專題12 幾何圖形初步（角、線段、平行線）（講義）（原卷版）

專題12幾何圖形初步（角、線段、平行線）核心知識(shí)點(diǎn)精講掌握直線、射線、線段的相關(guān)概念；理解掌握角的相關(guān)概念、計(jì)算、余角和補(bǔ)角的性質(zhì)；掌握相交線的有關(guān)角，并能進(jìn)行區(qū)分；掌握平行線的定義、性質(zhì)以及判定；考點(diǎn)1直線、射線和線段1.幾何圖形從實(shí)物中抽象出來(lái)的各種圖形，包括立體圖形和平面圖形。立體圖形：有些幾何圖形的各個(gè)部分不都在同一平面內(nèi)，它們是立體圖形。平面圖形：有些幾何圖形的各個(gè)部分都在同一平面內(nèi)，它們是平面圖形。2.點(diǎn)、線、面、體（1）幾何圖形的組成點(diǎn)：線和線相交的地方是點(diǎn)，它是幾何圖形中最基本的圖形。線：面和面相交的地方是線，分為直線和曲線。面：包圍著體的是面，分為平面和曲面。體：幾何體也簡(jiǎn)稱體。（2）點(diǎn)動(dòng)成線，線動(dòng)成面，面動(dòng)成體。3.直線的概念：一根拉得很緊的線，就給我們以直線的形象，直線是直的，并且是向兩方無(wú)限延伸的。4.射線的概念：直線上一點(diǎn)和它一旁的部分叫做射線。這個(gè)點(diǎn)叫做射線的端點(diǎn)。5.線段的概念：直線上兩個(gè)點(diǎn)和它們之間的部分叫做線段。這兩個(gè)點(diǎn)叫做線段的端點(diǎn)。6.點(diǎn)、直線、射線和線段的表示在幾何里，我們常用字母表示圖形。一個(gè)點(diǎn)可以用一個(gè)大寫字母表示。一條直線可以用一個(gè)小寫字母表示。一條射線可以用端點(diǎn)和射線上另一點(diǎn)來(lái)表示。一條線段可用它的端點(diǎn)的兩個(gè)大寫字母來(lái)表示。7.直線的性質(zhì)（1）經(jīng)過(guò)兩個(gè)點(diǎn)有一條直線，并且只有一條直線。它可以簡(jiǎn)單地說(shuō)成：過(guò)兩點(diǎn)有且只有一條直線。（2）過(guò)一點(diǎn)的直線有無(wú)數(shù)條。（3）直線是是向兩方面無(wú)限延伸的，無(wú)端點(diǎn)，不可度量，不能比較大小。（4）直線上有無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)。（5）兩條不同的直線至多有一個(gè)公共點(diǎn)。8.線段的性質(zhì)（1）所有連接兩點(diǎn)的線中，線段最短。也可簡(jiǎn)單說(shuō)成：兩點(diǎn)之間線段最短。（2）連接兩點(diǎn)的線段的長(zhǎng)度，叫做這兩點(diǎn)的距離。（3）線段的中點(diǎn)到兩端點(diǎn)的距離相等。（4）線段的大小關(guān)系和它們的長(zhǎng)度的大小關(guān)系是一致的。9.線段垂直平分線的性質(zhì)定理及逆定理定義：垂直于一條線段并且平分這條線段的直線是這條線段的垂直平分線。線段垂直平分線的性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)和這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等。逆定理：和一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上?？键c(diǎn)2角1.角的相關(guān)概念有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫做角，這個(gè)公共端點(diǎn)叫做角的頂點(diǎn)，這兩條射線叫做角的邊。當(dāng)角的兩邊在一條直線上時(shí)，組成的角叫做平角。平角的一半叫做直角；小于直角的角叫做銳角；大于直角且小于平角的角叫做鈍角。如果兩個(gè)角的和是一個(gè)直角，那么這兩個(gè)角叫做互為余角，其中一個(gè)角叫做另一個(gè)角的余角。如果兩個(gè)角的和是一個(gè)平角，那么這兩個(gè)角叫做互為補(bǔ)角，其中一個(gè)角叫做另一個(gè)角的補(bǔ)角。2.角的表示：角可以用大寫英文字母、阿拉伯?dāng)?shù)字或小寫的希臘字母表示，具體的有一下四種表示方法：①用數(shù)字表示單獨(dú)的角，如∠1，∠2，∠3等。