2024年江蘇省宿遷市宿豫區(qū)九年級中考一模數(shù)學(xué)模擬試卷含詳解

2023-2024學(xué)年度初三一模試卷數(shù)學(xué)

答題注意事項

1.本試卷共6頁，全卷滿分150分，考試時間120分鐘.

2.答題全部寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.

3.答選擇題必須用25鉛筆將答題卡上對應(yīng)的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，請用橡皮擦干凈后，再

選涂其他答案.答非選擇題必須用0.5毫米黑色墨水簽字筆，在答題卡上對應(yīng)題號的答題區(qū)域書

寫答案.注意不要答錯位置，也不要超界.

4.作圖必須用25鉛筆作答，并請加黑加粗，描寫清楚.

一、選擇題（本大題共8小題，每小題3分，共24分.在每小題給出的四個選項中，有且只有一項

是符合題目要求的，請將正確選項的字母代號填涂在答題卡相應(yīng)位置上）

1.若盈利10元記為+1°元，則虧損5元記為（）

A-5元B.-10元C.+5元D.+10元

2.下列運(yùn)算中，正確的是（）

A.3ci+2Z?=5cibB.-a，=a，C.（a+Z?）=a2+b2D.（—=—tz5

3.如圖，直線加〃"，點(diǎn)A。在直線機(jī)上，點(diǎn)B在直線”上，BC平分NABD,若NB4C=122°,則

ZACB的度數(shù)為（）

4.一個正方體六個面分別寫了六個字“正確對待中考”，展開后如圖所示，“正”的對面是（）

B.待C.中D.考

5.某校九年級（1）班全體學(xué)生2024年某次體育模擬考試的成績統(tǒng)計如表:

成績（分）35分以下353637383940

人數(shù)（人）54681098

根據(jù)表中的信息判斷，下列結(jié)論中錯誤的是（）

A.該班一共有50名同學(xué)

B.該班學(xué)生這次考試成績的眾數(shù)是38分

C.該班學(xué)生這次考試成績的中位數(shù)是37分

D,該班學(xué)生這次考試成績的中位數(shù)是38分

3a—X

6關(guān)于X的方程二+2=二的解是正數(shù)’則〃的取值范圍是（）

A.a〉—11B.a>—5C.a>—5且aw—1D.a>—11且awl

7.如圖，在。。中，NAOB=100°,點(diǎn)C在劣弧A5上.若NA5c=18°,則度數(shù)為（）

A.32°B.33°C.34°D.35°

8.如圖，菱形Q鉆C在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（5,0）,對角線。5=46,反比例函數(shù)

k

y=—（左w0,x>0）經(jīng)過點(diǎn)A,則左的值為（

C.2075D.32

二、填空題（本大題共10小題，每題3分，共30分.不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在答

題卡相應(yīng)位置上）

9.分解因式：m2-4=.

10.1月17日，國家統(tǒng)計局發(fā)布數(shù)據(jù)顯示，2023年全年出生人口9020000人，該數(shù)據(jù)為連續(xù)第7年下降，進(jìn)一步延

續(xù)下降趨勢，也是1949年以來的最低水平.數(shù)據(jù)9020000用科學(xué)記數(shù)法表示為.

11.若互1在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是.

2-x

12.如果一個多邊形的內(nèi)角和與外角和的比是7:2,那么這個多邊形的邊數(shù)是.

x-a>0

13.若不等式組10.，有解，則a取值范圍是_______.

2x-3<l

14.如圖，在Rt/VLBC中，。為斜邊AB的中點(diǎn)，E為CD上一點(diǎn)，尸為BE中點(diǎn)，AE=AD,若A3=10,則

DF的長為.

15.如圖，在4x4的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都為1,A、B、C三點(diǎn)都在格點(diǎn)位置，貝UsinNACfi的

值是_______

16.如圖，圓錐形煙囪帽的高為40cm,母線長為50cm,則煙囪帽的側(cè)面積為cm2.（結(jié)果保留萬）

17.已知4（-3,-2）,5（1,-2）,拋物線丁=加+陵+。（。>0）頂點(diǎn)在線段A8上運(yùn)動，形狀保持不變，與無軸

交于C,。兩點(diǎn)（C在。的右側(cè)），下列結(jié)論：?c>-2；②當(dāng)x>0時，一定有y隨尤的增大而增大；③若點(diǎn)。

橫坐標(biāo)的最小值為-5,則點(diǎn)C橫坐標(biāo)的最大值為3；④當(dāng)四邊形A3。為平行四邊形時，a=~.其中正確的是

2

.（填序號）

18.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在x軸負(fù)半軸上，點(diǎn)2在尤軸正半軸上，且AB=3,點(diǎn)C在y軸負(fù)半軸上,

點(diǎn)。在y軸正半軸上，且CD=2,則線段AQ+3C的最小值是.

v八

、D

~AOB~x

C

三、解答題（本大題共10題，共96分.請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出必要的文字說

明、證明過程或演算步驟）

以計算:(I)-1

+（2024-7r）°-V27xtan30°.

3Yx?x

20.先化簡，再求值：—+——十=一y,其中無，y滿足2x+y—l=0.

