廣東省五校2023年高一數(shù)學第一學期期末考試試題含解析

廣東省五校2023年高一數(shù)學第一學期期末考試試題

請考生注意：

1.請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答

案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。

2.答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。

一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，

請將正確答案涂在答題卡上.）

1.已知函數(shù)"x）=-cos2x-Gsin2x,將"％）的圖象上所有點沿x軸平移。（。>0）個單位長度，再將圖象上所

有點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），得到函數(shù)g（x）的圖象，且函數(shù)g（x）的圖象關(guān)于y軸對稱，則。的最

小值是（）

A.—B.-

126

7171

c.—D.—

43

2.下列函數(shù)在（0,+。）上是增函數(shù)的是（）

11

A.y=x，B.y=（-）x

,3

cy=logo.5xD.y=-

X

3.AABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為“、b、c,若。=1/=拒,/。=45,則NA=（）

A.150B.60

C.45D.30

4.已知直線4：2x+y—2=0,Z2：?x+4y+l=0,若乙Z2,則實數(shù)。的值為

A.8B.2

1

C.——D.-2

2

5.在某次測量中得到的A樣本數(shù)據(jù)如下：42,44,44,46,46,46,48,48,48,48.若8樣本數(shù)據(jù)恰好是A樣本數(shù)據(jù)都加2

后所得數(shù)據(jù)，則A3兩樣本的下列數(shù)字特征對應(yīng)相同的是（）

A.眾數(shù)B.平均數(shù)

C.標準差D.中位數(shù)

6.已知函數(shù)=g（x）=<*4x'x>°5則，（）

%+1,%<0.

A.4B.3

C.-3D.-2

7.若將函數(shù)的圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的一半(縱坐標不變)，再將所得圖象向左平移個

f(x)=8$(x+1)J

單位長度，得到函數(shù),的圖象，則下列說法正確的是()

A.(,的最小正周期為4，,B.i在區(qū)間一1上單調(diào)遞減

,圖象的一條對稱軸為直線D心..)圖象的一個對稱中心為管⑼

8.設(shè)。為ABC的邊A3的中點，P為ABC內(nèi)一點，且滿足AP=AO+2BC,則()

5^AABC

32

A.-B.-

55

13

C.一D.—

510

9.已知向量Q=(l,1),匕=(一2,3),那么a—2b=()

A.5B.5V2

C.8D.V74

10.已知函數(shù)y=〃X+4+2(a>0,且a>l)的圖象恒過點P,若角a的終邊經(jīng)過點P,貝!Jsina=()

33

A.-B.--

55

44

C.一D.——

55

11.黃金分割比例廣泛存在于許多藝術(shù)作品中.在三角形中，底與腰之比為黃金分割比的三角形被稱作黃金三角形,

被認為是最美的三角形，它是兩底角為72。的等腰三角形.達芬奇的名作《蒙娜麗莎》中，在整個畫面里形成了一個

黃金三角形.如圖，在黃金三角形ABC中，生二避二1,根據(jù)這些信息，可得sin54o=()

AC2

A2A/5-1A/5+1

A.-------上5?-----

44

非+4A/5+3

------U?------

88

12.已知函數(shù)/(X)=2—lOg2X,則/(x)的零點所在的區(qū)間是()

X

A.(0,1)B.(2,3)

C.(3,4)D.(4,+oo)

二、選擇題(本大題共4小題，每小題5分，共20分,將答案寫在答題卡上.)

13.聲強級L(單位：dB)由公式L=101g］，百］給出，其中I為聲強(單位：W/m2).聲強級為60dB的聲強是聲

強級為30dB的聲強的倍.

14.若塞函數(shù)=4m+3在區(qū)間(0,+e)上是減函數(shù)，則整數(shù)機=

15.設(shè)0，為單位向量.且匕、02的夾角為工，若。=6+3e2，b=2j,則向量a在b方向上的射影為.

3

x+2x<0

f—x+2x>0,則不等式/(九)之M的解集為

三、解答題(本大題共6個小題，共70分。解答時要求寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟。)

17.已知函數(shù)/(x)=2：1:左(左為常數(shù))是定義在R上的奇函數(shù).

(1)求函數(shù)/(幻的解析式；

(2)判斷函數(shù)/Xx)的單調(diào)性，并用定義證明;

(3)若函數(shù)/(%)滿足了(2—3%)+/(%)>。，求實數(shù)1的取值范圍.

18.已知集合A={x[3-〃KxK3+a},6={]|%?0或％24}

(1)當〃=1時，求AB；

(2)若〃>0,且“％￡4,是“工的充分不必要條件，求實數(shù)〃的取值范圍

V2

19.已知函數(shù)大幻=_(〃，方為常數(shù))，且方程Ax)—％+12=0有兩個零點分別為3和4.求函數(shù)大?的解析式

ax+b1

20.已知a=(1,1),b=(—1,2)

(1)求。I

(2)設(shè)。與匕的夾角為6,求cos。

21.如果一個函數(shù)的值域與其定義域相同，則稱該函數(shù)為“同域函數(shù)”.已知函數(shù)了(尤)=4狽2+公+a+i的定義域為

{x|ax2+Z?x+a+120且尤20}.

