2023-2024學年重慶市綦江區(qū)八年級（上）期末數(shù)學試卷（含詳細答案解析）

2023-2024學年重慶市泰江區(qū)八年級（上）期末數(shù)學試卷

一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1.下列手機中的圖標是軸對稱圖形的是（）

2.已知圖中的兩個三角形全等，則N1的度數(shù)是（）

A.76°B.60°C.54°D.50°

3.圖1是被稱作“通州八景”之一的燃燈佛舍利塔，它巍峨挺拔，雄偉壯觀，始建于北周年間，是北京地

區(qū)建造年代最早、最高大的佛塔之一.燃燈佛舍利塔為八角形十三層磚木結構密檐式塔，十三層均為正八邊

形磚木結構，圖2所示的正八邊形是其中一層的平面示意圖，

圖1

A.135°B.360°C.1080°D.14400

4.下列運算正確的是()

A.2a+4=6aB.a2-a3—a5C.(2a)2=2a23._

5.肥皂泡膜是人眼能夠分辨的最薄的東西之一，它的平均厚度約為700納米，已知1納米=10-9米，那么

700納米用科學記數(shù)法可表示為（）

A.7xl（p8B.7xICT7c.70x10~8D.0.7x10-7

6.如圖，河道機的同側有〃、N兩個村莊，計劃鋪設一條管道將河水引N

至N兩地，下面的四個方案中，管道長度最短的是（）丫

---------------------------------------m

7.如圖，將大正方形通過剪、害人拼后分解成新的圖形，利用等面積法可證明某些乘法公式，在給出的4

幅拼法中，其中能夠驗證平方差公式的有（）

A.圖1、圖2、圖3B.圖2、圖3、圖4c.圖1、圖2、圖4D.圖1、圖3、圖4

8.如圖，將一張三角形紙片ABC的三角折疊，使點A落在△48c的A處折痕為。E,若〃=a,^CEA'=

B，^BDA'=y,那么下列式子中正確的是（）

A.y=180°-a—pB.y=a+2夕

C.y=2a+￡D.y=a+￡

9.如圖，在AABC中，BO,CO分別平分乙4BC,乙4CB,且交于點

O,CE為外角以CD的平分線，8。的延長線交CE于點E,則以下結

論：

①4E=1zX；

②4BOC=3Z￡；

③乙BOC=90°+ZX；

④NBOC=90°+ZE.

正確的是（）

A.①②③B.①③④C.①④D.①②④

10.有〃個依次排列的整式，第一個整式為9/,第二個整式為9/+6x+l,第二個整式減去第一個整式

的差記為a「將的+2記為a2,將第二個整式加上a2作為第三個整式，將（^+2記為a3,將第三個整式與

。3相加記為第四個整式，以此類推.以下結論正確的個數(shù)是（）

①=6x+5；

②當x=2時，第四個整式的值為81；

③若第三個整式與第二個整式的差為21,貝卜=3；

④第2024個整式為（3x+2023產

A.1B.2C.3D.4

二、填空題：本題共8小題，每小題4分，共32分。

11.如圖1是一路燈的實物圖，圖2是該路燈的平面示意圖，已知M

AMAC=50。，AACB=20°,則圖2中NCBA的度數(shù)為.

N

圖2

12.如圖，BC=BD,只需添加一個條件即可證明AABC會△4BD.這一個條件可以

是(寫出一個即可)

13.因式分解：

(l)ab—ac—；

(2)ax2-6ax+9a=.

14.一個長為a,寬為。的長方形的周長為12,面積為7,貝必26+皿2的值為.

15.如圖，在△4BC中，AB=AC,BC長為6,面積是27,腰AC的

垂直平分線EF分別交AC、AB邊于點及F,若點。為8C邊的中

點，點〃為線段EE上一動點，則ACDM周長的最小值為

16.如圖，將長方形紙片ABC。沿著。E翻折，使得點C落在邊上的點

C'處，在第一次翻折的基礎上再次將紙片沿著AE翻折，使得點。落在點

。'處.若NBED'=15°,貝此￡71。'=.