（x-yx+yjx-y

(1)尺規(guī)作圖：作對角線AC的垂直平分線，交A。于點(diǎn)E,交于點(diǎn)尸；(不寫作法，保留作圖痕跡)

(2)連接"、CE.求證：四邊形AECF是菱形.

22.為落實(shí)“雙減”政策.優(yōu)化作業(yè)管理，某中學(xué)從全體學(xué)生中隨機(jī)抽取部分學(xué)生，調(diào)查他們每天完成書面作業(yè)的

時間t(單位：分鐘)按照完成時間分成五組：A組.“f<45”，8組.“45</W60"，C組."60<f<75"，

。組."75<f<90"，E組“方>90”，將收集的數(shù)據(jù)整理后，繪制成如圖兩幅不完整的統(tǒng)計圖.

短天完成書面作業(yè)時間條形統(tǒng)計圖每天完成書面作業(yè)時間扇形統(tǒng)計圖

(1)這次調(diào)查的總?cè)藬?shù)是人，請補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖；

(2)在扇形統(tǒng)計圖中，8組的圓心角是________度;

(3)若該校有1800名學(xué)生，請你估計該校每天完成書面作業(yè)不超過90分鐘的學(xué)生人數(shù).

23.不透明的袋子中裝有2個白球、1個紅球，這些球除顏色外無其他差別.

(1)從袋子中隨機(jī)摸出一個球，摸到白球的概率是；

(2)從袋子中隨機(jī)摸出一個球后，放回并搖勻，再隨機(jī)摸出一個球.求兩次都摸到白球的概率.

24.某校組織九年級學(xué)生到三臺山森林公園游玩，數(shù)學(xué)興趣小組同學(xué)想利用測角儀測量天和塔的高度.如圖，塔

A5前有一座高為OE的斜坡，已知CD=12m,ZDCE=30。，點(diǎn)、E、C、A在同一條水平直線上.某學(xué)習(xí)小組

在斜坡C處測得塔頂部B的仰角為45°,在斜坡。處測得塔頂部B的仰角為39。.

R

(1)求OE的長；

⑵求塔AB的高度.(tan39°取0.8,后取1.7,夜取1.4,結(jié)果取整數(shù))

25.如圖，。。是_ABC的外接圓，AB是。。的直徑，點(diǎn)D在。。上，AC^CD,連接AD,延長。3交過點(diǎn)

(2)若AC=4,BC=3,求OE的長.

26.為全面貫徹黨的教育方針，保障學(xué)生每天在校1小時體育活動時間，某班計劃采購4B兩種類型的羽毛球拍.已

知購買3副A型羽毛球拍和4副B型羽毛球拍共需248元；購買5副A型羽毛球拍和2副B型羽毛球拍共需264

元.

(1)求A、8兩種類型羽毛球拍的單價.

(2)該班準(zhǔn)備采購A、B兩種類型的羽毛球拍共30副，且A型羽毛球拍的數(shù)量不少于B型羽毛球拍數(shù)量的2倍，

請給出最省錢的購買方案，求出最少費(fèi)用，并說明理由.

27.背景：在數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動中，小明利用等面積法得到了關(guān)于三角形角平分線的一個結(jié)論，如圖1,己知

是，ABC的角平分線，可證空=處.小紅經(jīng)過思考，認(rèn)為也可以構(gòu)造相似三角形來證明，小紅的證明思路

ACCD

是：如圖2,過點(diǎn)8作BE〃AC,交A。的延長線于點(diǎn)E,從而證得空=".

ACCD

證明：(1)請參照小紅提供的思路，利用圖2證明：—=—■

ACCD

運(yùn)用：(2)如圖3,AD是一ABC的角平分線，/是邊的中點(diǎn)，過M點(diǎn)作MNAD,交區(qū)4的延長線于點(diǎn)

N,交AC于點(diǎn)G.若A5=4,AC=6,求線段AN的長；

拓展：(3)如圖4,。。是二ABC的外接圓，AB是直徑，點(diǎn)。是半圓AB的中點(diǎn)，連接CD交AB于點(diǎn)E.若

AC=3,BC=6,求線段OE的長.

28.已知點(diǎn)4(—口,0)和磯3m,0)在二次函數(shù)了=依2+以+3(a,6是常數(shù)，a/0)的圖象上，該圖象與V軸

交于點(diǎn)C.

(1)當(dāng)加=-1時，求〃和b的值；

(2)若二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)四(〃,3)且點(diǎn)M不在坐標(biāo)軸上，當(dāng)-2(加<-1時，求"的取值范圍；

(3)若°<0,m>0,且NOBC=30°,點(diǎn)尸為直線上方拋物線上的一動點(diǎn)，連接OP交于點(diǎn)。，求出

PD

—的最大值及此時點(diǎn)P的坐標(biāo).

OD

2023-2024學(xué)年度初三一模試卷數(shù)學(xué)

答題注意事項

1.本試卷共6頁，全卷滿分150分，考試時間120分鐘.

2.答題全部寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.

