2024年2月“鴿子杯”高三數(shù)學試題含答案

2024年2月“鴿子杯”線上測試

數(shù)學

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時,選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。

如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題

卡上，寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的。

1.幕函數(shù)y=的圖像經(jīng)過(；,；)，則&=

A.--B.-C.-2D.2

22

2.若由最小二乘法得到的回歸直線y=x+l,則其均值點可能是

A.(0,1)B.(1,0)C.(2,4)D.(3,7)

3.已知集合/={1,2,切},B={3,m2},若NClBw。，則滿足條件的根有

A.3個B.4個C.5個D.6個

4.已知函數(shù)/(x)=2sin(函是奇函數(shù)，則/⑺=

A.0B.1C.2D.-2

5.設4,B,。是三個事件，則對事件“4,5不同時發(fā)生且5,。有且只有一個發(fā)

生”的表示中，正確的是

A.~ABCB.ABC+ABC

C.ABC+ABC+ABCD.ABC+ABC+ABC+ABC

6.設無窮整數(shù)數(shù)列他}的前〃項和為且有S；=2-%,則〃2024=

A.-2B.-1C.1D.2

7.函數(shù)/(x)=色竺的兩個極值點對應的函數(shù)點均在直線/上，則/的方程為

x-2

A.y=xB.y=-xC.y=—xD.y=--x

數(shù)學試題第1頁(共4頁)

8.已知動點尸在圓/+j?=i上，定點。的坐標為。,1）,動點T滿足0T=XOP+nOQ,

其中2,jLi＞0,不+2〃2=4,則|0刀的最大值為

A.2-V2B.V2C.2D.2+72

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的四個選項中，有

多項符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。

9.設復數(shù)Z1=3+4i與4=-4+3i在復平面對應的點分別為尸，Q,平面坐標原點為O,

則

____]_

2

A.B+ZzkpqB.歸12|=囤c.|Z]-z2|=|（9e|D.=|og|

10.已知橢圓C「雙曲線。2有相同的焦點4，F(xiàn)-焦距為2,且G，C?離心率互為倒

數(shù)記4,4分別為C],的兩個頂點,G，C2有公共點尸,且有闿＞|48|，

|4：＞|4工|，陷|＞陷|，則

A./4|=|尸6|B.|4闋=|尸居|C.F[PA.F2PD.FXF21F2P

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.在平面直角坐標系中，角a的頂點為。，始邊與x軸正半軸重合，終邊過點（2,-方），

貝！Jsin（a+.

13.已知正項數(shù)列｛%｝滿足：當〃為奇數(shù)和偶數(shù)時，a?,all+l,%+2分別成等比數(shù)列和

等差數(shù)列.設%=1,%=15,則｛%｝的通項公式為;設數(shù)列｛a.｝的前

〃項和為Sn,貝ljSl0=.

14.已知等腰三角形的腰為1,則該等腰三角形內(nèi)切圓面積的最大值為.

數(shù)學試題第2頁（共4頁）

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

15.（13分）

某老師在課堂測驗上設置了一種新的大題題型，這種大題題型由一個題干和五個與

題干有關的判斷題組成，得分規(guī)則是：五道題中，全部正確判斷則該大題得5分，有一

道錯誤判斷則該大題得3分，有兩道錯誤判斷則該大題得1分，有三道及以上錯誤判斷

則該大題不得分.假定隨機判斷時，每道題正確判斷和錯誤判斷的概率相等.

（1）若考生所有題目都隨機判斷，求此時得分的分布列和數(shù)學期望；

（2）若考生能夠正確判斷其中兩道題目，其余題目隨機判斷，求此時得分的數(shù)學

期望.

16.（15分）

請從以下三個條件中選擇一個條件加入題干并完成求解，不同條件對應的本題滿分

不同，若選擇多個條件進行求解，將以分值較大的解答作為評分依據(jù)：

甲（滿分10分）：^BAC=60°,PB上PC；

乙（滿分12分）：PA=2PB,△NBC的面積為10方；

丙（滿分15分）：點尸到平面4BC的距離為叵，PA=275.

3

如圖，在三棱錐P-N3c中，PALPB,PA1.PC,AB=5,AC=S.

（1）求三棱錐P-43C的表面積與體積;

（2）求二面角/-3C-尸的余弦值.

