廣東省南粵2023-2024學(xué)年高三年級下冊2月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題及答案

24屆廣東省普通高中學(xué)科綜合素養(yǎng)評價

2月南粵名校聯(lián)考

數(shù)學(xué)

注意事項：

1.本試卷滿分150分，考試時間120分鐘.

2.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在試卷和答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡上的

指定位置.

3.請按題號順序在答題卡上各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題

區(qū)域均無效.

4.選擇題用2B鉛筆在答題卡上把所選答案的標(biāo)號涂黑；非選擇題用黑色簽字筆在答題卡上作

答；字體工整，筆跡清楚.

5.考試結(jié)束后，請將試卷和答題卡一并上交.

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的.

1.已知集合A=(—1,3),B={x|3<2x-1<7},則AI3=()

A.[-1,4)B.(-1,4)C.[2,3)D.(2,3)

2.下列函數(shù)既是奇函數(shù)，又在(0,+8)上單調(diào)遞增的是()

A-=B./(X)=2H

C./(x)=-x3D./(x)=2x--

3.已知角tz的始邊與x軸非負(fù)半軸重合，終邊過點尸則cos2tz=()

（3?

4.在x--的展開式中，f的系數(shù)是（）

Ix）

A.-4B.4C.-12D.12

uuuUU1UUUULUUU

5.在△ABC中，點。在邊上，且=點E滿足CD=2CE.若AB=AC=6,ABAC=6,

?LILU,

則（）

A.V1TB.273C.12D.II

6.已知函數(shù)〃*=3奴2+笈+1（0/0）在點（1,〃1））處的切線與直線/：犬+2丁—1=0垂直，則"的最大

值為（)

11

A.1B.-C.一D.2

24

22

7.已知拋物線C:y'=—4百x的焦點為/，準(zhǔn)線為/,且/與雙曲線—二=1（。〉0,6〉o）的兩條漸近

/b2

線分別交于A,8兩點，若aAB/是正三角形,則雙曲線「的漸近線的斜率為（）

+A/21+空

A.

一亍C.一亍D.

8.已知函數(shù)_2x+lnx存在極值點,則實數(shù)。的取值范圍是（）

(1(1

A.B,-oo,2)C.D.-8,2]

I2

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合

題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.已知復(fù)數(shù)z滿足z（l—z）=2,則（）

A.|z|=y/2B.z=—1+iC.z2=2+2iD.z-z=2

10.若a〉0,b>0,a+b=8,則下列不等式恒成立的是()

A.[abW4B.+^~b24

,,149

C.a2+b2>32D.-+

abS

11.已知數(shù)列｛4｝的前八項和為S“，*=4,S2=8,4s"=5"+|+45,1(〃22),則下列說法正確的是()

A.S5=64B.{S“M—2S,J是等比數(shù)列

4,n=l

C.{4}是遞增數(shù)列D.?！岸

〃n>2

xe,“一；，若函數(shù)g（x）=3[y（x）]2_布?（無）—2加2（meR）恰有5個零點七,

12.已知函數(shù)/(%)=<

——+2x,

%2，項，X4,X5,且X]<%<%3</<毛，/（x3）=f（x4）,則2/（芯）+/（%3）+/（2-％3）的可能取值

是（）

1211

A.----B.-----C.—D.—

e3e3e2e

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.寫出一個滿足”圖象關(guān)于點（2,0）對稱”的函數(shù)/（力=

14.已知橢圓石：1+'=1（。〉6〉0）的離心率為:，且橢圓上的點到其右焦點距離的最小值為

2（V2-1）.若拋物線C：V=2px的焦點與橢圓E的右焦點重合，設(shè)拋物線C上的動點P到直線x=-4和

2x—y+l=O的距離分別為4，4，則4+a的最小值為-

JTJT

15.已知函數(shù)"X）=cos（0x-°）的圖象關(guān)于原點對稱，其中&〉0,（pe（-71,0）,且在區(qū)間一§，%上

有且只有一個最大值和一個最小值，則①的取值范圍為.

16.已知棱長為3的正方體ABCD-表面上動點P滿足|尸山=2忸邳，則點P的軌跡長度為.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟.