3.答選擇題必須用25鉛筆將答題卡上對應(yīng)的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，請用橡皮擦干凈后，再

選涂其他答案.答非選擇題必須用0.5毫米黑色墨水簽字筆，在答題卡上對應(yīng)題號的答題區(qū)域書

寫答案.注意不要答錯位置，也不要超界.

4.作圖必須用25鉛筆作答，并請加黑加粗，描寫清楚.

一、選擇題（本大題共8小題，每小題3分，共24分.在每小題給出的四個選項中，有且只有一項

是符合題目要求的，請將正確選項的字母代號填涂在答題卡相應(yīng)位置上）

1.若盈利10元記為+1°元，則虧損5元記為（）

A.一5元B.-10元C.+5元D.+10元

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)“正負(fù)數(shù)是具有相反意義的兩個量，規(guī)定哪一個為正，則和它意義相反的量記為負(fù)”，進(jìn)行求解即

可.

【詳解】解：虧損5元記為-5元，

故選：A.

2.下列運(yùn)算中，正確的是（）

A.3ci+2Z?=5cibB.cc-CL"=t/6C.（a+b）=ci~+b~D.（—=—a5

【答案】B

【解析】

【分析】本題主要考查合并同類項，幕的乘方，同底數(shù)幕的乘法，完全平方公式.利用合并同類項的法則，同底

數(shù)累的乘法的法則，完全平方公式，塞的乘方的法則對各項進(jìn)行運(yùn)算即可.

【詳解】解：A、3a與28不是同類項，不能合并，本選項不符合題意；

B、a2-a4=a6＜本選項符合題意；

C、（^a+by=cr+2ab+b2^a2+b2,本選項不符合題意；

D、（一/）=-a6-a5,本選項不符合題意；

故選：B.

3.如圖，直線加〃"，點(diǎn)AC在直線加上，點(diǎn)B在直線〃上，BC平分/ABD,若NB4c=122°,貝U

ZACB的度數(shù)為（)

C.30°D.29°

【答案】D

【解析】

【分析】本題主要考查平行線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)平行線的性質(zhì)，ZBAC+ZABD=18Q°,可求出NABD的度數(shù)，再根據(jù)角平分的性質(zhì)即可求解NABC的度

數(shù).

【詳解】解：：〃2n,ZBAC=122°,

：.ZABD+ZBAC=1SO°,

ZABD=180°-ABAC=180°-122°=58°,

,/BC平分NABD，

：.ZABC=ZCBD=-ZABD=-x58°=29°,

22

故選：D.

4.一個正方體的六個面分別寫了六個字“正確對待中考”，展開后如圖所示，“正”的對面是（）

|確|對待

中考

A.對B.待C.中D.考

【答案】C

【解析】

【分析】本題主要考查了正方體相對兩個面上的文字.正方體的表面展開圖，相對的面之間一定相隔一個正方

形，根據(jù)這一特點(diǎn)作答.

【詳解】解：“正”字所在面的對面所寫的字是：中，

故選：C.

5.某校九年級（1）班全體學(xué)生2024年某次體育模擬考試的成績統(tǒng)計如表：

成績（分）35分以下353637383940

人數(shù)（人）54681098

根據(jù)表中的信息判斷，下列結(jié)論中錯誤的是（）

A.該班一共有50名同學(xué)

B.該班學(xué)生這次考試成績的眾數(shù)是38分

C.該班學(xué)生這次考試成績的中位數(shù)是37分

D,該班學(xué)生這次考試成績的中位數(shù)是38分

【答案】C

【解析】

【分析】本題主要考查眾數(shù)和中位數(shù).由題意直接根據(jù)總數(shù)，眾數(shù)，中位數(shù)的定義逐一判斷即可得出答案.

【詳解】解：該班一共有：5+4+6+8+10+9+8=50（人），

得38分的人數(shù)最多，眾數(shù)是38分，

3A_i_38

第25和26名同學(xué)的成績的平均值為中位數(shù)，中位數(shù)為-------=38（分）,

2

故選項A、B、D正確，選項C錯誤,

故選：C.

3a—X

6.關(guān)于龍的方程——+2=——的解是正數(shù)，則。的取值范圍是（）

4—xx-4

A.a>—11B.ci>—5C.a>—5且。工―1D.a>—11且awl

【答案】D

【解析】

【分析】本題主要考查根據(jù)分式方程的解求參數(shù)，掌握解分式方程的方法，不等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)解分式方程的方法用含a的式子表示分式方程的解，再根據(jù)解為正數(shù)，不等式的性質(zhì)求解即可.

上+2=a-x

【詳解】解:

1^4

去分母得，—3+2（x—4）=a—X

去括號得，—3+2x—8—ci—x

移項得，2x+x=Q+8+3

合并同類項得，3%=。+11

系數(shù)化1得,x="U

3

??,解為正數(shù)，且1―4w0,

(2+11八「a+ll八

----->0,且--------44。0

33

工a>—11且aw1,

故選：D.

7.如圖，在。。中，NAOS=100°,點(diǎn)C在劣弧A5上.若NA5c=18°,則/B4C度數(shù)為（）

A.32°B.33°C.34°D.35°

【答案】A

【解析】

【分析】本題主要考查圓周角定理.根據(jù)圓周角定理可求解/AOC的度數(shù)，連接OC,再利用圓周角定理結(jié)合垂

直的定義可求解的度數(shù)即可.

