎng)BA與CD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E,連接PE,過(guò)點(diǎn)M在平面BEP內(nèi)作直

線FN〃PE,交BE于點(diǎn)F,BP于點(diǎn)N,

因?yàn)镸N〃PE,PEu平面PDC,所以MN//平面PDC,

因?yàn)锽C〃AD,BC=2AD,所以A,D分別為線段BE,CE的中點(diǎn)，

又FN〃PE,M為AP的中點(diǎn)，所以F為線段AE的中點(diǎn)，所以

rDIND3

綜上，棱PB上存在點(diǎn)N,使MN〃平面PDC,且￡

NB3

(2)設(shè)AD=1,又AB1BC,BC=DC=2,所以AB=b,BD=2,

又CP=PD=DC=2,所以△PCD和△BCD為等邊三角形，

設(shè)。為CD的中點(diǎn)，連接OP,OB,則OP=OB=g,OP1DC,OB1DC,

又平面PDC1平面ABCD,平面PDCC平面ABCD=CD,POu平面PDC,PO1平面ABCD,

又OBu平面ABCD,PO1OB,

綜上，OP,OB,OC兩兩垂直.

以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB,0C,而的方向分別為x,y,z軸的正方向，建立如圖所示的空間直

角坐標(biāo)系.

則B(低0,0),C(0,l,0),P(0,0,V3),D(0,-l,0),A(y,-|,0),M停-瀉),

DM=(y,i,y),DB=(V3,l,0),DC=(0,2,0),

設(shè)平面MDC的法向量為H=(Xi，y1,zi),

2yL0,

n-DC=0,

則即行,I,V3c可取H=(2,0,—1),

.n-DM=0(yXi+-yi+yZ1=0,

設(shè)平面MDB的法向量為記=(x2,y2，z2),

記.麗=0,即V3X2+丫2=0,

則V31V3c可取出=(L—8,0b

m-DM=0(Tx2+-y2+Tz2=0,

所以cos〈冗記〉=2=■

|n||m|2V55

故二面角B-MD-C的正弦值為—cos2〈元弦〉=卓

21.已知雙曲線C：1—1=l(a>0,b>0)的離心率為辿，尸為C的左焦點(diǎn)，P是C右

支上的點(diǎn)，點(diǎn)P到C的兩條漸近線的距離之積洋

(1)求C的方程;

⑵若線段尸尸與C的左支交于點(diǎn)。，與兩條漸近線交于點(diǎn)A,B,且31aBi=\PQ\,求|PQ|.

解：(1)由題意得￡=逋，故c2=±a2,

a32

又a?+b2=c2,C的兩條漸近線方程分別為y=±\,

lbb2

x-yia2b喈-制a2b2_3

=

b2+a2—;

所以a2b2=建2=〃％2,所以b2=l,a2=3,故C的方程為的―y2=1.

4433

(2)由(1)知F(-2,0),設(shè)直線PF的方程為x=my—2,Q(x2,y2)，A(x3,y3),B(x4,y4),

聯(lián)立代一y2=1，得(m2—3)y2-4my+l=0,

X=my—2,

則y1+丫2=居