大概念視域下初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的設(shè)計策略

【摘要】本文在研究了當(dāng)下初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的常見問題后，提出復(fù)習(xí)課未必在章末建構(gòu)且覆蓋知識未必全面的設(shè)計思路，認為大概念視域下的初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課教學(xué)要以高階視角、整體觀念進行精準施教，隨后呈現(xiàn)確定教學(xué)目標、設(shè)計課堂問題、滲透數(shù)學(xué)思想、流向思辨精神等復(fù)習(xí)課設(shè)計策略，并以理論與實踐相結(jié)合的形式進行具體闡述。【關(guān)鍵詞】復(fù)習(xí)課；大概念；二次函數(shù)；教學(xué)設(shè)計；結(jié)構(gòu)化一、引言復(fù)習(xí)課是幫助學(xué)生將某一階段內(nèi)的知識系統(tǒng)化、結(jié)構(gòu)化以鞏固學(xué)習(xí)成果的課型，能彌補新授課中因時間、容量等因素限制而導(dǎo)致的教學(xué)不足，一般以發(fā)展學(xué)生思維水平，提升學(xué)習(xí)質(zhì)量為主要目的。然而，筆者研究相關(guān)文獻發(fā)現(xiàn)，目前大多數(shù)復(fù)習(xí)課的教學(xué)樣態(tài)以概念梳理、例題講解、隨堂練習(xí)等形式為主。顧繼玲和章飛通過研究某省初中數(shù)學(xué)青年教師基本功大賽的39份章復(fù)習(xí)課教學(xué)設(shè)計，指出復(fù)習(xí)課存在的主要問題有知識結(jié)構(gòu)呈現(xiàn)偏直線式，變式問題類型有所欠缺，拓展性問題不夠豐富等，建議教師要充分考慮學(xué)生的學(xué)情，基于章節(jié)特征選擇適切性的教學(xué)形式，由新問題引導(dǎo)學(xué)生產(chǎn)生串聯(lián)舊知的新思考，充分發(fā)揮學(xué)生的主體性。［1］曹燕萍梳理了當(dāng)下初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課較為突出的三個問題：一是復(fù)習(xí)內(nèi)容貪多求量，習(xí)題層次設(shè)計缺失；二是復(fù)習(xí)形式貪圖安逸，教學(xué)樣態(tài)創(chuàng)新缺失；三是復(fù)習(xí)過程貪快求速，學(xué)生主體地位缺失。因此她認為復(fù)習(xí)課若是變成了“炒冷飯”，那么借復(fù)習(xí)課重構(gòu)學(xué)生的知識與觀念便無從談起了。［2］張東在分析課標的基礎(chǔ)上，發(fā)現(xiàn)很多教師存在培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題并非復(fù)習(xí)課任務(wù)的錯誤觀念，只關(guān)注分析問題和解決問題，未能充分利用好復(fù)習(xí)課發(fā)展學(xué)生的“四能”，實現(xiàn)教學(xué)效能與育人目標的全面提升。［3］筆者根據(jù)自身的教學(xué)實踐也發(fā)現(xiàn)，很多復(fù)習(xí)課是將整章的知識、概念聚集到一起，有種“一鍋端”的混亂感，這樣的復(fù)習(xí)課不僅會增加學(xué)生的學(xué)習(xí)焦慮，使學(xué)生產(chǎn)生畏懼心理，而且無法帶來新的收獲。大概念視域下的復(fù)習(xí)課教學(xué)以立德樹人為宗旨，以學(xué)會學(xué)習(xí)為目的，以高階視角、整體觀念統(tǒng)領(lǐng)學(xué)生的已有知識經(jīng)驗與實際認知水平，在此基礎(chǔ)上進行精準施教，幫助學(xué)生找準思維盲區(qū)，力求從全新角度切入，吸引學(xué)生的復(fù)習(xí)心向，通過知識再建構(gòu)幫助學(xué)生突破思維障礙，進而克服當(dāng)下復(fù)習(xí)課教學(xué)中學(xué)生體驗感差、結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)度弱、問題聚焦域窄、形式創(chuàng)新性不足等現(xiàn)實困境。