廣東省廣州市2024屆普通高中畢業(yè)班綜合測試（一）數(shù)學(xué)試卷（含答案解析）

廣東省廣州市2024屆普通高中畢業(yè)班綜合測試（一）數(shù)學(xué)試

卷

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.設(shè)集合/=5={1,〃+2},若BqA,貝lja=(

A.2B.1C.-2D.-1

2.已知復(fù)數(shù)z滿足|z-3+4i|=l,則z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（)

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

記S“為等比數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和，若的5=2叩4,則蒙=

3.)

A.5B.4C.3D.2

4.已知正四棱臺ABCD-44GA的上、下底面邊長分別為1和2,且班貝IJ該

棱臺的體積為（）

A.迪n7V27

D.------------D.-

262

,2

設(shè)&分別是橢圓

5.8,C:q+1r=1（。＞6＞。）的右頂點(diǎn)和上焦點(diǎn)，點(diǎn)尸在。上，且

a

BF2=2F2P,則。的離心率為（）

n底

AD.------------D.—

-T132

6.已知函數(shù)/（%）的部分圖像如圖所示，則/⑴的解析式可能是（)

A./(%)=sin(tanx)B.f(x)=tan(sinx)

C.f(x)=cos(tanx)D.f(x)=tan(cosx)

3

7.已知。=不，3b=5,5,=8,貝I」(

2

A.a<b<cB.a<c<bC.c<b<aD.b<c<a

兀

8.已知夕源是函數(shù)"x）=3sin（2尤++-2在阿J上的兩個零點(diǎn),則cos(a—，)=()

6

c后-2D2百+石

A2

A。3,-6-?6

試卷第1頁，共4頁

二、多選題

9.已知向量"，B不共線，向量￡+刃平分Z與石的夾角，則下列結(jié)論一定正確的是（）

A.Q.6=0B.（a+b）J_（a—6）

c.向量Z,5在￡+書上的投影向量相等D.2相力|

10.甲箱中有3個紅球和2個白球，乙箱中有2個紅球和2個白球（兩箱中的球除顏色

外沒有其他區(qū)別），先從甲箱中隨機(jī)取出一球放入乙箱，分別用事件4和4表示從甲箱

中取出的球是紅球和白球；再從乙箱中隨機(jī)取出兩球，用事件B表示從乙箱中取出的兩

球都是紅球，則（）

311

A.尸（4）=yB.尸⑻

9?

C.P（叫4）=而D.P（4忸）=石

11.已知直線＞=履與曲線＞=lnx相交于不同兩點(diǎn)M（西,必），N（x2,y2）,曲線y=lnx在

點(diǎn)M處的切線與在點(diǎn)N處的切線相交于點(diǎn)P（%,%）,則（）

A.0＜左＜一B.xx=exC.y+y=1+y0D.yy＜1

er20x2x2

三、填空題

S+9

12.已知數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和S“=1+〃，當(dāng)口一取最小值時，n=.

an

13.某校數(shù)學(xué)建模興趣小組收集了一組恒溫動物體重沙（單位：克）與脈搏率/（單位:

心跳次數(shù)/分鐘）的對應(yīng)數(shù)據(jù)（注,/）?=1,2,...,8）,根據(jù)生物學(xué)常識和散點(diǎn)圖得出了與次近

_8

似滿足f=c外（C,左為參數(shù)）.令x,=ln用，%=ln九計(jì)算得嚏=8,亍=5,＞＞；=214.

Z=1

由最小二乘法得經(jīng)驗(yàn)回歸方程為3=加+7.4,則左的值為；為判斷擬合效

果，通過經(jīng)驗(yàn)回歸方程求得預(yù)測值"=1,2,...,8）,若殘差平方和訃,：0.28,

則決定系數(shù)R2土.（參考公式：決定系數(shù)&=1-4~j）

i=l

14.已知曲線C是平面內(nèi)到定點(diǎn)廠（0,-2）與到定直線/:＞=2的距離之和等于6的點(diǎn)的軌

跡，若點(diǎn)P在C上，對給定的點(diǎn)T（-2J）,用加⑺表示|尸石+|尸7|的最小值，則加（。的最

小值為.

