實變函數(shù)習(xí)題與解答

實變函數(shù)復(fù)習(xí)范圍1．設(shè)，則（B）(A)（B）(C)（D）2、設(shè),,則=(A)A、(-1,1)B、(-1,0)C、[0,1]D、[-1,1]3、設(shè),,則=(B)A、(0,1)B、[0,1]C、（0,1]D、(0,+)4、設(shè),,則=(C)A、[1,2]B、(1,2)C、(0,3)D、(1,2]5、設(shè),,則=(C)A、(-1,1)B、[0,1]C、D、{0}6、設(shè),,則=(D)A、(-1,1)B、[0,1]C、ΦD、{0}7、設(shè),,,則(C)A、[0,2]B、[0,2)C、[0,1]D、[0,1)8、設(shè),,,則()A、[0,2]B、[0,2)C、[0,1]D、[0,1]9、設(shè),,則(C)A、ΦB、[0,n]C、RD、(0,)10、設(shè),,則(D)A、(0,1)B、(0,)C、{0}D、Φ11、設(shè),,,則(A)A、ΦB、(0,)C、(0,n)D、(0,)12、集合E的全體內(nèi)點所成的集合稱為E的(A)A、開核B、邊界C、導(dǎo)集D、閉包13、集合E的全體聚點所成的集合稱為E的(C)A、開核B、邊界C、導(dǎo)集D、閉包14、集合E的全體邊界點和內(nèi)點所成的集合是E的(D)A、開核B、邊界C、導(dǎo)集D、閉包15、E-E＇所成的集合是(D)A、開核B、邊界C、外點D、{E的全體孤立點}16、E的全體邊界點所成的集合稱為E的(B)A、開核B、邊界C、導(dǎo)集D、閉包17、設(shè)點P是集合E的邊界點,則(D)A、P是E的聚點B、P是E的孤立點C、P是E的內(nèi)點D、P是的邊界點18、設(shè)是上有理點全體，則下列各式不成立的是（D）（A）(B)(C)=[0，1](D)19、若是一開集列，則是：（A）A、開集B、閉集C、既非開集又非閉集D、無法判斷20、若是一開集列，則是：（D）A、開集B、閉集C、既非開集又非閉集D、無法判斷21、若是一閉集列，則是：（D）A、開集B、閉集C、既非開集又非閉集D、無法判斷22、若是一閉集列，則是：（B）A、開集B、閉集C、既非開集又非閉集D、無法判斷23、下列集合不是可數(shù)集的是（C）A.中的有理數(shù)集B.自然數(shù)集C.中的無理數(shù)集D.中互不相交的開區(qū)間族24、P表示康托爾（cantor）集，則mP＝（A）A、0B、1C、2D、325、集合列的上限集為（C）A[0,1]BCD[0,1)26、下列集合不是可數(shù)集的是（C）A.中的整數(shù)集B.自然數(shù)集C.中的Cantor集D.中互不相交的開區(qū)間族27、G表示康托爾（cantor）集在[0,1]中的余集，則mG=（B）A、0B、1C、2D、328、設(shè)E是[0，1]中的不可測集，則下列函數(shù)在[0，1]上可測的是（C）.A、B、C、D、29、若可測，則它必是（D）.A、連續(xù)函數(shù)B、單調(diào)函數(shù)C、簡單函數(shù)D、簡單函數(shù)列的極限30、若，則（B）A、0B、1C、2D、331、下列說法不正確的是（A）A、E的測度有限，則E必有界B、E的測度無限，則E必?zé)o界C、有界點集的測度有限D(zhuǎn)、的測度無限32、設(shè)其中E是[0,1]的不可測集，則下列函數(shù)在[0,1]可測的是（A）.A、B、C、D、33、設(shè)E是[0,1]上的不可測集，則下列函數(shù)在[0,1]可測的是（C）.A、B、C、D、34、設(shè)E為可測集，則下列結(jié)論中正確的是（D）A、若在E上a,e收斂于一個a,e有限的可測函數(shù)，則一致收斂于B、若在E上a,e收斂于一個a,e有限的可測函數(shù)，則基本上一致收斂于