2024屆全國百校聯(lián)盟高三數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末統(tǒng)考試題含解析

2024屆全國百校聯(lián)盟高三數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末統(tǒng)考試題

考生請(qǐng)注意：

1.答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。

2.第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的

位置上。

3.考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

22

1.已知雙曲線C:三-斗=1(。＞0,6＞0)的左，右焦點(diǎn)分別為6、居，過6的直線/交雙曲線的右支于點(diǎn)P,以雙曲

ab

線的實(shí)軸為直徑的圓與直線/相切，切點(diǎn)為"，若國P|=3閨叫，則雙曲線C的離心率為()

A.叵B,75C.2也D.V13

2

2.已知函數(shù)/(x)=sin(ox+6),其中。＞0,其圖象關(guān)于直線x=?對(duì)稱，對(duì)滿足/(%)—/(々)|=2

的再，%，有卜-%|1mn=］，將函數(shù)〃無)的圖象向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)g(x)的圖象，則函數(shù)g(x)的單

調(diào)遞減區(qū)間是()

771j71/77冗

A.kn----,K7lH（K7€AIB.（jteZ）

_62「7

7冗15乃7?777r

C.憶兀----,K7lH------（左eZ）K7l-\----，憶兀A------（左eZ）

361212

3.若2"+3〃=3b+2小則下列關(guān)系式正確的個(gè)數(shù)是（）

?b<a<0?a=b?0<a<b<l?l<b<a

A.1B.2C.3D.4

4.一個(gè)空間幾何體的正視圖是長(zhǎng)為4,寬為6的長(zhǎng)方形，側(cè)視圖是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，俯視圖如圖所示，則該

幾何體的體積為()

「26

L■----D.2A/3

3

5.已知數(shù)列｛%｝為等差數(shù)列，S,,為其前〃項(xiàng)和，4+%=%+%0,則$21=()

A.7B.14C.28D.84

)

D.4

7.已知函數(shù)若關(guān)于％的方程/（x）-m+1=0恰好有3個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范

圍為（）

A.（華/）B.（0,華）C.（l,j+l）D.（1,華+1）

8.關(guān)于圓周率萬，數(shù)學(xué)發(fā)展史上出現(xiàn)過許多很有創(chuàng)意的求法，如著名的蒲豐實(shí)驗(yàn)和查理斯實(shí)驗(yàn).受其啟發(fā)，某同學(xué)通

過下面的隨機(jī)模擬方法來估計(jì)萬的值：先用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生2000個(gè)數(shù)對(duì)（x,y）,其中x,V都是區(qū)間（0,1）上的均勻隨機(jī)

數(shù)，再統(tǒng)計(jì)X,y能與1構(gòu)成銳角三角形三邊長(zhǎng)的數(shù)對(duì)（龍,?。┑膫€(gè)數(shù)機(jī)；最后根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)加來估計(jì)萬的值.若機(jī)=435,

則力的估計(jì)值為（）

A.3.12B.3.13C.3.14D.3.15

9.在邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD中，5。=，將菱形ABCD沿對(duì)角線AC對(duì)折，使二面角3-AC-。的余弦值為g,

則所得三棱錐A-BCD的外接球的表面積為（）

2萬

A.——B.27rC.4萬D.6兀

3

10.如圖是二次函數(shù)/（x）=f—6x+a的部分圖象，則函數(shù)8（尤）=。111%+/（%）的零點(diǎn)所在的區(qū)間是（）

A.B.gjC.(1,2)D.(2,3)

11.已知平面a,P,直線/滿足/ua,貝！/，尸”是“。，萬”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.即不充分也不必要條件

,、a,a..b

12.已知函數(shù)/(%)=2tan3%)3>0)的圖象與直線y=2的相鄰交點(diǎn)間的距離為乃，若定義max｛a,"｝=1，

[b,a<b

(JI37r\

則函數(shù)/?(x)=max"(x),/(x)cosx｝在區(qū)間[萬,三J內(nèi)的圖象是()

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知〃eN*,滿足亡+2。：+22。：++2"C：=243,貝!!(/十日村”的展開式中V丁的系數(shù)為.