?:ZABC=18°,

ZAOC=2ZABC=36°,

ZAOB=100°,

ZBOC=100°-36°=64°,

：.ABAC=-ZBOC=32°,

2

故選：A.

8.如圖，菱形。鋁C在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（5,0）,對角線。5=46,反比例函數(shù)

A.6B.12C.20君D.32

【答案】B

【解析】

【分析】本題考查反比例函數(shù)與幾何的綜合應(yīng)用.連接AC交3D于點(diǎn)。，根據(jù)菱形的性質(zhì)，求出AC的長，過點(diǎn)

A作ADLx軸，設(shè)?！?gt;=x,得至UCD=5—x,勾股定理求出OD,的長，進(jìn)而求出A點(diǎn)坐標(biāo)，即可.

【詳解】解：連接AC交3D于點(diǎn)E，過點(diǎn)A作ADLx軸，

二?菱形OCBA,C（5,0）,

/.AC1.OB,0C=OA=5,OE=-OB=245,AC=2CE,

2

???cE=SdE2=B

AC=2亞，

設(shè)OD=x,則CD=5T,

,/AD-=AO--OD~=AC--CD2，

.\52-X2=（275）2-（5-X）\

解得：x=3f

：.AD=4,

4（3,4）,

k=3x4=12；

故選B.

二、填空題（本大題共10小題，每題3分，共30分.不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在答

題卡相應(yīng)位置上）

9.分解因式：m2-4-=.

【答案】（m+2）（m-2）

【解析】

【分析】直接根據(jù)平方差公式進(jìn)行因式分解即可.

【詳解1m2-4=（m+2）（m-2）,

故填（m+2）（加一2）

【點(diǎn)睛】本題考查利用平方差公式進(jìn)行因式分解，解題關(guān)鍵在于熟練掌握平方差公式.

10.1月17日，國家統(tǒng)計局發(fā)布數(shù)據(jù)顯示，2023年全年出生人口9020000人，該數(shù)據(jù)為連續(xù)第7年下降，進(jìn)一步延

續(xù)下降趨勢，也是1949年以來的最低水平.數(shù)據(jù)9020000用科學(xué)記數(shù)法表示為.

【答案】9.02xlO6

【解析】

【分析】本題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法.科學(xué)記數(shù)法的表示形式為ax10"的形式，其中〃為整數(shù).確

定力的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點(diǎn)移動了多少位，w的絕對值與小數(shù)點(diǎn)移動的位數(shù)相同.

【詳解】解：數(shù)據(jù)9020000用科學(xué)記數(shù)法表示為：9.02xlO6.

故答案為：9.02x106.

11.若立亙在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是.

2-x

【答案】1且XH2

【解析】

【分析】本題考查二次根式有意義的條件、分式有意義的條件，熟練掌握二次根式被開方數(shù)大于等于零、分式的分

母不能為零是解題關(guān)鍵.

根據(jù)分式有意義的條件，二次根式有意義的條件列不等式組求解即可.

【詳解】解：：立正在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，

2-x

x+1>0

\八，解得：1且

2-XHO

故答案為：1且XH2.

12.如果一個多邊形的內(nèi)角和與外角和的比是7:2,那么這個多邊形的邊數(shù)是.

【答案】9

【解析】

【分析】本題考查了多邊形內(nèi)角與外角.設(shè)這個多邊形的邊數(shù)為〃，依據(jù)多邊形的內(nèi)角和與外角和之比是7:2,

列出方程，即可得到〃的值.

【詳解】解：設(shè)這個多邊形的邊數(shù)為九，依題意得：

7

(n-2)-180°=-x360°,

解得〃=9,

,這個多邊形的邊數(shù)為9.

故答案為：9.

x-a>0

13.若不等式組10.1有解，則a的取值范圍是_______.

2%-3<I

【答案】a<2

【解析】

【分析】本題考查了求不等式的解集.根據(jù)同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小找不到（無解），可

得答案.

【詳解】解：解不等式組得：

x>a

x<2'

x-a>0

..?不等式組/c，有解，

??a<2,

故答案為：a<2.

14.如圖，在Rt/VLBC中，。為斜邊AB的中點(diǎn)，E為CD上一點(diǎn)，F(xiàn)為BE中點(diǎn),AE=AD,若AB=lO,則

DF的長為.

【答案】|

2

【解析】

【分析】本題考查了直角三角形斜邊中線等于斜邊一半和中位線的性質(zhì)，根據(jù)題意可得公。=5,從而可得AE=5,

再根據(jù)三角形中位線定理可得。歹=LAE,即可求解.

2

【詳解】解：為斜邊AB的中點(diǎn)，

：.AD=-AB=5,

2

?/AE=AD，

AE=5,

為斜邊AB的中點(diǎn)，/為距中點(diǎn)，

尸是△3EA的中位線，

DF=-AE=-,

22

故答案為：一.

2

15.如圖，在4x4的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都為1,A、B、C三點(diǎn)都在格點(diǎn)位置，則sin/ACB的

值是.