(3x+a<2.-皿

17.若關于x的不等式組”“上3、、v)至少有兩個整數(shù)解，且關于y的分式方程g+宰=2的解是非

12(%+-)>%—2'y-22-y

負整數(shù)，則符合條件的所有整數(shù)a的和是.

18.若一個四位正整數(shù)afecd滿足：a+c=6+d,我們就稱該數(shù)是“振興數(shù)”，則最小的“振興數(shù)”是

；若一個“振興數(shù)”也滿足千位數(shù)字與百位數(shù)字的平方差是15,且十位數(shù)字與個位數(shù)的和能被5整

除.則滿足條件的“振興數(shù)”機的最小值為.

三、解答題：本題共8小題，共78分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

19.(本小題8分)

計算：

(1)(—2)2+V36X2°—|-3|+

(2)(。+1)(。—1)+a(a—4).

20.(本小題10分)

⑴計詔?高

(2)化簡求值：(1+3)一與歲，其中％=3.

21.(本小題10分)

在平面直角坐標系中，點A、B、C、。都在邊長為1的小正方形組成網格的格點上，AABC的位置如圖所

示.

(1)在圖中畫出△ABC關于y軸對稱的4A'B'C'',

⑵△48C的頂點2關于無軸對稱的點的坐標為：B",A關于y軸對稱的點4'的坐標為：

A"；

(3)求A4B①，的面積.

22.(本小題10分)

如圖，在△48C中，ZC=90",點。在邊AB上，BD=BC.

(1)作NB的平分線，交AC于點E(尺規(guī)作圖，保留痕跡，不寫作法);

(2)在(1)的條件下，連接CDDE.求證：BE垂直平分CD.

證明：???BE為N4BC的平分線，

???Z.CBE=.

BD=BC,BE=BE,

在ABDE和ABCE中，

BD=BC

，()

、BE=BE

?-?ABDE義4BCE().

兩點都在CD的垂直平分線上.

BE垂直平分CD.

ADB

23.（本小題10分）

定義：在一個三角形中，如果有一個角是另一個角的全我們稱這兩個角互為“和諧角”，這個三角形叫

做“和諧三角形”.

例如：在ATIBC中，如果乙4=70。，ZB=35°,那么與互為“和諧角”，△力為“和諧三角形”.

問題1：如圖1,△力BC中，^ACB=90°,N4=60。，點。是線段A8上一點（不與A、8重合），連接CD.

⑴如圖1,△A8C是“和諧三角形”嗎？為什么？

（2）如圖1,若CD1AB,則△4CD、ABCD是“和諧三角形”嗎？為什么？

問題2：如圖2,AABC^,^ACB=60°,NA=80。，點。是線段A8上一點（不與A、2重合），連接

CD,若AACD是“和諧三角形"，求N4CD的度數(shù).

圖1圖2

24.（本小題10分）

列方程（組）解應用題.

蒙江區(qū)某校為舉行六十周年校慶活動，特定制了系列文創(chuàng)產品，其中花費了312000元購進紀念畫冊和保

溫杯若干.已知紀念畫冊總費用占保溫杯總費用的得.

（1）求紀念畫冊和保溫杯的總費用各是多少元？

（2）若每本紀念畫冊的進價比每個保溫杯的進價多20%,而保溫杯數(shù)量比紀念畫冊數(shù)量的3倍多1200個.求

每本紀念畫冊和每個保溫杯的進價各是多少元？

25.（本小題10分）

⑴如圖①，Z.MAN=90°,射線AE在這個角的內部，點3、C分別在NM4V的邊AM、AN上，且力B=

AC,CF14E于點RBD1AE于點D.求證：CAF；

(2)如圖②，點、B、C分別在NM4N的邊AM、AN上,點E、F都在NM4N內部的射線上，N1、42分別

是AABE、ACAF的外角.已知AB=4C,且Nl=N2=ABAC,求證：EF=BE—CF；

(3)如圖③，在△ABC中，AB=AC,4B>BC,點。在邊2C上，CD=3BD,點、E、尸在線段A。上,

Zl=Z2=NB4c,若4ABC的面積為17,求小4。9與4BDE的面積之和.