14.學(xué)校藝術(shù)節(jié)對(duì)同一類的A,B,C,。四件參賽作品，只評(píng)一件一等獎(jiǎng)，在評(píng)獎(jiǎng)揭曉前，甲、乙、丙、丁四位同

學(xué)對(duì)這四項(xiàng)參賽作品預(yù)測(cè)如下：

甲說：“C或。作品獲得一等獎(jiǎng)”；乙說：“3作品獲得一等獎(jiǎng)”；

丙說：“A,。兩項(xiàng)作品未獲得一等獎(jiǎng)”；丁說：“C作品獲得一等獎(jiǎng)”.

若這四位同學(xué)中有且只有兩位說的話是對(duì)的，則獲得一等獎(jiǎng)的作品是.

15.已知二項(xiàng)式(八6的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為_/60,貝!1°=.

r\2

16.已知數(shù)列｛4｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，記｛Sg｝為數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和，若。,用=-q=l,則

aa

,i+l-n

I=-----■

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：/F,小的右準(zhǔn)線方程為x=2,且兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)

-^+~^=l(a>b>0)

頂點(diǎn)構(gòu)成等腰直角三角形.

（I）求橢圓c的方程；

（2）假設(shè)直線/：丫=丘+加與橢圓C交于A,B兩點(diǎn).①若A為橢圓的上頂點(diǎn)，M為線段AB中點(diǎn)，連接OM并延

長(zhǎng)交橢圓C于N,并且而=絢『求OB的長(zhǎng)；②若原點(diǎn)O到直線/的距離為1,并且亦?而=力當(dāng)仁義<2時(shí)，

求4OAB的面積S的范圍.

18.（12分）已知公比為正數(shù)的等比數(shù)列{4}的前“項(xiàng)和為S”，且q=2,53=-.

（1）求數(shù)列{4}的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)AL"；叫,求數(shù)列出}的前幾項(xiàng)和小

19.（12分）設(shè)數(shù)陣A=[""其中%、/、%1、⑸e{1,2〃，6}.設(shè)5={"2，、4}=1,2,,6},

其中4<02<<G，/eN*且/W6.定義變換處為“對(duì)于數(shù)陣的每一行，若其中有左或-左，則將這一行中每個(gè)數(shù)都

乘以-1；若其中沒有左且沒有—左，則這一行中所有數(shù)均保持不變"（左=，、62、、6）.0s（4）表示“將4經(jīng)

過生變換得到A,再將A經(jīng)過程變換得到&、，以此類推，最后將AT經(jīng)過外變換得到4"，記數(shù)陣A/中四個(gè)

數(shù)的和為￡（4）?

（I）若4=（；寫出4經(jīng)過處變換后得到的數(shù)陣a；

⑵若4=]；。5={1,3},求4（4）的值；

（3）對(duì)任意確定的一個(gè)數(shù)陣4,證明：4（4）的所有可能取值的和不超過T.

20.（12分）下表是某公司2018年5~12月份研發(fā)費(fèi)用（百萬元）和產(chǎn)品銷量（萬臺(tái)）的具體數(shù)據(jù)：

月份56789101112

研發(fā)費(fèi)用（百萬元）2361021131518

產(chǎn)品銷量（萬臺(tái)）1122.563.53.54.5

（I）根據(jù)數(shù)據(jù)可知y與X之間存在線性相關(guān)關(guān)系，求出y與X的線性回歸方程（系數(shù)精確到0.01）；

（II）該公司制定了如下獎(jiǎng)勵(lì)制度：以Z（單位：萬臺(tái)）表示日銷售，當(dāng)Ze[0,0.13）時(shí)，不設(shè)獎(jiǎng)；當(dāng)Ze[0.13,0.15）

時(shí)，每位員工每日獎(jiǎng)勵(lì)200元；當(dāng)Ze[0.15,0.16）時(shí)，每位員工每日獎(jiǎng)勵(lì)300元；當(dāng)Ze[0.16,+8）時(shí)，每位員工每

日獎(jiǎng)勵(lì)400元.現(xiàn)已知該公司某月份日銷售Z（萬臺(tái)）服從正態(tài)分布N（〃,0.0001）（其中〃是2018年5-12月產(chǎn)品銷

售平均數(shù)的二十分之一），請(qǐng)你估計(jì)每位員工該月（按30天計(jì)算）獲得獎(jiǎng)勵(lì)金額總數(shù)大約多少元.