(I)若a=—2,b=3,求了(尤)的定義域；

(II)當。=1時，若"％)為"同域函數(shù)”，求實數(shù)b的值；

(III)若存在實數(shù)。<0且aw-1,使得/'(%)為“同域函數(shù)”，求實數(shù)6的取值范圍.

22.如圖所示四棱錐P—ABCD中，上4J_底面ABCD,四邊形ABCD中，AB±AD,BC//AD,

PA=AB=BC=29AD=4

(1)求四棱錐P-ABCD的體積；

(2)求證：C￡>,平面PAC；

(3)在棱PC上是否存在點M(異于點C),使得6M//平面PA。，若存在，求黑的值；若不存在，說明理由

參考答案

一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的,

請將正確答案涂在答題卡上.)

1、B

【解析】先將/(%)解析式化簡后，由三角函數(shù)圖象變換得到g(x)的解析式后求解.

［詳解］/(%)=-cos2%-V3sinlx=-2sin(2x+—)

6

若向左平移e(e>o)個單位長度，再將圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變)得到

g(x)=-2sin(x+q+2e),

由題意得工+26=二+左肛左eZ,。的最小值為5；

若向右平移>0)個單位長度，再將圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變)得到

JT

g(x)=-2sin(x+--28),

TT

同理得夕的最小值為彳，

故選：B

2、A

【解析】根據(jù)題意，依次分析選項中函數(shù)的單調(diào)性，綜合即可得答案

【詳解】解：根據(jù)題意，依次分析選項：

對于A,丫=*5=4,在區(qū)間(0,+a)上單調(diào)遞增，符合題意；

對于B,y=《)、，為指數(shù)函數(shù)，在區(qū)間(o,+。)上單調(diào)遞減，不符合題意；

對于c,y=iog05x,為對數(shù)函數(shù)，在區(qū)間(0,+。)上單調(diào)遞減，不符合題意；

對于D,y=-反比例函數(shù)，在區(qū)間(0,+。)上單調(diào)遞減，不符合題意；

X

故選A

【點睛】本題考查函數(shù)單調(diào)性的判斷，屬于基礎(chǔ)題

3、C

【解析】由已知利用余弦定理可求c的值,利用等腰三角形的性質(zhì)可求NA的值.

【詳解】解：???〃=12=夜，NC=45,

5

???由余弦定理可得02=4+b22abeosC=\+2-2xlx72x—=1,

2

求得：c=l.

?.a—c=1

???NA=NC=45.

故選：c.

【點睛】本題主要考查了余弦定理在解三角形中應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.

4、A

【解析】利用兩條直線平行的充要條件求解

【詳解】：?.?直線L：2x+y-2=0,b：ax+4y+l=0,I1//I2,

?1-1

??――,

a4

解得a=8

故選A.

【點睛】7本題考查實數(shù)值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認真審題，注意直線平行的性質(zhì)的靈活運用

5、C

【解析】分別求兩個樣本的數(shù)字特征，再判斷選項.

【詳解】A樣本數(shù)據(jù)是：42,44,44,46,46,46,48,48,48,48,

B樣本數(shù)據(jù)是:44,46,46,48,48,48,50,50,50,50,

A樣本的眾數(shù)是48,B樣本的眾數(shù)是50,故A錯;

42+44+44+46+46+46+48+48+48+48

A樣本的平均數(shù)是=46，

10

B樣本的平均數(shù)是46+2=48,故B錯;

A樣本的標準差為=（42—46『+2（44—46『+3（46—46）*2+4（48-46）2=2

22

B樣本的標準差S2=J—P(44-48)+2(46-48『+3(48—48)+4(50-48『］=2,

$1=$2，故C正確;

A樣本的中位數(shù)是竺士竺=46,B樣本的中位數(shù)是史譽=48,故D錯.

22

故選：c

6、D

【解析】根據(jù)分段函數(shù)解析式代入計算可得；

【詳解】解：因為/(%)=—%2—2兀，8(同=、所以/⑴=—F—2xl=—3,

x+l,x<0.

所以g[/(l)]=g(_3)=_3+l=_2

故選：D

7、D

【解析】根據(jù)題意函數(shù)的圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的一半(縱坐標不變)，再將所得圖象

f(?)=8￡(*+為

向左平移個單位長度，得到函數(shù)，即可求出最小正周期，把看成是整體，分別求y的單

:S(x)=coS(2x+f)2*+：飄幻

調(diào)遞減區(qū)間、對稱軸、對稱中心，在分別驗證選項即可得到答案.

