2024年九年級(jí)中考數(shù)學(xué)壓軸題-韋達(dá)定理 解析版

韋達(dá)定理

1.基礎(chǔ)公式：

（l）T1+2：2=-—

a

⑵叼電

a

2.拓展公式:

222

(l)x+x=(X1+X2)—2X1X2

Xj+X2

XYX2

x2-?rx2

(為+①2)2一22a2

⑶9+生12

Xix2力巡2"2

(4)/+譴=(尤1+劣2)(/一的.+/)=[(a:i+x)2-32：x]

(XI+T2)212

⑸(工1-立2)2=(g+g)2-4%E2

(6)|rci—X2|=J(必1+二)2—4必1*2

2

(7)(xj+fc)(x2+k)=XiXi+k^+x^+k

J__'『(X+X)2~2XX

J_1I_1212

^?一(g)2（傷電）2

Q【q型制襪IE

趣目|Tl已知關(guān)于力的一元二次方程―+t―3=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

（1）求實(shí)數(shù)k的取值范圍；

（2）設(shè)方程兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為g,g,且滿足（為十電）2十g=4,求k的值.

【答案】解：（1）根據(jù)題意得k￥0且A=12—4Rx（―3）>0,

解得k>—^且kW0;

⑵根據(jù)題意得/1+2：2=—Xi-X=―

k2k

'：（3?!+0；2）2+2：1^2=4,

2

整理得4fe+3fc—1=0,解得ki=",k2=~l,

*.*k>—-^―且kW0,

??

I題目叵已知關(guān)于x的一元二次方程x2-2(m—l)c+m2=0有實(shí)數(shù)根.

(1)求?n的取值范圍；

(2)設(shè)此方程的兩個(gè)根分別為◎,g，若萌+冠=8-3/便2，求恒的值.

2

【答案】解：(1)?.,關(guān)于力的一^二次方程力2—2(772—1)r+m=0有實(shí)數(shù)根.

A=[―2(m—I)]2—4m2=4—8zn>0,

解得：

2

(2),關(guān)于①的一元二次方程/—2(m,—l)x+m=0的兩個(gè)根分別為g,力2,

g+62=2m—2,21?x2=rri

*.*欣+曷=8—3%力2

2

(力什/a)?—22逆2=8—3X^X2,即5m—8m—4=0,

解得：7721=—,館2=2(舍去),

5

實(shí)數(shù)m的值為_工.

2

i題目[T1已知a,b是關(guān)于比的一元二次方程/_2(館+1)工+0+5=0的兩實(shí)數(shù)根.

⑴若(a—1)(6—1)=39,求m的值；

(2)已知等腰AAOB的一邊長(zhǎng)為7,若a,b恰好是A4O8另外兩邊的邊長(zhǎng)，求這個(gè)三角形的周長(zhǎng).

22

【答案】解：(1):Q,b是關(guān)于x的一^二次方程X—2(m+1)/+m+5=0的兩實(shí)數(shù)根，

：.a+b=2(m+1),ab=m2+5,

2

:.(Q—1)(b—1)—db—(a+b)+1=?71+5—2(TTI+1)+1=39,

解得m=-5或?n=7,

當(dāng)m=—5時(shí)，原方程無解，故舍去，m=7.

⑵①當(dāng)7為底邊時(shí)，此時(shí)方程/-2(恒+1)/+病+5=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，

A=4(m+l)2—4(m2+5)=0,解得nz=2,

方程變?yōu)閄2—6X+9=0,

解得a=b=3,*.*3+3<7,不能構(gòu)成三角形.

②當(dāng)7為腰時(shí)，設(shè)a=7,

代入方程得：49—14(m+1)+m2+5=0,

解得：7n=10或4,

當(dāng)館=10時(shí)，方程變?yōu)閄2-22X+105=0,

解得2=7或15,b=15,

v7+7<15,/.不能組成三角形；

當(dāng)館=4時(shí)，方程變?yōu)閤2-10x+21=0,

解得力=3或7,.,.b=3,

???此時(shí)三角形的周長(zhǎng)為7+7+3=17.

綜上所述，三角形的周長(zhǎng)為17.

題目[閱讀材料:如果一元二次方程Q/2+6/+C=O(QW0)的兩根分別是的，力2,那么力1+/2=—￡■，0?力2=5■.借

助該材料完成下列各題：

2

⑴若,劣2是方程X—4：X+A/5=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,則21+/2=，的/2=.

(2)若傷，g是方程/+6/一3=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，/:+舄=,—+—=.

---------①]x2------------

(3)若g,g是關(guān)于力的方程/—(館―3)/+恒+8=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且說+易=13,求館的值.

【答案】解：(1)????,g是方程X2-4X+逐=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，

??—4V5/F

??力i+g=-=4A,61?力2=^-=V5.

(2)Vx1962是方程/+62一3=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,

力1+/2=—6,/rX2=—3,

22

:.冠+舄=(X1+X2)—2X1X2=(-6)—2X(—3)=42,

11_/1+力2_6_

--1--=---=-7=幺o?

Xix2x-cx2—3

(3)?.,關(guān)于力的方程/—(771—3)/+TTi+8=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，

/.A=(m—3)2—4(m+8)>0,即m>5+4V3,或7n45—4V3,

?「g,g是關(guān)于x的方程x2—(m—3)T+m+8=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，

Xi+x2=m—3,x2=m+8,

22

:.*+曷=(Xi+x2)—2x1x2=13,即(rn—3)—2(m+8)=13,

解得，m=—2或？n=10.

即rn的值是一2或10.

|題目區(qū)如果關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+C=0(a￥0)有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且其中一個(gè)根為另一個(gè)根的2倍,那么稱

這樣的方程為“倍根方程”.例如，一元二次方程X2~6X+8=0的兩個(gè)根是2和4,貝U方程X2-6X+8=0就是“倍

根方程”.