26.(本小題10分)

如圖，在AaBC和AADE中，AB=AD,AC=AE,/.BAC+ADAE=180°.

⑴如圖1,當點C在A。上時，ABAC=90°,連接CE,若乙4BC=30。，求NCED的度數(shù)；

(2)如圖2,當點C在4。上時，Z.BAC=90",延長BC交DE于M,連接AM,求證：AM平分NCME；

(3)如圖3,若NB4C力90。，連接BE、CD,E為BE中點，連接AF,請猜想線段AF、CQ之間的數(shù)量關

系，并證明你的猜想.

答案和解析

1.【答案】c

【解析】解：4不是軸對稱圖形，故此選項不合題意；

8.不是軸對稱圖形，故此選項不合題意；

C.是軸對稱圖形，故此選項符合題意；

。.不是軸對稱圖形，故此選項不合題意.

故選：C.

根據(jù)軸對稱圖形的概念，如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸

對稱圖形，進行判斷即可.

本題考查的是軸對稱圖形的概念，正確掌握相關定義是解題關鍵.

2.【答案】D

【解析】解：第一個三角形中6、c之間的夾角為180。一76。-54。=50。，

N1是b、c之間的夾角.

,??兩個三角形全等，

???Z1=50°.

故選：D.

根據(jù)全等三角形對應角相等可知N1是6、C邊的夾角，然后寫出即可.

本題考查了全等三角形對應角相等，根據(jù)對應邊的夾角準確確定出對應角是解題的關鍵.

3.【答案】C

【解析】解：內角和是：(8-2)x1800=1080°.

故選：C.

”邊形的內角和可以表示成O-2)?180。，代入公式就可以求出內角和.

本題主要考查了多邊形的內角和公式，掌握〃邊形的內角和公式是解題關鍵.

4.【答案】B

【解析】【分析】

本題考查塞的乘方與積的乘方，同底數(shù)幕的乘法，同底數(shù)募的除法，分別根據(jù)哥的乘方與積的乘方，同底

數(shù)塞的乘法，同底數(shù)幕的除法逐項計算即可.

【解答】

解：42a與4不是同類項，所以不能合并，原式錯誤，不符合題意;

B.a2-a3=a5,計算正確，符合題意；

C.(2a)2=4a2,原式錯誤，不符合題意；

D.a3^a3=1,原式錯誤，不符合題意.

5.【答案】B

【解析】解：700納米=700x10-9米=7xIO-米，

故選：B.

根據(jù)科學記數(shù)法的一般形式為aX10”,其中〃為整數(shù).確定〃的值時，要看把原數(shù)變成。

時，小數(shù)點移動了多少位，”的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同.當原數(shù)絕對值210口寸，”是正整數(shù)；當

原數(shù)的絕對值小于1時，”是負整數(shù).

本題考查科學記數(shù)法的表示方法.表示時關鍵要正確確定a的值以及n的值.

6.【答案】C

【解析】解：作點M關于直線機的對稱點M',連接M'N交直線加于點P,,

則MP+NP=M'N,此時管道長度最短.卜、

故選：C.：y'P

￥

根據(jù)軸對稱的性質及兩點之間線段最短即可得出結論.'Af

本題考查的是軸對稱-最短路線問題，熟知兩點之間線段最短是解題的關鍵.

7.【答案】A

【解析】解：圖1可以驗證的公式為：(a+6)(a-b)=&2一。2,符合題意；

圖2可以驗證的公式為：a?=(a-人＞++2b(a—6),整理得：(a+6)(a—b)=a?—6?,符合題

,受一

忌；

圖3可以驗證的公式為：(a+b)(a-6)=a?一符合題意；

圖4可以驗證的公式為：(a+b)2=(a-6)2+4a6,不符合題意；

故能驗證平方差公式的是圖1、圖2、圖3.

故選：A.

根據(jù)兩種方法，求出面積，列出等式，即可得出結論.

本題考查平方差公式的幾何背景.正確的識圖，利用兩種方法，表示出面積，是解題的關鍵.

8.【答案】C

【解析】【分析】

本題考查了三角形外角的性質，折疊問題，熟練掌握三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角的和是關

鍵.

