2024考二輪數(shù)學(xué)講義一 導(dǎo)數(shù)中函數(shù)的構(gòu)造問題

2024高考二輪數(shù)學(xué)新教材講義微重點1導(dǎo)數(shù)中函數(shù)的

構(gòu)造問題

I.(2023?漢中模擬)已知函數(shù)人x)是定義在R上的函數(shù)，且滿足/(x)+_/(x)>0,其中/(x)為

./U)的導(dǎo)數(shù)，設(shè)a=/(0)，0=3_/(ln3),c=4l),則a,b,c的大小關(guān)系是()

A.c>b>aB.a>b>c

C.c>a>hD.b>c>a

2.(2023?廣州模擬)已知函數(shù)7U)的定義域為(0,+8),其導(dǎo)函數(shù)為/若葉(幻一1<0,

7(e)=2,則關(guān)于x的不等式膽?<工+1的解集為()

A.(0,1)B.(0,e)

C.(1,+8)D.(e,+8)

3.設(shè)函數(shù)/(x)是定義在(0,兀)上的函數(shù)兀￥)的導(dǎo)函數(shù)，有fa)cosx-/U)sinx>o,若。=5住)

b=0,c=一坐/■管)，則a,h,c的大小關(guān)系是()

A.a<b<cB.b<c<a

C.c<b<aD.c<a<b

4.已知實數(shù)〃，b,c￡R,則b=卷，。=竽的大小關(guān)系為()

A.a<b<cB.c<a<b

C.c<h<aD.a<c<b

5.(2023?南充模擬)設(shè)定義在R上的函數(shù)y=/(x)滿足任意工￡&都有7U+4)=/U),且當(dāng)x￡(0,4]

時，城(x)Mx),則用021),這等，處臀的大小關(guān)系是()

AM2021)華也呼

B管匕(2021)巴約

cA2023)/2022)</2021)

D平…)號

6.已知(X)是函數(shù)次工)的導(dǎo)函數(shù)，且對于任意實數(shù)X都有，(X)—/(%)=<0)=

—1,則不等式y(tǒng)u)<5e"的解集為()

A.(-8,-2)U(3,+8)

B.(-8,-3)U(2,+8)

c.(-2,3)

D.(—3,2)

7.已知a,b,c￡(l,+°°),且a—Ina-l=eIh—\n/?—2=e2,c—In<?—4=e4,其中

e是自然對數(shù)的底數(shù)，貝女)

A.a<b<cB.b<a<c

C.b<c<aD.c<b<a

8.(2023?新余模擬)已知a=ln1.1,c=y[0A,則()

A.a>h>cB.a>c>h

C.c>b>aD.c>a>b

9.(2023?吉林省實驗?？寄M)已知〃=sin09,b=0.9,c=cos0.9,則〃，b,c的大小關(guān)系

10.設(shè)函數(shù)段)在口上存在導(dǎo)數(shù)，⑴，對任意的x￡R,有/(x)-/(—x)=2sinx,且在[0,+

°°)_t,f'(x)>cosx.若/(：一，—y(f)>cosLsin則實數(shù)/的取值范圍為.

微重點2函數(shù)的公切線問題

1.已知直線/為曲線y=x+l+lnx在A（l,2）處的切線，若/與曲線>=加+3+2）工+1也相

切，則〃等于（）

A.0B.-4

C.4D.0或4

2.（2023?保定模擬）若直線y=3x+m是曲線丫=9。>0）與曲線>=一/+以-6a>0）的公切線，

則m+n等于（）

A.4B.5

C.6D.8

3.已知曲線G：曠=/，曲線C2：y=cosx—1與直線/：y=0,貝ij（）

A./與G，C2均相切

B./與G,C2均不相切

C./與G相切，/與C2不相切

D./與G不相切，/與C2相切

4.對于三次函數(shù)./U）,若曲線y=/U）在點（0,0）處的切線與曲線y=燈㈤在點（1,2）處的切線重

合，則/（2）等于（）

A.-34B.-14

C.-4D.14

5.與曲線/^)=/一x和均相切的直線/有()

A.I條B.2條

C.3條D.4條

6.若存在斜率為3a5>0)的直線/與曲線負x)=++2ov—2匕與g(x)=3a2.1nx都相切，則實

數(shù)。的取值范圍為()

A.1—8,

B.1—8,

C.|e^,+°°j

D.|e^)+J

7.(2023?嘉興模擬)已知直線/與曲線Ci：和C2：)，=一：均相切，則該直線與兩坐標(biāo)軸

圍成的三角形的面積為.