(1)若一元二次方程X2-3X+c=0是“倍根方程"，則c=；

(2)若(x—2)[mx—n)=0(m#0)是"倍根方程"，求代數(shù)式2Tn,的值；

m+n

(3)若方程ax2-\-bx+c=0(QW0)是“倍根方程”，且(k+1)與(3—k)是方程ax2+bx+c=5的兩根，求一元二次

方程a^?-\-bx+c=0(aW0)的根.

【答案】解：⑴設(shè)一^二次方程3/+c=0的根是Q,2a,

由根與系數(shù)的關(guān)系，得Q+2Q=3,Qx2Q=c,

解得a=1,則2a=2.

c=2.

(2)由方程(2一2)(mx—n)=0(mW0),

解得x—2或力2=2.

xm?o

方程(6一2)(nzc—=0(m^0)是“倍根方程”，

.n1斗n

..—=1或一=4A,

mm

當(dāng)也=1時(shí)，

m

--2-m--n--=-----2---=---2---=】1?

m2+n2%21+1

nm

當(dāng)?shù)?4時(shí)，

m

2Trm_2_2__8_

m2+n2也+9±4-17-

nm4+

⑶由方程aa^+bx+c=5,

變形，得ax2+bx+c—5=0,

由根與系數(shù)的關(guān)系，得(k+1)+(3—R)=—即一上=4.

aa

設(shè)電，力2是方程力+c=0的兩根，

方程@22+62+°=0(Q。0)是“倍根方程”，

2]_+/2=4,

假設(shè)劣尸2C2，則3g=4,

解得人2=[,則①1=0,

故一^二次方程ax2+bx+c=0(QW0)的根是,和*

OO

題目叵已知關(guān)于T的方程T2-(2/C-3)①+k2+l=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根如電.

(1)求實(shí)數(shù)卜的取值范圍；

⑵若力1，62滿足周+|力21=2Eg|—3,求實(shí)數(shù)k的值.

【答案】解：(1)?.?原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

:.A—[—(2fc—3)y—4(肥+1)—4k2—12k+9—4k?—4——12k+5>0,

:.Xr+x2=2k—3Vo.

又出口2=fc2+l>0,

rci<0,a?2<0,

=

|xi|+|a?2|=—x1—x2—(x1+x2)=-2k+3.

由+|比2I=2|力何2|-3,

得—2k+3=2*+2—3,

即—2=0,

/?自=-2,A^2~~1.

又

k=—2.

I題目\jj已知卬①2是一元二次方程2爐一2/+m+1=0=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.

(1)求實(shí)數(shù)m的取值范圍；

(2)如果力1,力2滿足不等式4+4c巡2>xl+xl，且m為整數(shù)，求??2的值.

【答案】解：(1)根據(jù)題意得：A=(—2)2—4x2x(m+l)>0

解得：m4--于

實(shí)數(shù)7n的取值范圍是恒《一

⑵根據(jù)題意得：Xi+x2=1,Xi-x2=,

4+4cl①2>X1+X2

4+4/逆2>(61+22)2—2力162

即4+621/2>(①1+g)2

4+6x1>1

TTL>—2

：?一2<m4一■

整數(shù)nz的值為一1

〔題目叵已知名1,g是關(guān)于力的方程X2+2X+2k—4=。兩個(gè)實(shí)數(shù)根,并且為缶力2，

(1)求實(shí)數(shù)k的取值范圍；

(2)若k為正整數(shù)，且該方程的根都是整數(shù),求k的值.

(3)若\Xi—X2\=6,求(劣1一/2)2+3/1/2的值.

【答案】解：(!.)△—ft2—4QC—22—4X1x(2k—4)—20—8k.

???方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

20—8k>0,

kV].

⑵???k為正整數(shù)，

；?0VkV,

即k=1或2,

根據(jù)配方法可得：(N+1)2=4—2k+1=5—2上

解得x=—1±V5-2fc;

方程的根為整數(shù)，

???5—2k為完全平方數(shù),?O

當(dāng)k=l時(shí)，5—2fc=3,舍去；

當(dāng)k=2時(shí)，5—2k=l;

k=2.

⑶已知g,62為方程/+2c+2k—4=0的兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根,

則6i+72=12,6rx2=2k—4：,

則E—gl=J(61一力2)2=J(劣1+/2)2—46162—V20—8k=6,

解得k=-2,即力避2=2x(—2)—4=—8,

22

所以(X1—X2)+3X1X2—6+3X(—8)=12.

I題目叵I已知關(guān)于①的一元二次方程4A4—4fcc+k+l=0.

(1)若方程有實(shí)數(shù)根,求k的取值范圍；

(2)若知22是原方程的根，是否存在實(shí)數(shù)R,使(2宓1—12)(入1—2電)=—|"成立？若存在，請(qǐng)求出k的值;若不存在,

請(qǐng)說明理由.

【答案】解：⑴方程有實(shí)數(shù)根，

A=(―4fc)2—4x4fcx(fc+1)=—16k>0,

???k40,

???方程是一元二次方程，

4kW0,即kW0,

??.k的取值范圍為kVO;

⑵不存在，理由如下：

Xi,力2是一^二次方程4k/—4k力+k+1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,

/.A=(―4fe)2—4x4fcx(fc+1)=—16k>0,且4kW0,

解得kV0.

Xi,g是一元二次方程4k/—4k%+k+i=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,

k+1

/.Xi+x=1,XiX

224k'

:.(26i—力2)262)—2冠一4g62一出何2+2)=2(屆+2|)—9xrX2

k+1—k—9

=2X12-9?

4fc