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文檔簡介
2024年2月“鴿子杯”線上測試
數(shù)學
注意事項:
1.答卷前,考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。
2.回答選擇題時,選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。
如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案標號。回答非選擇題時,將答案寫在答題
卡上,寫在本試卷上無效。
3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。
一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分。在每小題給出的四個選項中,只
有一項是符合題目要求的。
1.幕函數(shù)y=的圖像經(jīng)過(;,;),則&=
A.--B.-C.-2D.2
22
2.若由最小二乘法得到的回歸直線y=x+l,則其均值點可能是
A.(0,1)B.(1,0)C.(2,4)D.(3,7)
3.已知集合/={1,2,切},B={3,m2},若NClBw。,則滿足條件的根有
A.3個B.4個C.5個D.6個
4.已知函數(shù)/(x)=2sin(函是奇函數(shù),則/⑺=
A.0B.1C.2D.-2
5.設4,B,。是三個事件,則對事件“4,5不同時發(fā)生且5,。有且只有一個發(fā)
生”的表示中,正確的是
A.~ABCB.ABC+ABC
C.ABC+ABC+ABCD.ABC+ABC+ABC+ABC
6.設無窮整數(shù)數(shù)列他}的前〃項和為且有S;=2-%,則〃2024=
A.-2B.-1C.1D.2
7.函數(shù)/(x)=色竺的兩個極值點對應的函數(shù)點均在直線/上,則/的方程為
x-2
A.y=xB.y=-xC.y=—xD.y=--x
數(shù)學試題第1頁(共4頁)
8.已知動點尸在圓/+j?=i上,定點。的坐標為。,1),動點T滿足0T=XOP+nOQ,
其中2,jLi>0,不+2〃2=4,則|0刀的最大值為
A.2-V2B.V2C.2D.2+72
二、選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分。在每小題給出的四個選項中,有
多項符合題目要求。全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯的得0分。
9.設復數(shù)Z1=3+4i與4=-4+3i在復平面對應的點分別為尸,Q,平面坐標原點為O,
則
____]_
2
A.B+ZzkpqB.歸12|=囤c.|Z]-z2|=|(9e|D.=|og|
10.已知橢圓C「雙曲線。2有相同的焦點4,F(xiàn)-焦距為2,且G,C?離心率互為倒
數(shù)記4,4分別為C],的兩個頂點,G,C2有公共點尸,且有闿>|48|,
|4:>|4工|,陷|>陷|,則
A./4|=|尸6|B.|4闋=|尸居|C.F[PA.F2PD.FXF21F2P
三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分。
12.在平面直角坐標系中,角a的頂點為。,始邊與x軸正半軸重合,終邊過點(2,-方),
貝!Jsin(a+.
13.已知正項數(shù)列{%}滿足:當〃為奇數(shù)和偶數(shù)時,a?,all+l,%+2分別成等比數(shù)列和
等差數(shù)列.設%=1,%=15,則{%}的通項公式為;設數(shù)列{a.}的前
〃項和為Sn,貝ljSl0=.
14.已知等腰三角形的腰為1,則該等腰三角形內(nèi)切圓面積的最大值為.
數(shù)學試題第2頁(共4頁)
四、解答題:本題共5小題,共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
15.(13分)
某老師在課堂測驗上設置了一種新的大題題型,這種大題題型由一個題干和五個與
題干有關的判斷題組成,得分規(guī)則是:五道題中,全部正確判斷則該大題得5分,有一
道錯誤判斷則該大題得3分,有兩道錯誤判斷則該大題得1分,有三道及以上錯誤判斷
則該大題不得分.假定隨機判斷時,每道題正確判斷和錯誤判斷的概率相等.
(1)若考生所有題目都隨機判斷,求此時得分的分布列和數(shù)學期望;
(2)若考生能夠正確判斷其中兩道題目,其余題目隨機判斷,求此時得分的數(shù)學
期望.
16.(15分)
請從以下三個條件中選擇一個條件加入題干并完成求解,不同條件對應的本題滿分
不同,若選擇多個條件進行求解,將以分值較大的解答作為評分依據(jù):
甲(滿分10分):^BAC=60°,PB上PC;
乙(滿分12分):PA=2PB,△NBC的面積為10方;
丙(滿分15分):點尸到平面4BC的距離為叵,PA=275.