17.（本題滿分10分）

已知等差數(shù)列｛%,｝的前幾項和為S2,%+2%=29，S8=80.

（1）求｛4｝的通項公式；

（2）設(shè)》==一,求數(shù)列也｝的前幾項和7；.

44+1

18.（本題滿分12分）

7T

在△ABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,A=—.

3

（1）若c=26,證明：（sinA+sin5）（sinA—sin3）=sin5sinC；

（2）若a=2,求△ABC周長的最大值.

19.（本題滿分12分）

如圖，在四棱錐P—ABCD中，PA=PD=C,底面ABCD為菱形，AB=2,ND4B=60°,點E為AB

的中點，點廠在PC上，直線EE〃平面PAD.

（1）確定點廠的位置，并證明;

（2）若四棱錐尸-A4c。的體積為述，求平面P5C與平面所成角的余弦值.

3

20.（本題滿分12分）

第五代移動通信技術(shù)（5"GenerationMobileCommunicationTechnology,簡稱5G）是具有高速率、低時延和大

連接特點的新一代寬帶移動通信技術(shù)，5G通訊設(shè)施是實現(xiàn)人機物互聯(lián)的網(wǎng)絡(luò)基礎(chǔ)設(shè)施。2023年5月17日，

中國電信、中國移動、中國聯(lián)通、中國廣電宣布正式啟動全球首個5G異網(wǎng)漫游試商用。此前，中國移動、中

國聯(lián)通和中國電信三大運營商分別公布了其5G套餐價格.下面是中國移動公布的5G套餐價格：

月費（元人民幣）128198298398598

流量（GB）3060100150300

語音通話（分鐘）20050080012003000

備注超出套餐流量5元/GB,滿15元后按照3元/GB計費

中國移動公司某營業(yè)廳隨機統(tǒng)計了100名近4個月使用5G套餐客戶實際月使用流量情況，并繪制了如圖所示

的頻率分布直方圖.（假設(shè)每位客戶每月使用流量一樣，同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）.

（1）求這100名5G套餐客戶月使用流量的平均值了；

（2）由頻率分布直方圖可以認(rèn)為，中國移動5G套餐客戶月使用流量Z近似服從正態(tài)分布其中〃

近似為樣本平均數(shù)亍，近似為樣本方差經(jīng)計算得s土65,若從中國移動所有5G套餐客戶中隨機抽取

1000人,記X為這1000人中月使用流量小于95GB的人數(shù)，求X的數(shù)學(xué)期望；

（3）針對5G套餐客戶，中國移動根據(jù)客戶訂購的套餐，將客戶分為以下四種：

訂購套餐流量（GB）3060100150300

對應(yīng)客戶名稱普卡客戶銀卡客戶金卡客戶鉆石卡客戶

假設(shè)月使用流量在［0,50）GB的客戶有一半人訂購30GB套餐流量，另一半人訂購60GB套餐流量，月使用流

量在［50,100）GB的客戶都訂購100GB套餐流量，月使用流量在［100,150）GB的客戶都訂購150GB套餐流

量，月使用流量在［150,350］GB的客戶都訂購300GB套餐流量.

中國移動根據(jù)以上統(tǒng)計的100名客戶情況，準(zhǔn)備今年年底針對這些客戶舉辦返利活動，有以下兩種方案：

方案一：按分層抽樣在銀卡客戶、金卡客戶、鉆石卡客戶中共抽取24人，對這些客戶免收一個月套餐費（超

出套餐流量的部分也免費，客戶不改變自己已經(jīng)訂購的套餐且每月使用流量不變)；

方案二：通過參與摸球游戲直接反現(xiàn)金給客戶，規(guī)則如下：每次游戲客戶從一個裝有1個紅球、3個白球(球

的大小、形狀一樣)的不透明箱子中，有放回的摸3次球，每次摸一個球；若摸到紅球的次數(shù)為1,則可得50

元現(xiàn)金，若摸到紅球的次數(shù)為2,則可得100元現(xiàn)金，摸到紅球的次數(shù)為3,則可得150元現(xiàn)金，若沒有摸到

紅球，則不返現(xiàn)；每位普卡客戶可參與1次游戲，每位銀卡客戶可參與2次游戲，每位金卡客戶可參與3次游

戲，每位鉆石卡客戶可參與4次游戲(每次摸球的結(jié)果相互獨立).