參考數(shù)據(jù)：￡=347,fx,2=1308,￡￡=93,17140?84.50，

i=\i=li=\

_n___

^x^i-nxy

i=l

參考公式：相關(guān)系數(shù).=『“其回歸直線§=吼+》中的b=V------,若隨機(jī)變量

_、/“一、32_屋

\Yxi-nx之

V\1=1八i=l71=1

x服從正態(tài)分布N(〃,cf2),則P(〃一cr<xW〃+cr)=0.6826,P(〃一2cr<xW〃+2cr)=0.9544.

21.（12分）已知橢圓C：與+馬=1（?！?〉0）的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為后，點(diǎn)（Le）（e為橢圓。的離心率）在橢圓。上.

ab

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）如圖，P為直線1=2上任一點(diǎn)，過點(diǎn)P橢圓C上點(diǎn)處的切線為K4,PB,切點(diǎn)分別A,B,直線％與直

線Q4,P5分別交于"，N兩點(diǎn),點(diǎn)M,N的縱坐標(biāo)分別為加，〃，求加〃的值.

22.（10分）如圖，正方體ABCD—的棱長(zhǎng)為2,E為棱與。1的中點(diǎn).

（1）面出過點(diǎn)E且與直線4。垂直的平面，標(biāo)出該平面與正方體各個(gè)面的交線（不必說明畫法及理由）;

（2）求BA與該平面所成角的正弦值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、A

【解題分析】

在AP4月中，由余弦定理，得到|P￡J，再利用IP用-1PR1=2。即可建立“力,c的方程.

【題目詳解】

由已知，|班|=y/F^-OH2=de1-a2=b，在AP^F,中，由余弦定理，得

22

|PF21=^PF：+耳耳2_2PF[?丹).COSNPFE=J4c+9Z?-2x2cx3Z?x|=

"/+/，又1ml=3|仍|=3①|(zhì)尸耳|一|里|=2%所以弘-J4a2+^2=2a，

b_3廣居713

=_=彳；.e=J1+—=---，

a2\a22

故選:A.

【題目點(diǎn)撥】

本題考查雙曲線離心率的計(jì)算問題，處理雙曲線離心率問題的關(guān)鍵是建立”,仇c三者間的關(guān)系，本題是一道中檔題.

2、B

【解題分析】

根據(jù)已知得到函數(shù)/(九)兩個(gè)對(duì)稱軸的距離也即是半周期，由此求得口的值，結(jié)合其對(duì)稱軸，求得。的值，進(jìn)而求得

/(九)解析式.根據(jù)圖像變換的知識(shí)求得g(x)的解析式，再利用三角函數(shù)求單調(diào)區(qū)間的方法，求得g(x)的單調(diào)遞減區(qū)

間.

【題目詳解】

解：已知函數(shù)/(x)=sin(ox+9),其中6y>0,Oe]o，S，其圖像關(guān)于直線x=g對(duì)稱，

對(duì)滿足,(番)一=2的4,%，有|玉_工2\"=?=2，至，；?口=2.

77"TTTC

再根據(jù)其圖像關(guān)于直線％=。對(duì)稱，可得2%一+。=左"+—,左eZ.

662

：.0=^9=sin+器J.

將函數(shù)f(x)的圖像向左平移?個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)g(%)=sin12%+彳+￡]=cos2x的圖像.

6136/

JI

令2上萬<2x<2k7l+71，求得k7l<X<k7l-\—,

2

7T

則函數(shù)g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是k7l,k7l+-,ksZ,

故選B.

【題目點(diǎn)撥】

本小題主要考查三角函數(shù)圖像與性質(zhì)求函數(shù)解析式，考查三角函數(shù)圖像變換，考查三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法，屬于中

檔題.

3、D

【解題分析】

a,》可看成是y=f與/(x)=2，+3x和g(x)=3'+2x交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，畫出圖象，數(shù)形結(jié)合處理.

【題目詳解】

令/(x)=2*+3x,g(x)=3A+2x,

由/(x)=2'+3x,g(x)=3*+2x的圖象可知,

/(O)=g(O)=l,/(l)=g(l)=5,②正確；

xe(-oo,0),/(x)<g(x),有b<a<0,①正確；

xe(O,l),/(%)>g(x),有0<a<b<l,③正確；

xe(l,+oo),/(x)<g(x),有l(wèi)<><a,④正確.

故選：D.

【題目點(diǎn)撥】

本題考查利用函數(shù)圖象比較大小，考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想，是一道中檔題.

4、B

【解題分析】

由三視圖確定原幾何體是正三棱柱，由此可求得體積.

