2024年高考數(shù)學(xué)一模試題分類匯編:平面向量(解析版)(廣東專用)_第1頁
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文檔簡介

專題07平面向量

平面向量平面向量的數(shù)量積運算

平面向量的坐標(biāo)表示運算

題型01平面向量的線性運算

1.(2024下廣東佛山?模擬預(yù)測)在“3C中,AB=a,AC=b,若就=2的,反?=2次,線段ND

與BE交于點、F,則麗=()

A.-aT—b

33

1一2/

C.---ClH-----0D.

3333

【答案】B

【詳解】如下圖所示:

由/C=2£C,3C=2。C可得。,E分別為BC,/C的中點

—*2—?

AF=-AD

由中線性質(zhì)可得3,

AD=-(AB+AC]=-((i+b)AF=l^(a+b}=-(a+b\

又2、2、>,所以32、,3、),

CF=CA+AF=-b+-(a+b]=-a——b

因此3',33.

故選:B

2.(2024?廣東清遠(yuǎn)?聯(lián)考)如圖,在中,。為的中點,AE=2EC^AD與BE交于點、F,

若赤二就=1,則而=()

第1頁共14頁

A

5i2-3-

C.--a--bD.-a-b

55555+5

【答案】A

BF=xBE=x-A^\=—xb-xa

【詳解】設(shè))3AF=yAD,

---------?-----?-----?-----?----?v/----?-----?\V一?V1一

BF=-AB+AF=-AB+yAD=-AB+^AB+ACj=^b+\^-1ja

2J3

一工二一x=—

325

4

—X——1而

而力與3不共線,〔2,解得r?w

故選:A.

3.(2024下?廣東江門?模擬預(yù)測)在“5。中,。是邊5C上一點,且80=2。。]是力。的中點,記

AC=m,AD=n,則BE=()

^m-3n5--

A.-n—3mB.-n-3mC.D.-m-3n

3222

【答案】D

BE=AE-AB=-AC-(AC+CB)

【詳解】2

=-^AC-3CD=-^AC-3(AD-AC^

5—■—.5

=-AC-3AD=-m-3n

22,

故選:D.

4.(2024下?廣東惠州?模擬預(yù)測)在“SC中,M是。5的中點,AN=3NC,CM與BN相交于點P,

則方=()

3—?1—?1—?3—?

A.-AB+-ACB.-AB+-AC

5555

第2頁共14頁

C.-AB+-ACD.-AB+-AC

2442

【答案】B

【詳解】設(shè)萬=N48+〃二,由”是N3的中點,得益=2商,

一_AC=-AN

由ZN=3NC,得3

—?—?4—?

~T~D。0,~Tr^4P=-\—uAN

所以/尸=2X/M+〃/C,且3

由CN與2N相交于點尸可知,點尸在線段CM上,也在線段8N上,

A=-

22+〃=15

“413

XH---(J.—IAP^AB+^AC

3,解得

由三點共線的條件可得〔9所以55

故選:B

5.(2024下?廣東珠海?模擬)已知在“8C中,CB=a,CA=b,£為線段/C的中點,點。在線段

BE_L,^\CE\-JO=\BC\-OE,則與=()

A

2同+,21+網(wǎng)

2同+回2同+同

【答案】B

,\CE\-Bd=\BC\-OE

【詳解】由題意,得a??II

^-BO=\a\-OEBO=^.OE

所以網(wǎng)

所以2

——2\a\一一一2\a\h—

CO-CB=^(CE-CO)C?!?=吉(——CO)

所以w,所以H2

函=」^?萬+」^石

2同+忖2同+卜|

解得

第3頁共14頁

WQ同+問

所以前二函―第二函MJ同+|可02\a\+\b\

—2—1—?