試問，中國移動應(yīng)選擇哪種方案，投資更少？

附：若隨機變量Z服從正態(tài)分布則尸(〃—b<ZW〃+cr)=0.6827,

P(/z-2cr<Z<〃+2cr)=0.9545,P(//-3CT<Z<〃+3cr)=0.9973.

21.(本題滿分12分)

22

已知雙曲線E:?—2r=1(?！?)〉0)的左、右焦點為耳，寫到E的漸近線的距離為JL過寫作x

ub

軸的垂線與E在x軸的上半部分交于點B,且忸耳|=3.

(1)求雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若圓好+丁=廠2什〉0)的切線/與曲線￡交于p,。兩點，且OP，。。恒成立，求廠的值.

22.(本題滿分12分)

已知函數(shù)"X)="Mx,g(x)=ae*—1,aeR.

(1)求〃%)的極值；

(2)若/(x)與g(x)的圖象有兩個交點，求實數(shù)a的取值范圍.

24屆廣東省普通高中學(xué)科綜合素養(yǎng)評價

2月南粵名校聯(lián)考?數(shù)學(xué)

參考答案、提示及評分細(xì)則

1.C由'3422?—1V7,解得2G:<4,則〃一,（工|2二］右外，所以人「［J3=［2,3）.故選，C.

2.D對于A,定義域為｛.支1工41）,故汕非奇非例函數(shù)，；.A俳淤，

對于?21”是偶函，數(shù),；.B情眼,

對于C,〃出）——.-?―（0,+s）上即耶|）減,.'.C-此

對于［）,/（了）12了一。為奇函數(shù)且在（0,卜，.〃）卜的訓(xùn)越增，..1）正確，放選用，

3.D由3就，角?的始邊與了軸業(yè)負(fù)半岫正令■，終邊過點P（—1,2）,可得「=I?！篒=，后,根據(jù)三角函數(shù)的定

義，可得cosa=-^,所以COM2aH2cosz?-1=2Xg—1==—?.故選iD.

v53。

4.C（工一卷）’的展開式通項為r,+i-G（3a?（-3）'?/一”,取4-2—2,則—1,系數(shù)

5.A由題意可知砧E&卜國=不表+-^■瓦出?|?（劉一宿。芹￡+^|?芯"加相u

1

（x-Ad+-^-AS）=?^-A&+~AS,AC-1■X36+，X36+_^*X6=11,所以|AE|=A/TT，故

選：A.

6.A因為/（.T）=》.Z?+0+1,則r（.T）=a.z+仇所以/⑴=a+"因為函數(shù)/Gr）在點（1J⑴）處的切線

與直線z+2y—1=0疵直，所以/⑴=2,即a+/>=2,因為―十加22％所以滔所以ab《

（哈）2=1,當(dāng)且僅當(dāng)?=t=l時等號成立.故選:A.

7,C山拋物線C田=一4岳:，可得F（一用,0）,準(zhǔn)線/的方程為工=@所以A（痣，華）?B就,一冬）,

因為Z\ABF是正三角形，△ABF的面為焦點F（-G,0）到準(zhǔn)線I的距離為2代,所以△AEF的邊長為4,所

以|AB|=4,所以退=4,即3=攣，所以雙曲線P的漸近線的斜率為々=±挈故逸：C

（IciAa。

8,A函數(shù)/（c）=a〃-ZT?ln.T的定義域為（0,十°°），且八/=20工12+5，由題意可知，函數(shù)>=/（工）在

定義域（0,+oo）上存在極值點，得/（⑴=2心-2+?在（0,+8）有變號零點，由/（x）=0可得a=!一

了.17

令？=_!_>0,則a=，一4/，則實數(shù)。的取值范圍為函數(shù)y=c-；/在（。，+°0）上的值域且滿足4>o,

對'于二次函數(shù)尸一_：（/一2/）=一./（2—17+稱,當(dāng)￡>0時，產(chǎn)--?，對于二次方程a

=￡—，即今盧一,+a=og=i-2a>0,解得因此，實數(shù)a的取值范圍是（一故選:A.