【詳解】由于函數(shù)的圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的一半(縱坐標不變)，故函數(shù)的解析式為

、，再將所得圖象向左平移個單位長度，,、，、?-，故A錯誤；“力

cos(2x+~);g(x)=cos(2x++=cos(2x+^)T=—=u

的單調(diào)減區(qū)間為，故式外在區(qū)間11內(nèi)不單調(diào)遞減;

2ku<2*+y<u+€2)=>-^+ku<x<y+kuXA€2)"[0用

,,圖象的對稱軸為，r不存在上使得.；圖象的一條對稱軸為直線，，故c

2x+-=kn.k€2x=ft€2"K=—

(tSC18

錯誤；小、圖象的對稱中心的橫坐標為，當時，，，圖象的一個對稱中

心為，故D正確.

臣)

故選：D.

8、C

2

【解析】根據(jù)AP=AD+gBC,確定P點的位置；再根據(jù)面積公式，即可求得結(jié)果.

ixnrmna71X11

【詳解】如圖取得點E,使得DP=BE=^BC

四邊形為平行四邊形，

<-xADxDPsinZABC1

S^ABC-xABxBCsinZADP5

2

故選：C.

【點睛】本題考查平面向量的基本定理，以及三角形的面積公式，屬綜合中檔題.

9、B

【解析】根據(jù)平面向量模的坐標運算公式，即可求出結(jié)果.

【詳解】因為向量。=（1,1）,^=（-2,3）.所以&-2匕=（5,—5）

\a-2b\=6+（-5）2=5A/2.

故選:B.

10、A

【解析】由題可得點P（-4,3）,再利用三角函數(shù)的定義即求.

【詳解】令尤+4=0,則x=-4,y=3,

所以函數(shù)y=a"4+2（a>0,且awl）的圖象恒過點P（-4,3）,

又角a的終邊經(jīng)過點P,

3

所以sina=g,

故選：A.

11、B

【解析】由題意cos72。=避二L結(jié)合二倍角余弦公式、平方關(guān)系求得cos36°=叵*，再根據(jù)誘導公式即可求

44

sin54°.

【詳解】由題設(shè)，可得cos72。=1—25^236。=^^，cos236°+sin236°=l.

4

所以cos?36°=舊；,Xcos36°e?

所以cos36°=cos（90°-54°）=sin54°=百+1.

4

故選：B

12、C

【解析】先判斷出函數(shù)的單調(diào)性，然后得出/（3）,/（4）的函數(shù)符號，從而得出答案.

【詳解】由丁=自在（0,+。）上單調(diào)遞減，丁=1。82%在（0,+。）上單調(diào)遞減

所以函數(shù)/'（x）=9-log2x在（0,+8）上單調(diào)遞減

431

又/⑶=2-10823=1限§＞。"（4）=5-1%4=-5＜。

根據(jù)函數(shù)y（x）在（0,+8）上單調(diào)遞減，由零點存在定理可得函數(shù)在（3,4）之間存在零點.

故選：C

二、選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分,將答案寫在答題卡上.）

13、1000

【解析】根據(jù)已知公式，應(yīng)用指對數(shù)的關(guān)系及運算性質(zhì)求60dB、30dB對應(yīng)的聲強，即可得結(jié)果.

【詳解】由題設(shè)，101g（4）=60,可得/60=10-6，

10

101g（告）=30,可得10、

...聲強級為60dB的聲強是聲強級為30dB的聲強的少=1000倍.

^30

故答案為：1000.

14、2

【解析】由題意可得機2_4m+3＜0,求出加的取值范圍，從而可出整數(shù)的值

【詳解】因為塞函數(shù)/（尤）=”i+3在區(qū)間（0,+。）上是減函數(shù)，

所以根2_4m+3<0，解得1V根<3,

因為根wZ，

所以根=2，

故答案為：2

a-b_(6+3e)-2e_2e-e+6e-e

【解析】|a|cos6=|。卜211xx2=l+3cos—=一

32

考點：該題主要考查平面向量的概念、數(shù)量積的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查數(shù)學能力.

16、［-1,1］

【解析】分x小于等于0和x大于0兩種情況根據(jù)分段函數(shù)分別得到f(x)的解析式，把得到的f(x)的解析式分別

代入不等式得到兩個一元二次不等式，分別求出各自的解集，求出兩解集的并集即可得到原不等式的解集

【詳解】解：當xWO時，f(x)=x+2,代入不等式得：x+2》x2,即(x-2)(x+1)W0,解得TWxW2,所以原不等

式的解集為［-1,0］；當x>0時，f(x)=-x+2,代入不等式得：-x+2'x2,即(x+2)(x-1)W0,解得-2WxWl,所

以原不等式的解集為［0,1］,綜上原不等式的解集為［-1,1］.