試卷第2頁，共4頁

四、解答題

15.記的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為。，b,c,“BC的面積為S.已知

22

S=-^-^+c-bY

⑴求8；

兀

(2)若點(diǎn)。在邊ZC上，且/48。=萬，AC=2DC=2,求的周長.

16.如圖，在四棱錐尸-/BCD中，底面N3CD是邊長為2的菱形，ADC尸是等邊三角

7T

形，NDCB=NPCB=1,點(diǎn)、M,N分別為DP和的中點(diǎn).

(1)求證：MV//平面尸3C；

(2)求證：平面尸平面/BCD；

⑶求CM與平面PAD所成角的正弦值.

17.已知函數(shù)/(x)=cosx+尤sinx,兀).

(1)求/(x)的單調(diào)區(qū)間和極小值；

(2)證明：當(dāng)xe[O,兀)時，1f{x)<Qx+Sx.

22

18.已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線。：/年=1(。>0/>0)的焦距為4,且經(jīng)過點(diǎn)(在6).

(1)求。的方程：

(2)若直線/與C交于A,8兩點(diǎn)，且次.赤=0,求M目的取值范圍：

(3)已知點(diǎn)尸是C上的動點(diǎn)，是否存在定圓。"2+/=/">0),使得當(dāng)過點(diǎn)產(chǎn)能作圓。

的兩條切線尸河，尸N時(其中M,N分別是兩切線與C的另一交點(diǎn))，總滿足

1PM=|7W]?若存在，求出圓。的半徑「：若不存在，請說明理由.

19.某校開展科普知識團(tuán)隊(duì)接力闖關(guān)活動，該活動共有兩關(guān)，每個團(tuán)隊(duì)由〃("W3,〃eN*)

位成員組成，成員按預(yù)先安排的順序依次上場，具體規(guī)則如下：若某成員第一關(guān)闖關(guān)成

功，則該成員繼續(xù)闖第二關(guān)，否則該成員結(jié)束闖關(guān)并由下一位成員接力去闖第一關(guān)；若

某成員第二關(guān)闖關(guān)成功，則該團(tuán)隊(duì)接力闖關(guān)活動結(jié)束，否則該成員結(jié)束闖關(guān)并由下一位

成員接力去闖第二關(guān)；當(dāng)?shù)诙P(guān)闖關(guān)成功或所有成員全部上場參加了闖關(guān)，該團(tuán)隊(duì)接力

闖關(guān)活動結(jié)束.已知A團(tuán)隊(duì)每位成員闖過第一關(guān)和第二關(guān)的概率分別為之和;，且每位

成員闖關(guān)是否成功互不影響，每關(guān)結(jié)果也互不影響.

試卷第3頁，共4頁

(1)若"=3,用X表示A團(tuán)隊(duì)闖關(guān)活動結(jié)束時上場闖關(guān)的成員人數(shù)，求X的均值;

(2)記A團(tuán)隊(duì)第左(1V左V〃-1/eN*)位成員上場且闖過第二關(guān)的概率為PQ集合

中元素的最小值為自，規(guī)定團(tuán)隊(duì)人數(shù)〃=%+1,求〃.

試卷第4頁，共4頁

參考答案：

1.A

【分析】

根據(jù)給定條件，利用集合元素的互異性及集合的包含關(guān)系列式計(jì)算即得.

【詳解】由/={1,3,/},得即aw±l,此時〃+2wl,a+2w3,

由得〃2=〃+2,而1,所以“=2.

故選：A

2.D

【分析】

設(shè)出復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，利用復(fù)數(shù)模的意義列出方程即可判斷得解.

【詳解】令2=%+貝,%/￡1<,由|z—3+4i|=l,得(X—3)2+(>+4)2=1,

點(diǎn)(xj)在以(3,-4)為圓心，1為半徑的圓上，位于第四象限，

故選：D

3.C

【分析】

根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可得^1二/=2,進(jìn)而根據(jù)求和公式即可化簡求解.

。2。4

【詳解】

根據(jù)題意，設(shè)等比數(shù)列{%}的公比為外

若的5=202a4，即^1="=2,

」(1，)

故&=I7=1+4=3.