17.(15分)

已知函數(shù)/(x)=-bsinx),a>0,b>0.

（1）若b=l,討論/（x）在（0,2萬）的單調(diào)性;

（2）設t="6>0,t為定值，若/（x）在R上單調(diào),求？的取值范圍.

數(shù)學試題第3頁（共4頁）

18.(17分)

循環(huán)排列(也稱圓排列)是指從〃個不同元素中取出m個不同的元素排成一個環(huán)形,

既無頭也無尾.循環(huán)排列視所有循環(huán)的情形為同一種排列，例如123、231、312在循環(huán)

排列中便視為一種排列；同時將順時針和逆時針視為兩種循環(huán)排列，例如123和132便

是兩種不同的循環(huán)排列.(本題中，m,〃均為正整數(shù)，且加(〃)

(1)若從〃個人中選擇〃，個人圍坐成一個圓桌，直接寫出這樣的排列個數(shù)；

(2)定義：將〃個不同元素劃分成加個非空循環(huán)排列(即每個排列中都有至少一

個元素)，所有這樣的排列的個數(shù)用符號s(〃，M表示.并規(guī)定s(0,0)=1,s(%0)=0.

①求s(4,2)；

②證明：s(ji,m)+n-s(ji,m+1)=5(M+1,zn+1),其中

(3)已知某飯店有〃張圓桌，每張圓桌最多可以容納”個人，最少可以不坐人.現(xiàn)

在有〃個人來到飯店就餐，若將每張桌上圍坐多人時不同的循環(huán)排列視為不同方案，將

相同循環(huán)排列坐在不同桌視為同種方案，求總的方案數(shù).

19.(17分)

在平面直角坐標系中有定點4(-&,0),F2(V2,0),動點尸滿足：點尸到y(tǒng)軸

的距離與點尸到片，尸2距離之和的比值為?.

(1)求點尸軌跡廠的方程；

(2)設點0為「上一點，忸。=4,求△P。片面積的最大值.

數(shù)學試題第4頁(共4頁)

18.(17分)

在平面直角坐標系xqy中有定點片(-行,0),與(后,0),動點尸滿足：點尸到了軸

的距離與點尸到4，F(xiàn)2距離之和的比值為?.

(1)求點尸軌跡廠的方程；

(2)設點0為廠上一點，\PQ\=4,求△P。耳面積的最大值.

19.(17分)

循環(huán)排列(也稱圓排列)是指從〃個不同元素中取出m個不同的元素排成一個環(huán)形,

既無頭也無尾.循環(huán)排列視所有循環(huán)的情形為同一種排列，例如123、231、312在循環(huán)

排列中便視為一種排列；同時將順時針和逆時針視為兩種循環(huán)排列，例如123和132便

是兩種不同的循環(huán)排列.(本題中，m,〃均為正整數(shù)，且加W”)

(1)若從〃個人中選擇用個人圍坐成一個圓桌，直接寫出這樣的排列個數(shù)；

(2)定義：將"個不同元素劃分成機個非空循環(huán)排列(即每個排列中都有至少一

個元素)，所有這樣的排列的個數(shù)用符號S(〃M)表示.并規(guī)定s(0,0)=l,s(〃,0)=0.

①求s(4,2)；

②證明：(〃+1)S(〃,山)+S(〃,加+1)=S("+1,加+1),其中

(3)已知某飯店有〃張圓桌，每張圓桌最多可以容納"個人，最少可以不坐人.現(xiàn)

在有"個人來到飯店就餐，若將每張桌上坐多人時不同的循環(huán)排列視為不同方案，求總

的方案數(shù).

19.(17分)

從1,2,3,……，〃這〃個連續(xù)的正整數(shù)中取加個數(shù)(加，〃為正整數(shù)且機W”)，

將每種取法中的加個數(shù)求積，并將所有不同取法得出的積求和，其結(jié)果記為s(〃,加).

例如:5(3,2)=1x24-1x3+2x3=11.

(1)求s(4,2)；

(2)證明：(”+l)s(",??)+s(〃,/n+1)=s(〃+1,加+1)，其中％<〃；

(3)規(guī)定s(0,0)=0,0)=0,證明：對任意正整數(shù)〃，有￡s(〃,i)=(〃+l)!；

/=0

(4)試探索s(〃，⑼所表示的含義或應用情境.