二、對初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課設(shè)計方式的思考與價值探尋（一）復(fù)習(xí)課并非章末建構(gòu)的特權(quán)復(fù)習(xí)課一般安排在某一章知識學(xué)習(xí)結(jié)束后，蘇科版教材中就專門設(shè)有一節(jié)“小結(jié)與思考”以歸納全章內(nèi)容，但這顯得過于刻意，似乎復(fù)習(xí)課一定要在規(guī)定的時間、確定的節(jié)點開設(shè)。事實上，有些知識僅靠新授課教學(xué)是無法達到深層次理解的，憑碎片化的認識更是無法看到知識的全貌，因此復(fù)習(xí)的內(nèi)核在于幫助學(xué)生突破隱蔽的思維困惑，喚起學(xué)生對已學(xué)知識的審視與質(zhì)疑，從而拓寬認知事物的渠道和看待問題的視野。從這個角度看，復(fù)習(xí)課是隨機的、有時效性的，所以開設(shè)復(fù)習(xí)課的時機應(yīng)該是不確定的，可以根據(jù)學(xué)情、教學(xué)進度、評價反饋等現(xiàn)實因素做及時調(diào)整，未必一定要設(shè)置在章末，可由學(xué)生的認知需求決定。當(dāng)然，隨機性便意味著挑戰(zhàn)性，教材中沒有對應(yīng)的復(fù)習(xí)教學(xué)設(shè)計供教師參考，這對相當(dāng)一部分一線教師來說并非易事。（二）復(fù)習(xí)課的覆蓋面未必廣而全當(dāng)下很多教師容易走進一個誤區(qū)，即認為檢驗一節(jié)復(fù)習(xí)課好壞的標準是知識的覆蓋廣度，教師們會將自己認為重要的概念、性質(zhì)盡可能地往復(fù)習(xí)課里“塞”。在很多公開課中，常?？梢钥吹浇處熃柚季S導(dǎo)圖梳理一章的概念，通過可視化圖式將知識“一網(wǎng)打盡”。這種做法有可取之處，即能通過橫縱多維的建構(gòu)讓章結(jié)構(gòu)逐漸清晰、明朗，起到提綱挈領(lǐng)、整體關(guān)聯(lián)的作用，但當(dāng)重復(fù)的內(nèi)容大量、快速涌入學(xué)生的大腦時，學(xué)習(xí)的效果一定不會像初學(xué)時那樣高效，此時如果教師不站在一個獨特的角度進行高位設(shè)計的話，學(xué)生很容易感到思維疲乏。其實復(fù)習(xí)課未必要面面俱到，完全可以從一個小切口喚醒學(xué)生新的思考與質(zhì)疑，這個切口未必依賴于具體知識，可以是在舊知中尋求解決新問題的辦法策略，進而在解構(gòu)與重塑中建立起對知識更加深刻且全面的認識。三、大概念視域下初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的設(shè)計策略（一）以大概念確定立足高階思維的教學(xué)目標教學(xué)目標是關(guān)于教學(xué)將使學(xué)生發(fā)生何種變化的明確表述，是指在教學(xué)活動中期待得到的學(xué)生的學(xué)習(xí)結(jié)果。復(fù)習(xí)課教學(xué)活動的設(shè)計要以目標為導(dǎo)向，圍繞教學(xué)目標進行。雖然教學(xué)參考用書中每一章的小結(jié)與思考都會給出一些具體的復(fù)習(xí)建議，但對于可以在任意時刻開展的復(fù)習(xí)課而言，教學(xué)參考用書中是沒有對應(yīng)參照的，因此需要教師結(jié)合學(xué)生掌握知識的實際情況，權(quán)衡復(fù)習(xí)內(nèi)容的難度、跨度、相關(guān)性等因素，自行制訂有針對性的復(fù)習(xí)目標。大概念相當(dāng)于一個車轄［4］，是統(tǒng)領(lǐng)階段性知識的上位概念，具有抽象性、普適性等特點，同時還體現(xiàn)出鮮明的學(xué)科特征與較強的遷移性。復(fù)習(xí)課應(yīng)在學(xué)生對所學(xué)知識形成全面認識的基礎(chǔ)之上，借助大概念將思維錨點置于高階視角，幫助學(xué)生重新構(gòu)建知識體系，從而實現(xiàn)思維進階。筆者剖析二次函數(shù)圖象研究的結(jié)構(gòu)邏輯，發(fā)現(xiàn)二次函數(shù)本身屬于代數(shù)范疇，但二次函數(shù)圖象又附帶著一些幾何屬性，這就為構(gòu)建二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)的知識體系埋下了兩條線：一是圖形的運動，二是代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征。