1-g

故選：C.

4.B

【分析】

根據(jù)正棱臺的幾何特點(diǎn)，結(jié)合已知條件，求得棱臺的高，再求棱臺體積即可.

【詳解】對正四棱臺48co-4耳G2,連接。綜。5,取A綜中點(diǎn)分別為o,a,連接

OH,DXH,如下所示:

答案第1頁，共17頁

因?yàn)?BCD-44GA為正四棱臺，則四邊形N8CZ),421cl2均為正方形，且垂直于上

下底面，DD[=BB],

易知,DlBl=BH=42,故四邊形。48〃為平行四邊形，則,且

BB,=DXH,

因?yàn)椤t。2_1口//,又DD\=BB[=D\H,且DH=；DB=>/i,

由Dp?+DR?=DH?,即22H2=2,解得0戶=1；

由0〃_1面44。14，。。(=面44。1。1，則

又正方形ZRiGA的面積為1，正方形45co的面積為4,

故正四棱臺ABCD-AMR的體積r=|(l+4+g)x與二等■

故選：B.

5.A

【分析】

求出點(diǎn)用巴的坐標(biāo)，借助向量坐標(biāo)運(yùn)算求出點(diǎn)P坐標(biāo)，代入橢圓方程求解即得.

【詳解】令橢圓半焦距為c,依題意，8(6,0),6(0,c),由甌=2不，得

-----1hc

9=/?=(-?),

則尸(-3當(dāng)，而點(diǎn)p在橢圓上，于是，+2:=1,解得e，=也，

2244/a3

所以。的離心率為心.

3

故選：A

答案第2頁，共17頁

o\)B左

6.D

【分析】

利用函數(shù)的奇偶性、定義域結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)判定即可.

【詳解】觀察圖象可知函數(shù)為偶函數(shù)，

對于A,f(-x)=sin(tan(-x))=sintanx)=-sin^anx)=-fg),為奇函數(shù)，排除；

對于B,f(-x)=tan(sin(-x))=tan(^sinx)=-tan^inx)=-f(c),為奇函數(shù)，排除；

同理，C、D選項(xiàng)為偶函數(shù)，而對于C項(xiàng)，其定義域?yàn)閇-5+^,5+左兀J,不是R,舍去，

故D正確.

故選：D

7.C

【分析】

結(jié)合對數(shù)函數(shù)單調(diào)性比較。，b與。，c的大小，然后結(jié)合對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)及基本不等式比較b,

c的大小，即可求解.

【詳解】

由題意得6=log35,c=log；8,

因?yàn)镼=W=log332=log3V27>log35=6,即。>6,

33__

a=3=log552=log5J125>log58,即a>c,

6二lg5Jg5_(lg5)2,(15)2.4(lg5)2.lg?25)]

-22

因?yàn)椤窱g3lg8Ig3xlg8Jg3+lg82lg24lg24，所以b>c,

I2)

故a>b>c.

故選：C.

8.A

答案第3頁，共17頁

【分析】

根據(jù)三角函數(shù)的對稱性可得a+￡=；TT,進(jìn)而代入化簡，結(jié)合誘導(dǎo)公式即可求解.

【詳解】

冗7T2

令/(x)=0,得3sin(2x+—)=2nsin(2x+—)=—,

663

?-,Xe(0,|),.2+今嗎親，

因?yàn)閍,戶是函數(shù)/(%)=3sin(2x+￡)-2在(。鼻上的兩個零點(diǎn),

則4月是sin(2x+令=：在也母上的兩個根，

故2a+烏+24+'=兀=>a+4=—,故。=工一萬，

6633

=cos]-2"=“？》+看

則cos(a_/?)=

故選:A.

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是利用三角函數(shù)的對稱性得到生。的關(guān)系，從而得解.

9.BC

【分析】

根據(jù)給定條件，結(jié)合向量加法的幾何意義可得修|=|5|,再借助數(shù)量積的運(yùn)算律逐項(xiàng)分析判

斷即得.

