山東省膠州市第二中學(xué)高中數(shù)學(xué)必修五1.2正弦余弦定理的應(yīng)用學(xué)案

正余弦定理解三角形的實(shí)際應(yīng)用正余弦定理在實(shí)際應(yīng)用中有著廣泛的應(yīng)用，如測(cè)量、航海、幾何等方面都要用到解三角形的知識(shí)一、距離問(wèn)題1．如圖，為了測(cè)量隧道AB的長(zhǎng)度，給定下列四組數(shù)據(jù)無(wú)法求出AB長(zhǎng)度的是()A．α，a，bB．α，β，aC．a(chǎn)，b，γD．α，β，γ解：若a，α，b已知，則β，γ可求，由余弦定理可求AB，若α，β，a已知，則γ可求，由正弦定理可求AB；當(dāng)a，b，γ已知，由余弦定理可求AB.故選D.2．已知A，B兩地的距離為10km，B，C兩地的距離為20km，現(xiàn)測(cè)得∠ABC＝120°，則A，C兩地的距離為()A．10kmB．10eq\r(3)kmC．10eq\r(5)kmD．10eq\r(7)km解：如圖，由題意得AB＝10km，BC＝20km，∠ABC＝120°，∴AC＝eq\r(102＋202－2×10×20×cos120°)＝eq\r(100＋400＋200)＝10eq\r(7).3．如圖，設(shè)A，B兩點(diǎn)在河的兩岸，一測(cè)量者在A的同側(cè)，在所在的河岸邊選定一點(diǎn)C，測(cè)出AC的距離為50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以計(jì)算出A，B兩點(diǎn)的距離為()A．50eq\r(2)mB．50eq\r(3)mC．25eq\r(2)mD.eq\f(25\r(2),2)m解：在△ABC中，AC＝50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，∴∠ABC＝30°，由正弦定理得eq\f(AB,sin∠ACB)＝eq\f(AC,sin∠ABC)，∴AB＝eq\f(50,sin30°)·sin45°＝50eq\r(2).故選A.4.（2014四川）如圖，從氣球A上測(cè)得正前方的河流的兩岸B，C的俯角分別為，，此時(shí)氣球的高是，則河流的寬度BC約等于.（用四舍五入法將結(jié)果精確到個(gè)位.參考數(shù)據(jù)：，，，，）解析：根據(jù)已知的圖形可得AB＝eq\f(46,sin67°)，在△ABC中，∠BCA＝30°，∠BAC＝37°，由正弦定理，得eq\f(AB,sin30°)＝eq\f(BC,sin37°)，所以BC≈2×eq\f(46,0.92)×0.06＝60(m)．5．如圖，某河段的兩岸可視為平行，為了測(cè)量該河段的寬度，在河段的一岸邊選取兩點(diǎn)A、B，觀察對(duì)岸的點(diǎn)C，測(cè)得∠CAB＝75°，∠CBA＝45°，且AB＝100m.(1)求sin75°；(2)求該河段的寬度．解：(1)sin75°＝eq\f(\r(6)＋\r(2),4).(2)∵∠CAB＝75°，∠CBA＝45°，∴∠ACB＝180°－∠CAB－∠CBA＝60°，由正弦定理，得eq\f(AB,sin∠ACB)＝eq\f(BC,sin∠CAB).∴BC＝eq\f(ABsin75°,sin60°)如圖，過(guò)點(diǎn)B作BD垂直于對(duì)岸，垂足為D，則BD的長(zhǎng)就是該河段的寬度．在Rt△BDC中，∵∠BCD＝∠CBA＝45°，sin∠BCD＝eq\f(BD,BC)，∴BD＝BCsin45°＝eq\f(ABsin75°,sin60°)·sin45°＝eq\f(100×\f(\r(6)＋\r(2),4),\f(\r(3),2))×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(256＋2\r(3),3)＝eq\f(150＋50\r(3),3)(m)．