數(shù)學試題第4頁(共4頁)

2024年2月“鴿子杯”線上測試

數(shù)學試題參考答案

（參考答案僅提供部分解法）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的。

題號12345678

答案BACACDCD

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的四個選項中，有

多項符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。

題號91011

答案ABCBDABD

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

題號121314

為奇數(shù)575-11

n=<

答案un380----------------71

一五1,〃為偶數(shù)2

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

15.（13分）

（1）設考生得分為X,X為離散型隨機變量，則X的可能取值為0、1、3、5.

則尸（x=5）=",尸（X=3）=C；（；）.（；）4$,尸（X=l）=（,

p（X=0）=；,故X的分布列為：

X0135

￡551

P

2163232

因此考生得分的數(shù)學期望E(X)=9xl+Wx3+°x5=".……7分

16323216

數(shù)學試題參考答案第1頁共6頁

（2）設考生得分為y,丫為離散型隨機變量，則丫的可能取值為0、1、3、5.

1111331

貝I）尸（丫=5）=（_）3=_,p（y=3）=C；（—）?（—）2=—,尸（y=l）=_,p（y=o）=—.

28八22888

因此考生得分的數(shù)學期望E（y）=±4xl+4±x3+1L5=1U7.……13分

8888

16.（15分）

（1）

甲：由余弦定理，BC2^AB2+AC2-2AB-AC-cosABAC,BC=1.

PA2+PB2=AB2

由于E4,PB,PC兩兩垂直，因此根據(jù)勾股定理得〈尸52+PC2=3c2,解

PC2+PA2CA2

得R4=2布,必=VJ,PC=2VTT.

故表面積S=-PAPB+-PBPC+-PCPA+-AB-AC-sinZBAC^5+

2222

3庫+106;體積%=；?（；?必?尸C）?以……4分

乙：因為E4_LP3,^LPA2+PB2=AB2,而R4=2PB,因止匕E4=2j?,PB=B

因為E4_LPC,所以尸C=J/C2一a2=2而.

而$一備*由，故，

二用形=-2-AB-AC-sinABAC=10sinABAC2=—,0ABAC<90°

故/R4c=60。，所以3c2=/爐+4。2一2/3-/C.COS/3/C,BC=1.

注意至1」%2+尸。2=及支，因止匕必，尸C.

故表面積S=-PAPB+-PBPC+-PC-PA+-AB-AC-smABAC=5+

2222

3V55+10V3；體積%=?尸C>H=?而.……6分

丙：設尸在平面/3C中的投影為P,連接P/,P'B,P'C,貝I]PPJ_平面45c.

故PP與尸/,P'B,PC均垂直.而24=2JL故PB=M,PC=2VH,

又因為尸尸=叵，因此4尸'=二百，BP'=-y[i,CP'=—4i.

3333

由余弦定理，計算得cos//P3=-U,cos//PC=」，則

14714

sin/NPC=±百，因此COS/BPC=-L,由余弦定理8c=7.

72

數(shù)學試題參考答案第2頁共6頁

故PB?+PC?=BC?,PBVPC.

故表面積S=-PAPB+-PBPC+-PCPA+-AB-AC-sinZBAC^5+

2222

3V55+10V3；體積%??必?尸C>H……9分

(2)方法一：設二面角N-3C-P的大小為6；作垂足為

由于E4_LP3,PALPC,PB^PC=P,PB,尸Cu平面尸3C,因此刃_L

平面尸8c,而8Cu平面B8C,因此我IBC.^PHIBC,PHC^4=P，因此3c_L

平面hH,^LAHIBC.因此44Hp是二面角/-BC-尸的平面角.

p?-PHBCq/7T7

故cos0=cosNAHP=----=-y------------==角形?0=----.

AH-AH-BC,三角物BC30

2

.......10分/12分/15分

方法二：以P為原點，PB,PC,R4為x,y,z軸，建立空間直角坐標系.

因止匕P(0,0,0),5(75,0,0),C(0,2A/1T,0),^(0,0,275),AB=(75,0-275),

AC=(o,2Vn-2V5).