②用小寫的希臘字母表示單獨(dú)的一個(gè)角，如∠α，∠β，∠γ，∠θ等。③用一個(gè)大寫英文字母表示一個(gè)獨(dú)立（在一個(gè)頂點(diǎn)處只有一個(gè)角）的角，如∠B，∠C等。④用三個(gè)大寫英文字母表示任一個(gè)角，如∠BAD，∠BAE，∠CAE等。注意：用三個(gè)大寫英文字母表示角時(shí)，一定要把頂點(diǎn)字母寫在中間，邊上的字母寫在兩側(cè)。3.角的度量角的度量有如下規(guī)定：把一個(gè)平角180等分，每一份就是1度的角，單位是度，用“°”表示，1度記作“1°”，n度記作“n°”。把1°的角60等分，每一份叫做1分的角，1分記作“1’”。把1’的角60等分，每一份叫做1秒的角，1秒記作“1””。1°=60’=360”4.角的性質(zhì)（1）角的大小與邊的長(zhǎng)短無(wú)關(guān)，只與構(gòu)成角的兩條射線的幅度大小有關(guān)。（2）角的大小可以度量，可以比較（3）角可以參與運(yùn)算。5.角的平分線及其性質(zhì)一條射線把一個(gè)角分成兩個(gè)相等的角，這條射線叫做這個(gè)角的平分線。角的平分線有下面的性質(zhì)定理：（1）角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等。（2）到一個(gè)角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上。6.余角和補(bǔ)角（1）余角：如果兩個(gè)角的和等于90°（直角），就說(shuō)這兩個(gè)角互為余角．即其中一個(gè)角是另一個(gè)角的余角．（2）補(bǔ)角：如果兩個(gè)角的和等于180°（平角），就說(shuō)這兩個(gè)角互為補(bǔ)角．即其中一個(gè)角是另一個(gè)角的補(bǔ)角．（3）性質(zhì)：等角的補(bǔ)角相等．等角的余角相等．（4）余角和補(bǔ)角計(jì)算的應(yīng)用，常常與等式的性質(zhì)、等量代換相關(guān)聯(lián)．注意：余角（補(bǔ)角）與這兩個(gè)角的位置沒(méi)有關(guān)系．不論這兩個(gè)角在哪兒，只要度數(shù)之和滿足了定義，則它們就具備相應(yīng)的關(guān)系．考點(diǎn)3相交線1.相交線中的角兩條直線相交，可以得到四個(gè)角，我們把兩條直線相交所構(gòu)成的四個(gè)角中，有公共頂點(diǎn)但沒(méi)有公共邊的兩個(gè)角叫做對(duì)頂角。我們把兩條直線相交所構(gòu)成的四個(gè)角中，有公共頂點(diǎn)且有一條公共邊的兩個(gè)角叫做臨補(bǔ)角。臨補(bǔ)角互補(bǔ)，對(duì)頂角相等。直線AB，CD與EF相交（或者說(shuō)兩條直線AB，CD被第三條直線EF所截），構(gòu)成八個(gè)角。其中∠1與∠5這兩個(gè)角分別在AB，CD的上方，并且在EF的同側(cè)，像這樣位置相同的一對(duì)角叫做同位角；∠3與∠5這兩個(gè)角都在AB，CD之間，并且在EF的異側(cè)，像這樣位置的兩個(gè)角叫做內(nèi)錯(cuò)角；∠3與∠6在直線AB，CD之間，并側(cè)在EF的同側(cè)，像這樣位置的兩個(gè)角叫做同旁內(nèi)角。2.垂線兩條直線相交所成的四個(gè)角中，有一個(gè)角是直角時(shí)，就說(shuō)這兩條直線互相垂直。其中一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點(diǎn)叫做垂足。直線AB，CD互相垂直，記作“AB⊥CD”（或“CD⊥AB”)，讀作“AB垂直于CD”（或“CD垂直于AB”）。垂線的性質(zhì)：性質(zhì)1：過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直。性質(zhì)2：直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連接的所有線段中，垂線段最短。簡(jiǎn)稱：垂線段最短?？键c(diǎn)4平行線1.平行線的概念在同一個(gè)平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線。