【詳解】作向量O/=a,O8=g,在口。4cs中，OC=a+b<RA=a-b>

由向量Z+B平分方與B的夾角，得口。4cB是菱形，即'，

對于A,G與B不一定垂直，A錯誤；

對于B(a+b)-(a-b)=c^-b2=0,BP(a+6)l(a-S),B正確;

答案第4頁，共17頁

r」十一一一t344■.日/4曰3.（之+方）/一1、a'a+bL八

對于C…在2上的投影向堇‘序（i）=西彳（。+6）,

22

_>.一,q上n曰/心曰B?（萬+B）/一1、b+d'b_六a+a-b_1、丁”

6在…上的投影向重商可（》）=而不（》）=方短》）'°正確;

對于D,由選項(xiàng)A知，73不一定為0,貝1」而+加與|￡/|不一定相等，D錯誤.

故選：BC

10.ABD

【分析】

根據(jù)條件概率的概率公式及全概率的概率公式計(jì)算可得.

a?c23c21

【詳解】依題意可得尸（4）=2,P（4）=（,尸（卻4）=發(fā)=不，尸仍區(qū)）=涓=行，

D2?Ux_zg1U

44']11

所以尸（8）=P（4）尸（5|4）+P（a）尸（冏4）=『而+『歷=去，故A正確、B正確、C錯

誤；

12

尸㈤其）尸區(qū)）—x—2

%￡=故D正確.

P⑻

50

故選：ABD

11.ACD

1TlX

【分析】對于A,構(gòu)造函數(shù)/（切=手，計(jì)算即可判斷；對于B,寫出43點(diǎn)處的切線程

聯(lián)立并化簡得％=占王1n"一出』，而左=1眸：爪,計(jì)算即可判斷；對于根據(jù)斜率相等

%—%X2再

可得“山占=xjn/,尸（尤。,%）為兩切線的交點(diǎn)代入化簡得%+1=%In%fin*,再計(jì)算

%2—X]

可得乂+%=1+%;對于D,根據(jù)?>而7,計(jì)算即可判斷.

m%Tn必

【詳解】令〃X）=（,則/'（x）=T^,

故xe（O,e）時，/（X）遞增;xe（e,+8）時，/（x）遞減,

所以〃x）的極大值〃e）=L且x>l,/（x）>0,

e

因?yàn)橹本€V=質(zhì)與曲線y=lnx相交于M（X2J、、（三,外）兩點(diǎn)，

所以y=左與〃尤）圖像有2個交點(diǎn),

答案第5頁，共17頁

所以0＜后＜1,故A正確;

e

設(shè)必）,陽々,％）,且1＜再＜6＜%2，可得句=ln%"履2=ln12,

y=lnx在M,N點(diǎn)處的切線程為歹―1口玉=’（＞一%）,〉—In%=」-（x—%），

y一加%二一0一%)lnx?-lnxlnx7-lnx

：,得In%-出西=血-包，即/=-占

=—

j/-Inx2—(X%2)項(xiàng)％2

一、，,lnx-Inx.

因?yàn)楹?一9——L，所以％0=項(xiàng)%2后,即玉%2=7玉），故B錯誤;

X2-%,

因?yàn)樽?匕=色土=電玉，所以％2E玉=xjn%2,

1^2

因?yàn)槭ㄆ?%）為兩切線的交點(diǎn),

所以％=lnxj+—x0-l=lnx1+x2-------=-----------11——2------------------------------1,

X]x2-X1x2-X)

即為=.眸-”網(wǎng)_1,所以典+1=匹一”看,

x2-X1x2-X]

所以

“+%=In%!+lnx2=」n-+In-)(—)=1In1-xJtiX]+」In/一項(xiàng)刊*2=%Inx?-”為=,+1

,故C正確;

因?yàn)楹?必，所以In上+lnX]=ln%,所以In左+乂=In弘，

即lnj_:弘4

同理得1114+%=In%，得In%-必=lny2-y2

因?yàn)椋練v所以乂力＜1，故D正確.

l?n"%一T：n%7,

故選：ACD.

