2024屆遼寧省大連市高二年級上冊數(shù)學(xué)期末考試試題含解析

2024屆遼寧省大連市高二上數(shù)學(xué)期末考試試題

注意事項

1.考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。

2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑

色字跡的簽字筆作答。

3.考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.在等差數(shù)列｛凡｝中，已知%+%=12,則數(shù)列｛4｝的前6項之和為（）

A.12B.32

C.36D.37

2.圓/+丁2=1與圓（%一2）2+3—2）2=4的位置關(guān)系是（）

A.相交B.相離

C.內(nèi)切D.外切

3.設(shè)拋物線/=8x的焦點為尸，準(zhǔn)線為1,P為拋物線上一點，PALI,A為垂足.如果直線A尸的斜率是一百，

那么歸耳=（）

C.16D.8

4.過拋物線C：V=4x的焦點廠分別作斜率為右、近的直線小h,直線A與C交于A、B兩點,直線b與C交于

E兩點，若由上2|=2,則|43|+|Z>E|的最小值為（）

A.10B.12

C.14D.16

5.某公司有320名員工，將這些員工編號為1,2,3，…，320,從這些員工中使用系統(tǒng)抽樣的方法抽取20人進(jìn)行“學(xué)

習(xí)強國”的問卷調(diào)查，若54號被抽到，則下面被抽到的是（）

A.72號B.150號

C.256號D.300號

6.在等差數(shù)列{4}中，已知%+4=12,則數(shù)列{4}的前6項之和為（）

A.12B.32

C.36D.72

7.2013年9月7日，總書記在哈薩克斯坦納扎爾巴耶夫大學(xué)發(fā)表演講在談到環(huán)境保護(hù)問題時提出“綠水青山就是金

山銀山”這一科學(xué)論新.某市為了改善當(dāng)?shù)厣鷳B(tài)環(huán)境，2014年投入資金160萬元，以后每年投入資金比上一年增加20

萬元，從2021年開始每年投入資金比上一年增加10%,到2024年底該市生態(tài)環(huán)境建設(shè)投資總額大約為（）（其中

1.13=1.331?1.1』.464，1.15?1.611）

A.2559萬元B.2969萬元

C.3005萬元D.3040萬元

8.命題“VxNl,%2〉i?的否定形式是（）

A.“Vxvl,X2>rB.“玉<1,—>1”

C.663x>l,%2<lwD.wVx>l,W

9.在下列函數(shù)中，最小值為2的是（）

1B.y=lg無+二（1<》<10）

A.y=x+—

xIgx

.171

D.y=sinx+-------0<x<—

10.已知集合4=<尤eNg<2向<16>,3=卜|_?—4x+加=,若leAB,則A8=（）

A.{L2,3}B.{1,2,3,4）

C.{0,1,2}D.{0,1,2,3}

11.如圖，在單位正方體ABC。-a4Gq中，以。為原點，DA，DC，為坐標(biāo)向量建立空間直角坐標(biāo)系，則

平面ABC1的法向量是（）

A.(l,1,1)1,1)

C.(l,-1,1)D.U,1,-1)

12.已知空間向量a=(O,l,4),Z?=(1,-1,O),貝4a+q=()

A.719B.19

C.17D.而

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.在公差不為0的等差數(shù)列｛4｝中，S“為其前〃項和，若12=3(%+2a5+為)，則正整數(shù)左=

14.若xe[2,5]和xe｛x|x＜l或九＞4｝都是假命題，則、的范圍是

15.在學(xué)習(xí)《曲線與方程》的課堂上，老師給出兩個曲線方程G：?+4=l；C:x4+y4=1,老師問同學(xué)們：

你想到了什么？能得到哪些結(jié)論？下面是四位同學(xué)的回答：

甲：曲線G關(guān)于y=%對稱；

乙：曲線G關(guān)于原點對稱；

丙：曲線G與坐標(biāo)軸在第一象限圍成的圖形面積$＜；；

7T

T：曲線與坐標(biāo)軸在第一象限圍成的圖形面積S2〉]；

四位同學(xué)回答正確的有(選填“甲、乙、丙、丁”)

16.設(shè)等差數(shù)列｛4｝,也｝前幾項和分別為s“，Tn,若對任意自然數(shù)"都有率="|,則烹工+三索的

八I/LDcZIU[1^3Icz

值為.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

jr

17.（12分）在四棱錐P-ABCD中，底面ABC。為菱形，ZDAB^-,側(cè)面"0?為等腰直角三角形，PA=PD,

AB=PB=2,點E為棱A。的中點

（1）求證：ABCDi

（2）求直線AB與平面所成角的正弦值

18.（12分）如圖所示，已知定點。（4,0）,P為曲線/+/=4上一個動點，求線段PQ中點的軌跡方程.