C、若在E上a,e收斂于一個a,e有限的可測函數(shù)，則D、若在E上基本上一致收斂于，則a,e收斂于35、設(shè)，其中E是[0,1]上的不可測集，則（D）在[0,1]可測.A、、B、C、D、36、關(guān)于連續(xù)函數(shù)與可測函數(shù)，下列論述中正確的是（C）A、它們是同一概念B、a,e有限的可測函數(shù)是連續(xù)函數(shù)C、a,e有限的可測函數(shù)是基本上連續(xù)的函數(shù)D、a,e有限的可測函數(shù)是a,e連續(xù)的函數(shù)37、設(shè)其中E是[0,1]上的不可測集，則（A）在[0,1]上是可測的.A、B、C、D、38、關(guān)于簡單函數(shù)與可測函數(shù)下述結(jié)論不正確的是（C）A、簡單函數(shù)一定是可測函數(shù)B、簡單函數(shù)列的極限是可測函數(shù)C、簡單函數(shù)與可測函數(shù)是同一概念D、簡單函數(shù)列的極限與可測函數(shù)是同一概念39、設(shè)E是中的不可測集，則下列函數(shù)在上可測的是（B）.A、B、C、D、40、關(guān)于依測度收斂，下列說法中不正確的是（C）A、依測度收斂不一定一致收斂B、依測度收斂不一定收斂C、若在E上a.e.收斂于a.e.有限的可測函數(shù)，則D、若，則存在子列a.e.收斂于41、設(shè)是可測集上的非負(fù)可測函數(shù)，則（C）A、必可積B、必幾乎處處有限C、必積分確定D、不一定積分確定42、設(shè)在可測集上可積，則在上（B）A、與只有一個可積B、與皆可積C、與不一定可積D、與至少有一個不可積43、設(shè)（），是上的實函數(shù)，則下面敘述正確的是（C）A、在上不一定可測B、在上可測但不一定可積C、在上可積且積分值為0D、在上不可積44、在可測集上可積的必要條件是，為（D）A、連續(xù)函數(shù)B、幾乎處處連續(xù)函數(shù)C、單調(diào)函數(shù)D、幾乎處處有限的可測函數(shù)45、設(shè)為狄立克雷函數(shù)，則（A）A、0B、1C、1/2D、不存在46、設(shè)為Cantor集的特征函數(shù)，則（A）A、0B、1/3C、2/3D、147、設(shè)f(x)是上有界變差函數(shù)，則下面不成立的是（D）(A)在上有界(B)在上幾乎處處存在導(dǎo)數(shù)（C）在上L可積(D)48、設(shè)是一列可測集，，且，則有（A）（A）(B)（C）;（D）以上都不對49、設(shè)f(x)是上絕對連續(xù)函數(shù)，則下面不成立的是（B）(A)在上的一致連續(xù)函數(shù)(B)在上處處可導(dǎo)（C）在上L可積(D)是有界變差函數(shù)二填空題1、設(shè)A為一集合，B是A的所有子集構(gòu)成的集合；若=n,則=2、設(shè)A為一集合，B是A的所有子集構(gòu)成的集合；若A是一可數(shù)集,則=c3、若,,則c4、若,B是一可數(shù)集,則c5、若,,則c6、若是一集合列,且,c7、設(shè)是一列遞增的可測集合，則________。8、[a,b]上的連續(xù)函數(shù)及單調(diào)函數(shù)都是___可測函數(shù)_____。9、葉果洛夫定理反映了___點態(tài)收斂____與__一致收斂______的關(guān)系。10、稱為測度的____次可數(shù)可加性____11、可測集上的連續(xù)函數(shù)都是__可測函數(shù)______。12、可測函數(shù)列的極限是____可測函數(shù)____。13、魯金定理反映了___可測函數(shù)___與__連續(xù)函數(shù)____的關(guān)系。14、設(shè)是一列遞減可測集合，且，，則_________。