8.(2024下?廣東肇慶?一模)在"BC中,AD=-AB+-AC,ABAD=9,ACAD=26,則下列各

33

式一定成立的是()

A.sinB=cos0sinCB.sinC-cos0sinB

C.sinB=sin0sinCD.sinC=sin0sinB

【答案】B

AD=-AB+-AC

【詳解】因為33,

RD=AD-AB=--AB+-AC=-JC

所以333,

所以。點在線段BC上靠近5點的三等分處,

如圖所示,過點。作。交于點E,過點。作分1/C交NC于點尸,

sin2=匹,si“=匹,sinC=空,而2。=空

則BDADDCAD

所以?!?/Qsin。,DF=ADsin29,

ADsin03ADsin0smC=空4。sin263sin20_3sin6cos6

BDBCDC2BC箴

-BC-BC

所以33

所以sinC=cosOsinB

故選:B.

9.(2024下?廣東河源?模擬)在中,。力普分別是角/^(所對的邊,D為邊BC上一點、.

(1)試?yán)?刀+就=%"證明:"ccosB+6cosc=a";

jr

(2)若/=—,5。=3,。=2,40_13。,求“8C的面積.

4

【答案】⑴證明見解析(2*5

第4頁共14頁

【詳解】(1)在“8C中,由向量的線性運算法則,可得BC=4C-4B,

兩邊同時點乘就,可得麗,前=前,就-四?方,

所以。2=cosC-accos(兀一B)=abcosC+accosS

兩邊同時約去Q,可得。=bcosC+ccos8,即證畢.

(2)如圖所示,設(shè)NBAD=a,NCAD=仇AD=x,

7ic兀3c2

A=—a+(3=—tana=—tan尸=一

因為4,所以4,又因為所以x,%,

32

—I—

兀/小tana+tan£丫丫

tan—=tan(a+仍=---------=—~臺

41-tanatan016

所以一了,

化簡得/-5無-6=0,解得x=6或x=-l(舍去),所以/。=6,

S=-BCAD=-x5x6=15

所以“8C的面積22

題型02平面向量的數(shù)量積運算

1.(2024下?廣東湛江?高三一模)已知向量%,刃均為單位向量,alS,若向量)=百々+4五與

向量Z的夾角為6,貝ijcos6=()

A叵RVTo

C立D.叵

55105

【答案】D

【解析】

一―?-4―?

【詳解】因為向量°,人均為單位向量,aLb,

所以同=網(wǎng)=1,。=0,

因為"扁+亞,所以己1=(百萬+國)也=百^+&五3=百

第5頁共14頁

故選:D.

)=43I^JB+^CI="TT;

2.(2024下?廣東?番禺)在"ABTCr中,II,1\AC\I=,1I\IBC\I,則4C5C=()

A-16B.16C.-9D.9

【答案】D

【詳解】由題意得在中,BC=AC-AB^

故由同=4,|就卜3,回+同=|網(wǎng),

得回+可=|就一可,AB2+2AB-AC+AC2=AB2-2AB-AC+AC2,

即16+9+2萬?元=16+9-2充?疝

即通?充=0,

故而灰^而函-珂=元2-%.方=9.

故選:D

3.(2024下?廣東?深圳市一模)己知是夾角為120°的兩個單位向量,若向量Z+在向量£

上的投影向量為2々,則4=()

A.-2B.2

【答案】A

【解析】

=2

【詳解】在向量2上的投影向量為

a+2Q?cos120°=12=2=>丸=—2

2

第6頁共14頁

故選:A

4.(2024下?廣東?佛山禪城一模)已知Z與書為兩個不共線的單位向量,則()

A.[a+b^//aB.aL(a-b^

C.若則—砌=/D.若G+研=:,則〈詞專

【答案】D

5.(2024下?廣東?廣州市一模)(多選)已知向量扇B不共線,向量彳+B平分M與B的夾角,則下

列結(jié)論一定正確的是()

A.&.B=0伍-

C.向量彳與B在萬+B上的投影向量相等D.\a+b\=\a-b\

【答案】BC

【解析】平分M與B的夾角,則卜卜同,°與B不一定垂直,AD錯,選BC.

幻『=片_廬=o,/.(彳+B)_L(萬一3

a\a+b],_、a+a-b

a+b

方在1+6上的投影向量必+,「|a+b|2

b\a+b]b2+a-ba+a-b

__V-'\a+b\a+b

B在上的投影向量Z+切一’

,C對,選BC.