19.（12分）已知橢圓C:鼻+2=1（?！?〉0）與直線2>+缶=0相切，點G為橢圓上任意一點，G（—l，°），

ab

G,（l,0）,且GG/GG2的最大值為3

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)直線/：y=履+機與橢圓C交于不同兩點E,F,點0為坐標(biāo)原點，且0M=g（0E+0fj,當(dāng)△EOF的面

積取最大值時，求幾=就訂一2|MG?|的取值范圍

20.（12分）已知｛&｝是公差不為0的等差數(shù)列，其前〃項和為S“，q=2,且%，為，趣成等比數(shù)列.

（1）求％和s“；

（2）若勿=（、歷-+（,數(shù)列也｝的前〃項和為T“，且7；2二片對任意的“wN*恒成立，求實數(shù)〃，的取值范圍.

21.（12分）如圖，在正方體A8C。-A4GA中，。為AC的中點，點P在棱8月上

(1)若=證明：2。與平面PAC不垂直；

(2)若2。，平面PAC,求平面PCR與平面PAC的夾角的余弦值

22.(10分)在公差為d的等差數(shù)列｛叫中，已知q=10,且％,2g+2,5%成等比數(shù)列.

(I)求*;

(II)若d<0,求H|++同|"I---(?

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、C

【解題分析】直接按照等差數(shù)列項數(shù)性質(zhì)求解即可.

【題目詳解】數(shù)列｛。”｝的前6項之和為4+。2+g+。4+。5+。6=33+。4)=36.

故選：C.

2、A

【解題分析】求出兩圓的圓心及半徑，求出圓心距，從而可得出結(jié)論.

【題目詳解】解：圓好+/=1的圓心為(0,0),半徑為1,

圓(x-2)?+(y-2)2=4圓心為(2,2),半徑為2,

則兩圓圓心距d=44+4=272，

因為2—1<2血<2+1，

所以兩圓相交.

故選：A.

3、D

【解題分析】由題可得Ab方程，進(jìn)而可得A點坐標(biāo)及尸點坐標(biāo)，利用拋物線定義即求

【題目詳解】???拋物線方程為V=8x,

二焦點F(2,0),準(zhǔn)線/方程為x=-2,

,：直線AF的斜率為—百，直線AF的方程為y=-A/3(X-2),

\=-2

由［尸一回一2)’可得小工4⑹，

'：PA±l,A為垂足，

，尸點縱坐標(biāo)為4君，代入拋物線方程，得尸點坐標(biāo)為尸(6,43)，

.?.附=6+2=8.

故選：D.

4、B

y

【解題分析】設(shè)出A的方程為x=f+l,與拋物線聯(lián)立后得到兩根之和，兩根之積，用弦長公式表達(dá)出

%

(1A(1A

|AB|=4l+-y,同理表達(dá)出|￡>E|=4l+-y利用基本不等式求出+|。目的最小值.

V^1JI，J

【題目詳解】拋物線C：V=4x的焦點尸為(1,0),直線11的方程為％=：+1,

化1

則聯(lián)立后得到V-提y—4=0,設(shè)A(&X),5(%,%)，

4(4、2(11

%+為=1，%%=T，貝!AB+16=41+—，

I||=“2

\K17

11

同理設(shè)。4,%),石(%，%)可得：|。曰=41+行’

/

因為必1?切=2,所以|AB|+|OE|=4.+，)+4.+

=8+4⑹出?表3,

當(dāng)且僅當(dāng)=即匕=逝,右=-夜或《=-血,&=血時，等號成立，

K]K2

故選：B

5、B

【解題分析】根據(jù)系統(tǒng)抽樣分成20個小組，每組16人中抽一人，故抽到的序號相差16的整數(shù)倍，即可求解.

【題目詳解】???用系統(tǒng)抽樣的方法從320名員工中抽取一個容量為20的樣本

320

...—=16,即每隔16人抽取一人

20

??,54號被抽到

...下面被抽到的是54+16x6=150號，而其他選項中的數(shù)字不滿足與54相差16的整數(shù)倍，故答案為：B

故選：B

6、C

【解題分析】利用等差數(shù)列的求和公式結(jié)合角標(biāo)和定理即可求解.

