2023年高考第一次模擬考數(shù)學(xué)試卷（甲卷（理））（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE12023年高考第一次模擬考試卷（甲卷（理））數(shù)學(xué)一、單選題1．已知集合則（

）A． B． C． D．〖答案〗A〖解析〗由題意，，故選：A.2．若（，為虛數(shù)單位），則（

）A． B． C． D．〖答案〗B〖解析〗因?yàn)椋?，故，則.故選：B.3．北斗導(dǎo)航系統(tǒng)由55顆衛(wèi)星組成，于2020年6月23日完成全球組網(wǎng)部署，全面投入使用.北斗七星自古是我國人民辨別方向判斷季節(jié)的重要依據(jù)，北斗七星分別為天樞、天璇、天璣、天權(quán)、玉衡、開陽、搖光，其中玉衡最亮，天權(quán)最暗.一名天文愛好者從七顆星中隨機(jī)選兩顆進(jìn)行觀測，則玉衡和天權(quán)至少一顆被選中的概率為（

）A． B． C． D．〖答案〗B〖解析〗因?yàn)橛窈夂吞鞕?quán)都沒有被選中的概率為，所以玉衡和天權(quán)至少一顆被選中的概率為.故選：B.4．若平面向量與的夾角為，則A． B．． C．1 D．2〖答案〗D〖解析〗，故選D.5．已知，，動點(diǎn)C在曲線T：上，若△ABC面積的最小值為1，則不可能為（

）A． B． C． D．〖答案〗D〖解析〗設(shè)，因?yàn)?，所以，?直線的方程為，即.因?yàn)椋?，所?則點(diǎn)到直線的距離為.因?yàn)?，，所?所以.當(dāng)時(shí)，，可得當(dāng)時(shí)，，符合題意；當(dāng)時(shí)，，可得當(dāng)時(shí)，，符合題意；當(dāng)時(shí)，，可得當(dāng)時(shí)，，符合題意；當(dāng)時(shí)，，可得當(dāng)時(shí)，，不符合題意.故不可能為.故選:D.6．定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，其值域?yàn)椋瑒t的取值范圍是（

）A． B． C． D．〖答案〗D〖解析〗因?yàn)?，由可得，，則，由題意可得，解得.故選：D.7．函數(shù)的圖象大致是（

）A． B．C． D．〖答案〗B〖解析〗由得或，故C錯；又，當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則在處取得極大值，在處取得極小值，故AD錯；故選：B.8．已知數(shù)列滿足：，，.若，則（

）A．1 B．2 C．3 D．2022〖答案〗A〖解析〗令，則故，為常數(shù)，故數(shù)列是等差數(shù)列故選：A.9．已知直線l：若l上有且僅有一點(diǎn)P，使得以點(diǎn)P為圓心，1為半徑的圓過原點(diǎn)O，則的最大值為（

）A． B． C．2 D．1〖答案〗A〖解析〗由題意可知，，點(diǎn)有且僅有一個，到直線l的距離為1，即，即，設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即,,即時(shí)，等號成立，故最大值為故選:A.10．在正四棱臺中，，．當(dāng)該正四棱臺的體積最大時(shí)，其外接球的表面積為（

）A． B． C． D．〖答案〗D〖解析〗設(shè)底邊長為a，原四棱錐的高為h，如圖，分別是上下底面的中心，連結(jié)，，，根據(jù)邊長關(guān)系，知該棱臺的高為，則，由，且四邊形為直角梯形，，，可得，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，此時(shí)棱臺的高為1.上底面外接圓半徑，下底面半徑，設(shè)球的半徑為R，顯然球心M在所在的直線上.顯然球心M在所在的直線上.當(dāng)棱臺兩底面在球心異側(cè)時(shí)，即球心M在線段上，如圖，設(shè)，則，，顯然則，有，即解得，舍去.當(dāng)棱臺兩底面在球心異側(cè)時(shí)，顯然球心M在線段的延長線上，如圖，設(shè)，則，顯然即，即解得，，此時(shí)，外接球的表面積為.故選：D.11．已知P為拋物線上一動點(diǎn)，F(xiàn)為E的焦點(diǎn)，點(diǎn)Q為圓上一動點(diǎn)，若的最小值為3，則（

）A．5 B．4 C．3 D．2〖答案〗B〖解析〗可轉(zhuǎn)化為，則圓心為，半徑為1.因?yàn)榈淖钚≈禐?，點(diǎn)Q為圓上一動點(diǎn)，設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為，則的方程為：過點(diǎn)作,為垂足，則如圖，則.由，可得，故選：B12．，則a，b，c的大小順序?yàn)椋?/p>