平行用符號(hào)“∥”表示，如“AB∥CD”，讀作“AB平行于CD”。同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系只有兩種：相交或平行。2.平行線公理及其推論平行公理：經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行。推論：如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行。3.平行線的判定（1）兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么兩直線平行。簡(jiǎn)稱：同位角相等，兩直線平行。（2）兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯(cuò)角相等，那么兩直線平行。簡(jiǎn)稱：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行。（3）兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補(bǔ)，那么兩直線平行。簡(jiǎn)稱：同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行。4.平行線的性質(zhì)（1）兩直線平行，同位角相等。（2）兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等。（3）兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)?！绢}型1：直線、射線和線段】【典例1】（2023?茂南區(qū)二模）小光準(zhǔn)備從A地去往B地，打開(kāi)導(dǎo)航、顯示兩地距離為37.7km，但導(dǎo)航提供的三條可選路線長(zhǎng)卻分別為45km，50km，51km（如圖）．能解釋這一現(xiàn)象的數(shù)學(xué)知識(shí)是（）A．兩點(diǎn)之間，線段最短 B．垂線段最短 C．三角形兩邊之和大于第三邊 D．兩點(diǎn)確定一條直線1．（2023秋?高州市校級(jí)月考）夜晚時(shí)，我們看到的流星劃過(guò)屬于（）A．點(diǎn)動(dòng)成線 B．線動(dòng)成面 C．面動(dòng)成體 D．以上答案都不對(duì)2．（2023?廣東模擬）在墻壁上固定一根橫放的木條，至少需要（）A．1枚釘子 B．2枚釘子 C．3枚釘子 D．隨便多少枚釘子【題型2：角】【典例2】（2023?平遠(yuǎn)縣一模）一個(gè)角的補(bǔ)角比這個(gè)角的余角的3倍少10°，這個(gè)角為（）A．20° B．30° C．40° D．50°1．（2022?東莞市一模）如圖，OA是北偏東30°方向的一條射線，若∠BOA＝90°，則OB的方位角是（）A．西北方向 B．北偏西30° C．北偏西60° D．西偏北60°2．（2023?香洲區(qū)校級(jí)一模）如圖，將一副三角尺按不同位置擺放，哪種擺放方式中∠α與∠β相等（）A． B． C． D．3．（2023?順德區(qū)模擬）已知∠1＝70°，∠2與∠1互為余角，則∠2＝（）A．10° B．20° C．30° D．110°4．（2022?花都區(qū)一模）如圖，點(diǎn)O是直線AB上一點(diǎn)，∠AOC＝50°，則∠BOC的度數(shù)為．．5．（2021?饒平縣校級(jí)模擬）時(shí)鐘上6：40時(shí)針和分針的夾角是度．【題型3：相交線】【典例3】（2022?中山市一模）如圖，直線l1，l2相交于點(diǎn)O，∠1＝70°，則∠2＝70°．1．（2023?霞山區(qū)一模）如圖，直線AB、CD相交于點(diǎn)O，OE是∠AOD的平分線，∠AOC＝26°，∠AOE的度數(shù)為（）A．26° B．154° C．77° D．82°2．（2023?廣東模擬）如圖，當(dāng)剪刀口∠AOB增大10°時(shí)，∠COD的度數(shù)（）A．不變 B．減少10° C．增大10° D．增大20°3．（2023?中山市校級(jí)一模）如圖，直線AB、CD相交于點(diǎn)O，射線OM平分∠BOD，若∠AOC＝42°，則∠AOM等于（）A．161° B．159° C．