【分析】本題考查了銳角三角函數(shù)，網(wǎng)格與勾股定理.利用面積法求得A3C的高再利用銳角三角函數(shù)的定

義求解即可.

【詳解】解：作ABC的高BD，

7AC=712+32=A/10'BC=A/22+22=2V2-

SA.fir=3x3-—xlx3--xlx3-—x2x2=4,

△ABC222

S/xARr=-ACxBD=^-BD,

Z.\/i￡>C22

/.BD=,

5

4710

BD2卮

sinZACB==-=-----

BC205

故答案為：—

5

16.如圖，圓錐形煙囪帽的高為40cm,母線長為50cm,則煙囪帽的側(cè)面積為cm?.（結(jié)果保留7）

【解析】

【分析】本題考查了圓錐的側(cè)面積、勾股定理.根據(jù)圓錐的高、母線長求出底面圓周長，再利用即可求

2

解.

【詳解】解：,??圓錐的高是40cm,母線長是50cm,

，底面半徑為：A/502-402=30(cm),

底面圓周長=30x2%=60〃(cm),

圓錐的側(cè)面積=gx60x50?=15007r(cm2).

故答案為：1500萬.

17.已知4(-3,-2),5(1,-2),拋物線丁=加+法+。(。>0)頂點(diǎn)在線段4?上運(yùn)動，形狀保持不變，與無軸

交于C,。兩點(diǎn)(C在。的右側(cè))，下列結(jié)論：?c>-2；②當(dāng)x>0時，一定有y隨尤的增大而增大；③若點(diǎn)。

橫坐標(biāo)的最小值為-5,則點(diǎn)C橫坐標(biāo)的最大值為3；④當(dāng)四邊形42。為平行四邊形時，a=~.其中正確的是

2

.(填序號)

【答案】①③④

【解析】

【分析】根據(jù)頂點(diǎn)在線段A3上，拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(O,c),可以判斷出C的取值范圍，得到①正確；根

據(jù)二次函數(shù)的增減性判斷出②的錯誤；先確定％=1時，點(diǎn)。的橫坐標(biāo)取得最大值，根據(jù)二次函數(shù)的對稱性求出點(diǎn)

C的坐標(biāo)，即可判斷③正確；令y=o,利用根與系數(shù)關(guān)系與頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)求出CD的表達(dá)式，然后根據(jù)平行四邊

形的對邊平行且相等可得A3=CD,然后列出方程求得a的值，判斷出④正確.

【詳解】解：：點(diǎn)A3的坐標(biāo)分別為(一3,—2)和(1,-2),

線段AB與>軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,-2),

又；拋物線的頂點(diǎn)在線段AB上運(yùn)動，拋物線與了軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,C),

：.c>-2,(頂點(diǎn)在y軸上時取“=")故①正確；

???拋物線的頂點(diǎn)在線段A3上運(yùn)動，開口向上，

只有當(dāng)x>l時，一定有y隨x的增大而增大，故②錯誤；

若點(diǎn)D的坐標(biāo)最小值為-5，此時拋物線的對稱軸直線為X=-3,

由拋物線的對稱性可得此時點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為-1,貝ICD=—1—(—5)=4,

:拋物線形狀不變，當(dāng)拋物線的對稱軸直線為％=1,此時。的橫坐標(biāo)為3,

C的橫坐標(biāo)的最大值為3,故③正確；

令y=0,則加+法+c=o，設(shè)點(diǎn)CD的坐標(biāo)分別為(玉，0),(4，0),

bc

%]+/=---,=一

aa

1

22224cb-4ac

***CD=忖-x2|=(%-x2)=(玉+x2)一4%々=

a

4-CIC—/?2

???頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為-2,頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)公式為

4。

.^ac-b'_0m4tzc-Z?2_

??--------——，,即---------一一O9

4aa

2

?廠八2_匕2-4ac_1/7-4ac_8

aaaa

???四邊形ABC。是平行四邊形，

???CD=AB=1-(-3)=4,

Q1

.?.—=42=16,解得。=—,故④正確；

a2

???正確的是①③④，

故答案為：①③④

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合題，主要利用了二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)，二次函數(shù)的對稱性，根與系數(shù)關(guān)系,

平行四邊形的性質(zhì)，要注意頂點(diǎn)在y軸上的情況和頂點(diǎn)分別在A,B兩點(diǎn)的情況.

18.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在x軸負(fù)半軸上，點(diǎn)2在無軸正半軸上，且AB=3,點(diǎn)C在y軸負(fù)半軸上,

點(diǎn)。在y軸正半軸上，且CD=2,則線段AO+3C的最小值是

D

AOBx

?C

【答案】A/13

【解析】

【分析】本題考查了中點(diǎn)四邊形，勾股定理，直角三角形斜邊中線的性質(zhì).作中點(diǎn)四邊形，證明中點(diǎn)四邊形EEGH

是矩形，由OE=！A。，OG=-BC,當(dāng)E、O、G共線時，AD+5C取得最小值，最小值為2EG的長，據(jù)此

22

求解即可.