）A． B．C． D．〖答案〗A〖解析〗令，則，，，而且，即時(shí)單調(diào)增，時(shí)單調(diào)減，又，∴，.若有兩個解，則，，即，，令，則，即在上遞增，∴，即在上，，若即，故，有∴當(dāng)時(shí)，，故，綜上：.故選：A.二、填空題13．若定義在R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)滿足，則的〖解析〗式為___________.〖答案〗〖解析〗由題意得：，即①，②，②-①得：，解得：.故〖答案〗為：14．我國南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶在《數(shù)學(xué)九章》的“田域類”中寫道：問沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，…，欲知為田幾何．意思是已知三角形沙田的三邊長分別為13，14，15里，求三角形沙田的面積．請問此田面積為_______平方里．〖答案〗84〖解析〗由題意畫出圖象：且AB=13里，BC=14里，AC=15里，在△ABC中，由余弦定理得，cosB===，所以sinB==，則該沙田的面積：即△ABC的面積S=AB?BC?sinB==84．故〖答案〗為84．15．已知函數(shù)，在點(diǎn)處的切線與直線平行，則的值為___________.〖答案〗〖解析〗因?yàn)?，所以，所以，即函?shù)在點(diǎn)處切線的斜率為，因?yàn)榍芯€與直線l平行，所以，即.故〖答案〗為：16．已知函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱，若，，使得，則的最大值是______．〖答案〗〖解析〗關(guān)于點(diǎn)中心對稱，所以，，所以，解得，，，令解得，，所以在區(qū)間遞減；在區(qū)間遞增，所以的極大值是，極小值是，依題意，，使得，所以是的單調(diào)遞減區(qū)間，所以的最大值是.故〖答案〗為：三、解答題17．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和滿足．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）令，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．解：（1）當(dāng)，，故，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，,兩式相減得：，即，故數(shù)列為等比數(shù)列，公比，所以．（2），故，故，令①，②，①-②得即，故．18．甲、乙兩個學(xué)校進(jìn)行體育比賽，比賽共設(shè)三個項(xiàng)目，每個項(xiàng)目勝方得10分，負(fù)方得0分，沒有平局．三個項(xiàng)目比賽結(jié)束后，總得分高的學(xué)校獲得冠軍．已知甲學(xué)校在三個項(xiàng)目中獲勝的概率分別為0.5，0.4，0.8，各項(xiàng)目的比賽結(jié)果相互獨(dú)立．（1）求甲學(xué)校獲得冠軍的概率；（2）用X表示乙學(xué)校的總得分，求X的分布列與期望．解：（1）設(shè)甲在三個項(xiàng)目中獲勝的事件依次記為，所以甲學(xué)校獲得冠軍的概率為．（2）依題可知，的可能取值為，所以，,，，.即的分布列為01020300.160.440.340.06期望.19．如圖，在三棱錐中，底面為直角三角形，且，底面，且，點(diǎn)是的中點(diǎn)，且交于點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）當(dāng)時(shí)，求二面角的余弦值．（1）證明：因?yàn)榈酌娴酌鍭BC,所以又平面SAB,所以.因?yàn)槭荢B的中點(diǎn),所以，平面SBC，又平面SBC,所以，平面AMN，（2）解：如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，設(shè)平面的一個法向量為則即,取由(1)可知是平面AMN的法向量二面角的余弦值為20．己知雙曲線與雙曲線有相同的漸近線，A，F(xiàn)分別為雙曲線C的左頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)，過F且垂直于x軸的直線與雙曲線交于第一象限的點(diǎn)B，的面積為（1）求雙曲線C的方程；（2）若直線與雙曲線的左?右兩支分別交于M，N兩點(diǎn)，與雙曲線的兩條漸近線分別交于P，Q兩點(diǎn)，，求實(shí)數(shù)的取值范圍.（1）解：如圖，其中，雙曲線與雙曲線有相同的漸近線，所以則，由題知，所以則，解得所以雙曲線C的方程為.（2）解：設(shè)，則所以，則，且所以設(shè)，由得，同理，所以，所以，其中，，因?yàn)椋实娜≈捣秶?21．已知函數(shù)（1）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若存在，使得，設(shè)函數(shù)的圖像與軸的交點(diǎn)從左到右分別為，，，，證明：點(diǎn)，分別是線段和線段的黃金分割點(diǎn).（注：若線段上的點(diǎn)將線段分割成兩部分，且其中較長部分與全長之比等于較短部分與較長部分之比，則稱此點(diǎn)為該線段的黃金分割點(diǎn)）（1）解：因?yàn)椋?①當(dāng)時(shí)，由解得，由解得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；②當(dāng)時(shí)，由解得，由解得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.綜上可知：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）證明：若存在，使得，則，得，得對任意恒成立，即對任意恒成立，所以所以；代入得，由可得.因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于對稱，所以有，得，，，，所以，，所以點(diǎn)，分別是線段和的黃金分割點(diǎn).22．在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線：（t為參數(shù)）．以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為（1）求曲線C的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為，直線l與曲線C的交點(diǎn)為A，B，求的值．解：（1）由,得.兩邊同乘,即.由,得曲線的直角坐標(biāo)方程為（2）將代入,得,設(shè)A,B對應(yīng)的參數(shù)分別為則所以.由參數(shù)的幾何意義得23．已知函數(shù)．（1）解不等式；（2）若關(guān)于的不等式的解集不是空集，求的取值范圍．解：（1）由題意可得，當(dāng)時(shí)，，得，無解；當(dāng)時(shí)，，得，即；當(dāng)時(shí)，，得，即.所以不等式的解集為.（2），則由題可得，解得或.2023年高考第一次模擬考試卷（甲卷（理））數(shù)學(xué)一、單選題1．已知集合則（