9.AD?.*1)=2..?"含=1+3.3=々針=轉(zhuǎn)#=1，公=(1+了=中,2=(l+i)(l-i)

=2,故選，AD.

10.ACD對于A,a>0,b>0,a+b>2-/ab,即/石《■/=4,當(dāng)且僅當(dāng)a=J>=4時等號成立，所以A正確；

對于B,a>0,Z>>0,(V^+7*)2=a+b+2依=8+24]48+2X4=16,

又忘'+4>0,則歸+〃=4,當(dāng)且僅當(dāng)a=Z>=4時等號成立，所以B錯誤?

對于C,aZ+〃=(a+/>)z—2ab=64—2ab>64—2(歲y=32,所以C正確f

對于口,“>0,6>0,<1+〃=8,所以率=1,

O

【南粵名校?數(shù)學(xué)參考答案第1頁（共6頁）】

則（F4）?空十（5+A豹號X（5+2萬^T

當(dāng)且僅當(dāng)^，即a="|-,〃=學(xué)時等號成立，所以D正確.故選:ACD.

H.AD由題意可知Sa=4$2-4S|=16,所以S<=4$-40i32,S6=4S4-4Sa=64,故A正確；

因為$一2sl=0,所以｛S,+L26“｝不能她等比數(shù)列，故B錯誤；

因為4S"=Se卜4sl（”32）,即S+=4S—心23

2

所以S.+1—2S?=2'（S?-2S,1）=2（S,,-1-2sL2）=-=2"（54-2S,）=0,

所以5,+1-2&=0,即紿=2,又因為率=2=2,故｛&）是以4為首項，2為公比的等比數(shù)列，S,=4X

+,

2--l=2"+>=Si=4,a,=S,—S“=2"-2"=2"（7i>2）,

即"”=所以｛“,）不是遞增數(shù)列，所以C錯誤,D正確.故選：AD.

12.CD當(dāng)力40時，/（幻此時/'（GyQ+m,

令支）>0,解得：一1<工<0,令/'（N）V0,解得用〈一1,

可得f（N）在（一8,—1）上單調(diào)遞減且恒負(fù)，在（-1,0）上單調(diào)遞增且恒負(fù)，且八一1）=-9，

當(dāng)x>0時"（為=一夕2-2工=一（工一1產(chǎn)+1,作出f（幻的大致圖象如圖所示，

函數(shù)g（x）=3［/（編了一肛〃2）—2癥（加GR）恰有5個零點a1,33，，工5?

等價于方程3［/（x）『一7nf（z）—2M=0有5個不同的實數(shù)根，

解得：〃了）=血或/（X）=一絲,加/0,該方程有5個根，—

且，（工3）=/（14）,則氏+%=2,/（Xi）=y（X2）=/（X5）>

當(dāng)m<0時"3）=/（如）=f（兩）=加￡（一j°），

〃工3）=/3）=一早6（0，1），故加￡

所以2f（m）+/（g）+f（2—％）=2義11）+/（￡3）+，（/）=2/（11）+2/（色）

=2m—1~7n=等7九6（一N,0）；

t

當(dāng)m>0時,f（加）=/（x2）=/（x5）=（-5，。），

（工

f3）=/Cx4）=?n€（0,1），故mE（0,^）,

所以2f（為）+/（工3）+了（2--工3）=2/（可）+義］3）+，（4）=2/（工1）+2/03）

=——?n4-2m=-^-7幾G（°，；），

oJe

綜上：2/（?）+/（13）+/（2--4）的取值范圍是：（一），。）U（0,.）.故選:CD.

13.-二（答案不唯一，符合條件即可）

3-2

14.75+2易知工=堂,。一。=26/7—1）,得a=2展,c=2,所以橢圓E的右焦點為F（2,0）,二》=4,拋物線

C的方程為必=8］，準(zhǔn)線方程為Z：工=-2,設(shè)動點P到直線Z的距離為治，則4=4+2,而P到直線I的

距離等于IPF|&+dz的最小值即為尸到直線2工一y+l=。的距離d=一祟6,則為+4的

最小值為g'十2.