【詳解】解：連接SDB、BC、CA,分別取AZ）、DB、BC、C4的中點(diǎn)并連接得到中點(diǎn)四邊形EFGH,

/'、、

E/一二,戶

,I、J、、

13

AEH=-AB=-=FG,EH//AB//FG,

22

.?.四邊形EFGH是平行四邊形，

?：AB1CD,

四邊形EEGH是矩形，

VOE=-AD,OG=-BC,

22

...當(dāng)石、O、G共線時，AO+3C取得最小值，最小值為2EG的長,

-：HG=-CD=1,

2

在Rt^EHG中，EG=

：.AD+3C的最小值為2EG=舊，

故答案為：V13.

三、解答題（本大題共10題，共96分.請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出必要的文字說

明、證明過程或演算步驟）

及計算：（I）

+（2024-TT）0-V27Xtan30°.

【答案】3-73

【解析】

【分析】本題主要考查實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，掌握負(fù)指數(shù)幕，非零數(shù)的零次幕，求一個數(shù)的立方根，特殊角的三角函

數(shù)值的方法是解題的關(guān)鍵.

先算負(fù)指數(shù)幕，零次累，立方根，特殊角的三角函數(shù)值，再算乘法，最后算加減即可求解.

【詳解】解：+(2024-^)°-^/27xtan30°

=2+l-3x—

3

=3—A/3?

(3%無、x

20.先化簡，再求值：——+——其中無，y滿足2x+y—l=0.

(x-yx+y)x-y

【答案】2(2x+y),2

【解析】

【分析】本題主要考查分式的混合運(yùn)算，代入求值，掌握分式的混合運(yùn)算方法是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)分式的性質(zhì)，分式的混合運(yùn)算法則進(jìn)行化簡，再將2x+y-1=0變形代入即可求解.

［詳解】解：—+-^3

11—yx+y)x-y

3%(%+y)x^x-y^(x+y)(x-y)

(x-j)(x+y)(x-y)(x+y)」x

_3x2+3xy+x2-xy^(x+j)(x-y)

_(x+y)(x-y)Jx

_4x2+2xyx(x+y)(x-y)

(x+y)(x-y)x

=2(2x+y),

2x+y-l=0,則2x+y=l,

?'?原式=2x1=2.

21.如圖，已知Y43CD.

(1)尺規(guī)作圖：作對角線AC的垂直平分線，交A。于點(diǎn)E,交于點(diǎn)長(不寫作法，保留作圖痕跡)

(2)連接A尸、CE.求證：四邊形AECF是菱形.

【答案】(1)作圖見詳解(2)證明見詳解

【解析】

【分析】本題主要考查平行四邊形的判定和性質(zhì)，垂直平分線的畫法，掌握平行四邊形的判定和性質(zhì)，菱形的判

定和性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)垂直平分線的畫法即可求解；

(2)根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可證.AOEgsCOF,可得AE=C獷，可證四邊形AECE是平行四邊形，再結(jié)合

垂直平分線的性質(zhì)可得AE=CE,由“一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形”即可求證.

【小問1詳解】

解：分別以點(diǎn)AC為圓心，以大于為半徑畫弧，交于點(diǎn)〃，N,連接交AD于點(diǎn)E,交3c于點(diǎn)

2

F,如圖所示，

/.EF是對角線AC的垂直平分線；

【小問2詳解】

解：如圖所示，連接ARCE,設(shè)所與AC交于點(diǎn)。,

1/四邊形ABCD是平行四邊形,

：.ADBC,OA=OC,

：.AECF,

/.ZEAO=NFCO,且ZAOE=ZCOF,

在，AOE,_CO/中,

ZEAO=ZCOF

<OA=OC,

ZAOE=ZCOF

：.^AOE^COF(ASA),

：.AE=CF,

四邊形AECF是平行四邊形,

???EP是AC的垂直平分線，

AE=CE,

???平行四邊形AECE是菱形.

22.為落實(shí)“雙減”政策.優(yōu)化作業(yè)管理，某中學(xué)從全體學(xué)生中隨機(jī)抽取部分學(xué)生，調(diào)查他們每天完成書面作業(yè)的

時間”單位：分鐘)按照完成時間分成五組：A組.“fV45”，8組.“45</W60"，C組.“60</<75

。組."75<f<90"，E組“方>90”，將收集的數(shù)據(jù)整理后，繪制成如圖兩幅不完整的統(tǒng)計圖.

每天完成書面作業(yè)時間條形統(tǒng)計圖每天完成書面作業(yè)時間扇形統(tǒng)計圖

根據(jù)以上信息，解答下列問題：

(1)這次調(diào)查的總?cè)藬?shù)是人,請補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖;

(2)在扇形統(tǒng)計圖中，B組的圓心角是________度；

(3)若該校有1800名學(xué)生，請你估計該校每天完成書面作業(yè)不超過90分鐘的學(xué)生人數(shù).

【答案】(1)100,見解析(2)72(3)1710人

【解析】

【分析】(1)根據(jù)C組人數(shù)及所占比例得出總?cè)藬?shù)，確定。組的人數(shù)即可補(bǔ)全統(tǒng)計圖;

(2)用360度乘以8組人數(shù)所占的比例即可；

(3)總?cè)藬?shù)乘以不超過90分鐘學(xué)生的比例即可得出結(jié)果.