【題目詳解】

由題意原幾何體是正三棱柱，V=-X2XV3X4=4A/3.

2

故選：B.

【題目點(diǎn)撥】

本題考查三視圖，考查棱柱的體積.解題關(guān)鍵是由三視圖不愿出原幾何體.

5、D

【解題分析】

利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，可求解得到4=4,利用求和公式和等差中項(xiàng)的性質(zhì)，即得解

【題目詳解】

4+%=%,+%o，

4+a”-6d=%[—5d+Qi—d

解得知=4.

??鳥=21(°；。)=21%=84.

故選:D

【題目點(diǎn)撥】

本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、求和公式和等差中項(xiàng)，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中

檔題.

6、B

【解題分析】

由三視圖知該四棱錐是底面為正方形，且一側(cè)棱垂直于底面，由此求出四棱錐的體積.

【題目詳解】

由三視圖知該四棱錐是底面為正方形，且一側(cè)棱垂直于底面，畫出四棱錐的直觀圖，如圖所示:

11,4

2

則該四棱錐的體積為V=-SmABCD-PA=-x2xl=-.

故選：B.

【題目點(diǎn)撥】

本題考查了利用三視圖求幾何體體積的問題，是基礎(chǔ)題.

7、D

【解題分析】

討論x>0,尤=0,尤<0三種情況，求導(dǎo)得到單調(diào)區(qū)間，畫出函數(shù)圖像，根據(jù)圖像得到答案.

【題目詳解】

/(幻=正，故/(%)==*,函數(shù)在(0』上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且=雪;

當(dāng)了>0時(shí),

ex2、xe<2)

當(dāng)％=0時(shí)，/(0)=0；

當(dāng)x<0時(shí)，/(x)=0,f\x)=——尸7<0,函數(shù)單調(diào)遞減;

ex27xe

47r/IV2^

如圖所示畫出函數(shù)圖像，則。<根—1</，故m￡(I,----FI)?

2e

故選：D.

【題目點(diǎn)撥】

本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的零點(diǎn)問題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.

8、B

【解題分析】

先利用幾何概型的概率計(jì)算公式算出％,y能與1構(gòu)成銳角三角形三邊長(zhǎng)的概率，然后再利用隨機(jī)模擬方法得到％,y

能與1構(gòu)成銳角三角形三邊長(zhǎng)的概率，二者概率相等即可估計(jì)出萬.

【題目詳解】

因?yàn)閤,y都是區(qū)間（0,1）上的均勻隨機(jī)數(shù)，所以有O<X<1,0<y<i,若X,y能與I構(gòu)成銳角三角形三邊長(zhǎng)，

%+V>11xl--

則2，，，由幾何概型的概率計(jì)算公式知p41兀m435,

卜+廣>1F=^T=1-7=7=io65

435

所以乃=4義（1---）=3.13.

2000

故選:B.

【題目點(diǎn)撥】

本題考查幾何概型的概率計(jì)算公式及運(yùn)用隨機(jī)數(shù)模擬法估計(jì)概率，考查學(xué)生的基本計(jì)算能力，是一個(gè)中檔題.

9、D

【解題分析】

取AC中點(diǎn)N,由題意得NBZVD即為二面角3—AC—。的平面角，過點(diǎn)8作3OLDN于。，易得點(diǎn)。為ADC的

（2%Y反丫

中心，則三棱錐A—BCD的外接球球心在直線30上，設(shè)球心為。一半徑為廠，列出方程乂-r+—=/

33

V7<7

即可得解.

【題目詳解】

如圖，由題意易知.ABC與ADC均為正三角形，取AC中點(diǎn)N,連接3N,DN,

則ONLAC,二N3ND即為二面角3—AC—O的平面角，

過點(diǎn)3作BOLZW于0,則呂。，平面ACZ>,

由BN=ND=6cos/BND==司得ON=BN?cos/BND=B,OD=^^,(9B=43-f—=^H.

333VI3J3

；.ON=：NE>即點(diǎn)。為AOC的中心，

二三棱錐A-BCD的外接球球心在直線30上，設(shè)球心為。一半徑為廣，

BOX=DOl=r,。01=當(dāng)—八

.(276V,(2^/3Y2由和灰

..-------r+------=r解得r=——，

332

,3

???三棱錐A-BCD的外接球的表面積為S=4乃#=4乃x—=6乃.

故選：D.