根據(jù)三角形的夕卜角得：^BDA'=ZX+^AFD,AAFD=AA'+/LCEA',代入已知可得結論.

【解答】

解：如圖，設AC交￡M'于F.

由折疊得：乙4=

???ABDA'=N4+^AFD,乙AFD=N4+Z.CEA',

,■Z.A=a,乙CEA'=§,Z.BDA'=y,

Z.BDA'=y=a+a+p=2a+p,

故選：C.

9.【答案】C

【解析】解：???CE為外角乙4CD的角平分線，8。平分乙4BC,

11

???乙DCE="ACD,Z.DBE=^ABC,

又???乙DCE是公BCE的外角，

Z.E=Z.DCE-Z.DBE

1

乙4,故①正確；

vBO,CO分另lj平分4ABC,乙ACB,

11

???乙OBC="ABC,乙OCB=^Z-ACB,

???乙BOC=180°-（乙OBC+乙OCB）

1

=180°-（乙+乙4CB）

1

=180-]（180。—“）

=90。+；乙4,故②、③錯誤.

???。。平分NACB,CE平分NACD,

.-./.ACO=*CB,/.ACE=|zXC￡),

1

乙OCE=^Z-ACB+ZXCD)=90",

???4BOC是△COE的外角，

.-.乙BOC=/.OCE+NE=90°+ZE,故④正確.

綜上所述，①④正確.

故選：C.

根據(jù)角平分線的性質以及三角形外角性質，即可得到乙4=2/E,Z.BOC=90°+^A,Z.BOC=90°+z￡.

本題考查角平分線的性質以及三角形外角性質知識點，本題運用了數(shù)形結合的數(shù)學思維.解題關鍵在于對

角平分線的性質以及三角形外角性質知識點熟練掌握.

10.【答案】D

【解析】解：???第一個整式為9*2,第二個整式為9/+6%+1,第二個整式減去第一個整式的差記為的，

a1=9x2+6x+1—9x2=6x+1,

,?1%+2記為a2,

???a2=6%+1+2=6%+3,

a2+2記為的，

?t-a3=6%+3+2=6%+5,故①正確；

以此類推：

同理可得：a4=6%+7,

=6%+9,

。6—6汽+11,

an=6%+2n—1,

由于第一個整式為9/,第二個整式為9/+6%+1,

,??第二個整式加上。2作為第三個整式，

二第三個整式為：9%2+6%+1+6%+3=9久2+12%+4=(3%+2)2,

???第三個整式加上作為第四個整式，

??.第四個整式為：9/+12久+4+6%+5=9/+18%+9=(3無+3)2,

當％=2時，(3x+3產=(2x3+3)2=81,故②正確；

??,第三個整式與第二個整式的差為：(3x+2y-(9x2+6x+1)=21,

解得：x=3,

故③正確；

根據(jù)題意，第五個整式為：第四個整式加。許

??.第五個整式為9/+18*+9+6x+7=9/+24%+16=(3x+4)2,

同理第六個整式為(3x+5產，

第七個整式為(3x+6)2,

第八個整式為(3久+7產，

第2023個整式為(3x+2022)2,

第2024個整式為(3x+2023)2,故④正確，

故選：D.

根據(jù)已知條件找到規(guī)律即可解決.

本題考查整式的加減、列代數(shù)式、以及代數(shù)式的求值，屬于規(guī)律性的題目，繁瑣，但只要理解題意，掌握

規(guī)律即可解決，耐心會更好.

11.【答案】30。

【解析】解：?.?AM4C是AABC的夕卜角，

/.MAC=Z.CBA+Z.ACB,

：.^CBA=^MAC-^ACB=50°-20°=30°.

故答案為：30。.

由NM4C是AABC的外角，利用三角形的外角性質，即可求出NCB4的度數(shù).

本題考查了三角形的外角性質，牢記“三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和”是解題的關

鍵.

12.【答案】4C=4。(答案不唯一)

【解析】解：這一個條件可以是4C=4。，理由如下：

在AABC和AaB。中，

BC=BD

AC=AC,

.AB=AB

△力BC絲△ABD(SSS),

故答案為：力C=力￡>(答案不唯一).