15.口號）因為函數(shù)f（］）=cos（RN一夕）圖像關(guān)于原點對稱，且（一打,0）,

即函數(shù)為奇函數(shù)，所以f（0）=0=cos（-3）=0=8=-?￡,

故/（x）=cos（a>x+-^-）=-shkaz,

當(dāng)會［一方?，川時,3工6［一?母3,會］,有且只有一個最大值和一個最小值，

【南粵?名校?數(shù)學(xué)參考答案第2頁（共6頁）】

則（F4）?空十（5+A豹號X（5+2萬^T

當(dāng)且僅當(dāng)^，即a="|-,〃=學(xué)時等號成立，所以D正確.故選:ACD.

H.AD由題意可知Sa=4$2-4S|=16,所以S<=4$-4S2=32,S6=4S4-4Sa=64,故A正確；

因為$一2sl=0,所以｛S,+L26“｝不能她等比數(shù)列，故B錯誤；

因為4S"=Se卜4sl（”32）,即S+=4S—心23

2

所以S.+1—2S?=2'（S?-2S,1）=2（S,,-1-2sL2）=-=2"（54-2S,）=0,

所以5,+1-2&=0,即紿=2,又因為率=2=2,故｛&）是以4為首項，2為公比的等比數(shù)列，S,=4X

2"-'=2"+>=Si=4,a,=S,—S“=2"+,-2"=2"（7i>2）,

即"”=所以｛“,）不是遞增數(shù)列，所以C錯誤,D正確.故選：AD.

12.CD當(dāng)力40時，/（幻此時/'（GyQ+m,

令支）>0,解得：一1<工<0,令/'（N）V0,解得用〈一1,

可得人力在（一8,—1）上單調(diào)遞減且恒負(fù)，在（一1,（））上單調(diào)遞增且恒負(fù)，且八一1）=-9，

當(dāng)X>0時"（乃=一夕2-23=一（工一1產(chǎn)+1.作出f（幻的大致圖象如圖所示，

函數(shù)屋工）=3匚/*（了）12—7九］（幻―2?。覥R）恰有5個零點xi,6，33，，工5?

等價于方程3［/（x）『一7nf（z）—2M=0有5個不同的實數(shù)根，

解得：〃了）=血或f（x）=一絲,加/0,該方程有5個根，—

且，（工3）=/（%），則.+%=2,/（xi）=f（xt）=f（x9）9

當(dāng)m<0時"3）=/（如）=f（兩）=加￡（一j°），

〃工3）=/3）=一早6（0，1），故加￡

所以2f（m）+/（g）+f（2—％）=2義11）+/（￡3）+，（/）=2/（句）+2/（色）

=2m—1-7n=母7九6（一N,0）；

t

當(dāng)m>0時,f（加）=/（x2）=/（x5）=（-5，。），

f（工3）=/Cx4）=?n€（0,1），故mE（0,^）,

所以2f（為）+/（工3）+了（2--工3）=2/（可）+義］3）+，（4）=2/（工1）+2/03）

=——?n4-2m=-^-7幾G（°，；），

oJe

綜上：2/（?）+/（13）+/（2--4）的取值范圍是：（一），。）U（0,.）.故選:CD.

13.-二（答案不唯一，符合條件即可）

3-2

14.75+2易知工=堂,。一。=26/7—1）,得a=2展,c=2,所以橢圓E的右焦點為F（2,0）,二》=4,拋物線

C的方程為必=8工,準(zhǔn)線方程為Z：工=-2,設(shè)動點P到直線Z的距離為治，則4=4+2,而P到直線I的

距離等于IPF|&+dz的最小值即為尸到直線2工一y+l=。的距離d=一祟6,則為+4的

最小值為g'十2.

15.口號）因為函數(shù)f（］）=cos（RN一夕）圖像關(guān)于原點對稱，且（一打,0）,

即函數(shù)為奇函數(shù)，所以f（0）=0=cos（-3）=0=8=-?￡,

故/（x）=cos（a>x+-^-）=-shkaz,

當(dāng)會［一方?，川時,3工6［一?母3,會］,有且只有一個最大值和一個最小值，

【南粵?名校?數(shù)學(xué)參考答案第2頁（共6頁）】

號《為〈竽'L2

】6.年內(nèi)+除4在平面中，以B為原點以AB為工軸建系，易得P在空間內(nèi)軌跡為以0(1,0)為球心半徑為2

的球.