這或許可以成為二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)復(fù)習(xí)課切入的全新視角。教材是從幾何變換入手的，按照由簡至繁的順序?qū)訉油七M，由簡單的一維平移到復(fù)雜的二維平移，逐漸揭示出二次函數(shù)表達式與圖象之間的關(guān)系。那么，如果沿著代數(shù)這條線研究，應(yīng)該如何對探索路徑進行設(shè)計呢？這條路徑是否可行呢？這樣的思考為本節(jié)復(fù)習(xí)課明確了一個研究主題，也使得復(fù)習(xí)有了新的探索方向。這一方向中包含了路徑建構(gòu)、數(shù)學(xué)分支、方案設(shè)計與驗證、分類意識、數(shù)形結(jié)合等五個大概念，當(dāng)教學(xué)目標指向這些大概念時，復(fù)習(xí)課的思維層級便是向上走的，有宏大、穩(wěn)固的概念框架支撐，有明確的任務(wù)驅(qū)動與評價維度，學(xué)生在這樣的目標預(yù)設(shè)下不僅不會感到疲憊，反而能感受到課堂是充滿挑戰(zhàn)的?；诖?，本節(jié)復(fù)習(xí)課的教學(xué)目標設(shè)定為：（1）回顧二次函數(shù)圖象性質(zhì)的建立過程，體會從簡單到復(fù)雜的幾何研究路徑；（2）從代數(shù)視角重新設(shè)計研究二次函數(shù)圖象與性質(zhì)的方案，并對設(shè)計方案的可行性進行驗證；（3）能根據(jù)二次函數(shù)的系數(shù)關(guān)系預(yù)設(shè)圖象的形態(tài)特征，感受分類討論、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。（二）以大概念設(shè)計引向高遠視角的課堂問題復(fù)習(xí)課具體應(yīng)該怎么上，在復(fù)習(xí)課中設(shè)計怎樣的問題可以將課堂逐步引向高階思維的發(fā)展，這是在依據(jù)大概念確定教學(xué)目標后需要進一步思考的問題。杰羅姆·布魯納（JeromeSeymourBruner）在《教育過程》中提到，我們很容易問一些無價值的、無法回答的困難問題，但關(guān)鍵是要找到可以解答的、有啟發(fā)性、能起到媒介作用的問題。基于大概念設(shè)計課堂問題，有利于教師與學(xué)生形成基于教學(xué)目標的學(xué)科理解，從而使問題成為觸發(fā)學(xué)生達成目標的介質(zhì)與“導(dǎo)火索”。另外，弗蘭克·萊曼（FrankLyman）說過，教育應(yīng)該是一種癢的狀態(tài)，而不是撓的動作。復(fù)習(xí)課一般是已學(xué)知識的重復(fù)，很難從內(nèi)容本身吸引學(xué)生的注意力，所以唯有充分激發(fā)學(xué)生的好奇心，以大概念為觸點引導(dǎo)學(xué)生提出批判與質(zhì)疑，才能揭示出更多的問題，從而培養(yǎng)學(xué)生針對一個問題得出各種不同答案的能力，即發(fā)散思維的能力，或是針對一個激發(fā)因素，產(chǎn)生大量不同尋常的聯(lián)想的能力，即流暢構(gòu)思的能力［5］，使得學(xué)生透過現(xiàn)象看到問題的本質(zhì)。由于學(xué)生此前已經(jīng)學(xué)過了二次函數(shù)圖象的相關(guān)知識，所以在復(fù)習(xí)課中不可能讓學(xué)生假想知識空白，像初學(xué)者那樣從頭開始探索，教師應(yīng)基于這一實際情況進行問題與活動的設(shè)計。在本節(jié)復(fù)習(xí)課中，筆者先引導(dǎo)學(xué)生以舊視角回顧二次函數(shù)圖象的研究過程，從路徑建構(gòu)的大概念角度思考之前是如何研究二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)的。學(xué)生回憶后發(fā)現(xiàn)先是從最簡二次函數(shù)y＝ax2的圖象入手，分階段進行上下、左右平移，最后將這兩種平移方式疊加，得到了二次函數(shù)頂點式y(tǒng)=a（x-h）2+k的圖象。由于a能控制開口方向與大小，平移后圖象又可處于平面內(nèi)的任何位置，所以二次函數(shù)的頂點式圖象能代表所有二次函數(shù)圖象。緊接著，筆者再次提問，“初中數(shù)學(xué)包含哪幾大分支？”