答案第6頁，共17頁

yy—Ini

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：判斷B,關(guān)鍵在于根據(jù)切線方程聯(lián)立求得％=再尤2也二也而4B

x2-X]

兩點(diǎn)得斜率即為直線得斜率得上=也二國土，化簡可得；判斷C,根據(jù)斜率相等得

x2-X]

%lnx|=xjnx2,根據(jù)尸(%,%)在切線上，代入化簡計(jì)算可得%+1=&山x?-一融飛，計(jì)算

%2一項(xiàng)

得%+%=&山也;xJn網(wǎng)后即可判斷,判斷口，關(guān)鍵在于利用不等式乂一;>位進(jìn)

x2-再Iny2-Inyl

行計(jì)算化簡即可判斷.

12.3

【分析】

根據(jù)S,求得巴,再結(jié)合對勾函數(shù)的單調(diào)性，即可求得結(jié)果.

222

【詳解】因?yàn)镾0=〃+〃，則當(dāng)"22時，an=Sn-Sn_x=n+n-(?-1)-(??-1)=2n,

又當(dāng)〃=1時，％=S[=2,滿足。"=2〃，故。"=2〃；

EN+9M2+M+9If9y1

貝ij-一二--——=-n+-+-,

a〃2n2VnJ2

又y=x+g,xNl在(1,3)單調(diào)遞減，在(3,+co)單調(diào)遞增；

qS+9

故當(dāng)〃=3時，〃+二取得最小值，也即〃=3時，-一取得最小值.

n??

故答案為：3.

13.-0.30.98

答案第7頁，共17頁

【分析】

根據(jù)回歸直線方程i=3x+7.4必過樣本中心點(diǎn)門,力求出5,即可求出無，再根據(jù)決定系數(shù)

公式求出入2.

【詳解】因?yàn)?=c平”,兩邊取對數(shù)可得In/ulnc+4ln，，

又否=In叱，％=ln￡,

依題意回歸直線方程j=加+7.4必過樣本中心點(diǎn)(x,司,

所以5=筋+7.4，解得務(wù)=-0.3，所以<=-0.3,

，=1_______________0.28

-8ZZT=0.9&

8214-8x52

i1H-y

i=l

故答案為：-0.3；0.98

14.2

【分析】

根據(jù)給定條件，求出點(diǎn)尸的軌跡方程，結(jié)合圖形并借助到兩點(diǎn)距離的和不小于這兩點(diǎn)間距離

求出最小值即得.

【詳解】設(shè)P(xj)，當(dāng)yN2時，IPFI+y-2=6,則&+(y+2.=8-八

化簡得：x2=60-20j,je[2,3],SPy=~x2+3；

當(dāng)y<2時，|PF\+2-y=6,則信+(y+2[=4+y,

化簡得/=47+12,ye[-3,2),即y=；x，-3,

對于曲線C上的任意一點(diǎn)尸，\PF\+\PT\>\TF\,當(dāng)且僅當(dāng)尸是線段7F與曲線C的交點(diǎn)時

取等號，

而|7F|=[4+(/+2>1,當(dāng)且僅當(dāng)/=-2,即點(diǎn)7(-2,-2)時取等號，

因此|尸尸|+|尸？以砂|22,當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)尸,7重合于(-2,-2)時取等號,

所以鞏。的最小值為2.

故答案為：2

答案第8頁，共17頁

【點(diǎn)睛】

方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中最值或范圍問題的常見解法：

①幾何法，若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用幾何法來解決；

②代數(shù)法，若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)某種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立目標(biāo)函數(shù)，再求

這個函數(shù)的最值或范圍.

2兀

15.⑴丁

677+14

【分析】

(1)根據(jù)三角形面積公式和余弦定理，化簡已知條件，結(jié)合5的范圍，即可求得結(jié)果;

(2)根據(jù)結(jié)合余弦定理，求得即可求得三角形周長.

【詳解】(1)由S=+/—/),則工m.sinB=-^^X2QC-cosB,tanB=-^3

424

又兀)，故5=三.

27rTiit

(2)由(1)可知，B=—,又NABD=—,則/CAD=—；

326

由題可知，8。為三角形4BC的中線，故S-BD=S.CBD，

即Lx/BxBOuLxsinNCBOxBOxBC,則；

222

在三角形4BC中，由余弦定理可得：cosAABC=AB'+BC'-AC\,[—4B?+4AB2-4

2ABxBC丁4AB2

解得48=冬2,則3C=些；

77

故”3C的周長為/8+8C+NC=R^+上^T2=.