8.已知曲線G：y=e"+a和曲線Q：y=\n(x+b)+a2(a,beR),若存在斜率為1的直線與

Cl，C2同時相切，則b的最大值為.

9.請你舉出與函數(shù)兀￥)=?標(biāo)一1在(0,0)處具有相同切線的一個函數(shù)：.

10.若函數(shù)/x)=lnx+內(nèi)與函數(shù)g(x)=f的圖象有兩條公切線，則實數(shù)a的取值范圍是

培優(yōu)點4極值點偏移問題

,ax2

1.(2023?南寧模擬)已知函數(shù)段)=e“一彳，。>0.

(1)若/U)過點(1,0),求7U)在該點處的切線方程；

2

e

(2)若大幻有兩個極值點Xi,X2,且0<?42,當(dāng)e<4<5時，證明：Xi+X2>2.

2.(2023?聊城模擬)已知函數(shù)段)=lnx+?a6R),設(shè)辦〃為兩個不相等的正數(shù)，且負〃?)=於)

=3.

⑴求實數(shù)。的取值范圍；

(2)證明：a1<tnn<ao1.

微重點1導(dǎo)數(shù)中函數(shù)的構(gòu)造問題

1.D［令g(x)=ey(x),

貝i］g'(x)=e<x)+e/(x)

=8伏x)+f(x)］，

因為/(x)+/(x)>0,而e*>0恒成立，

所以g'(x)>0,

所以g(x)在定義域上是增函數(shù)，

又0<l=lne<ln3,

所以g(O)<g(D<g(ln3),

因為。=40)=已°/(0)=8(0),

b=3fl)n3)=e,n^/(ln3)=g(ln3),

c=q/(l)=g(l),

所以h>c>a.］

Ixf'(x)—1

2.C［令函數(shù)ga)=/(x)—Inx,x>0,則g'(x)=f(x)—~=------------<0,因此函數(shù)g(x)在

定義域(0,+8)上是減函數(shù)，

5(e)=y(e)-lne=l,

因此j(ex)<x+1x<1O^(e^<^(e),即eA>e,解得第>1,

所以不等式式?jīng)_4+1的解集為(1,+8).］

3.A［設(shè)函數(shù)g(x)=/(x)cosx,

貝Ug'(x)=/(x)cosx—y(x)sinx,

因為/(x)cosx—J(x)sinJC>0,

所以g'(x)>0,

所以g(x)在(0,兀)上是增函數(shù)，

。=%d)=/住｝端

=&倒

6=。=閱

x

4.c［令於)=6,x>i,

1--Y

則/'(x)=F<0，

二危)在(1,+8)上單調(diào)遞減，

234

而2<3<4,故

4In4

又因為4>ln4>0,則聲-^-,

貝|］a>b>c.］

5.A［依題意，對任意xGR,都有y(x+4)=/(x),所以Xx)是周期為4的周期函數(shù).所以人2

"八心022)簿)

021)=巾)，^2^2,

“2023)_/(3)

3-3-

構(gòu)造函數(shù)F(x)="F(0<XW4),

,xf(x)—y(x)

F'(x)=，'/八'〉。,

所以F(x)在區(qū)間(0,4］上單調(diào)遞增，所以尸(1)<F(2)〈尸(3),

叫)碧鳴)，

即式2021)駕書江孚當(dāng)

6.C［令g(x)=^,①

,f(X)—/(X)