6.(2024?廣東廣州?一模)(多選)已知向量g不共線,向量Z+B平分£與刃的夾角,則下列結(jié)論

一定正確的是()

A.a-b=0B.(a+,)_L(a-,)

C.向量Z,刃在Z+r上的投影向量相等D.=

【答案】BC

【詳解】作向量次=£,礪=B,在口O/CB中,OC=a+b,BA=a-b,

第7頁共14頁

B,C

0匕---------

由向量5+B平分M與B的夾角,得口。4。5是菱形,即m=向,

對于A,2與B不一定垂直,A錯誤;

對于B,(G+B).伍一B)二不一戶=0,即(a+-)_!_(十一V),B正確;

rt丁一一一,八心川口/q日之.(之+6)/—r、G+G?b「7、

對于C,a在1+B上的投影向里~~zr—(?+Z?)=-――^-—(a+b),

\a+b\\a+b\

,,,.,=b'(a+b)_7、b2+a-b_「、a2+a-b_丁、丁小

6在5+匕上的n投影向堇T--(4Z+Z?)=—―^—(a+b)=—~~^—(a+b),C正確;

\a+bI\a+b\\a+b\

對于D,由選項A知,75不一定為0,則而+加與]£—9不一定相等,D錯誤.

故選:BC

—?—?71

7.(2024下?廣東?梅州市一模)已知耳,02表示兩個夾角為1的單位向量,。為平面上的一個

固定點,P為這個平面上任意一點,當(dāng)麗=》耳+了1時,定義(x,y)為點尸的斜坐標(biāo).設(shè)點。的斜

坐標(biāo)為(2,1),則|麗卜.

【答案】V7

【解析】

【詳解】由題知質(zhì)=21+[,乂[,[表示兩個夾角為三的單位向量,

2

所以|。。|=-JOQ-OQ=yj(2ei+e2)=~+4e1-e2+e2-=j+4xcosy+1=6,

故答案為:、斤.

8.(2024下?廣東?梅州市一模)已知C:A/8C外接圓的半徑為1,圓心為點。,且滿足

40C=-20A-30B,則cosZAOB=,AB-OA=

1__3

【答案】①.E4

【解析】

第8頁共14頁

【分析】根據(jù)給定條件,利用數(shù)量積的運算律及數(shù)量積的定義求出夾角余弦、數(shù)量積.

【詳解】由4人=一2萬一3礪兩邊平方得:16OC2=4OA2+90S2+1204-OB,

cos^AOB=—

依題意,16=4+9+12cos<95,所以4.

AB-04=(OB-OA)-OA=OB-OA-OA=cosZAOB-1=-^

£_3

故答案為:4;4

題型03平面向量的坐標(biāo)表示運算

1.(2024下?廣東東莞?模擬)已知向量耳,晟是平面夕內(nèi)的一組基向量,尸為夕內(nèi)的定點,對于"內(nèi)

任意一點P,當(dāng)而=啟+了區(qū)時,稱有序?qū)崝?shù)對(xf)為點尸的廣義坐標(biāo).若點A,8的廣義坐標(biāo)分

,

別為(士,必),(x2,y2),則"次〃礪'是"再%=%%"的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

[詳解]由已知可得。/=(""%)=芯品+.%02,OB=(x2,y2)=x2el+y2e2

[再=AX2

^OA//OB,則皿eR,使力=4礪,即無品+邛2=2124+鵬),則[必=",即32=七%;

若再歹2=%%,則使厲=4礪,gpOAHOB?

故〃Q4〃O5“是〃再%=%必〃的充要條件,

故選:C.

2.(2024下?廣東深圳?模擬預(yù)測)已知點N(2,6),5(-2,-3),C(0,l),,則與向量赤+2麗

同方向的單位向量為()

【答案】A

第9頁共14頁

^3-(-4,-9),Cr)=-,5AB+2CD-(30

【詳解】由題意12J,所以48+2S-13,l)

AB+2CD1(}(3V10廂]

|商+25「反!‘一[10'10J

從而與向量方+2函同方向的單位向量為

故選:A.