【小問1詳解】

解：25+25%=100人，

組的人數(shù)為：100-10-20-25-5=40,

100

故答案為：72；

【小問3詳解】

18OOx1O0-5^1710(人)，

100

答：估計該校每天完成書面作業(yè)不超過90分鐘的學(xué)生有1710人.

【點(diǎn)睛】題目主要考查扇形統(tǒng)計圖與條形統(tǒng)計圖，用樣本估計總體及求扇形的圓心角等，理解題意，根據(jù)扇形統(tǒng)計

圖與條形統(tǒng)計圖獲取相關(guān)信息是解題關(guān)鍵.

23.不透明的袋子中裝有2個白球、1個紅球，這些球除顏色外無其他差別.

(1)從袋子中隨機(jī)摸出一個球，摸到白球的概率是;

(2)從袋子中隨機(jī)摸出一個球后，放回并搖勻，再隨機(jī)摸出一個球.求兩次都摸到白球的概率.

【答案】(1)I2

4

(2)兩次摸出的球都是白球的概率為一

9

【解析】

【分析】本題主要考查用列表法進(jìn)行求解概率.

(1)根據(jù)概率公式可直接進(jìn)行求解；

(2)根據(jù)列表法可進(jìn)行求解概率.

【小問1詳解】

解：由題意可得摸到白球的概率為尸=2；

3

故答案為2:；

【小問2詳解】

解：由題意可列表如下：

白1白2紅

白1VV

白2VV

紅

:?兩次摸出球的情況總共有9種，其中兩次摸出的球都是白球有4種情況,

4

:?兩次摸出的球都是白球的概率為P=—.

9

24.某校組織九年級學(xué)生到三臺山森林公園游玩，數(shù)學(xué)興趣小組同學(xué)想利用測角儀測量天和塔的高度.如圖，塔

A3前有一座高為OE的斜坡，已知CD=12m,ZDCE=30。,點(diǎn)、E、C、A在同一條水平直線上.某學(xué)習(xí)小組

在斜坡C處測得塔頂部B的仰角為45°,在斜坡D處測得塔頂部B的仰角為39°.

(1)求OE的長；

(2)求塔AB的高度.(tan39°0.8,6取L7,、回取1.4,結(jié)果取整數(shù))

【答案】(1)DE的長為6m；

(2)塔AB的高度約為71m.

【解析】

【分析】本題考查解直角三角形的應(yīng)用.

(1)根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)求解即可；

(2)設(shè)A5=/i,分別在RtVOCE和Rt.3C4中，利用銳角三角函數(shù)定義求得EC=6百，AB=hm,過點(diǎn)。作

DF±AB,垂足為F.可證明四邊形DE4尸是矩形，得到DF=EA=(/z+6j^cm,FA=DE=6m.在RtABDF

中，利用銳角三角函數(shù)定義得到BFuOEManNBDF,然后求解即可.

【小問1詳解】

解：在RtVOCE中，ZDCE=30°,CD=12m,

DE=—CD=6m.

2

即OE的長為6m；

【小問2詳解】

解：設(shè)AB=/zm,

在RtVOCE中，cosZDC￡=—

CD

EC=CDcosZDCE=12xcos30°=6若.

AB

在RL6C4中，由tan/3c4=—,AB=hm,ZBG4=45°,

Cyl

則C4=轉(zhuǎn)=h.

tan45°

EA=CA+EC=(h+6^.

如圖，過點(diǎn)。作。尸，AB，垂足為尸.

B

根據(jù)題意，ZAED=ZFAE=ZDFA=90°,

，四邊形OEA尸是矩形.

DF=EA=^h+6y/3^,FA=DE=6.

可得BF-AB—FA=(/z—6).

BF

在RtZXBDF中，tanZBDF=——，Z^DF=39°,

DF

:.BF=DF^ZBDF.即/z-6=/z+613?tan390.

76+6^3xtan39°6+6xl.7x0.8

h=----------?71(m).

1-tan39°1-0.8

答：塔AB的高度約為71nl.

25.如圖，。。是A5c的外接圓，A8是。。的直徑，點(diǎn)。在。。上，AC=CD,連接AD,延長交過點(diǎn)

。的切線于點(diǎn)E

(1)求證：ZABC=ZCAD；

(2)若AC=4,BC=3,求OE的長.

【答案】(1)見解析⑵DE”.

【解析】

【分析】(1)利用等腰三角形的性質(zhì)可得NC4D=/AOC,再利用同弧所對的圓周角相等可得ZABC=ZADC,

即可解答；

(2)根據(jù)直徑所對的圓周角是直角可得/ACB=90。，利用勾股定理求出B4的長，再根據(jù)同弧所對的圓周角相等

可得NC4B=NCDB,進(jìn)而可證,ACBs,小。，然后利用相似三角形的性質(zhì)可求出的長即可解答.