若P在用邊形ABBiA＞內(nèi)部時如圖②，般而例與分別交于M,R,所以P在四邊形ABBI.4,內(nèi)的

軌跡為MR,

?；|RO|=2.|BO|=1,在R/ZXRBO中NROB=601.\M^=2X

所以，當(dāng)P在面ABBIAI內(nèi)部的軌跡長為■1?女,

同理，當(dāng)P在面ABCD內(nèi)部的軌跡長為告X,

當(dāng)P在面BCGB時,如圖③所示，

O/LL面BCGBi,平面BCC,B,薇球所得小圓是以B為圓心，以BP為半徑的圓，戡面圓與分別交

于R,Q,且BP=，。產(chǎn)-OB1=，4-I=73,

所以P在正方形BCGBi內(nèi)的軌跡為RQ,所以RQ=￡X6=享k.

綜上:P的軌跡長度為■|"K+?|■"+亨*=9+'亨".

】7.解：（1）設(shè)等差數(shù)列（aQ的公差為d,

2as=3%+10d=29，=3

則&=8勾+竽d=8。，解得（a=2，

；?%=3+2（〃-1）=2〃+1.............................................................分

]1_1/1__1\

...................................................................................

.?.兀=瓦+&+??+b.=/（g―+++—/+???+普一盛）=十居一盛）=十一品.

.........................................10分

18.解M1）證明I由余弦定理a21=3+ct―2bcco&A和A=專，

得〃=〃+/一兒，..............................................................................

又因為仔=26,所以有。2-〃=灰,B

由正弦定理可得sin:/\-sin2B=sinBsinC,

BP（sinA+sinB）（sinA-sinB）=sinBsinC............................

（2）由（1）得a?=〃+/—6c,又因為a=2,所以〃+c，一加=4,6分

【南粵名校?數(shù)學(xué)參考答案第3頁6共、6頁》,

即(6+c)2—3加=4,所以36c+4=(〃+c?43)+4,9分

即(〃+c)?416,所以〃-|"44,可得a-M+r?6,

.............................................................................................................................................................................12分

】9.解：(1)點尸為線段PC的中點....................................................................

證明如下?

過點F作FM//CD交PD于點M,因為底固AI3CD為菱形，所以AE^CD,

故FM〃人E,即人、E、尸、M四點共帆

因為EF〃平而PAD/汴U平面入EFA4,平而八EFMn平而PAD-AM,

所以EP〃4M,所以四邊形AEFM為平行四邊形‘可得】，'M=AE=/CD,

所以FM為△1>口)的中位紋，故點尸為線段PC的小點..............................................

⑵解:設(shè)AD的中點為N,連接PN.因為PA=PD=&,AI)=2,

則PA7-PD：=八D：,所以APAD為等腰苴角三角形，可得PN=1,

設(shè)點P到平而AHCD的距周為心

因為登形ABCD的面積為2々,口四梭俳P-ABCD的體積為挈，

V

12?/^

可得〒X2WXd=-^?，解得d=】，即PN=d，所以PNJ_平面AEGD,.................................................7分

。0

以點N為原點，以NA、NB,NP所在的直線分別為工,y軸和z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，

，

可得P(0,0,l),B(0,>/3,0),C<-2,,/3,0),!ll!]P15=(0^,-1),BC；=(-2,0,0),

設(shè)平面PBC的法向址為，n=(H,y,z),可得

bi?BC=-2工=0

取y=l?可得工=0~=?火\所以m=(O,l，VJ3.......................................10分

因為NB_L平面PAD,所以平面PAD的一個法向獨為〃=(0,1,0),

則cos<m?n>=,1T*??=4"?

|m|?\n\2

所以平面PBC與平面PAD所成角的余弦值為J.....................................................................................12分

c?

20.fi|：(l)x=25XO.04+75X0.12+125X0.28+175X0.36+225X0.1O+27SX0.06+325X0.04=160,…

...............................................................................................................................................................................