3
如圖,在三棱錐P-N3c中,PALPB,PA1.PC,AB=5,AC=S.
(1)求三棱錐P-43C的表面積與體積;
(2)求二面角/-3C-尸的余弦值.
17.(15分)
已知函數(shù)/(x)=-bsinx),a>0,b>0.
(1)若b=l,討論/(x)在(0,2萬)的單調(diào)性;
(2)設t="6>0,t為定值,若/(x)在R上單調(diào),求?的取值范圍.
數(shù)學試題第3頁(共4頁)
18.(17分)
循環(huán)排列(也稱圓排列)是指從〃個不同元素中取出m個不同的元素排成一個環(huán)形,
既無頭也無尾.循環(huán)排列視所有循環(huán)的情形為同一種排列,例如123、231、312在循環(huán)
排列中便視為一種排列;同時將順時針和逆時針視為兩種循環(huán)排列,例如123和132便
是兩種不同的循環(huán)排列.(本題中,m,〃均為正整數(shù),且加(〃)
(1)若從〃個人中選擇〃,個人圍坐成一個圓桌,直接寫出這樣的排列個數(shù);
(2)定義:將〃個不同元素劃分成加個非空循環(huán)排列(即每個排列中都有至少一
個元素),所有這樣的排列的個數(shù)用符號s(〃,M表示.并規(guī)定s(0,0)=1,s(%0)=0.
①求s(4,2);
②證明:s(ji,m)+n-s(ji,m+1)=5(M+1,zn+1),其中
(3)已知某飯店有〃張圓桌,每張圓桌最多可以容納”個人,最少可以不坐人.現(xiàn)
在有〃個人來到飯店就餐,若將每張桌上圍坐多人時不同的循環(huán)排列視為不同方案,將
相同循環(huán)排列坐在不同桌視為同種方案,求總的方案數(shù).
19.(17分)
在平面直角坐標系中有定點4(-&,0),F2(V2,0),動點尸滿足:點尸到y(tǒng)軸
的距離與點尸到片,尸2距離之和的比值為?.
(1)求點尸軌跡廠的方程;
(2)設點0為「上一點,忸。=4,求△P。片面積的最大值.
數(shù)學試題第4頁(共4頁)
18.(17分)
在平面直角坐標系xqy中有定點片(-行,0),與(后,0),動點尸滿足:點尸到了軸
的距離與點尸到4,F(xiàn)2距離之和的比值為?.
(1)求點尸軌跡廠的方程;
(2)設點0為廠上一點,\PQ\=4,求△P。耳面積的最大值.
19.(17分)
循環(huán)排列(也稱圓排列)是指從〃個不同元素中取出m個不同的元素排成一個環(huán)形,
既無頭也無尾.循環(huán)排列視所有循環(huán)的情形為同一種排列,例如123、231、312在循環(huán)
排列中便視為一種排列;同時將順時針和逆時針視為兩種循環(huán)排列,例如123和132便
是兩種不同的循環(huán)排列.(本題中,m,〃均為正整數(shù),且加W”)
(1)若從〃個人中選擇用個人圍坐成一個圓桌,直接寫出這樣的排列個數(shù);
(2)定義:將"個不同元素劃分成機個非空循環(huán)排列(即每個排列中都有至少一
個元素),所有這樣的排列的個數(shù)用符號S(〃M)表示.并規(guī)定s(0,0)=l,s(〃,0)=0.
①求s(4,2);
②證明:(〃+1)S(〃,山)+S(〃,加+1)=S("+1,加+1),其中
(3)已知某飯店有〃張圓桌,每張圓桌最多可以容納"個人,最少可以不坐人.現(xiàn)
在有"個人來到飯店就餐,若將每張桌上坐多人時不同的循環(huán)排列視為不同方案,求總
的方案數(shù).
19.(17分)
從1,2,3,……,〃這〃個連續(xù)的正整數(shù)中取加個數(shù)(加,〃為正整數(shù)且機W”),
將每種取法中的加個數(shù)求積,并將所有不同取法得出的積求和,其結(jié)果記為s(〃,加).
例如:5(3,2)=1x24-1x3+2x3=11.
(1)求s(4,2);
(2)證明:(”+l)s(",??)+s(〃,/n+1)=s(〃+1,加+1),其中%<〃;
(3)規(guī)定s(0,0)=0,0)=0,證明:對任意正整數(shù)〃,有£s(〃,i)=(〃+l)!;
/=0
(4)試探索s(〃,⑼所表示的含義或應用情境.