777

答案第9頁，共17頁

16.(1)證明見解析;

(2)證明見解析;

⑶，,

【分析】

(1)取PC中點(diǎn)E,由已知條件，結(jié)合線面平行的判斷推理即得.

(2)過P作5c于點(diǎn)。，借助三角形全等，及線面垂直的判定、面面垂直的判定推理

即得.

(3)建立空間直角坐標(biāo)系，利用線面角的向量求法求解即得.

【詳解】(1)取PC中點(diǎn)E,連接由〃■為DP中點(diǎn)，N為A8中點(diǎn)，得

ME//DC,ME=-DC,

2

又BNIICD,BN=*D,馳MEUBN,ME=BN,因此四邊形BEMN為平行四邊形，

于是MNUBE,而AGVu平面尸BC,BEu平面尸BC,

所以AGV//平面尸8c.

jr

(2)過P作PQLBC于點(diǎn)。，連接。。，由NDCB=NPCB=:,CD=PC,QC=QC,得

4

AQCD^/\QCP,

則/DQC=/P0C=g,即DQL3C,而尸0=。0=&，尸02+?！?=4=尸。2,

因此尸0，。。，XDQ^BC=Q,DQ,BCcABCD,則尸。/平面/BCD,尸Qu平面

PBC,

(3)由(2)知，直線。C,0D,QP兩兩垂直，

以點(diǎn)。為原點(diǎn)，直線QC,QD,QP分別為x,乃z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

則C(也,0,0),尸(0,0,物,。(0,/0).(0,當(dāng)今,A(2,60),

答案第10頁，共17頁

CM=(-&,%4,AD=Q,0,0),DP=(O,-&g，

ii-AD=2x=0

設(shè)平面尸/。的一個法向量力=(XJ,Z),貝I」一廠廣，令歹=1,得元=(0,1,1),

n-DP=-y/2y+y/2z=0

設(shè)CM與平面PAD所成角為0,sin。=|cos〈a7,萬〉|=上絲蟲=-^-==旦,

\CM\\n\V3-V23

所以CM與平面尸4D所成角的正弦值是心.

3

17.⑴遞增區(qū)間為(-兀,-](09，遞減區(qū)間為(go)，弓㈤，極小值為1；

(2)證明見解析.

【分析】

(1)求出函數(shù)/(幻的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出單調(diào)區(qū)間及極值.

(2)根據(jù)給定條件，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合基本不等式推理即得.

【詳解】(1)函數(shù)/(x)=cosx+xsinx,xw(-兀，兀)，求導(dǎo)得f\x)=-sinx+sinx+xcosx=xcosx,

jrjr

當(dāng)一兀<%<-萬時，/'(x)〉0J(x)單調(diào)遞增；當(dāng)一,〈'VO時，/(x)<0J(x)單調(diào)遞減；

當(dāng)0<x<T時，/(X)>0,/(x)單調(diào)遞增；當(dāng)g<X<7l時，/(x)<0,/(x)單調(diào)遞減，

所以/(X)的遞增區(qū)間為(-無,-》(09；遞減區(qū)間為(go),弓㈤，仆)的極小值為

/(0)=1.

(2)當(dāng)xe[0,7i)時，令尸(x)=e*+e-x-2(cosx+xsinx),

求導(dǎo)得/'(x)=e"--2xcosx>ex-e~x-2x,

令(p(x)=ex-e-x-2x,求導(dǎo)得d⑴=e*+ex-2>2后.b-2=0,

函數(shù)。(x)在[0,兀)上單調(diào)遞增,則9(口》夕(0)=0,尸'(x)之0,尸(x)在[0,兀)上單調(diào)遞增,

因此F(x)>F(0)=0,所以2/(x)<eT+尸.