【題目點(diǎn)撥】

本題考查了立體圖形外接球表面積的求解，考查了空間想象能力，屬于中檔題.

10、B

【解題分析】

根據(jù)二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸得出b范圍，y軸截距，求出4的范圍，判斷g(x)在區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值正負(fù)，即可求出結(jié)論.

【題目詳解】

'：f{x}^^-bx+a,結(jié)合函數(shù)的圖象可知，

b

二次函數(shù)的對(duì)稱軸為x=5,0</(0)=a<l,

ih

—<x=—<1,Vf\x)=2x-b,

22

所以g(x)=〃lnx+/'(x)=〃lnx+2x—Z;在(0,+8)上單調(diào)遞增.

又因?yàn)镾(萬)—tzln—+1—/?<0,g(l)=〃lnl+2—/?〉0,

所以函數(shù)g(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是

故選:B.

【題目點(diǎn)撥】

本題考查二次函數(shù)的圖象及函數(shù)的零點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題.

11、A

【解題分析】

a,￡是相交平面，直線/u平面a,貝！］“/，，”n“。，尸”，反之。，尸，直線/滿足/ua,貝!!/上萬或/〃￡

或/u平面￡,即可判斷出結(jié)論.

【題目詳解】

解：已知直線/u平面a,貝?。荨?，，”二>

反之。，尸，直線/滿足/ua,貝?。?，尸或/〃月或/u平面￡,

二“/，尸”是“”的充分不必要條件.

故選：A.

【題目點(diǎn)撥】

本題考查了線面和面面垂直的判定與性質(zhì)定理、簡(jiǎn)易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計(jì)算能力.

12、A

【解題分析】

71

由題知/(x)=2tan(s)3>0),利用丁=同求出。，再根據(jù)題給定義，化簡(jiǎn)求出妝x)的解析式，結(jié)合正弦函數(shù)和

正切函數(shù)圖象判斷，即可得出答案.

【題目詳解】

根據(jù)題意，/(%)=2tan(or)(口>0)的圖象與直線y=2的相鄰交點(diǎn)間的距離為萬，

所以/(x)=2tan3x)3>0)的周期為萬，則。=2=2=1,

T71

2sine

所以/7（x）=max{2tanx,2sinx}=<

2tanX,XG

由正弦函數(shù)和正切函數(shù)圖象可知A正確.

故選：A.

【題目點(diǎn)撥】

本題考查三角函數(shù)中正切函數(shù)的周期和圖象，以及正弦函數(shù)的圖象，解題關(guān)鍵是對(duì)新定義的理解.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、1

【解題分析】

根據(jù)二項(xiàng)式定理求出〃，然后再由二項(xiàng)式定理或多項(xiàng)式的乘法法則結(jié)合組合的知識(shí)求得x系數(shù).

【題目詳解】

由題意《+2。：+22。；++2＜；=(1+2)"=243,n=5.

/.(x2+x+的展開式中x5y2的系數(shù)為ClCj=30.

故答案為：1.

【題目點(diǎn)撥】

本題考查二項(xiàng)式定理，掌握二項(xiàng)式定理的應(yīng)用是解題關(guān)鍵.

14、B

【解題分析】

首先根據(jù)“學(xué)校藝術(shù)節(jié)對(duì)4B、a。四件參賽作品只評(píng)一件一等獎(jiǎng)”，故假設(shè)A、B、a。分別為一等獎(jiǎng)，然后判

斷甲、乙、丙、丁四位同學(xué)的說法的正確性，即可得出結(jié)果.

【題目詳解】

若A為一等獎(jiǎng),則甲、丙、丁的說法均錯(cuò)誤，不滿足題意;

若B為一等獎(jiǎng),則乙、丙的說法正確，甲、丁的說法錯(cuò)誤，滿足題意;

若C為一等獎(jiǎng),則甲、丙、丁的說法均正確，不滿足題意;

若D為一等獎(jiǎng),則乙、丙、丁的說法均錯(cuò)誤，不滿足題意;

綜上所述，故B獲得一等獎(jiǎng).

【題目點(diǎn)撥】

本題屬于信息題，可根據(jù)題目所給信息來找出解題所需要的條件并得出答案，在做本題的時(shí)候，可以采用依次假設(shè)

A、B、a。為一等獎(jiǎng)并通過是否滿足題目條件來判斷其是否正確.