(2)依場意可得Z?N(l60,65?),則

P(^-tf<Z</i+tf)=P(16O-65<Z<16O+65)=P(95<Z<225)=O.6827,

所以P(Z<95)="1-(1-O.6827)=0.15865,

而X-B(1000,0.15865),

所以E(X)=1000X0.15865=158.65；........................................................................................................5分

(3)方案一；按分層抽樣在銀卡客戶、金卡客戶、鉆石卡客戶中共抽取24人，而銀卡客戶、金卡客戶鉆石卡

客戶分別有12人,28人,56人,所以銀卡客戶、金卡客戶、鉆石卡客戶被抽取的人數(shù)分標(biāo)為3人;人14

人，但14個鉆石卡客戶中有1人月使用流量大于300GB，所以按照方案一，中國移動免收的套餐費后為gx

...................................................................................

方案二:設(shè)7為參加一次摸球游戲中國移動所帑返現(xiàn)金額，則V的可能取值為0,50,100,150.'

每次撿到紅球的假率為十，

P5=。)=信)'唱，

F(7=50)=Ci?+.(H||,

p(,=ioo)=q.(±).Y=^,

P(T=150)=G)=吉,

所以E5)=sox|^+ioox卷+150X^=37,55),

所以按照方案二，中國移動帶返現(xiàn)的費用為(4X1+12X2+28X3+56X4)X37.5=12600《元)

【南考名校?數(shù)學(xué)分帶答案第4頁(共6頁)】

因為12133Vl2600,所以中國移動應(yīng)選擇方案L...........................................12分

21.解：（1）E的漸近線方程為以士”=0,尸?（一c,0）,

布'、二=*=》=",......................................................................

4~u，

、22.?

又加=-c,代入為一方=1,得yu=人=3,解得a=l.......................................4分

a'廠a

所以雙曲線E方押標(biāo)準(zhǔn)力程為E：/-^=h...............................................6分

（2）當(dāng)切線2的斜率不存在時,/的方程為x=irj

若窯=:,可求得PG?，“3產(chǎn)―3、），Q3—4尸I）,因為OPJ_OQ,即9-小4=0,所以磔?西=，一

（3r!-3）=0,解得廠一察

若.￡=一，］，同理可求得,二專1...........................................................7分

當(dāng)切線I的斜率存在時，可設(shè)I的方程為y=A*+m,顯然k手上耳,

由2與圓工？+,=/相切，所以一型1==「，即”/=/（〃+1）,................................8分

A/FTI

聯(lián)立y―人工+，”與E：/一4=1得

（3一~2奶比一/一3=0,設(shè)P（x），v）,Q（N2,1y2），得

y\yz=^kx\十7＞）a%2+m）K/XE】XI+々m（為+死）丁癥=用_『一,

辦?至=工1工2+“2=丁’/3+智卷王=刎晨若-3=0恒成立,.......................10分

0-ROK0-R

由/=，（公+D,得

所以2/（小十1）一3〃-3=0,（2，-3）（/+D=0,解得r=停，................................11分

綜上，若OP_LOQ恒成立，那么r的值為號....................................................12分

—,X-（1+lnx）

22.解“。/（幻二三---言-------=半”,工€（0,+8）

令，（幻=0,得工一1,工匠（0,1）時,尸（幻＞。,了€（1,+8）時,/（工）＜0,所以f（H）在（0,1）上單調(diào)遞增，在

（1,十8）上單調(diào)遞減，極大值為/（1）=1，無極小值...........................................3分

（2）問題等價于求實數(shù)a的取值范圍，使得方程/'（工）一屋工）=上詈5—々廠+1=0有兩個根，即方程工十限工

-H-a_ce*=0有兩個根，........................................................................

令尸(幻=N+laz+l-“工廠

F，(%)=l+§—〃(夕+1)/=(1+1))

令夕（力）=十一ae%/（%）=一十一a/......................5分

①若a40,夕（公）0,即F'（Z）＞0,F（N）單調(diào)遞增，F(xiàn)G）至多一個零點，不滿足題意，

②若￡＞0,/（幻=一+-ae^V0,奴工）單調(diào)遞減，當(dāng)0V1V1時，展x）=十一ac”＞l—口/,

令必外＞0