2

18.(l)x2-^-=l

3

⑵陷

答案第11頁，共17頁

（3）存在,

2

【分析】

（1）根據(jù)焦距以及經(jīng)過的點(diǎn)即可聯(lián)立求解，

（2）聯(lián)立直線與雙曲線方程得韋達(dá)定理，進(jìn)而根據(jù)向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算化簡得

3左2+3=2加2,根據(jù)弦長公式，結(jié)合不等式即可求解，

（3）根據(jù)圓心到直線的距離可得3/+3=202,進(jìn)而根據(jù)數(shù)量積運(yùn)算可判斷赤，的，結(jié)

合對稱性即可求解；或者利用切線關(guān)系得尸OLMN,根據(jù)斜率相乘關(guān)系，代入韋達(dá)定理化簡

可得半徑.

-2c=4

23

【詳解】（1）由題意可得-—m=1,解得/=1,/=3,

ab

c2=a1+b2

2

故雙曲線方程為C:/一匕=1

3

（2）當(dāng)直線/斜率不存在時，設(shè)工（福,藝）,以5,-力），

將其代入雙曲線方程舅-?=1,

又厲?礪=舅-$=0,解得乃=±等，

此時\AB\=2\yA\=46,

當(dāng)直線/斜率存在時，設(shè)其方程為y=設(shè)/（國,乂）,3@2，%）,

y=kx+m

2

聯(lián)立2y2左2)%2_2kmx—m—3=0,

X1

3

3-k2wo

2km

3—V

故V

-m2-3

3—左2

A=4A;2m2+12(m2+l)(3-A;2)=12(m2-k2+3)>0

則OAOB=+?2=%停2+儂1+加)儂2+加)

(1+左2卜]超+癡(%]+/)+/=Q+左2一-H-km2km252二0,

3—k3—k

答案第12頁，共17頁

化簡得3/+3=2療,此時A=6(/+9)>0,

22

所以|力創(chuàng)=J1+左2|Xj-X2|=yjl+kJ（X]+X2）-4X^2

當(dāng)斤=0時，此時|4B|=后,

當(dāng)上NO時，此時|“同=61+1

4k+L

9I-----16

:3一左2w0,「.k2+—>2）左2.=6,故]2工9人

Vk2k+p--6

因此|叫="1+

仁+廬-6

綜上可得|/同2加.

3

(3)解法一：當(dāng)直線W：y=〃x+p與―+/二萬相切時,

圓心到直線的距離1=*亍=廠=*=的2+3=2p：

V1+W22

設(shè)設(shè)尸（七,％），河（》4，%）

類似（2）中的計(jì)算可得麗?的=退匕+%為

22

=x3x4+（nx3+p）（^nx4+p）=（1+Ar）x3x4+km（^x}+x4）+m

答案第13頁，共17頁

2o

2\-p-32np23/+3-2/

+n+叩3”二0，

3-n13-n2

所以赤_1而，

由雙曲線的對稱性，延長MO交雙曲線于另一點(diǎn)AT,

則|MO|=“O|,S.OP±OM',

3

根據(jù)軸對稱性可得=附到,且直線PM，與V=萬也相切，即”即為N,

當(dāng)尸河或尸N斜率不存在時，此時網(wǎng):尤=逅，PM:y=圓,顯然滿足題意,

22

解法二:

答案第14頁，共17頁

由于尸尸N為圓的切線，PO平分/MPN,且尸M=PN,所以PO_LMV,

設(shè)過點(diǎn)P與圓。相切的直線方程為7-%=左（丁-毛），（直線斜率存在時）

=/一2飆州+田—，②,

（考——）左2_2kx0y0+/—，=0,將兩根記為左，左2，

2y1=＞（3—左：）]2+（2左2%0_2左]J；。卜+2左XoVo—左；—一3=0,

X-1

3

2K苫0了0-k[x；-32左％-k,x-3x_2左％_6x°,

00y

3-片一『3與3-k~°

同理可得/=2%生』,%=產(chǎn)片。+九,

/2后2%-6%2bo-6%.；

息3一行+33-好+%1

故心N

2人2,0—一3%2尢,0—A:：/―310

3-匕2

6yo（左1+左2）（左2—左1）—18%（左2—占）—6x0k2kl（k-kJ

6%（42-左）+2%質(zhì)左（右一K）一6%（左+公）（勺-左）

6V2%%,--廣

6%曰+3-1胱-6獷流%年-，-「飛?乂

X

6y0+2yoe勺-6X（）（勺+后②）6v0+2y0-6