15、L可測集和波雷爾集相差一個____零測集____。16、設(shè)在可測集上可積，則（0）17、（敘述積分的絕對連續(xù)性）設(shè)在上可積，則對任何可測集，有（0）18、設(shè)為Cantor集，則（0）19、設(shè)為Cantor集，則（0）20、設(shè)為有理數(shù)集，則（0）21、設(shè)為自然數(shù)集，則（0）三、判斷題1、任意集合都有子集。（√）2、E的孤立點必然屬于E.（√）3、當(dāng)充分大以后都有.（√）4、若，且，a,e于E（×）5、若都可測，則f在可測集E上也可測.(√)6、函數(shù)在上可測，當(dāng)且僅當(dāng)對于每一個實數(shù),集合可測.（×）7、若，則一定是可數(shù)集（×）8、設(shè)是中的緊集，則是中的有界閉集.(√)9、凡博雷爾集都是可測集..(√)10、連續(xù)函數(shù)一定是有界變差函數(shù).(×)11、若在可測集E上可測，則也可測。（√）12、若，且，a,e于E（×）13、設(shè)都可測，則也可測，且。（×）14、若在可測集E上可測，則在E的任意可測子集上也可測（√）。15、無限集的外測度一定不為零。（×）16、若在可測集E上可測，則在E的任意子集上可測（×）17、若可測集A是可測集B的子集，且，則（×）18、若都可測，則f在可測集E上也可測（√）19、若E可測，A可測，且，則。（√）四計算題1、設(shè)，計算。2、設(shè)，計算。3、設(shè)，計算。4、設(shè)為Cantor集，，計算。5、設(shè)為Cantor集，，計算。6、設(shè)為Cantor集，，計算。7、求。8、求。9、求。10、求。11、求。12、求。1、解：因為有理數(shù)集的測度為0，故在上幾乎處處有這樣利用積分的性質(zhì)得：=。2、解：因為有理數(shù)集的測度為0，故在上幾乎處處有這樣利用積分的性質(zhì)得：=。3、解：因為有理數(shù)集的測度為0，故在上幾乎處處有。這樣利用積分的性質(zhì)得：=。4、解：因為，故在上幾乎處處有這樣利用積分的性質(zhì)得：=。5、解：因為，故在上幾乎處處有這樣利用積分的性質(zhì)得：=。6、解：因為，故在上幾乎處處有。這樣利用積分的性質(zhì)得：=。7、解：令，則。而。故由Lebesgue控制收斂定理得：。8、解：令，則。而，且函數(shù)在上可積。故由Lebesgue控制收斂定理得：。9、解：令，則。而。故由Lebesgue控制收斂定理得：。10、解：令，則。而，且函數(shù)在上可積。故由Lebesgue控制收斂定理得：。11、解：令，則。而。故由Lebesgue控制收斂定理得：。12、解：令，則。而。故由Lebesgue控制收斂定理得：。13、求解：設(shè)，則易知當(dāng)時，又因，()，所以當(dāng)時，從而使得但是不等式右邊的函數(shù)，在上是可積的，故有五證明題1.證明：A為可數(shù)集，B為至多可數(shù)集，則AB是可數(shù)集.證明:因A可數(shù),所以可設(shè)A={a1,a2,…,an,…},又B至多可數(shù),設(shè)B={b1,b2,…,bn}(當(dāng)B有限時),或B={b1,b2,,bn,}(當(dāng)B可數(shù)時)當(dāng)B有限時,當(dāng)B可數(shù)時,所以可數(shù).2、證明由直線上互不相交的開區(qū)間作為集A的元素，則A至多為可數(shù)集證明：在每個區(qū)間中取一有理數(shù)與這個區(qū)間對應(yīng)，則不同的區(qū)間對應(yīng)不同的有理數(shù)，故A與有理數(shù)的子集對等。而有理數(shù)集是可列的，所以A是至多可列的3、證明：可數(shù)點集的外測度為零證明：設(shè)，令則，且