∴該河段的寬度為eq\f(150＋50\r(3),3)m.6、如圖所示，為了測(cè)河的寬度，在一岸邊選定A、B兩點(diǎn)，望對(duì)岸標(biāo)記物C，測(cè)得∠CAB=30°，∠CBA=75°，AB=120cm，求河的寬度。解：由正弦定理得，∴AC=AB=120m，又∵，解得CD=60m。點(diǎn)評(píng)：雖然此題計(jì)算簡(jiǎn)單，但是意義重大，屬于“不過(guò)河求河寬問(wèn)題”。7．要測(cè)量河對(duì)岸兩地A，B之間的距離，在岸邊選取相距100eq\r(3)米的C，D兩點(diǎn)，并測(cè)得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°(A，B，C，D在同一平面內(nèi))，求A，B之間的距離．解：如圖所示，在△ACD中，∠CAD＝30°，AC＝CD＝100eq\r(3).在△BCD中，∠CBD＝60°，由正弦定理，得BC＝eq\f(100\r(3)sin75°,sin60°)＝200sin75°.在△ABC中，由余弦定理得，AB2＝(100eq\r(3))2＋(200sin75°)2－2×100eq\r(3)×200sin75°cos75°＝5×1002，∴AB＝100eq\r(5)(米)．8．江岸邊有一炮臺(tái)高30米，江中有兩條船，由炮臺(tái)頂部側(cè)得俯角分別為45°和60°，而且兩條船與炮臺(tái)底部連線成30°角，則兩條船相距()A．10eq\r(3)米B．100eq\r(3)米C．20eq\r(30)米D．30米解析：設(shè)炮臺(tái)頂部為A，兩條船分別為B、C，炮臺(tái)底部為D，如圖，可知∠BAD＝45°，∠ACD＝60°，∠BDC＝30°，AD＝30.分別在Rt△ADB，Rt△ADC中，求得DB＝30，DC＝10eq\r(3).在△DBC中，由余弦定理得BC2＝DB2＋DC2－2DB·DCcos30°，解得BC＝10eq\r(3).答案：A9.飛機(jī)沿水平方向飛行，在A處測(cè)得正前下方地面固定目標(biāo)C的俯角為30°，向前飛行10000米，到達(dá)B處，此時(shí)測(cè)得正前下方地面目標(biāo)C的俯角為75°，這時(shí)飛機(jī)與地面目標(biāo)的水平距離為()A．2500(eq\r(3)＋1)米B．2500(eq\r(3)－1)米C.4000米D．4000eq\r(2)米解：如下圖所示，CD為AB邊上的高，BD即為飛機(jī)與目標(biāo)C的水平距離．由外角定理，∠ACB＝75°－30°＝45°.在△ABC中，由正弦定理得：eq\f(10000,sin45°)＝eq\f(BC,sin30°)，∴BC＝5000eq\r(2).又在Rt△ACD中，BD＝BC·cos75°＝5000eq\r(2)·eq\f(1,4)(eq\r(6)－eq\r(2))＝2500(eq\r(3)－1)．[注：cos75°＝eq\f(1,4)(eq\r(6)－eq\r(2))]10.如圖，我炮兵陣地位于地面A處，兩觀察所分別位于地面點(diǎn)C和D處，已知CD＝6000m．∠ACD＝45°，∠ADC＝75°，目標(biāo)出現(xiàn)于地面B處時(shí)測(cè)得∠BCD＝30°，∠BDC＝15°.求炮兵陣地到目標(biāo)的距離．(結(jié)果保留根號(hào))[分析]由于∠ADC＝75°，∠BDC＝15°，∴∠ADB為直角．題中有多個(gè)三角形而抓住△ABD為Rt△作為突破口可簡(jiǎn)化計(jì)算．[解析]在△ACD中，∠CAD＝60°，AD＝eq\f(CD·sin45°,sin60°)＝eq\f(\r(6),3)CD．在△BCD中，∠CBD＝135°，BD＝eq\f(CD·sin30°,sin135°)＝eq\f(\r(2),2)CD，∠ADB＝90°.