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文檔簡介
專題07平面向量
平面向量平面向量的數(shù)量積運算
平面向量的坐標(biāo)表示運算
題型01平面向量的線性運算
1.(2024下廣東佛山?模擬預(yù)測)在“3C中,AB=a,AC=b,若就=2的,反?=2次,線段ND
與BE交于點、F,則麗=()
A.-aT—b
33
1一2/
C.---ClH-----0D.
3333
【答案】B
【詳解】如下圖所示:
由/C=2£C,3C=2。C可得。,E分別為BC,/C的中點
—*2—?
AF=-AD
由中線性質(zhì)可得3,
AD=-(AB+AC]=-((i+b)AF=l^(a+b}=-(a+b\
又2、2、>,所以32、,3、),
CF=CA+AF=-b+-(a+b]=-a——b
因此3',33.
故選:B
2.(2024?廣東清遠(yuǎn)?聯(lián)考)如圖,在中,。為的中點,AE=2EC^AD與BE交于點、F,
若赤二就=1,則而=()
第1頁共14頁
A
5i2-3-
C.--a--bD.-a-b
55555+5
【答案】A
BF=xBE=x-A^\=—xb-xa
【詳解】設(shè))3AF=yAD,
---------?-----?-----?-----?----?v/----?-----?\V一?V1一
BF=-AB+AF=-AB+yAD=-AB+^AB+ACj=^b+\^-1ja
2J3
一工二一x=—
325
4
—X——1而
而力與3不共線,〔2,解得r?w
故選:A.
3.(2024下?廣東江門?模擬預(yù)測)在“5。中,。是邊5C上一點,且80=2。。]是力。的中點,記
AC=m,AD=n,則BE=()
^m-3n5--
A.-n—3mB.-n-3mC.D.-m-3n
3222
【答案】D
BE=AE-AB=-AC-(AC+CB)
【詳解】2
=-^AC-3CD=-^AC-3(AD-AC^
5—■—.5
=-AC-3AD=-m-3n
22,
故選:D.
4.(2024下?廣東惠州?模擬預(yù)測)在“SC中,M是。5的中點,AN=3NC,CM與BN相交于點P,
則方=()
3—?1—?1—?3—?
A.-AB+-ACB.-AB+-AC
5555
第2頁共14頁
C.-AB+-ACD.-AB+-AC
2442
【答案】B
【詳解】設(shè)萬=N48+〃二,由”是N3的中點,得益=2商,
一_AC=-AN
由ZN=3NC,得3
—?—?4—?
~T~D。0,~Tr^4P=-\—uAN
所以/尸=2X/M+〃/C,且3
由CN與2N相交于點尸可知,點尸在線段CM上,也在線段8N上,
A=-
22+〃=15
“413
XH---(J.—IAP^AB+^AC
3,解得
由三點共線的條件可得〔9所以55
故選:B
5.(2024下?廣東珠海?模擬)已知在“8C中,CB=a,CA=b,£為線段/C的中點,點。在線段
BE_L,^\CE\-JO=\BC\-OE,則與=()
A
2同+,21+網(wǎng)
2同+回2同+同
【答案】B
,\CE\-Bd=\BC\-OE
【詳解】由題意,得a??II
^-BO=\a\-OEBO=^.OE
所以網(wǎng)
所以2
——2\a\一一一2\a\h—
CO-CB=^(CE-CO)C?!?=吉(——CO)
所以w,所以H2
函=」^?萬+」^石
2同+忖2同+卜|
解得
第3頁共14頁
WQ同+問
所以前二函―第二函MJ同+|可02\a\+\b\
—2—1—?