【小問1詳解】

證明：連接OC,

AC=CD,

:.ZCAD^ZADC,

ZABC=ZADC,

:.ZABC^ZCAD；

【小問2詳解】

解：CE與。相切于點(diǎn)C,

；.NOCE=90°,

四邊形"石。是圓內(nèi)接四邊形,

.-.ZCAD+ZDBC=180°,

ZDBC+ZCBE^180°,

:.ZCAD=ZCBE,

ZABC=ZCAD,

:.ZCBE=ZABC,

OB=OC,

:.ZOCB=ZABC,

:./OCB=/CBE,

:.OC//BE,

ZE=180°-ZOCE=90°,

AB是。的直徑，

:.ZACB=90°,

AC=4,BC=3,

:.AB=^AC2+BC2=A/42+32=5^

ZACB=ZE=90°fNCAB=NCDB,

/.ACBsDEC,

.ACAB

,,=,

DECD

,4_5

,,—,

DE4

:.DE=—.

5

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，圓周角定理，熟練

掌握相似三角形的判定與性質(zhì)，以及圓周角定理是解題的關(guān)鍵.

26.為全面貫徹黨的教育方針，保障學(xué)生每天在校1小時體育活動時間，某班計劃采購4B兩種類型的羽毛球拍.已

知購買3副A型羽毛球拍和4副B型羽毛球拍共需248元；購買5副A型羽毛球拍和2副B型羽毛球拍共需264

元.

(1)求A、B兩種類型羽毛球拍的單價.

(2)該班準(zhǔn)備采購A、2兩種類型的羽毛球拍共30副，且A型羽毛球拍的數(shù)量不少于B型羽毛球拍數(shù)量的2倍，

請給出最省錢的購買方案，求出最少費(fèi)用，并說明理由.

【答案】(1)A種球拍每副40元，8種球拍每副32元.

(2)費(fèi)用最少的方案是購買A種球拍20副，8種球拍10副，所需費(fèi)用1120元；見解析.

【解析】

【分析】(1)設(shè)A種球拍每副尤元，2種球拍每副y元，根據(jù)題意列出二元一次方程組，解方程組即可；

(2)設(shè)購買8型球拍a副，根據(jù)題意列出不等式，解不等式求出。的范圍，根據(jù)題意列出費(fèi)用關(guān)于“的一次函數(shù)，

根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)解答即可.

【小問1詳解】

解：設(shè)A種球拍每副尤元，8種球拍每副y元，

3x+4y=248

5x+2y=264

尤=40

解得1，

y=32

檢驗，符合題意，

答：A種球拍每副40元，2種球拍每副32元；

【小問2詳解】

解：設(shè)購買8型球拍。副，則4（30—。）副，總費(fèi)用w元，

由題意得30—。22。，

解得a<10,

w=40（30—a）+32。=—8ci+1200,

—8<0,

隨。的增大而減小，

???當(dāng)a=10時，w最小，w最小=—8x10+1200=1120（元），

此時30-10=20（副），

答：費(fèi)用最少的方案是購買A種球拍20副，2種球拍10副，所需費(fèi)用1120元.

【點(diǎn)睛】本題考查的是列二元一次方程組、一元一次不等式解實(shí)際問題，正確列出二元一次方程組和一元一次不

等式并正確解出方程組和不等式是解題的關(guān)鍵.

27.背景：在數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動中，小明利用等面積法得到了關(guān)于三角形角平分線的一個結(jié)論，如圖1,已知

是_48。的角平分線，可證空=處.小紅經(jīng)過思考，認(rèn)為也可以構(gòu)造相似三角形來證明，小紅的證明思路

ACCD

是：如圖2,過點(diǎn)8作BE〃AC,交A。的延長線于點(diǎn)E,從而證得空=".

ACCD

證明：（1）請參照小紅提供的思路，利用圖2證明：—=—；

ACCD

運(yùn)用：（2）如圖3,AD是JRC的角平分線，M是邊的中點(diǎn)，過M點(diǎn)作MNAD,交朋的延長線于點(diǎn)

N,交AC于點(diǎn)G.若A5=4,AC=6,求線段AN的長；

拓展：（3）如圖4,。。是.ABC的外接圓，AB是直徑，點(diǎn)。是半圓AB的中點(diǎn)，連接CD交AB于點(diǎn)￡.若

AC=3,BC=6,求線段OE的長.

【答案】（1）證明過程見詳解；

（2）線段AN的長為1；

（3）線段OE的長為￡1

2

【解析】

【分析】（1）根據(jù)材料提示，證明BDEs.CDA,即可求解;

（2）由（1）的結(jié)論可得處=2,設(shè)6D=2x,CD=3x,分別用含龍的式子表示出5C,DM,5D的長，根

CD3

據(jù)平行線分線段成比例即可求解；

AE

（3）根據(jù)等弧所對圓周角相等可得是角平分線，根據(jù)（1）中的結(jié)論可得一的值，設(shè)AE=a,用含。的式

BE

子分別表示出AE,AB,OE長，根據(jù)直徑所對圓心角為直角，運(yùn)用勾股定理可得A3的值，由此可求出

OA,OD,OE的長，再證在RJDEO中，根據(jù)勾股定理即可求解.

【詳解】（1）證明：平分N8AC,

ABAD=ADAC,

'：BEAC,

：.ZE^ZDAC,

AZBAD=ZE,則胡=BE,

'：ZE=ZDAC,ZBDE=ZCDA,

/.BD