）A． B． C． D．〖答案〗A〖解析〗由題意，，故選：A.2．若（，為虛數(shù)單位），則（

）A． B． C． D．〖答案〗B〖解析〗因?yàn)?，故，故，則.故選：B.3．北斗導(dǎo)航系統(tǒng)由55顆衛(wèi)星組成，于2020年6月23日完成全球組網(wǎng)部署，全面投入使用.北斗七星自古是我國人民辨別方向判斷季節(jié)的重要依據(jù)，北斗七星分別為天樞、天璇、天璣、天權(quán)、玉衡、開陽、搖光，其中玉衡最亮，天權(quán)最暗.一名天文愛好者從七顆星中隨機(jī)選兩顆進(jìn)行觀測，則玉衡和天權(quán)至少一顆被選中的概率為（

）A． B． C． D．〖答案〗B〖解析〗因?yàn)橛窈夂吞鞕?quán)都沒有被選中的概率為，所以玉衡和天權(quán)至少一顆被選中的概率為.故選：B.4．若平面向量與的夾角為，則A． B．． C．1 D．2〖答案〗D〖解析〗，故選D.5．已知，，動點(diǎn)C在曲線T：上，若△ABC面積的最小值為1，則不可能為（

）A． B． C． D．〖答案〗D〖解析〗設(shè)，因?yàn)?，所以，?直線的方程為，即.因?yàn)?，，所?則點(diǎn)到直線的距離為.因?yàn)?，，所?所以.當(dāng)時(shí)，，可得當(dāng)時(shí)，，符合題意；當(dāng)時(shí)，，可得當(dāng)時(shí)，，符合題意；當(dāng)時(shí)，，可得當(dāng)時(shí)，，符合題意；當(dāng)時(shí)，，可得當(dāng)時(shí)，，不符合題意.故不可能為.故選:D.6．定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，其值域?yàn)?，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．〖答案〗D〖解析〗因?yàn)?，由可得，，則，由題意可得，解得.故選：D.7．函數(shù)的圖象大致是（

）A． B．C． D．〖答案〗B〖解析〗由得或，故C錯；又，當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則在處取得極大值，在處取得極小值，故AD錯；故選：B.8．已知數(shù)列滿足：，，.若，則（

）A．1 B．2 C．3 D．2022〖答案〗A〖解析〗令，則故，為常數(shù)，故數(shù)列是等差數(shù)列故選：A.9．已知直線l：若l上有且僅有一點(diǎn)P，使得以點(diǎn)P為圓心，1為半徑的圓過原點(diǎn)O，則的最大值為（

）A． B． C．2 D．1〖答案〗A〖解析〗由題意可知，，點(diǎn)有且僅有一個，到直線l的距離為1，即，即，設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即,,即時(shí)，等號成立，故最大值為故選:A.10．在正四棱臺中，，．當(dāng)該正四棱臺的體積最大時(shí)，其外接球的表面積為（

）A． B． C． D．〖答案〗D〖解析〗設(shè)底邊長為a，原四棱錐的高為h，如圖，分別是上下底面的中心，連結(jié)，，，根據(jù)邊長關(guān)系，知該棱臺的高為，則，由，且四邊形為直角梯形，，，可得，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，此時(shí)棱臺的高為1.上底面外接圓半徑，下底面半徑，設(shè)球的半徑為R，顯然球心M在所在的直線上.顯然球心M在所在的直線上.當(dāng)棱臺兩底面在球心異側(cè)時(shí)，即球心M在線段上，如圖，設(shè)，則，，顯然則，有，即解得，舍去.當(dāng)棱臺兩底面在球心異側(cè)時(shí)，顯然球心M在線段的延長線上，如圖，設(shè)，則，顯然即，即解得，，此時(shí)，外接球的表面積為.故選：D.11．已知P為拋物線上一動點(diǎn)，F(xiàn)為E的焦點(diǎn)，點(diǎn)Q為圓上一動點(diǎn)，若的最小值為3，則（