【題目詳解】解：等差數(shù)列｛4｝中，/+%=12

所以等差數(shù)列｛4｝的前6項之和為：

。6*(弓+6)6x(0,+%)6x12?,

6222

故選：C

7、B

【解題分析】前7年投入資金可看成首項為160,公差為20的等差數(shù)列，后4年投入資金可看成首項為260,公比為

1.1的等比數(shù)列，分別求和，即可求出所求

【題目詳解】2014年投入資金160萬元，以后每年投入資金比上一年增加20萬元，成等差數(shù)列，

則2020年投入資金160+(7-1)x20=280萬元，

2014-2020年共7年投資總額為160+180+200+220+240+260+280=1540,

從2021年開始每年投入資金比上一年增加10%,

則從2021年到2024年投入資金成首項為280x1.1,公比為1.1,項數(shù)為4的等比數(shù)列，

故從2021年到2024年投入總資金為280x?280x1.lx4.64=1429.12?1429,

1—1.1

故到2024年底該市生態(tài)環(huán)境建設(shè)投資總額大約為1540+1429=2969萬元

故選：B

8、C

【解題分析】由全稱命題的否定是特稱命題即得.

【題目詳解】“任意”改為“存在”，否定結(jié)論即可.

命題公〉1”的否定形式是“王21,x2<lw.

故選：C.

9、C

【解題分析】結(jié)合基本不等式的知識對選項逐一分析，由此確定正確選項.

【題目詳解】對于A選項，X=—1時，y為負(fù)數(shù)，A錯誤.

對于B選項，1<X<1O,0<lgx<l,lgx+^>2Igx-=2,但不存在X使lgx=J一成立，所以B錯誤.

1g%V炮工坨》

對于C選項，d2x+2=(xl)=1+當(dāng)且僅當(dāng)x—1=4,1=2時等號

x-1x-1X-1V'X-1X-1

成立，C正確.

對于D選項，0<x<—,0<sinx<1,sinxH——-—>2./sinx—--=2,但不存在x使sinx=^—成立，所以D

2sinxVsinxsinx

錯誤.

故選：C

10、D

【解題分析】根據(jù)題意，解不等式求出集合A={O,L2},由leAB,得進(jìn)而求出機=3,從而可求出集合

8={1,3},最后根據(jù)并集的運算即可得出答案.

【題目詳解】解：由題可知，A=xeN工<2向<161，

、2,

而;<2田<16,即2T<2>I<24,解得：—2<%<3,

又由于xeN,得4={0,1,2},

因為IEAB,貝！llwB,所以1—4+加=0,解得：m=39

所以B=——4X+3=o}={1,3},

所以ADB={0,1,2,3}.

故選：D.

【題目點撥】本題考查集合的交集的定義和并集運算，屬于基礎(chǔ)題.

11、A

【解題分析】設(shè)平面ABC］的法向量是〃=(%,y,z),由n-BA,1=7y—z=O可求得法向量.

Ti,BC^——九+z=0

【題目詳解】在單位正方體A3CD-4301〃中，

以。為原點，DA>DC，為坐標(biāo)向量建立空間直角坐標(biāo)系，

4(1,0,1),5(1,1,0),C,(0,1,1),

BA=(0,1,-1),BCt=(-1,0,1),

設(shè)平面ABG的法向量是“=(X,y,Z),

n-BA,=y-z=0

則?,取x=l,得〃=(1,1,1),

n-BCx=—x+z=0

平面的法向量是a,i,i).

故選：A.

12、D

【解題分析】先求出a+b的坐標(biāo)，再求出其模

【題目詳解】因為￡=(0,1,4),1=(1,-1,0),

所以a+Z?=(l,0,4),故卜+囚=后，

故選：D.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、13

【解題分析】設(shè)等差數(shù)列公差為心根據(jù)等差數(shù)列通項公式、前〃項和公式及$2=3(/+2%+以)可求比

【題目詳解】設(shè)等差數(shù)列公差為d,

,/Sl2=3（/+2a5+以），

-4=3[4+24+2（4]+44）+4+（左一1”],

即44+224=4。］+（左H-9）d,

即左+9=22,

:.仁13.

故答案為：13.

14、［1,2）

【解題分析】先由無e［2,5］和Xe{x［x<l或%>4}都是假命題，求出x的范圍，取交集即可.

【題目詳解】若無42,5］為假命題，則有xe{x|x<2或%>5}

若Xe{x|x<l或x>4}是假命題,則xe{x|lWxW4}

所以x的范圍是1WX<2

即x的范圍是［1,2）

胡答案：［1,2）

15、甲、乙、丙、丁

【解題分析】結(jié)合對稱性判斷甲、乙的正確性；通過對比％+y=l和必+/=1與坐標(biāo)軸在第一象限圍成的圖形面積

來判斷丙丁的正確性.