8.(2024下?廣東肇慶?一模)在"BC中,AD=-AB+-AC,ABAD=9,ACAD=26,則下列各
33
式一定成立的是()
A.sinB=cos0sinCB.sinC-cos0sinB
C.sinB=sin0sinCD.sinC=sin0sinB
【答案】B
AD=-AB+-AC
【詳解】因為33,
RD=AD-AB=--AB+-AC=-JC
所以333,
所以。點在線段BC上靠近5點的三等分處,
如圖所示,過點。作。交于點E,過點。作分1/C交NC于點尸,
sin2=匹,si“=匹,sinC=空,而2。=空
則BDADDCAD
所以?!?/Qsin。,DF=ADsin29,
ADsin03ADsin0smC=空4。sin263sin20_3sin6cos6
BDBCDC2BC箴
-BC-BC
所以33
所以sinC=cosOsinB
故選:B.
9.(2024下?廣東河源?模擬)在中,。力普分別是角/^(所對的邊,D為邊BC上一點、.
(1)試?yán)?刀+就=%"證明:"ccosB+6cosc=a";
jr
(2)若/=—,5。=3,。=2,40_13。,求“8C的面積.
4
【答案】⑴證明見解析(2*5
第4頁共14頁
【詳解】(1)在“8C中,由向量的線性運算法則,可得BC=4C-4B,
兩邊同時點乘就,可得麗,前=前,就-四?方,
所以。2=cosC-accos(兀一B)=abcosC+accosS
兩邊同時約去Q,可得。=bcosC+ccos8,即證畢.
(2)如圖所示,設(shè)NBAD=a,NCAD=仇AD=x,
7ic兀3c2
A=—a+(3=—tana=—tan尸=一
因為4,所以4,又因為所以x,%,
32
—I—
兀/小tana+tan£丫丫
tan—=tan(a+仍=---------=—~臺
41-tanatan016
所以一了,
化簡得/-5無-6=0,解得x=6或x=-l(舍去),所以/。=6,
S=-BCAD=-x5x6=15
所以“8C的面積22
題型02平面向量的數(shù)量積運算
1.(2024下?廣東湛江?高三一模)已知向量%,刃均為單位向量,alS,若向量)=百々+4五與
向量Z的夾角為6,貝ijcos6=()
A叵RVTo
C立D.叵
55105
【答案】D
【解析】
一―?-4―?
【詳解】因為向量°,人均為單位向量,aLb,
所以同=網(wǎng)=1,。=0,
因為"扁+亞,所以己1=(百萬+國)也=百^+&五3=百
第5頁共14頁
故選:D.
)=43I^JB+^CI="TT;
2.(2024下?廣東?番禺)在"ABTCr中,II,1\AC\I=,1I\IBC\I,則4C5C=()
A-16B.16C.-9D.9
【答案】D
【詳解】由題意得在中,BC=AC-AB^
故由同=4,|就卜3,回+同=|網(wǎng),
得回+可=|就一可,AB2+2AB-AC+AC2=AB2-2AB-AC+AC2,
即16+9+2萬?元=16+9-2充?疝
即通?充=0,
故而灰^而函-珂=元2-%.方=9.
故選:D
3.(2024下?廣東?深圳市一模)己知是夾角為120°的兩個單位向量,若向量Z+在向量£
上的投影向量為2々,則4=()
A.-2B.2
【答案】A
【解析】
=2
【詳解】在向量2上的投影向量為
a+2Q?cos120°=12=2=>丸=—2
2
第6頁共14頁
故選:A
4.(2024下?廣東?佛山禪城一模)已知Z與書為兩個不共線的單位向量,則()
A.[a+b^//aB.aL(a-b^
C.若則—砌=/D.若G+研=:,則〈詞專
【答案】D
5.(2024下?廣東?廣州市一模)(多選)已知向量扇B不共線,向量彳+B平分M與B的夾角,則下
列結(jié)論一定正確的是()
A.&.B=0伍-
C.向量彳與B在萬+B上的投影向量相等D.\a+b\=\a-b\
【答案】BC
【解析】平分M與B的夾角,則卜卜同,°與B不一定垂直,AD錯,選BC.
幻『=片_廬=o,/.(彳+B)_L(萬一3
a\a+b],_、a+a-b
a+b
方在1+6上的投影向量必+,「|a+b|2
b\a+b]b2+a-ba+a-b
__V-'\a+b\a+b
B在上的投影向量Z+切一’
,C對,選BC.