數(shù)學試題第4頁(共4頁)
2024年2月“鴿子杯”線上測試
數(shù)學試題參考答案
(參考答案僅提供部分解法)
一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分。在每小題給出的四個選項中,只
有一項是符合題目要求的。
題號12345678
答案BACACDCD
二、選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分。在每小題給出的四個選項中,有
多項符合題目要求。全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯的得0分。
題號91011
答案ABCBDABD
三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分。
題號121314
為奇數(shù)575-11
n=<
答案un380----------------71
一五1,〃為偶數(shù)2
四、解答題:本題共5小題,共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
15.(13分)
(1)設考生得分為X,X為離散型隨機變量,則X的可能取值為0、1、3、5.
則尸(x=5)=",尸(X=3)=C;(;).(;)4$,尸(X=l)=(,
p(X=0)=;,故X的分布列為:
X0135
£551
P
2163232
因此考生得分的數(shù)學期望E(X)=9xl+Wx3+°x5=".……7分
16323216
數(shù)學試題參考答案第1頁共6頁
(2)設考生得分為y,丫為離散型隨機變量,則丫的可能取值為0、1、3、5.
1111331
貝I)尸(丫=5)=(_)3=_,p(y=3)=C;(—)?(—)2=—,尸(y=l)=_,p(y=o)=—.
28八22888
因此考生得分的數(shù)學期望E(y)=±4xl+4±x3+1L5=1U7.……13分
8888
16.(15分)
(1)
甲:由余弦定理,BC2^AB2+AC2-2AB-AC-cosABAC,BC=1.
PA2+PB2=AB2
由于E4,PB,PC兩兩垂直,因此根據(jù)勾股定理得〈尸52+PC2=3c2,解
PC2+PA2CA2
得R4=2布,必=VJ,PC=2VTT.
故表面積S=-PAPB+-PBPC+-PCPA+-AB-AC-sinZBAC^5+
2222
3庫+106;體積%=;?(;?必?尸C)?以……4分
乙:因為E4_LP3,^LPA2+PB2=AB2,而R4=2PB,因止匕E4=2j?,PB=B
因為E4_LPC,所以尸C=J/C2一a2=2而.
而$一備*由,故,
二用形=-2-AB-AC-sinABAC=10sinABAC2=—,0ABAC<90°
故/R4c=60。,所以3c2=/爐+4。2一2/3-/C.COS/3/C,BC=1.
注意至1」%2+尸。2=及支,因止匕必,尸C.
故表面積S=-PAPB+-PBPC+-PC-PA+-AB-AC-smABAC=5+
2222
3V55+10V3;體積%=?尸C>H=?而.……6分
丙:設尸在平面/3C中的投影為P,連接P/,P'B,P'C,貝I]PPJ_平面45c.
故PP與尸/,P'B,PC均垂直.而24=2JL故PB=M,PC=2VH,
又因為尸尸=叵,因此4尸'=二百,BP'=-y[i,CP'=—4i.
3333
由余弦定理,計算得cos//P3=-U,cos//PC=」,則
14714
sin/NPC=±百,因此COS/BPC=-L,由余弦定理8c=7.
72
數(shù)學試題參考答案第2頁共6頁
故PB?+PC?=BC?,PBVPC.
故表面積S=-PAPB+-PBPC+-PCPA+-AB-AC-sinZBAC^5+
2222
3V55+10V3;體積%??必?尸C>H……9分
(2)方法一:設二面角N-3C-P的大小為6;作垂足為
由于E4_LP3,PALPC,PB^PC=P,PB,尸Cu平面尸3C,因此刃_L
平面尸8c,而8Cu平面B8C,因此我IBC.^PHIBC,PHC^4=P,因此3c_L
平面hH,^LAHIBC.因此44Hp是二面角/-BC-尸的平面角.
p?-PHBCq/7T7
故cos0=cosNAHP=----=-y------------==角形?0=----.
AH-AH-BC,三角物BC30
2
.......10分/12分/15分
方法二:以P為原點,PB,PC,R4為x,y,z軸,建立空間直角坐標系.
因止匕P(0,0,0),5(75,0,0),C(0,2A/1T,0),^(0,0,275),AB=(75,0-275),
AC=(o,2Vn-2V5).