在Rt△ABD中，AB＝eq\r(AD2＋BD2)＝eq\f(\r(42),6)CD＝1000eq\r(42)(m)．二、測(cè)高問(wèn)題11．如圖，測(cè)量河對(duì)岸的塔高AB時(shí)，可以選與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)點(diǎn)C與D.測(cè)得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30米，并在點(diǎn)C測(cè)得塔頂A的仰角為60°，則塔高AB＝________.解:在△BCD中，∠CBD＝180°－15°－30°＝135°，由正弦定理：eq\f(CD,sin∠CBD)＝eq\f(BC,sin∠BDC)，BC＝eq\f(30·sin30°,sin135°)＝15eq\r(2)，在Rt△ABC中，AB＝BCtan60°＝15eq\r(2)×eq\r(3)＝15eq\r(6)米．12．某人在C點(diǎn)測(cè)得某塔在南偏西80°，塔頂仰角為45°，此人沿南偏東40°方向前進(jìn)10m到D，測(cè)得塔頂A的仰角為30°，則塔高為()A．15mB．5mC．10mD．12m[解析]如圖，設(shè)塔高為h，在Rt△AOC中，∠ACO＝45°，則OC＝OA＝h.在Rt△AOD中，∠ADO＝30°，則OD＝eq\r(3)h.在△OCD中，∠OCD＝120°，CD＝10，由余弦定理得OD2＝OC2＋CD2－2OC·CDcos∠OCD，即(eq\r(3)h)2＝h2＋102－2h×10×cos120°，∴h2－5h－50＝0，解得h＝10或h＝－5(舍)．13．如圖所示，在地面上共線的三點(diǎn)A，B，C處測(cè)得一建筑物的仰角分別為30°，45°，60°，且AB＝BC＝60m，則建筑物的高度為()A．15eq\r(6)mB．20eq\r(6)mC．25eq\r(6)mD．30eq\r(6)m[答案]D[解析]設(shè)建筑物的高度為h，由題圖知，PA＝2h，PB＝eq\r(2)h，PC＝eq\f(2\r(3),3)h，∴在△PBA和△PBC中，分別由余弦定理，得cos∠PBA＝eq\f(602＋2h2－4h2,2×60×\r(2)h)， ①cos∠PBC＝eq\f(602＋2h2－\f(4,3)h2,2×60×\r(2)h). ②∵∠PBA＋∠PBC＝180°，∴cos∠PBA＋cos∠PBC＝0.③由①②③，解得h＝30eq\r(6)或h＝－30eq\r(6)(舍去)，即建筑物的高度為30eq\14．在某個(gè)位置測(cè)得某山峰仰角為θ，對(duì)著山峰在地面上前進(jìn)600m后測(cè)得仰角為2θ，繼續(xù)在地面上前進(jìn)200eq\r(3)m以后測(cè)得山峰的仰角為4θ，則該山峰的高度為()A．200mB．300mC．400mD．100eq\r(3)m答案B解析方法一如圖，△BED，△BDC為等腰三角形，BD＝ED＝600m，BC＝DC＝200eq\r(3)m.在△BCD中，由余弦定理可得cos2θ＝eq\f(6002＋200\r(3)2－200\r(3)2,2×600×200\r(3))＝eq\f(\r(3),2)，∴2θ＝30°，4θ＝60°.在Rt△ABC中，AB＝BC·sin4θ＝200eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)＝300(m)，故選B.方法二由于△BCD是等腰三角形，eq\f(1,2)BD＝DCcos2θ，即300＝200eq\r(3)cos2θ.cos2θ＝eq\f(\r(3),2)，2θ＝30°，4θ＝60°.在Rt△ABC中，AB＝BC·sin4θ＝200eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)＝300(m)，故選B.15.