由SSS證明AABC0AABn即可.

本題考查了全等三角形的判定，熟練掌握三角形全等的判定方法是解題的關鍵.

13.【答案】a(6-c)磯x-3)2

【解析】解：(l)ah-ac=a(b-c),

故答案為：a(b—c)；

(2)a久2—6ax+9a=a(x2—6x+9)

—a(x—3產

故答案為：a(x-3)2.

(1)利用提公因式法進行分解，即可解答；

(2)先提公因式，然后再利用完全平方公式繼續(xù)分解即可解答.

本題考查了提公因式法與公式法的綜合運用，一定要注意如果多項式的各項含有公因式，必須先提公因

式.

14.【答案】42

【解析】解：???長為。，寬為》的長方形的周長為12,面積為7,

2(a+b)=12,ab=7,

故a+6=6,ab=7,

則。2/,+帥2

=ab^a+b)

=7x6

=42.

故答案為：42.

利用長方形的性質得出a+b和ab的值，進而將原式變形得出答案.

此題主要考查了提取公因式法分解因式，正確分解因式是解題關鍵.

15.【答案】12

【解析】解：連接AM,AD,

二K\

A

F\B

???EF是AC的垂直平分線，

MA=MC,

：BC=6,點。為8C邊的中點，

CD—3,

CDM周長=CD+MC+MD=3+MC+MD>3+AD,

△CDM周長的最小值為3+4。，

-：AB=AC,點。為BC邊的中點，

AD1BC,

???△ABC中，8c長為6,面積是27,

1

-x6xAD=27,

解得力。=9,

△CDM周長的最小值為3+9=12,

故答案為：12.

連接AM,AD,利用線段垂直平分線性質，以及三角形兩邊之和大于第三邊，推出ACDM周長的最小值為

3+AD,再利用面積求出即可解決問題.

本題考查軸對稱-最短路線問題，解答時涉及線段垂直平分線的性質，等腰三角形的性質，三角形兩邊之和

大于第三邊，能將兩線段的長的最小值用一條線段的長表示是解題的關鍵.

16.【答案】600

【解析】解：設NE2C'=x。，

???四邊形ABC。是矩形，

???ZC=乙CDC'=90°,AD//BC,

由折疊的性質得：/-DC'E=NC=90。，/.CED=乙DEC',乙AED=/.AED',

：.^AC'E=180°-90°=90°,

^AEC=90°-^EAC=90°-x°,

???ZC=Z.CDC'=/.DC'E=90°,

???Z-CEC'=360°-90°-90°-90°=90°,

.-?乙DEC'=*CEC'=45。，

AD//BC,

：.^AEB=乙EAC'=x°,

???乙AED=乙AED',

x+15=90—x+45,

x—60,

/-EAC=60°

故答案為:60°.

設NE4C'=x°,由矩形的性質得到NC=乙CDC'=90°,AD//BC,由折疊的性質得：Z-DC'E=ZC=90。，

乙CED=乙DEC',^AED=AAED',求出N4EC'=90°-x°,又乙CEC'=90°,得至此DEC'="CEC=

45°,由平行線的性質得到乙4E8=4EAC'=x。，由乙4ED=N2E。'，得到x+15=90-x+45,求出x=

60,即可得到NE4C'=60。.

本題考查平行線的性質，折疊的性質，關鍵是由折疊的性質，平行線的性質得到x+15=90-久+45.

17.【答案】26

3%+a<2①

【解析】解：｛?3、…

l2(x+-)>x-2@

解不等式①得，乂三號,

解不等式②得，%>-5,

(3x+a<2

???不等式組?2(“+|)--2至少有兩個整數(shù)解，

解得a<11,

Jy_.a+6=

y-2+2-y，

方程可化為檄-段=2,

y—2y—2

方程兩邊同乘y—2得，4y—(a+6)=2(y—2),

解得y=竽

???y的分式方程的解是非負整數(shù)，

???等20且竽力2,

解得a>一2且a*2,

?,?—2<a<11且aW2,

???a為整數(shù)，且竽為非負整數(shù)，

a=-2,0,4,6,8,10,

符合條件的所有整數(shù)a的和是-2+0+4+6+8+10=26,

故答案為：26.