15、2

【解題分析】

在二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式中，令x的塞指數(shù)等于°，求出廠的值，即可求得常數(shù)項(xiàng)，再根據(jù)常數(shù)項(xiàng)等于」60求得實(shí)數(shù)a的

值.

【題目詳解】

62r

「二項(xiàng)式j(luò)6的展開式中的通項(xiàng)公式為T&-x-，

令6-2r=0,求得廠=3，可得常數(shù)項(xiàng)為-B=_評(píng)a％=2，

故答案為：2,

【題目點(diǎn)撥】

本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

16、63

【解題分析】

22a

對(duì)a〃+i=_進(jìn)行化簡(jiǎn)，可得」辿=2,再根據(jù)等比數(shù)列前幾項(xiàng)和公式進(jìn)行求解即可

【題目詳解】

2。2

aaaa

由n+l~~nn+l~n+\,】一=冊(cè)+n+\,

aa

n+l~n

n(an+l+an)(an+l~an)=an(?！?1+%)=%+1-%=4==2

an

數(shù)列｛4｝為首項(xiàng)為4=1,公比4=2的等比數(shù)列，56=""J1)='(J2)=63

\-q1-2

所以$6=63

【題目點(diǎn)撥】

本題考查等比數(shù)列基本量的求法，當(dāng)處理復(fù)雜因式時(shí)，常用基本方法為：因式分解，約分。但解題本質(zhì)還是圍繞等差

和等比的基本性質(zhì)

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)W+i，2=/(2)①Q(mào)B二色②搬當(dāng).

【解題分析】

(1)根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)可得到a?,b2；

(2)聯(lián)立直線和橢圓，利用弦長(zhǎng)公式可求得弦長(zhǎng)AB,利用點(diǎn)到直線的距離公式求得原點(diǎn)到直線1的距離，從而可求

得三角形面積，再用單調(diào)性求最值可得值域.

【題目詳解】

(1)因?yàn)閮山裹c(diǎn)與短軸的一個(gè)頂點(diǎn)的連線構(gòu)成等腰直角三角形，所以0=,或°，

又由右準(zhǔn)線方程為x=2,得到/，

7=2

解得a=gc=〃所以匕2=a2-c2=]

所以，橢圓C的方程為、2,

(2)①設(shè)而4(0,1尸則MW")，

ON=yOM

因?yàn)辄c(diǎn)都在橢圓上，所以

I*2,,將下式兩邊同時(shí)乘以$再減去上式，解得，，216

5+”=/jyi=3xi=7

\3xj3(1+yi)2

②由原點(diǎn)O到直線/的距離為〃得鳥=/，化簡(jiǎn)得：/+廿=加2

Jl+k2

聯(lián)立直線/的方程與橢圓。的方程：\y=kx+m,得n+2k2*+4kmx+2W-2=0

l"2=j

2w<2>2

設(shè)4的山),8優(yōu)2,四，貝%,+丫，__也Lr；r,_且/=8k>0

X/+X2--/+2/MX2—/+2M

OA'OB=xjX2+yiy2=X]X2+(kxi+m)(kx2+m)=(1+k2)xjX2+km(xi+X2)+m2

二〃+r77^―；7^+切=17^=1+2M

所以"—K

M_2"1

AONB的面積S=：x1xAB=汕+l^\xj-X2\=幼+74(X1+X2)2-4X1X2

=^=山W-V

因?yàn)镾=12Ml_九)在/)為單調(diào)減函數(shù)，

并且當(dāng)；?_1時(shí)，2近,當(dāng)，_[時(shí)，4JO)

Z=5$=丁4=2S=T

所以ZQ/R的面積S的范圍為/航2號(hào).

【題目點(diǎn)撥】

圓錐曲線中最值與范圍問題的常見求法：（1）幾何法：若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用圖

形性質(zhì)來解決；（2）代數(shù)法：若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)

的最值.在利用代數(shù)法解決最值與范圍問題時(shí)常從以下幾個(gè)方面考慮：①利用判別式來構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)

的取值范圍；②利用隱含或已知的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；③利用基本不等式求出參數(shù)的取

值范圍；④利用函數(shù)的值域的求法，確定參數(shù)的取值范圍.

18、（1）⑵（=6-（2"+3>g]

【解題分析】

（1）判斷公比q不為1,運(yùn)用等比數(shù)列的求和公式，解方程可得公比4,進(jìn)而得到所求通項(xiàng)公式；

（2）求得勿=色]也=（2〃-,運(yùn)用數(shù)列的錯(cuò)位相減法求和，以及等比數(shù)列的求和公式，計(jì)算可得所

求和.