如圖，為測(cè)得河對(duì)岸塔AB的高，先在河岸上選一點(diǎn)C，使C在塔底B的正東方向上，測(cè)得點(diǎn)A的仰角為60°，再由點(diǎn)C沿北偏東15°方向走10m到位置D，測(cè)得∠BDC＝45°，則塔AB的高是()A．10mB．10eq\r(2)mC．10eq\r(3)mD．10eq\r(6)m答案D解析在△BCD中，CD＝10m，∠BDC＝45°，∠BCD＝15°＋90°＝105°，∠DBC＝30°，由正弦定理，得eq\f(BC,sin45°)＝eq\f(CD,sin30°)，BC＝eq\f(CDsin45°,sin30°)＝10eq\r(2)(m)．在Rt△ABC中，tan60°＝eq\f(AB,BC)，AB＝BC·tan60°＝10eq\r(6)(m)．16．要測(cè)量底部不能到達(dá)的東方明珠電視塔的高度，在黃浦江西岸選擇甲、乙兩觀測(cè)點(diǎn)，在甲、乙兩點(diǎn)分別測(cè)得塔頂?shù)难鼋欠謩e為45°，30°，在水平面上測(cè)得電視塔與甲地連線及甲、乙兩地連線所成的角為120°，甲、乙兩地相距500m，則電視塔在這次測(cè)量中的高度是()A．100eq\r(2)mB．400mC．200eq\r(3)mD．500m解析由題意畫(huà)出示意圖，設(shè)高AB＝h，在Rt△ABC中，由已知BC＝h，在Rt△ABD中，由已知BD＝eq\r(3)h，在△BCD中，由余弦定理BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cos∠BCD得，3h2＝h2＋5002＋h·500，解之得h＝500(m)．故選D.17．某人在山頂觀察地面上相距2500m的A、B兩個(gè)目標(biāo)，測(cè)得目標(biāo)A在南偏西57°，俯角為30°，同時(shí)測(cè)得B在南偏東78°，俯角是45°，求山高(設(shè)A、B與山底在同一平面上，計(jì)算結(jié)果精確到0.1m)．解：畫(huà)出示意圖(如圖所示)設(shè)山高PQ=h，則△APQ、△BPQ均為直角三角形，在圖(1)中，∠PAQ=30°，∠PBQ=45°.∴AQ=，BQ==h.在圖(2)中，∠AQB=57°+78°=135°，AB=2500，所以由余弦定理得：AB2=AQ2+BQ22AQ·BQcos∠AQB，即25002=(h)2+h22h·h·cos135°=(4+)h2，∴h=≈984.4(m)．18.如圖,一架直升飛機(jī)的航線和山頂在同一個(gè)鉛直平面內(nèi),已知飛機(jī)的高度為海拔10千米,速度為180千米/小時(shí),飛行員先看到山頂?shù)母┙菫?0,經(jīng)過(guò)2分鐘后又看到山頂?shù)母┙菫?5,求山頂?shù)暮０胃叨?19、某人在草地上散步，看到他西邊有兩根相距6米的標(biāo)桿，當(dāng)他向正北方向步行3分鐘后，看到一根標(biāo)桿在其西南方向上，另一根標(biāo)桿在其南偏西方向上，求此人步行的速度．20．(2014·新課標(biāo)Ⅰ)如圖，為測(cè)量山高M(jìn)N，選擇A和另一座山的山頂C為測(cè)量觀測(cè)點(diǎn)．從A點(diǎn)測(cè)得M點(diǎn)的仰角∠MAN＝60°，C點(diǎn)的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；從C點(diǎn)測(cè)得∠MCA＝60°.已知山高BC＝100m，則山高M(jìn)N＝________m.[解析]在Rt△ABC中，BC＝100，∠CAB＝45°，∴AC＝100eq\r(2).在△AMC中，∠CAM＝75°，∠ACM＝60°，∴∠AMC＝45°.由正弦定理知eq\f(AM,sin60°)＝eq\f(100\r(2),sin45°)，∴AM＝100eq\r(3).