解不等式組，得到關于。的不等式，利用分式方程的解為非負整數(shù)得到關于。的不等式，將兩個不等式組

成新的不等式組，解不等式組求整數(shù)解即可.

本題考查了分式方程的解，解一元一次不等式組，利用已知條件得到關于。的不等式組是解題的關鍵.

18.【答案】10014114

【解析】解：a+c=b+d,且ZWaW9,0<fa<9,0<c<9,0<d<9,

二當a=1,b=0,c=0,d=l時，四位數(shù)最小，

故答案為：1001.

根據(jù)題意，得a?—^2=15,c+d=5k,左是正整數(shù)，

(a+Z))(a—b)=15xl=5x3,a>b,

(a+b=15]a+b=5

—b=1'la-b=3'

解得::

S=7S=1

???a+c=b+d,

???8+c=7+d,4+c=l+d,

???d—c=1,d—c=3,

2c+1=5fc,2c+3=5k,

5/c-l5/C-3

0<^i<9,0<^<9,

解得：1<fc<y,

故k=1,k=2,k=3或/c=1,k=2,k=3,k=4,

故當々=1時，c=2,或c=1,

當k=2時，c=或c=(,

當々=3時，c—7或c=6,

當k=4時，c=:，

TH最小，

???。=4,b=1,c=lf

根據(jù)a+c=b+d,

故d=4,

故最小數(shù)是4n4,

故答案為：4114.

正確理解定義，結合數(shù)的特點分析解答即可.

本題考查了因式分解的應用，解題的關鍵是正確理解定義，結合數(shù)的特點進行分析.

19.【答案】解：(1)(—2)2+^<36X2°-|-3|+|

1

=4+6x1-3+可

1

=4+6-3+可

=7-3-，

(2)(。+1)(?！?)+t(a—4)

=a2—1+a2—4a

=2a2一1—4a.

【解析】(1)先算乘方，開方，再算乘法，最后算加減即可;

(2)根據(jù)平方差公式及單項式乘多項式的法則分別計算出各項，再合并同類項即可.

本題考查的是平方差公式、實數(shù)的運算、單項式乘多項式的法則，熟知以上知識是解題的關鍵.

20.【答案】解：⑴原式=溫8.喏=L

(x+2)(x—2)

(1)2

x—1(%+2)(%—2)

(%—I)2

x+2

-x^f

當x=3時，原式=*

【解析】(1)根據(jù)分式的除法法則計算；

(2)根據(jù)分式的加法法則、除法法則把原式化簡，把無的值代入計算，得到答案.

本題考查的是分式的化簡求值，掌握分式的混合運算法則是解題的關鍵.

21.【答案】(-4,-3)(2,6)

【解析】解：(1)如圖，即為所求；

⑵???點8(—4,3),

.??點8關于x軸對稱的點8〃的坐標為(-4,-3),

故答案為:(-4,-3)；

?.,點4(-2,6),

???點A關于y軸對稱的點4,的坐標為(2,6),

故答案為：(2,6)；

綜上所述：A"(2,6)；

(3)AABC，的面積=6x6-^x6x3-|x2x3-ix4x6=36-9-3-12=12.

(1)根據(jù)軸對稱的性質即可畫出圖形；

(2)根據(jù)關于x軸、y軸對稱的點的特點解答即可；

(3)利用△AB'C'所在的矩形的面積減去周圍三個三角形面積即可.

本題考查了作圖-軸對稱變換，關于坐標軸對稱的點的坐標的特征，三角形的面積等知識，熟練掌握軸對稱

的性質是解題的關鍵.

22.【答案】^ABESASDE=ECB,E

【解析】(1)解:如圖，BE即為所求;

BD=BC,BE=BE,

在ABDE和ABCE中，

BD=BC

Z.DBE=乙CBE,

.BE=BE

??△BDE"4BCE(SAS).

DE=EC.

??.B,E兩點都在CD的垂直平分線上.

BE垂直平分CD.

故答案為：4DBE,乙DBE=KCBE,SAS,DE=CE,B、E.