）A．5 B．4 C．3 D．2〖答案〗B〖解析〗可轉(zhuǎn)化為，則圓心為，半徑為1.因?yàn)榈淖钚≈禐?，點(diǎn)Q為圓上一動點(diǎn)，設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為，則的方程為：過點(diǎn)作,為垂足，則如圖，則.由，可得，故選：B12．，則a，b，c的大小順序?yàn)椋?/p>

）A． B．C． D．〖答案〗A〖解析〗令，則，，，而且，即時(shí)單調(diào)增，時(shí)單調(diào)減，又，∴，.若有兩個解，則，，即，，令，則，即在上遞增，∴，即在上，，若即，故，有∴當(dāng)時(shí)，，故，綜上：.故選：A.二、填空題13．若定義在R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)滿足，則的〖解析〗式為___________.〖答案〗〖解析〗由題意得：，即①，②，②-①得：，解得：.故〖答案〗為：14．我國南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶在《數(shù)學(xué)九章》的“田域類”中寫道：問沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，…，欲知為田幾何．意思是已知三角形沙田的三邊長分別為13，14，15里，求三角形沙田的面積．請問此田面積為_______平方里．〖答案〗84〖解析〗由題意畫出圖象：且AB=13里，BC=14里，AC=15里，在△ABC中，由余弦定理得，cosB===，所以sinB==，則該沙田的面積：即△ABC的面積S=AB?BC?sinB==84．故〖答案〗為84．15．已知函數(shù)，在點(diǎn)處的切線與直線平行，則的值為___________.〖答案〗〖解析〗因?yàn)?，所以，所以，即函?shù)在點(diǎn)處切線的斜率為，因?yàn)榍芯€與直線l平行，所以，即.故〖答案〗為：16．已知函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱，若，，使得，則的最大值是______．〖答案〗〖解析〗關(guān)于點(diǎn)中心對稱，所以，，所以，解得，，，令解得，，所以在區(qū)間遞減；在區(qū)間遞增，所以的極大值是，極小值是，依題意，，使得，所以是的單調(diào)遞減區(qū)間，所以的最大值是.故〖答案〗為：三、解答題17．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和滿足．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）令，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．解：（1）當(dāng)，，故，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，,兩式相減得：，即，故數(shù)列為等比數(shù)列，公比，所以．（2），故，故，令①，②，①-②得即，故．18．甲、乙兩個學(xué)校進(jìn)行體育比賽，比賽共設(shè)三個項(xiàng)目，每個項(xiàng)目勝方得10分，負(fù)方得0分，沒有平局．三個項(xiàng)目比賽結(jié)束后，總得分高的學(xué)校獲得冠軍．已知甲學(xué)校在三個項(xiàng)目中獲勝的概率分別為0.5，0.4，0.8，各項(xiàng)目的比賽結(jié)果相互獨(dú)立．（1）求甲學(xué)校獲得冠軍的概率；（2）用X表示乙學(xué)校的總得分，求X的分布列與期望．解：（1）設(shè)甲在三個項(xiàng)目中獲勝的事件依次記為，所以甲學(xué)校獲得冠軍的概率為．（2）依題可知，的可能取值為，所以，,，，.即的分布列為01020300.160.440.340.06期望.19．如圖，在三棱錐中，底面為直角三角形，且，底面，且，點(diǎn)是的中點(diǎn)，且交于點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）當(dāng)時(shí)，求二面角的余弦值．（1）證明：因?yàn)榈酌娴酌鍭BC,所以又平面SAB,所以.因?yàn)槭荢B的中點(diǎn),所以，平面SBC，又平面SBC,所以，平面AMN，（2）解：如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，設(shè)平面的一個法向量為則即,取由(1)可知是平面AMN的法向量二面角的余弦值為20．己知雙曲線與雙曲線有相同的漸近線，A，F(xiàn)分別為雙曲線C的左頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)，過F且垂直于x軸的直線與雙曲線交于第一象限的點(diǎn)B，的面積為（1）求雙曲線C的方程；（2）若直線與雙曲線的左?右兩支分別交于M，N兩點(diǎn)，與雙曲線的兩條漸近線分別交于P，Q兩點(diǎn)，，求實(shí)數(shù)的取值范圍.