在Rt△AMN中，∠NAM＝60°，∴MN＝AM·sin60°＝100eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)＝150(m)．三、航行問(wèn)題21．如圖，一貨輪航行到M處，測(cè)得燈塔S在貨輪的北偏東15°，與燈塔S相距20海里，隨后貨輪按北偏西30°的方向航行30分鐘后，又測(cè)得燈塔在貨輪的東北方向，則貨輪的速度為()A．20(eq\r(2)＋eq\r(6))海里/小時(shí)B．20(eq\r(6)－eq\r(2))海里/小時(shí)C．20(eq\r(6)＋eq\r(3))海里/小時(shí)D．20(eq\r(6)－eq\r(3))海里/小時(shí)解：SM＝20，∠SNM＝105°，∠NMS＝45°，∴∠MSN＝30°，∴eq\f(MN,sin30°)＝eq\f(20,sin105°)，∴MN＝eq\f(10,sin105°)＝10(eq\r(6)－eq\r(2))，∴貨輪航行的速度v＝eq\f(10\r(6)－\r(2),\f(1,2))＝20(eq\r(6)－eq\r(2))海里/小時(shí)．22．在海島A上有一座海拔1千米的山，山頂上有一個(gè)觀察站P，上午11時(shí)，測(cè)得一輪船在島的北偏東30°，俯角30°的B處沿直線行駛，到11時(shí)10分又測(cè)得該船在島的北偏西60°，俯角60°的C處，則輪船航行速度是________千米/小時(shí)．解：如圖，∵B在島的北偏東30°，C在島的北偏西60°，∴∠BAC＝90°，∵B點(diǎn)俯角30°，∴∠APB＝60°，∵C點(diǎn)俯角60°，∴∠APC＝30°，又AP＝1，∴AB＝eq\r(3)，AC＝eq\f(\r(3),3)，∴BC＝eq\r(AB2＋AC2)＝eq\f(\r(30),3)，又從B到C行駛了10分＝eq\f(1,6)小時(shí)，∴船航行速度為每小時(shí)eq\f(\r(30),3)×6＝2eq\r(30)km.23．如圖，海岸線上有相距5海里的兩座燈塔A，B，燈塔B位于燈塔A的正南方向．海上停泊著兩艘輪船，甲船位于燈塔A的北偏西75°方向，與A相距3eq\r(2)海里的D處；乙船位于燈塔B的北偏西60°方向，與B相距5海里的C處．則兩艘輪船之間的距離為_(kāi)_______海里．解：如圖可知，∠ABC＝60°，AB＝BC，∴AC＝5，∠BAC＝60°，從而∠DAC＝45°，又AD＝3eq\r(2)，∴由余弦定理得，CD＝eq\r(AD2＋AC2－2AD·AC·cos45°)＝eq\r(13).24．(2010陜西)如圖A，B是海面上位于東西方向相距5(3＋eq\r(3))海里的兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)，現(xiàn)位于A點(diǎn)北偏東45°，B點(diǎn)北偏西60°的D點(diǎn)有一艘輪船發(fā)出求救信號(hào)，位于B點(diǎn)南偏西60°且與B點(diǎn)相距20eq\r(3)海里的C點(diǎn)的救援船立即前往營(yíng)救，其航行速度為30海里/小時(shí)，該救援船到達(dá)D點(diǎn)需要多長(zhǎng)時(shí)間？解：由題意知AB＝5(3＋eq\r(3))海里，∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°，∴∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°.在△DAB中，由正弦定理得，eq\f(DB,sin∠DAB)＝eq\f(AB,sin∠ADB)∴DB＝eq\f(AB·sin∠DAB,sin∠ADB)＝eq\f(53＋\r(3)·sin45°,sin105°)＝eq\f(53＋\r(3)·sin45°,sin45°cos