“你能從標題‘二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)’中感受對應(yīng)的關(guān)鍵詞嗎？”“你能從代數(shù)視角研究二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)嗎？”等問題啟發(fā)學(xué)生從代數(shù)角度帶著新意重拾舊知，從路徑確定、方案設(shè)計與驗證等角度對知識進行再建構(gòu)，緊扣大概念中與教學(xué)目標相關(guān)的問題，將思維層級由具體的、單一的對二次函數(shù)圖象與性質(zhì)的思考遷移到抽象的、發(fā)散的對函數(shù)宏觀研究的整體認識中去。圖1是該復(fù)習(xí)建構(gòu)過程的思維導(dǎo)圖。這些問題的提出能夠幫助學(xué)生將零碎的單元知識加以整合，在大概念的統(tǒng)領(lǐng)下與過往的知識對接，進而展開更多的聯(lián)想以尋求同一內(nèi)容主題在不同學(xué)科領(lǐng)域的思維足跡。學(xué)生在這樣的狀態(tài)下能始終保持對知識的好奇心與神秘感，復(fù)習(xí)便會起到事半功倍的效果。（三）以大概念滲透指向高位理解的數(shù)學(xué)思想數(shù)學(xué)思想，是指現(xiàn)實世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系反映到人們的意識之中，經(jīng)過思維活動而產(chǎn)生的結(jié)果。數(shù)學(xué)思想是對數(shù)學(xué)事實與理論經(jīng)過概括后產(chǎn)生的本質(zhì)認識，一般通過數(shù)學(xué)思想的培養(yǎng)，學(xué)生的數(shù)學(xué)能力會有大幅度提高。從某種意義上來說，數(shù)學(xué)思想本身就是數(shù)學(xué)學(xué)科中大概念的一種表征形式，兩者都是具有統(tǒng)攝功能的上位概念，都能體現(xiàn)數(shù)學(xué)的思維本質(zhì)與內(nèi)在邏輯。如果非要對兩者進行區(qū)分的話，大概念更加側(cè)重于抽象層面的理解傾向，而數(shù)學(xué)思想則可以下沉至方法，可以應(yīng)用于具體問題的解決。因此，在復(fù)習(xí)課中以大概念滲透數(shù)學(xué)思想，既是檢驗大概念在教學(xué)中是否對復(fù)習(xí)產(chǎn)生意義的標準，同時也是復(fù)習(xí)課堂的一種具體表現(xiàn)形式，指向?qū)χR的深度理解與高度概括，奠定了整節(jié)復(fù)習(xí)課的基調(diào)與立意。在對二次函數(shù)圖象和性質(zhì)的路徑建構(gòu)的回顧中，筆者引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)與形兩種不同的角度展開思考，是本節(jié)復(fù)習(xí)課數(shù)形結(jié)合思想的第一次滲透。之后學(xué)生類比幾何視角，遵循由簡單到復(fù)雜的研究梯度，以最簡二次函數(shù)y=ax2為研究起點，依次加上常數(shù)項、一次項分別得到y(tǒng)=ax2+c與y=ax2+bx，最后將兩種項同時加上便可得到一般式y(tǒng)＝ax2+bx+c。該復(fù)習(xí)建構(gòu)過程如圖2所示，這一探究過程滲透了從特殊到一般、由簡單到復(fù)雜、類比等數(shù)學(xué)思想，這些數(shù)學(xué)思想向上看正是路徑建構(gòu)、數(shù)學(xué)分支、方案設(shè)計與驗證等大概念的具體實施方式，向下看則是與二次函數(shù)圖形內(nèi)在特征相關(guān)的結(jié)構(gòu)化形態(tài)呈現(xiàn)。在對二次函數(shù)圖象和性質(zhì)研究的代數(shù)路徑進行驗證時，學(xué)生需要根據(jù)a、b、c的符號聯(lián)想大致的函數(shù)圖象草圖，然后再分析各草圖之間是否具備某種逐層遞進的關(guān)聯(lián)，以此判斷該路徑能否成為探究二次函數(shù)圖象和性質(zhì)的主線。為了方便研究，本節(jié)復(fù)習(xí)課統(tǒng)一令a、b、c為正數(shù)，具體分析情況見表1。其中無論是y=ax2+c的函數(shù)圖象與y軸交點位于正負半軸的討論，y=ax2+bx的對稱軸與y軸位置關(guān)系的討論，還是y=ax2+bx+c的函數(shù)圖象與x軸交點個數(shù)的討論等，都暗藏著事物的確定性與不確定性，學(xué)生能從中體會到分類討論的必要性，并在畫圖過程中尋求變量與常量之間的關(guān)系，關(guān)注變化中的不變。