【題目詳解】對于甲：交換方程?+6=i中x和丁的位置得打+?=i，所以曲線G關(guān)于y=x對稱，甲回答

正確.

對于乙：（羽y）和（-％-y）兩個點都滿足方程>4=1,所以曲線C?關(guān)于原點對稱，乙回答正確.

對于丙：直線x+y=i與坐標(biāo)軸在第一象限圍成的圖形面積為《義1義1=《，

22

0<%<1

4x+yfy=l,

0<y<l

f—LIO<X<1

在第一象限，直線x+y=l與曲線?+6=l都滿足c,

v[0<y<1

%+y=1y=1-x,^~x+=1=>y=1—yfxj=x-2Vx+1

1-x-^x-2^fx+1）=2A/X-2X=2y/x（1-五）>0,

所以在第一象限，直線1+y=1的圖象在曲線G+6=l的圖象上方，

所以S]<L,丙回答正確.

2

1JT

對于?。簣A好+丁=1與坐標(biāo)軸在第一象限圍成的圖形面積為一兀XF=—,

44

在第一象限，曲線f0+>2°=1與曲線/,+4=1都滿足0<x<l

[0<J<1

x2+y2=1ny?=1-x2,y4=(1-x?)?=x4-2x2+1,

x4+y4=1=>y4=1-x4,

x4-2x2+1-(1-x4)=2x4-2x2=2x2(x2-1)<0,

所以在第一象限，曲線V+J/=1的圖象在曲線f+y4=i的圖象下方,

TT

所以S2〉],丁回答正確.

故答案為：甲、乙、丙、丁

19

16、

41

【解題分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：與嬴刊個今.再利用已知即可得出

^I-1X11Q

%%%十。3%+%]2

【題目詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得:

bs+b]4+%々+4瓦+%4+如xll"

2

S2/i-3

對于任意的〃eN*都有姬n

Tn4〃-3

%a.S2x11-319

貝——+——=—u=-------=—

人」與+2Tn4x11-341

19

故答案為：—

【題目點撥】本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，求和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)證明見解析，(2)正

4

【解題分析】(1)題中易得PELAD,BELAD,利用勾股定理可得尸石，3石，從而可證得線面垂直；

(2)以E為原點，EA為x軸，E5為y軸，EP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，用空間向量法求線面角的正弦值

【題目詳解】(1)證明：在四棱錐P—ABCD中，底面ABC。為菱形，ZDAB=-,

側(cè)面△4DP為等腰直角三角形，PA=PD,AB=PB=2,點E為棱的中點

：.PE±AD,PE=3BELAD,BE=4^i=6，

PE2+BE2=PB?，PE±BE,

ADcBE=E,..PE_L平面A3CZ>

(2)以E為原點，EA為x軸，E8為y軸，EP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

A(l,0,0),B(0,73,0),P(0,0,1),C(-2,^,0),

BA=(l,-73,0),PB=(O,73,-I),PC=(-2,73,-1),

設(shè)平面PBC的法向量〃=(x,y,z),

n-PB=A/3V-z=0「

則.「,取y=i,得〃=(o,i,73),

n-PC=-2x+y/3y-z=0

設(shè)直線A3與平面PBC所成角e,

\BA-f\J3J3

直線AB與平面PBC所成角的正弦值為：sin0==W

|BA|.|H|2-24

【題目點撥】本題考查線面垂直的證明，考查空間向量法求線面角.空間角的求法一般都是建立空間直角坐標(biāo)系，用

空間向量法求得空間角

18、（x-2）2+y2=1

【解題分析】設(shè)線段PQ的中點R的坐標(biāo)為（x,y）,點P的坐標(biāo)為（后,%）,根據(jù)中點坐標(biāo)公式和代入法求得線段PQ

中點的軌跡方程.

【題目詳解】解設(shè)線段PQ的中點R的坐標(biāo)為（x,y）,點尸的坐標(biāo)為（/，%），則

「0+4

<%-2，J/=2x-4,

2

v_y0bo=y-

用代入法求得所求方程為（X-2）2+V=1.

【題目點撥】本題考查了中點坐標(biāo)公式和代入法求動點的軌跡方程，屬于容易題.