設平面N3C的法向量為1,平面尸3c的法向量為故*=(0,0,1).設
n2=(x,y,z),貝°,解得叼=(2"1,6.
n2,AC=0
々撲2V165
設二面角A-BC-P的大小為0,則cos。=?
30
10分/12分/15分
17.(15分)
(1)f(x^eax-bcosx(a-bsinx),求導函數(shù)得/'(x)=eax-bcosx(a2-b2sin2x-Z>cosx),
即f(尤)=eax-bmsx(b2cos2x-bcosx+a2-b2).
1-x-cosx311
令Q=5,b=l,則/,(x)=e2(cosx--)(cosx+—),當/*(x)<0,cosx+—
>0;當/,(x)〉0,cosx+—<0.
2
數(shù)學試題參考答案第3頁共6頁
.147r1yTT
在區(qū)間(0,2萬)中,cosx+—<0時——<x<——,cosx+—>0時0<x<——或
23323
4^
--<x<2%.
3
因此“X)在(0,g)單調(diào)遞減,在(g,手)單調(diào)遞增,在(事,2%)單調(diào)遞減.
...6分
(2)若/(%)單調(diào)性不變,貝!J必有b2cos2x-bcosx+〃2一〃不變號.設》=cosx,則
-1<W<1,即討論g(〃)=Z?2〃2一加+〃2一〃不變號,由于b>0,因此g(〃)是二次函數(shù).
若g(“)40在恒成立,則[g(T"°,即由于a>0,b>0,
[g(l)<0[a2-b<0
因此此情形不成立;
g$)?o
g(i)>or
若g(〃)20在[-1J]恒成立,則<2b或<1>,即aNdb。+;s>;)或
0<—<12b~,
2b
4b-bfi<b<^
(0<Z?<^-),由于,=a一b>0,
a>4b因止匕<11分
0<6<!時"(b)=一,0<b<;時〃(b)>0,:時〃(b)<0.故
224b
j.
0<b<;時〃(b)max=;;6>;時h⑹=411
~/=-<一?
,21,2V2+24
.\b+-+b
V4
因此摩匕15分
4
18.(17分)
Aw
(1)C:-(m-l)!(或工)……3分
m
(2)①s(4,2)是指將4個元素分為2個圓排列.考慮到4個元素分為2個圓排列共
有兩種情況,一種是分為一個含有3個元素的圓排列和含有1個元素的圓排列,另一種
是分為兩個含有2個元素的圓排列.
對于第一種情況,計算方式為C:(3-1)!,結(jié)果為8;
數(shù)學試題參考答案第4頁共6頁
對于另一種情況,計算方式為屋,結(jié)果為3.
2
因止匕s(4,2)=8+3=ll.……7分
②我們只需討論在已有的〃個元素在加+1個圓排列中的情況下,新增第〃+1
個元素時的情況數(shù).若原有的〃個元素已經(jīng)分布在前加個圓排列,則第〃+1個元素一定
在第m+1的圓排列,共s(〃,加)種情況;若原有的n個元素分布在m+1個圓排列中,則
第〃+1個元素可以插入進任意一個圓排列的任意兩個元素之間(若某個圓排列只有一個
元素則只考慮加入圓排列),共(儲機+1).兩種情況求和即為s(〃+l,加+1).
因止匕5(%加)+〃”(%加+1)=5(〃+1,加+1)........12分
(3)所求即為設]=£s(〃/)=
z=lz=l1=0
〃+ln?
貝UT〃+i=+1,0=,s(〃+l,z)+s(n+1,"+1)=Z(s(〃N—1)+〃,s(〃/))+
z=lz=lz=l
s(ji+1.?+1)=£s(〃/)+n+s(n+1,?+1)-s(n,n).
i=\i=\
由于5(〃,〃)=5(〃+1,〃+1)=1,故&i=(〃+l)],^-=n+l.
Tn
而—1)=1,0=2,4=3,……,"依次相乘得北=〃!
TT]T”-i
綜上,總的方案數(shù)為〃!.……17分
19.(17分)
(1)設點尸坐標為(飛,汽).
由題意可知:|X0|=-yj(x0—y[2)"+yg+J+V^")-+y;,
J(x()―歷丫+y:一/x+行)?+就
兩邊同時乘0得
2A/2|X0|
-22
V2)+y1
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