6.(2024?廣東廣州?一模)(多選)已知向量g不共線,向量Z+B平分£與刃的夾角,則下列結(jié)論
一定正確的是()
A.a-b=0B.(a+,)_L(a-,)
C.向量Z,刃在Z+r上的投影向量相等D.=
【答案】BC
【詳解】作向量次=£,礪=B,在口O/CB中,OC=a+b,BA=a-b,
第7頁共14頁
B,C
0匕---------
由向量5+B平分M與B的夾角,得口。4。5是菱形,即m=向,
對于A,2與B不一定垂直,A錯誤;
對于B,(G+B).伍一B)二不一戶=0,即(a+-)_!_(十一V),B正確;
rt丁一一一,八心川口/q日之.(之+6)/—r、G+G?b「7、
對于C,a在1+B上的投影向里~~zr—(?+Z?)=-――^-—(a+b),
\a+b\\a+b\
,,,.,=b'(a+b)_7、b2+a-b_「、a2+a-b_丁、丁小
6在5+匕上的n投影向堇T--(4Z+Z?)=—―^—(a+b)=—~~^—(a+b),C正確;
\a+bI\a+b\\a+b\
對于D,由選項A知,75不一定為0,則而+加與]£—9不一定相等,D錯誤.
故選:BC
—?—?71
7.(2024下?廣東?梅州市一模)已知耳,02表示兩個夾角為1的單位向量,。為平面上的一個
固定點,P為這個平面上任意一點,當(dāng)麗=》耳+了1時,定義(x,y)為點尸的斜坐標(biāo).設(shè)點。的斜
坐標(biāo)為(2,1),則|麗卜.
【答案】V7
【解析】
【詳解】由題知質(zhì)=21+[,乂[,[表示兩個夾角為三的單位向量,
2
所以|。。|=-JOQ-OQ=yj(2ei+e2)=~+4e1-e2+e2-=j+4xcosy+1=6,
故答案為:、斤.
8.(2024下?廣東?梅州市一模)已知C:A/8C外接圓的半徑為1,圓心為點。,且滿足
40C=-20A-30B,則cosZAOB=,AB-OA=
1__3
【答案】①.E4
【解析】
第8頁共14頁
【分析】根據(jù)給定條件,利用數(shù)量積的運算律及數(shù)量積的定義求出夾角余弦、數(shù)量積.
【詳解】由4人=一2萬一3礪兩邊平方得:16OC2=4OA2+90S2+1204-OB,
cos^AOB=—
依題意,16=4+9+12cos<95,所以4.
AB-04=(OB-OA)-OA=OB-OA-OA=cosZAOB-1=-^
£_3
故答案為:4;4
題型03平面向量的坐標(biāo)表示運算
1.(2024下?廣東東莞?模擬)已知向量耳,晟是平面夕內(nèi)的一組基向量,尸為夕內(nèi)的定點,對于"內(nèi)
任意一點P,當(dāng)而=啟+了區(qū)時,稱有序?qū)崝?shù)對(xf)為點尸的廣義坐標(biāo).若點A,8的廣義坐標(biāo)分
,
別為(士,必),(x2,y2),則"次〃礪'是"再%=%%"的()
A.充分不必要條件B.必要不充分條件
C.充要條件D.既不充分也不必要條件
【答案】C
[詳解]由已知可得。/=(""%)=芯品+.%02,OB=(x2,y2)=x2el+y2e2
[再=AX2
^OA//OB,則皿eR,使力=4礪,即無品+邛2=2124+鵬),則[必=",即32=七%;
若再歹2=%%,則使厲=4礪,gpOAHOB?
故〃Q4〃O5“是〃再%=%必〃的充要條件,
故選:C.
2.(2024下?廣東深圳?模擬預(yù)測)已知點N(2,6),5(-2,-3),C(0,l),,則與向量赤+2麗
同方向的單位向量為()
【答案】A
第9頁共14頁
^3-(-4,-9),Cr)=-,5AB+2CD-(30
【詳解】由題意12J,所以48+2S-13,l)
AB+2CD1(}(3V10廂]
|商+25「反!‘一[10'10J
從而與向量方+2函同方向的單位向量為
故選:A.