該復(fù)習(xí)建構(gòu)過程用圖3的思維導(dǎo)圖呈現(xiàn)。當(dāng)這些體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想的行為在課堂中出現(xiàn)時，大概念便會逐漸落地，使得學(xué)生對知識的理解在二次建構(gòu)中指向更高位的層級。在教學(xué)時，筆者也注重抓住時機提問，引導(dǎo)學(xué)生基于大概念將思維向更深處延伸，如“你們覺得‘往哪里偏’與拋物線的什么因素有關(guān)？”，學(xué)生再次從數(shù)形結(jié)合的大概念出發(fā)進行分析，發(fā)現(xiàn)與拋物線的對稱軸有關(guān)，當(dāng)a、b均為正時對稱軸在y軸的左側(cè)。筆者進一步追問：“那當(dāng)a、b均為負，或者a、b一正一負時對稱軸在哪？你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？”學(xué)生從分類討論的大概念角度進行分析，發(fā)現(xiàn)當(dāng)a、b同號時對稱軸在y軸的左側(cè)，a、b異號時對稱軸在y軸的右側(cè)。從系數(shù)的代數(shù)特征遷移到圖象的直觀表征，整個探索過程雖源于對代數(shù)研究路徑的驗證，但本節(jié)復(fù)習(xí)課的價值早已不止于此。以新的視角讓學(xué)生充滿好奇地走進復(fù)習(xí)課堂只是表象，本質(zhì)是學(xué)生在多元視角下，以更為豐富的數(shù)學(xué)思想對已學(xué)知識進行二次建構(gòu)，在數(shù)與形的緊密聯(lián)系中發(fā)現(xiàn)二次函數(shù)各項系數(shù)之間的不等關(guān)系均會影響函數(shù)圖象的結(jié)論。（四）使大概念流向體現(xiàn)綜合素養(yǎng)的思辨精神如果說數(shù)學(xué)思想方法的滲透對于學(xué)生素養(yǎng)的提升更多地體現(xiàn)在學(xué)科大概念上，那么當(dāng)這種學(xué)科概念上升到思辨精神時則會逐漸形成一個人穩(wěn)定的認知風(fēng)格與思維方式，從而幫助人更好地形成對事物多面性的客觀理解，可謂大概念的大概念，主要包括辯證思維與理性精神。辯證思維是指以變化發(fā)展視角認識事物的思維方式，通常被認為是與邏輯思維相對立的。在邏輯思維中，事物一般“非此即彼”，而辯證思維中事物可以“亦此亦彼”，這是大概念廣度的體現(xiàn)。理性精神則是指人能夠運用理智的能力，它通常指人在審慎思考后，以推理方式推導(dǎo)出結(jié)論，并通過論點與具有說服力的論據(jù)發(fā)現(xiàn)真理，而非依靠表象獲得結(jié)論，這是大概念深度的體現(xiàn)。復(fù)習(xí)課深層次的意義在于培養(yǎng)學(xué)生的批判精神與質(zhì)疑能力，因此將學(xué)科大概念匯聚于思辨精神是復(fù)習(xí)課的最終旨歸，亦是發(fā)展學(xué)生素養(yǎng)和提升關(guān)鍵能力的根與源。在本節(jié)復(fù)習(xí)課中，讓學(xué)生自己設(shè)計一條與教材不同的研究二次函數(shù)圖象和性質(zhì)的路徑便蘊含了許多看待事物、處理問題的思辨關(guān)系，如從特殊到一般，從簡單到復(fù)雜，這既是人類認識客觀事物的普遍規(guī)律，也是數(shù)學(xué)學(xué)科能得以發(fā)展的關(guān)鍵。對設(shè)計方案提出的路徑的合理性進行驗證時，需要收集證據(jù)對相應(yīng)結(jié)論進行判斷與歸納，這種思維的周全性、重邏輯與論據(jù)的縝密性都體現(xiàn)了極強的理性精神。當(dāng)學(xué)生在完成了整節(jié)課的完整流程后，會發(fā)現(xiàn)四個表達式的圖象之間并沒有必然關(guān)聯(lián)，即從代數(shù)角度研究二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是不合理的，但學(xué)生在這一過程中發(fā)現(xiàn)了二次函數(shù)系數(shù)與圖象之間的關(guān)系等有價值的結(jié)論。當(dāng)筆者提問學(xué)生通過本節(jié)課收獲了什么時，學(xué)生無一表示抱怨或遺憾，而是都對同一事物展開了