故答案為［-1,1］

【點睛】此題考查了不等式的解法，考查了轉(zhuǎn)化思想和分類討論的思想，是一道基礎(chǔ)題

三、解答題(本大題共6個小題，共70分。解答時要求寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟。)

i-2x

17、(1)于(x)=—■—

2叫2

(2)Ax)在R上單調(diào)遞減，證明見解析

(3)%>1

【解析】(1)依題意可得/(-%)=-/(%),即可得到方程，解得即可；

(2)首先判斷函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)定義法證明，按照設(shè)元、作差、變形、判斷符號、下結(jié)論的步驟完成即可;

(3)根據(jù)函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性將函數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為自變量的不等式，再解得即可；

【小問1詳解】

解：因為f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，所以/(-%)=-/(幻，

，即所以左.2'+2=2田+左，即(左一2)?(2'-1)=。；解得左=2,

2-x+1+k2x+i+k-2,+22川+左'7v7

所以/(X)=*75

【小問2詳解】

解：函數(shù)f(x)是R上的減函數(shù)

證明：在R上任取工1，巧，設(shè)石〉々，

1-2X11-2J2

/(x)-/(x)=

122再+1+222+1+2

一(2占+1)(2*+1)

因為石〉》2,所以2列>2巧>0，則2一%—2再<0，

所以〃%)-/(%)<。

即/(%)</(%)

所以/'(x)在R上單調(diào)遞減

【小問3詳解】

解：因為f(x)是定義在R上奇函數(shù)

所以/(2-3x)+“X)>0可化為/(2-3%)>-/(%)=f(-x)

又了。)在R上單調(diào)遞減，

所以2—3x<—x

解得尤>1

18、(1)AnB={4}

(2)(0,1)

【解析】(1)首先得到集合A,再根據(jù)交集的定義計算可得；

(2)首先求出集合B的補集，依題意可得A是。8的真子集，即可得到不等式組，解得即可;

【小問1詳解】

解：當。=1時，A=1x|2<x<4},B={x|x<0^x>4},

AoB={4}

【小問2詳解】

解：?.?3={x|xW0或x24},.?.%3={尤［0<%<4},

???“工€4”是“口二5”的充分不必要條件,

.??A是的真子集，,**6Z>0,；?Aw0,

3—6?>0

：.<3+a<4,：.0<a<l,故實數(shù)a的取值范圍為(0,1)

a>0

r2

19、/(%)=—(x*2)

上=-9

a=-1,y

【解析】將3和4分別代入方程/(x)一尸H2=0得3：丁，解得.6=2,，進而可得小)=之("2).

上=-8

、4〃+/?

試題解析:

V2

將3和4分別代入方程―。-x+12=0得

ax-\-b

「-9

3a+b

16

-------=—O

Aa+b

CL=-1,

解得

b=2,

r2

所以/(力=六%w2)

乙Ji

已知零點求函數(shù)/(x)解析式的一般步驟為:

將零點代入函數(shù)〃無)得到方程;

求出方程中的未知參數(shù);

將參數(shù)代入FQ)即可得其解析式.

20、(1)1；(2)叵

10

【解析】分析：(1)直接利用數(shù)量積的坐標表示求a2的值.(2)直接利用向量的夾角公式求cos。.

詳解：(1)a-b=1x(—1)+1x2=1；

(2)=1,2),.?.同=夜，網(wǎng)=有

.^-￡±i_Vio

.c.os琲|0?6一10

點睛：(1)本題主要考查向量的數(shù)量積和向量的夾角，意在考查學生對這些基礎(chǔ)知識的掌握水平和基本的運算能力.(2)

向量的夾角公式為cos(a，＞＞=蓋

也；+才

21、(I)1,i；(II)_2也；(in)(-1,0).

-2x2+3%-1>0

【解析】(I)當a=—2,5=3時，解出不等式組即可;

x>0

2

(II)當。=1時，f(x)=sjx+bx+2(x＞0),分匕20、6co兩種情況討論即可；

(III)分—1＜。＜0、—1＜。＜0且匕＜0、—1＜。＜0且匕＞0三種情況討論即可.

-2x2+3%-1＞01

【詳解】(I)當a=—2,5=3時，由題意知：，解得：一WxWl.

x＞02

??.”九)的定義域為gl;

(II)當。=1時，/(x)=y]x2+bx+2(x＞0)，

(1)當一g＜0,即320時，7(％)的定義域為[0,”)，值域為[后,+8),

??220時，/(%)不是“同域函數(shù)”.

⑵當—5〉0,即6＜0時，當且僅當八=廿—8=0時，/(%)為“同域函數(shù)”.

:，b=-2也.

綜上所述，b的值為-2?.

(III)設(shè)/(%)的