169° D．138°4.（2023?韶關(guān)一模）如圖，∠1和∠2是同位角的是（）A． B． C． D．【題型4：平行線】【典例4】如圖，直線a∥b，直線AB⊥AC，若∠1＝50°，則∠2＝（）A．30° B．40° C．45° D．50°1．（2023?寶安區(qū)校級(jí)三模）光線在不同介質(zhì)中的傳播速度是不同的，因此當(dāng)光線從水中射向空氣時(shí)要發(fā)生折射，由于折射率相同，所以在水中平行的光線，在空氣中也是平行的，如圖，若∠1＝50°，∠2＝158°，則∠3的度數(shù)為（）A．50° B．68° C．72° D．78°2．（2023?連平縣二模）如圖，將一塊含有60°角的直角三角尺放置在兩條平行線上，若∠1＝35°，則∠2為（）A．25° B．15° C．35° D．45°3．（2023?禪城區(qū)二模）如圖，燒杯內(nèi)液體表面AB與燒杯下底部CD平行，光線EF從液體中射向空氣時(shí)發(fā)生折射，光線變成FH，點(diǎn)G在射線EF上，已知∠HFB＝20°，∠FED＝60°，則∠GFH的度數(shù)為（）A．20° B．40° C．60° D．80°4．（2023?梅縣區(qū)一模）若直線a、b、c、d在同一平面內(nèi)，且a∥b，a⊥c，b⊥d，則（）A．a(chǎn)∥d B．b∥c C．a(chǎn)⊥b D．c∥d5．（2023?深圳三模）小剛利用如圖所示的方法可以折出“過(guò)已知直線外一點(diǎn)和已知直線平行”的直線，現(xiàn)將實(shí)物抽象出數(shù)學(xué)圖形則可得AD∥BC，過(guò)已知點(diǎn)A作線段AB交BC于點(diǎn)B，∠BAC＝35°，則∠ABC的度數(shù)為（）A．50° B．55° C．60° D．65°一．選擇題（共7小題）1．（2023秋?高明區(qū)期末）開(kāi)學(xué)整理教室時(shí)，老師總是先把每一列最前和最后的課桌擺好，然后再依次擺中間的課桌，一會(huì)兒一列課桌擺在一條線上，整整齊齊，這是因?yàn)椋ǎ〢．兩點(diǎn)之間，線段最短 B．經(jīng)過(guò)一點(diǎn)有無(wú)數(shù)條直線 C．兩點(diǎn)確定一條直線 D．兩點(diǎn)之間線段的長(zhǎng)度，叫做這兩點(diǎn)之間的距離2．（2023秋?北京期末）如圖，甲從點(diǎn)O出發(fā)向北偏東50°方向走到點(diǎn)A，乙從點(diǎn)O出發(fā)向南偏西20°方向走到點(diǎn)B，則∠AOB的度數(shù)是（）A．70° B．120° C．150° D．160°3．（2023秋?長(zhǎng)壽區(qū)期末）下列結(jié)論中，不正確的是（）A．兩點(diǎn)確定一條直線 B．兩點(diǎn)之間，直線最短 C．等角的余角相等 D．等角的補(bǔ)角相等4．（2023秋?普寧市期末）如圖，下列表示角的方法，錯(cuò)誤的是（）A．∠1與∠AOB表示同一個(gè)角 B．∠AOC也可用∠O來(lái)表示 C．圖中共有三個(gè)角：∠AOB、∠AOC、∠BOC D．∠β表示的是∠BOC5．（2023秋?鐵西區(qū)期末）如圖，一束平行于主光軸的光線經(jīng)凸透鏡折射后，其折射光線與一束經(jīng)過(guò)光心O的光線相交于點(diǎn)P，點(diǎn)F為焦點(diǎn)．若∠1＝155°，∠2＝30°，則∠3的度數(shù)為（）A．35° B．45° C．55° D．65°6．（2023秋?青羊區(qū)期末）如圖，Rt△ABC的直角頂點(diǎn)A在直線a上，點(diǎn)B、C在直線b上，且a∥b，若∠1＝59°，則∠2的度數(shù)為（）A．29° B．31° C．59° D．61°7．（2023?綿陽(yáng)）光線在不同介質(zhì)中的傳播速度是不同的，因此當(dāng)光線從水中射向空氣時(shí)，要發(fā)生折射，由于折射率相同，所以在水中平行的光線，在空氣中也是平行的．如圖，∠1＝122°，∠2的度數(shù)為（）A．32° B．58° C．68° D．78°二．填空題（共5小題）8．（2023秋?玄武區(qū)校級(jí)期末）已知線段AB＝8cm，點(diǎn)C在直線AB上，BC＝2cm，點(diǎn)D為線段AC的中點(diǎn)，則線段DB的長(zhǎng)為cm．