設平面N3C的法向量為1,平面尸3c的法向量為故*=(0,0,1).設

n2=(x,y,z),貝°,解得叼=(2"1,6.

n2,AC=0

々撲2V165

設二面角A-BC-P的大小為0,則cos。=?

30

10分/12分/15分

17.(15分)

(1)f(x^eax-bcosx(a-bsinx),求導函數(shù)得/'(x)=eax-bcosx(a2-b2sin2x-Z>cosx),

即f(尤)=eax-bmsx(b2cos2x-bcosx+a2-b2).

1-x-cosx311

令Q=5，b=l,則/，(x)=e2(cosx--)(cosx+—),當/*(x)<0,cosx+—

>0；當/，(x)〉0,cosx+—<0.

2

數(shù)學試題參考答案第3頁共6頁

.147r1yTT

在區(qū)間(0,2萬)中，cosx+—<0時——<x<——，cosx+—>0時0<x<——或

23323

4^

--<x<2%.

3

因此“X)在(0,g)單調(diào)遞減，在(g,手)單調(diào)遞增，在(事,2%)單調(diào)遞減.

...6分

(2)若/(%)單調(diào)性不變，貝！J必有b2cos2x-bcosx+〃2一〃不變號.設》=cosx,則

-1<W<1,即討論g(〃)=Z?2〃2一加+〃2一〃不變號，由于b>0,因此g(〃)是二次函數(shù).

若g(“)40在恒成立，則[g(T"°,即由于a>0,b>0,

[g(l)<0[a2-b<0

因此此情形不成立;

g$)?o

g(i)>or

若g(〃)20在［-1J］恒成立，則<2b或<1>，即aNdb。+；s>；)或

0<—<12b~,

2b

4b-bfi<b<^

(0<Z?<^-),由于，=a一b>0,

a>4b因止匕<11分

0<6<!時"(b)=一,0<b<；時〃(b)>0,:時〃(b)<0.故

224b

j.

0<b<；時〃(b)max=；；6>；時h⑹=411

~/=-<一?

,21,2V2+24

.\b+-+b

V4

因此摩匕15分

4

18.(17分)

Aw

(1)C：-(m-l)!(或工)……3分

m

(2)①s(4,2)是指將4個元素分為2個圓排列.考慮到4個元素分為2個圓排列共

有兩種情況，一種是分為一個含有3個元素的圓排列和含有1個元素的圓排列，另一種

是分為兩個含有2個元素的圓排列.

對于第一種情況，計算方式為C：(3-1)!,結(jié)果為8；

數(shù)學試題參考答案第4頁共6頁

對于另一種情況，計算方式為屋，結(jié)果為3.

2

因止匕s(4,2)=8+3=ll.……7分

②我們只需討論在已有的〃個元素在加+1個圓排列中的情況下，新增第〃+1

個元素時的情況數(shù).若原有的〃個元素已經(jīng)分布在前加個圓排列，則第〃+1個元素一定

在第m+1的圓排列,共s(〃,加)種情況；若原有的n個元素分布在m+1個圓排列中，則

第〃+1個元素可以插入進任意一個圓排列的任意兩個元素之間(若某個圓排列只有一個

元素則只考慮加入圓排列)，共(儲機+1).兩種情況求和即為s(〃+l,加+1).

因止匕5(%加)+〃”(%加+1)=5(〃+1,加+1)........12分

(3)所求即為設］=￡s(〃/)=

z=lz=l1=0

〃+ln?

貝UT〃+i=+1,0=，s(〃+l,z)+s(n+1,"+1)=Z(s(〃N—1)+〃,s(〃/))+

z=lz=lz=l

s(ji+1.?+1)=￡s(〃/)+n+s(n+1,?+1)-s(n,n).

i=\i=\

由于5(〃,〃)=5(〃+1,〃+1)=1,故&i=(〃+l)],^-=n+l.

Tn

而—1)=1,0=2,4=3,……,"依次相乘得北=〃！

TT]T”-i

綜上，總的方案數(shù)為〃!.……17分

19.(17分)

(1)設點尸坐標為(飛,汽).

由題意可知：|X0|=-yj(x0—y[2)"+yg+J+V^")-+y；,

J(x()―歷丫+y：一/x+行)?+就

兩邊同時乘0得

2A/2|X0|

-22

V2)+y1