22

19、（1）土+匕=1

42

⑵[-20,1一0）

【解題分析】（1）設(shè)點G（x,y）,根據(jù)題意，得到口=回，根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，得至U爐+。2一1,

根據(jù)其最小值，求出a=21=0,即可得出橢圓方程；

（2）設(shè)EF（x2,y2）,〃（得，兒），聯(lián)立直線與橢圓方程，根據(jù)韋達(dá)定理，由弦長公式，以及點到直線距

離公式，求出△EOF的面積S的最值，得到4=2左2+1；得出點”的軌跡為橢圓G：5+y2=l（yw0）,且點

']_、

G，G2為橢圓G的左、右焦點，記f=貝/e（虎—1,行+1）,得到2=—2|MG21=2f+2—40,

\'AzGJt

I）

根據(jù)對勾函數(shù)求出最值.

【小問1詳解】

設(shè)點G（x,y）,由題意知。=回，

所以：C:x2+2y2=a2,貝!JGG；+/一1=一/十〃一1，

當(dāng)y=。時，GG,取得最大值，即a?—1=3=>a=2,b=A/2

22

故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是L+2L=1

42

【小問2詳解】

九)

2+27/=4

設(shè)￡（%，%），/（孫％），〃（得,人），則由<7得

y=kx+m

(2k2+1)12+4mkx+2m2-4=0n玉+%=一]：：\，

2m2-4m

x,x;——----,--點。到直線/的距離d=

1222k2+1Jk2+1

4mk1242m2—4

2P+1J-,2k2+1

對“（4^+2—用均值不等式，貝|j：7叫伏蘇）/蘇+（止+2-療））_（4」2+2『

當(dāng)且僅當(dāng)m2=4k2+2—/即加—2k2+1,①

4左2+2

=日S取得最大值后.此時，/二弓玉2mk2k

2k2+1m

QT.21]^2v2

y0=kxQ+m=------+m=_，即，"='—',k=一■不/=一三-代入①式整理得工+y；=1(%w0),

°°mmy022yo2°1°)

即點M的軌跡為橢圓G:]+/=1（yw0）

且點G1,5為橢圓G的左、右焦點，即明勾+|肱引=2立

記r=|MGj,貝—1,0+1）于是：

什尚/依小12（2血一）,

（]_、

=-+2z-4V2=2f+2-472

tt

I7

由對勾函數(shù)的性質(zhì)：當(dāng)”走時，2.=-2A/2,

2

M2（V2-1]=-V2-1<2（V2+1]=1-V2,

故2的取值范圍為[-272,1-吟

20、(1)an=In,S“=/+w；(2)(-oo,5].

【解題分析】(1)求出d=2,即得數(shù)列的%和S.；

(2)由題得優(yōu)=2〃+!———,再利用分組求和求出T,,得到(〃+1)2用—(〃+2)之加，令

/(〃)=(〃+l)2"+i—(〃+2),判斷函數(shù)的單調(diào)性得解.

【題目詳解】⑴設(shè)數(shù)列｛4｝的公差為d,由已知得，。：=為處，

即(2+3dp=(2+d)(2+7d),整理得屋—2d=0，

又dw0,d=2,

:.an=2+(n—l)2=2n；

〃(2+2〃)

S=^-------^=/9+〃

〃2

.(nr\2n1111

(2)由題意：b=(v2)+2=2+———=2+-----—,

n\Jn+〃+nn+1

-2(「2”)1…1

-r1-----------------乙—1-------

1—27t+ln+1

n+1

Tn>-^,.?.(77+l)2-(w+2)>m,

令/(〃)=(〃+l)2"+i—(n+2),

則—/5)=5+3)2"+「l〉0,

即/(〃+l)>/(?)對任意的neN*恒成立,

???｛/(")｝是單調(diào)遞增數(shù)列，

???[小心可⑴=5,

，只需mW5,

所以me(f。,5].

【題目點撥】方法點睛：求數(shù)列的最值，常用數(shù)列的單調(diào)性求解，求數(shù)列的單調(diào)性，一般利用定義法作差或作商判斷.

21、(1)證明見解析

⑵骼

【解題分析】(1)設(shè)正方體ABC。-ABCQ的棱長為2,以點A為坐標(biāo)原點，AB.AD.A4所在直線分別為x、

V、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，計算出〃0./LPwO,即可證得結(jié)論成立；

(2)利用空間向量法可求得平面與平面PAC的夾角的余弦值.

【小問1詳解】

證明：以點A為坐標(biāo)原點，AB.AD.A4所在直線分別為x、,、？軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)正方體A8CD-AgCQ的棱長為2,則4(0,0,0)、00,1,0)、C(2,2