9．（2023秋?鳳城市期末）如圖，鐵路上有A、B、C、D四個(gè)火車站，相鄰兩站之間的距離各不相同，則從A到B售票員應(yīng)準(zhǔn)備種不同的車票．10．（2023秋?同安區(qū)期末）如圖，從A地到B地有三條路線，分別記為路線a，b，c，則從A地到B地的最短路線是b，其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)原理是．11．（2023春?平輿縣期末）四邊形ABCD中，AD∥BC，AB∥CD，要使四邊形ABCD是矩形，還需滿足的條件可以為（只需填一個(gè)你認(rèn)為合適的條件即可）．12．（2023秋?三元區(qū)期末）若m∥n，∠1＝105°，則∠2＝．三．解答題（共3小題）13．（2022秋?章丘區(qū)期末）如圖，OB是∠AOC的角平分線，OD是∠COE的角平分線，如果∠AOB＝40°，∠COE＝60°，求∠BOD的度數(shù)．解：∵OB是∠AOC的角平分線，∠AOB＝40°，∴∠BOC＝＝40°，∵OD是∠COE的角平分線，∠COE＝60°，∴∠COD＝=12＝∴∠BOD＝∠COD+＝°+°＝°．14．（2023秋?蘇州期末）如圖，點(diǎn)B是線段AC上一點(diǎn)，D是AB的三等分點(diǎn)（D靠近A），E是BC的中點(diǎn)，若BE=15AC＝3cm，求15．（2022春?海曙區(qū)期末）已知：如圖，EF∥CD，∠1+∠2＝180°．（1）判斷GD與CA的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．（2）若DG平分∠CDB，若∠ACD＝40°，求∠A的度數(shù)．一．選擇題（共7小題）1．（2023秋?南沙區(qū)期末）如圖，點(diǎn)O在直線AB上，若∠BOC＝39°，則∠AOC的大小是（）A．78° B．51° C．151° D．141°2．（2022秋?金鄉(xiāng)縣期末）若一個(gè)角比它的余角的2倍少30°，則這個(gè)角的補(bǔ)角的度數(shù)為（）A．110° B．120° C．130° D．140°3．（2022秋?匯川區(qū)期末）如圖，點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)N是線段AC的三等分點(diǎn)．若線段AB的長(zhǎng)為12，則線段BN的長(zhǎng)度是（）A．10 B．8 C．7或9 D．8或104．（2023秋?南開(kāi)區(qū)期末）如圖，從A地到B地的四條路線中，最短路線是（）A．1 B．2 C．3 D．45．（2023秋?黔江區(qū)期末）如圖，AB∥CD，∠ABE＝150°，∠BEF＝70°，則∠DFE的度數(shù)為（）A．30° B．40° C．50° D．60°6．（2023春?余杭區(qū)月考）如圖，AB∥CD，點(diǎn)E在直線CD上，若∠A＝57°，∠BED＝38°，則∠AEB的度數(shù)為（）A．38° B．57° C．85° D．95°7．（2022秋?市中區(qū)期末）有下列說(shuō)法：①射線AB與射線BA表示同一條射線；②若線段AB＝BC，則點(diǎn)B是線段AC的中點(diǎn)；③兩點(diǎn)確定一條直線；④兩點(diǎn)之間，線段最短；⑤對(duì)頂角相等．其中正確的有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)二．填空題（共4小題）8．（2022秋?蒲城縣期末）如圖是一個(gè)正方體的平面展開(kāi)圖，已知該正方體任意兩個(gè)相對(duì)面的數(shù)字之和為6，則ba的相反數(shù)為．9．（2023秋?碧江區(qū)期末）計(jì)算：45°10′﹣21°35′20″＝．10．（2023春?溫州月考）如圖，已知AB∥CD，∠1＝135°，則∠2＝．11．（2023春?永吉縣期末）如圖，在△ABC中，D為線段BC上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)∠ADB＝90°時(shí)，在線段AB，AC，AD中，線段AD最短，理由是．三．解答題（共3小題）12．（2023秋?大埔縣期末）如圖，已知C，D是線段AB上的兩點(diǎn)，C是AD的中點(diǎn)，CD＝3DB，BD＝