3.(2024下?廣東大灣區(qū)?校聯(lián)考模擬預(yù)測)(多選)已知@=(2,1)石=(1,-1),己=(羽2),則()

A.若x=0,則存在唯一的實數(shù)p,q,使得1=+

B.若x=l,則G_Lc

C.若x=4,貝

D.若x=l,則3在B上的投影向量為(-;,£)

【答案】ACD

【詳解】A:當(dāng)x=°時,石=(1,-1)1=(0,2)不共線,所以很了可以作為一組基向量,

由平面向量基本定理得,存在唯一的實數(shù)p,q使得力=°5+延,所以A正確;

B:若尤=1,則小3=(2,1>(1,2)=4W0,

所以3不成立,所以B錯誤;

一二一

c:若x=4/=-4,2),貝『=丁,

所以)〃己,所以C正確;

D:若x=l,貝/=(1,2),

二1二(1,一1)=

所以己在往上的投影向量為I⑸)2I22人所以。正確.

故選:ACD

4.(2024下?廣東?省一模)(多選)已知向量1=(1,b=(cosa,sintz),則下列結(jié)論正確

的是()

A.若5//B,則tan<z=V3B.若&_Lb,則tanct=———

3

c.若石與B的夾角為方,貝Hl—B|=3

若之與B方向相反,則B在]上的投影向量的坐標(biāo)是(-工,-

D.

2

第10頁共14頁

【答案】ABD

【解析】

【詳解】向量2=(1,百),B=(cosa,sina),

對于A,由5//B,得sina=Gcosa,因此tana=G,人正確;

-r~.tana=-----

對于B,由彳工力,得J3sma+cosa=0,因此3,B正確;

對于C,方與人的夾角為32,屹|(zhì)=1,2,

因止匕|萬一6|="。+b-2a-b=V3,c錯誤;

a-b1一(1

—-2a=—a=—,----

對于D,2與3方向相反,則B在5上的投影向量為2122J,D正確.

故選:ABD

5.(2024下?廣東?江門一模)已知向量Q=(1,0),B=(1/),若Q+焉與B垂直,則A=.

【答案】」

2

【解析】

【詳解】因為z=(l,0),6=(1,1),所以2+21=(1+九/1),

乂Z+宓與各垂直,所以(。+&)3=1+2+2=0,解得2=—g

故答案為:---

2

6.(2024下?廣東?深圳市一模)設(shè)點/(—2,0),5,g,0),C(0,l),若動點p滿足歸/|=2]必

SL~AP=MB+piAC,則4+24的最大值為

20+4

【答案】3

【解析】

p(PA={—2—x,—y),PB=(------x,—y)

【詳解】設(shè)尸(Y2),則2

由|04=2]尸4得J(_2_x)2+(_?=2j(-x)2+(一y)2

第11頁共14頁

整理,得/+/=1,

AP=(x+2,y),AB=d,0),^C=(2,1)

又2,

’3?

—>—>■—-*x+2——4+2/7

AP=MB+/LIAC^<2

代入日=〃

332

x+y+2=—4+3//=—(4+24)4+2〃=—(x+j^+2)

有2"2、",所以3,

,IV2

由l=x+V22切,得,2,當(dāng)且僅當(dāng),2時等號成立,

所以(x+方=/+2盯+/41+1=2,得x+y三亞,

22/-+4

2+27/=—(x+y+2)<—(V2+2)=------

所以333

2及+4

即2+2〃的最大值為3.

2拒+4

故答案為:3

7.(2024下?廣東中山?模擬)如圖在直角梯形48c。中,ABHCD,ABLAD,AD=DC=1,AB=3,

動點P在以C為圓心,且與直線AD相切的圓內(nèi)運動,^:AP=aAD+/3AB(a^eR),則&+6的取

值范圍是____________

【答案】I3J

【詳解】如圖所示以A為

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