【題目詳解】

解：（1）設(shè)公比q為正數(shù)的等比數(shù)列｛&｝的前幾項(xiàng)和為s“，且％=2,s3=-,

7

可得9=1時(shí)，53=3^=6,不成立；

當(dāng)qwl時(shí)，S?=2(j)=工,即d++i=Z,

31-q24

13

解得q=7(-大舍去)，

22

(27?-IX

⑵b=(2n-l)-

n2

前〃項(xiàng)和(=1(g]+3(g]+5(g]+

+(2n-l).

+(2n-l).

2n-1n

兩式相減可得1+2L+-(2n-l)-

I+

n

-(2n-l)-

2

化簡(jiǎn)可得7；=6—(2〃+3)[3].

【題目點(diǎn)撥】

本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式的運(yùn)用，考查數(shù)列的錯(cuò)位相減法求和，考查方程思想和運(yùn)算能力，屬于中檔

題.

(-\-2A

19、(1)A=;(2)-5；(3)見解析.

15J

【解題分析】

12

(1)由4=，能求出&經(jīng)過處變換后得到的數(shù)陣A；

3

(2)由4=，s={1,3},求出數(shù)陣4經(jīng)過久變化后的矩陣，進(jìn)而可求得4(4)的值;

(3)分%彳％2和旬=42兩種情況討論，推導(dǎo)出變換后數(shù)陣4的第一行和第二行的數(shù)字之和，由此能證明1(4)的

所有可能取值的和不超過-4.

【題目詳解】

12、‘-1-2、

(i)A=,4經(jīng)過心變換后得到的數(shù)陣A=

J5,、1"

1313

(2)4)=經(jīng)外變換后得，故7](4)=1+3—3—6=—5；

36-3-6

77

(3)若如彳陽，在{L2,3,4,5,6}的所有非空子集中，含有知且不含牝的子集共24個(gè)，經(jīng)過變換后第一行均變?yōu)?/p>

一句、一。12；

含有%且不含%的子集共24個(gè)，經(jīng)過變換后第一行均變?yōu)?4、-42；

同時(shí)含有知和的子集共24個(gè)，經(jīng)過變換后第一行仍為加、牝

不含孫也不含牝的子集共24-1個(gè)，經(jīng)過變換后第一行仍為%、初?

所以經(jīng)過變換后所有4的第一行的所有數(shù)的和為

2，x(_q1_42)+2,x(_a1]_x(q?+a]2)+(2，-])x(q1+q,)=_-%2?

若％1=出，貝!I{1,2,3,4,5,6}的所有非空子集中，含有知的子集共25個(gè)，經(jīng)過變換后第一行均變?yōu)?陽、-%；

不含有知的子集共25-1個(gè)，經(jīng)過變換后第一行仍為%、

所以經(jīng)過變換后所有A的第一行的所有數(shù)的和為25X%+Q5—1）X（知+小）=-一42?

同理，經(jīng)過變換后所有A的第二行的所有數(shù)的和為-。21-。22.

所以4（4）的所有可能取值的和為一％1-％2-。21-。22,

又因?yàn)?、%、的、%e{l,2,,6},所以4（4）的所有可能取值的和不超過T.

【題目點(diǎn)撥】

本題考查數(shù)陣變換的求法，考查數(shù)陣中四個(gè)數(shù)的和不超過T的證明，考查類比推理、數(shù)陣變換等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算

求解能力，綜合性強(qiáng)，難度大.

20、（I）y=0.24x+0.32（II）7839.3元

【解題分析】

（I）由題意計(jì)算x、y的平均值，進(jìn)而由公式求出回歸系數(shù)》和“,即可寫出回歸直線方程；

（II）由題意計(jì)算平均數(shù)/，得出z~Na,/），求出日銷量zG［0.13,0.15）、［0.15,0.16）和［0.16,+8）的概率，計(jì)算獎(jiǎng)金

總數(shù)是多少.

【題目詳解】

,丁、2+3+6+10+21+13+15+1888-

(I)因?yàn)閤=----------------------------------------=—=11,

88

-1+1+2+2.5+6+3.5+3.5+3.5+4.524

y=-----------------------=—=3o,

Y.x^-nxy

347-8x11x3

因?yàn)槿硕?hào)-------一