則g'(x)=J

?"(x)-/W=e'(2x—1),

.f(x)—於)n1

??ex—2x—1,

即g'(x)=2x—1,

?，>gM=x1—x+c,②

由①②知，號x+c,

；?如)=e^x2—x+c),

又人0)=-1,

e°-c=—1,即c=-1,

A-2<x<3,即不等式/x)<5e》的解集為(一2,3).］

7.A［由題意可得4—In〃=e?+1,

/?—InZ?=e-2+2,

c—Inc=e4+4,

令|工)=?一"十匚

則/(%)=—匕一*+1,

因為當(dāng)QO時，f(x)>0,段)單調(diào)遞增，

所以川)勺(2)勺⑷，

即Q-Ina<b—\nb<c—\nc,

令g(x)=x—lnx,貝！|g'(x)=l—p

因為當(dāng)x>l時，gr(x)>0,

所以g(%)在(1,+8)上單調(diào)遞增，又因為mbyc￡(l,+8)且g(a)vgS)<g(c),

所以a<h<c.I

8.D［構(gòu)造函數(shù),/(x)=ln(l+x)—5(x20),

所以，a尸"r4

_25_(1+幻__(5_1)2：0

2yfx(\+x)2m(1+x)''

故_/U)在［o,+8)上單調(diào)遞減，

所以火0.1)勺(0)=0,

即In1.1一歷<0,

即In1.1<^0J,即a<c.

因為Inl.l=ln-ln|j

構(gòu)造函數(shù)g(x)=ln(l+x)—x,xS(-l,O］,

1---Y

所以g'W=1I-1=yI20,

°1+x1+x

即g(x)在(-1,0］上單調(diào)遞增，所以g(—十)<g(o)=o,

即ln(l-十)+=<0,

即告〈一即從:a,

綜上，b<a<c.\

9.b>a>c

解析令函數(shù)7U)=x—sinx,x>0,

則/a)=i—cosxeo恒成立，故函數(shù)yu)在定義域(o,+8)上是增函數(shù),

所以當(dāng)心>0時，yu)MO)=o,

則J(0.9)=0.9—sin0.9>0,

于是0.9>sin0.9,即b>a；

則y=sinx-cosx=V^sin(x-：卜),

所以sinx>cosx,

而;<0.9號

于是sin0.9>cos0.9,即a>c.

綜上，b>a>c.

10.(-8,9

解析因為#x)—/(—x)=2sinx,

所以J(x)—sin-x)—sin(—x),

設(shè)g(x)=yW—sinx,x《R,

可得g(x)=g(—X),所以g(x)為偶函數(shù)，

在［0,+8)上有f(x)>COSX,

所以g'(x)=/(x)—cosx>0,尤￡［0,+°°),

故g(X)在［0,+8)上單調(diào)遞增，根據(jù)偶函數(shù)的對稱性可知，gQ)在(-8,0)上單調(diào)遞減,

由/6一,一7W>cos/—sinr,得

即g⑺<8《一”，

所以M噂一小即尸<6一,2,全一兀/>0,解得寸

微重點2函數(shù)的公切線問題

1.C2.B3.A4.B

5.C［由，(x)=3/-l,

所以y=/W在點(a，加。)處的切線方程為＞—(Xi—xi)

=(3"一l)(x—xi),

整理得y=(3d一l)x-〃.

設(shè)g(x)=*+",

直線/與g(x)的圖象相切于點(X2,g02)),因為g'(x)=2x,

所以切線方程為

y-收+?=2%2(LX2),

整理得y-2x2X-x^+^,

3xi—1—2x2,

則

—2xi=—

整理得(苧一

9,3,

=利一2川一立燈

=才(9后—8x1—6)=0,

當(dāng)9后一8加一6=0時，J=82+4X9X6>0,方程有兩個非零實數(shù)根,

?=0也滿足方程，故項有3個解，

所以方程組(*)有3組解，故滿足題中條件的直線/有3條.]

6.A[設(shè)直線「與危),g(x)的切點分別為4即，9)，5(X2,”),

因為yU)=5：2+24X—2仇

2

^(x)=3a-lnxf

-3a2

所以，(x)=x+2a9g'(x)='-,

因為直線/與/U),g(x)都相切,

所以XI+2G=￥~=3〃，

X2

解得X\=X2=di

則兩切點重合，即j(a)=g(a).

2?2+2cr-2b=3tz2-lna,

2b=/—3。2.卜a,

設(shè)//(〃)=呼2—3/.]na(a>0)9

則hr(Q)=2Q—6Hn〃=2a(l—31n〃)，

當(dāng)0<av”時,h'(a)>0,〃3)單調(diào)遞增；

當(dāng)〃>一時，h'(a)<0,〃(“)單調(diào)遞減，

則人(Gmax=〃(e3)

2222

=ze3—3e3-Ine