3.(2024下?廣東大灣區(qū)?校聯(lián)考模擬預(yù)測)(多選)已知@=(2,1)石=(1,-1),己=(羽2),則()
A.若x=0,則存在唯一的實數(shù)p,q,使得1=+
B.若x=l,則G_Lc
C.若x=4,貝
D.若x=l,則3在B上的投影向量為(-;,£)
【答案】ACD
【詳解】A:當(dāng)x=°時,石=(1,-1)1=(0,2)不共線,所以很了可以作為一組基向量,
由平面向量基本定理得,存在唯一的實數(shù)p,q使得力=°5+延,所以A正確;
B:若尤=1,則小3=(2,1>(1,2)=4W0,
所以3不成立,所以B錯誤;
一二一
c:若x=4/=-4,2),貝『=丁,
所以)〃己,所以C正確;
D:若x=l,貝/=(1,2),
二1二(1,一1)=
所以己在往上的投影向量為I⑸)2I22人所以。正確.
故選:ACD
4.(2024下?廣東?省一模)(多選)已知向量1=(1,b=(cosa,sintz),則下列結(jié)論正確
的是()
A.若5//B,則tan<z=V3B.若&_Lb,則tanct=———
3
c.若石與B的夾角為方,貝Hl—B|=3
若之與B方向相反,則B在]上的投影向量的坐標(biāo)是(-工,-
D.
2
第10頁共14頁
【答案】ABD
【解析】
【詳解】向量2=(1,百),B=(cosa,sina),
對于A,由5//B,得sina=Gcosa,因此tana=G,人正確;
-r~.tana=-----
對于B,由彳工力,得J3sma+cosa=0,因此3,B正確;
對于C,方與人的夾角為32,屹|(zhì)=1,2,
因止匕|萬一6|="。+b-2a-b=V3,c錯誤;
a-b1一(1
—-2a=—a=—,----
對于D,2與3方向相反,則B在5上的投影向量為2122J,D正確.
故選:ABD
5.(2024下?廣東?江門一模)已知向量Q=(1,0),B=(1/),若Q+焉與B垂直,則A=.
【答案】」
2
【解析】
【詳解】因為z=(l,0),6=(1,1),所以2+21=(1+九/1),
乂Z+宓與各垂直,所以(。+&)3=1+2+2=0,解得2=—g
故答案為:---
2
6.(2024下?廣東?深圳市一模)設(shè)點/(—2,0),5,g,0),C(0,l),若動點p滿足歸/|=2]必
SL~AP=MB+piAC,則4+24的最大值為
20+4
【答案】3
【解析】
p(PA={—2—x,—y),PB=(------x,—y)
【詳解】設(shè)尸(Y2),則2
由|04=2]尸4得J(_2_x)2+(_?=2j(-x)2+(一y)2
第11頁共14頁
整理,得/+/=1,
AP=(x+2,y),AB=d,0),^C=(2,1)
又2,
’3?
—>—>■—-*x+2——4+2/7
AP=MB+/LIAC^<2
代入日=〃
332
x+y+2=—4+3//=—(4+24)4+2〃=—(x+j^+2)
有2"2、",所以3,
,IV2
由l=x+V22切,得,2,當(dāng)且僅當(dāng),2時等號成立,
所以(x+方=/+2盯+/41+1=2,得x+y三亞,
22/-+4
2+27/=—(x+y+2)<—(V2+2)=------
所以333
2及+4
即2+2〃的最大值為3.
2拒+4
故答案為:3
7.(2024下?廣東中山?模擬)如圖在直角梯形48c。中,ABHCD,ABLAD,AD=DC=1,AB=3,
動點P在以C為圓心,且與直線AD相切的圓內(nèi)運動,^:AP=aAD+/3AB(a^eR),則&+6的取
值范圍是____________
【答案】I3J
【詳解】如圖所示以A為
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