(1)根據(jù)題意作出圖形；

(2)證明△BCE(SAS).推出DE=EC,可得結論.

本題考查作圖-基本作圖，全等三角形的判定和性質，線段的垂直平分線的性質，角平分線等知識，解題的

關鍵是正確尋找全等三角形解決問題.

23.【答案】解：問題1：(1)A4BC是“和諧三角形”，理由如下:

???ZXCB=90°,ZX=60°,

ZB=30°,

1

???Z-B=-Z-A,

??.△ABC是“和諧三角形”；

（2）△am△BCD是“和諧三角形”，理由如下:

???乙ACB=90°,4人=60°,

???乙B=30°,

CD1AB,

???^ADC=乙BDC=90°,

??.Z.ACD=30°,乙BCD=60°.

在△AC。中，

???△4=60°,/,ACD=30°,

1

??.Z.ACD=-Z-A,

.?.△4CD為和諧三角形”；

在小BCD中，

???乙BCD=60°,NB=30°,

1

???Z-B=-Z-BCD,

.?.△BCD為和諧三角形”；

問題2：若△力CD是“和諧三角形”，由于點。是線段上一點（不與A、B重合）,

貝IJNACD=^AA^ACD=^ADC.

11

當N4CD=微N4時，AACD==40°；

1

當4ACD=*DC時,ZX+3AACD=180°,即344co=100°,

綜上，N4CD的度數(shù)為40?；蚨?

【解析】問題1：(1)根據(jù)三角形內角和定理求出的度數(shù)，再由“和諧三角形”的定義即可得出結論；

(2)根據(jù)三角形內角和定理求出N8的度數(shù)，由CD148可知乙4DC=NBDC=90。，再求出各角的度數(shù)，進

而可得出結論；

問題2：由“和諧三角形”的定義可知貝I乙4CD=；乙4或乙4CD=222。酊據(jù)此得出結論.

本題考查的是三角形內角和定理，熟知三角形內角和是180。是解題的關鍵.

24.【答案】解：(1)設紀念畫冊的總費用是x元，保溫杯的總費用是y元,

%+y=312000

由題意得:

x=^y

x=72000

解得:

y=240000'

答：紀念畫冊的總費用是72000元，保溫杯的總費用是240000元;

(2)設每個保溫杯的進價是根元，則每本紀念畫冊的進價是(1+20%)稅元,

240000_72000

由題意得:x3=1200,

m(l+20%)m

解得：m=50,

經檢驗，租=50是原方程的解，且符合題意,

???(1+20%)m=1.2x50=60,

答：每本紀念畫冊的進價是60元，每個保溫杯的進價是50元.

【解析】(1)設紀念畫冊的總費用是x元，保溫杯的總費用是y元，根據(jù)花費了312000元購進紀念畫冊和

保溫杯若干.已知紀念畫冊總費用占保溫杯總費用的余列出二元一次方程組，解方程即可；

(2)設每個保溫杯的進價是機元，則每本紀念畫冊的進價是(1+20%)稅元，根據(jù)保溫杯數(shù)量比紀念畫冊數(shù)

量的3倍多1200個.列出分式方程，解方程即可.

本題考查了分式方程的應用以及二元一次方程組的應用，解題的關鍵是：(1)找準等量關系，正確列出二

元一次方程組；(2)找準等量關系，正確列出分式方程.

?

25.【答案】(1)證明：??CF1/E,BDLAEf^.MAN=90°,

???乙BDA=Z.AFC=90°,

???上ABD+4BAD=90°,ABAD+^CAF=90°,

Z.ABD=Z-CAF,

在△ABO和△G4F中，

ZABD=ACAF

乙ADB="F4

AB=AC

???△/BD^2kC/F(A4S)；

(2)證明：vz.1=Z2=ABAC,Z.l=^LBAE+^LABE,ABAC=ABAE+^CAF,Z2=AFCA+^CAF,

乙ABE=Z.CAF,Z-BAE=Z.FCA,

在△ABE和ACA尸中,

Z-AEB=Z.CFA

乙ABE=Z.CAF,

AB=AC

:△ABE義顯G4FQ4AS