廣東省揭陽、金中2024屆高考沖刺模擬數(shù)學(xué)試題含解析

廣東省揭陽、金中2024屆高考沖刺模擬數(shù)學(xué)試題

注意事項

1.考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回.

2.答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.

3.請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符.

4.作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他

答案.作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效.

5.如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗.

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.歷史上有不少數(shù)學(xué)家都對圓周率作過研究，第一個用科學(xué)方法尋求圓周率數(shù)值的人是阿基米德，他用圓內(nèi)接和外切

正多邊形的周長確定圓周長的上下界，開創(chuàng)了圓周率計算的幾何方法,而中國數(shù)學(xué)家劉徽只用圓內(nèi)接正多邊形就求得萬

的近似值，他的方法被后人稱為割圓術(shù).近代無窮乘積式、無窮連分?jǐn)?shù)、無窮級數(shù)等各種乃值的表達(dá)式紛紛出現(xiàn)，使

得力值的計算精度也迅速增加.華理斯在1655年求出一個公式：^=2X2X4X4X6X6X根據(jù)該公式繪制出了估

2Ix3x3x5x5x7x

計圓周率兀的近似值的程序框圖，如下圖所示,執(zhí)行該程序框圖，已知輸出的T>2.8,若判斷框內(nèi)填入的條件為左上相？，

則正整數(shù)機(jī)的最小值是

A.2B.3C.4D.5

22

2.已知雙曲線二-A=1（。>0,6>0）的左焦點為尸，直線/經(jīng)過點b且與雙曲線的一條漸近線垂直，直線/與雙曲線

ab

的左支交于不同的兩點A,B,若AF=2FB，則該雙曲線的離心率為（）.

AMR瓜c273c

?----a?lx?-------\J?73

323.

3.在正方體AG中，E是棱CG的中點，尸是側(cè)面BCC4內(nèi)的動點，且4歹與平面，AE的垂線垂直，如圖所示，

下列說法不亞確的是（）

D,___C,

A.點F的軌跡是一條線段B.4歹與BE是異面直線

C.A/與不可能平行D.三棱錐尸-A3。的體積為定值

4.已知向量“與a+b的夾角為60°,，=1,W=￡，則）

A.-且B.0C.0或D.--

222

5.已知三棱錐P—ABC,AC=y[2,BC=1,ACJ.8C且PA=2P5,尸8,平面ABC,其外接球體積為（）

4萬32%/-

A.——B.4"C.——D.4、/3萬

33

6.已知/'（X+2）是偶函數(shù)，/Xx）在（f，2]上單調(diào)遞減，/（0）=0,則/'（2-3x）>。的解集是

A.（―℃>>—）1_1（2,+oo）B.（―,2）

C.-）D.（-oo,--）J（-,+oo）

3333

7.某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm）,則該幾何體的體積（單位：cm?）為（）

22

8.設(shè)耳，耳是雙曲線，—方=1（?！?,6〉0）的左、右焦點，若雙曲線右支上存在一點P,使（OP+O8）?乙。=0

（。為坐標(biāo)原點），且。耳=后至，則雙曲線的離心率為（）

V2+1A/3+I

B.V2+1D.V3+1

22

9.若數(shù)列｛4｝為等差數(shù)列，且滿足3+%=%+。8，S,,為數(shù)列｛4｝的前〃項和，則用=()

A.27B.33C.39D.44

10.i是虛數(shù)單位，z=—L則|z|=()

1-z

A.1B.2C.yflD.2a

。<。<萬)的圖象關(guān)于點”(當(dāng),o］成中心對稱，且

11.已知函數(shù)/(%)=Asin(o)x+0)(其中A>0,(o>0,

與點M相鄰的一個最低點為N一3；則對于下列判斷:

①直線x=g是函數(shù)/(%)圖象的一條對稱軸；

②點［唾'°］是函數(shù)〃尤)的一個對稱中心；

35?)

的圖象的所有交點的橫坐標(biāo)之和為7萬.

中正確的判斷是()

A.①②B.①③C.②③D.①②③

12.已知函數(shù)滿足/⑴=1,且/'(x)<l,則不等式/(坨2同<坨2%的解集為()

A.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知關(guān)于空間兩條不同直線7"、n,兩個不同平面a、B,有下列四個命題：①若相〃。且“〃則②

若m_L，且則〃〃，；③若7"J_a且〃〃/Q，則。_L，；④若"ua,且/“J_。，則其中正確命題的

序號為.

14.已知圓柱的上、下底面的中心分別為。一。2,過直線0Q的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，則

該圓柱的表面積為.

22

15.已知橢圓土+乙=1的左焦點為P，點P在橢圓上且在％軸的上方，若線段PF的中點在以原點。為圓心，|。耳

9511

為半徑的圓上，則直線小的斜率是.

16.已知數(shù)列｛?！埃校琒”為其前〃項和，q=l,a,M“+i=2",則/=，^200=.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)一年之計在于春，一日之計在于晨，春天是播種的季節(jié)，是希望的開端.某種植戶對一塊地的

個坑進(jìn)行播種，每個坑播3粒種子，每粒種子發(fā)芽的概率均為!，且每粒種子是否發(fā)芽相互獨立.對每一個坑而言，

如果至少有兩粒種子發(fā)芽，則不需要進(jìn)行補(bǔ)播種，否則要補(bǔ)播種.

(1)當(dāng)〃取何值時，有3個坑要補(bǔ)播種的概率最大？最大概率為多少？

(2)當(dāng)〃=4時，用X表示要補(bǔ)播種的坑的個數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.

x=2+2cos6

18.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中，曲線G的參數(shù)方程為〈0.八(61為參數(shù))，以原點為極點，x軸的

y=2sin，

,4

非負(fù)半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線。2的極坐標(biāo)方程為0=-\-----7^.

cos'a+4sin-a

(1)求曲線G的極坐標(biāo)方程以及曲線的直角坐標(biāo)方程；

(2)若直線/：丁=履與曲線G、曲線在第一象限交于RQ兩點，且［0。1=2|。。|,點M的坐標(biāo)為(2,0),求

AMP。的面積.

19.(12分)在四棱錐尸—ABCD中，底面ABCD是邊長為2的菱形，NBAD=120。,PA=2,PB=PC=PD,E是PB

(1)證明：P。//平面AEC；

(2)設(shè)尸是線段。C上的動點，當(dāng)點E到平面尸距離最大時，求三棱錐P-AFE的體積.

20.(12分)已知函數(shù)“力=卜+1卜

(1)求不等式/■(x)<4—|2x—3|的解集；

(2)若正數(shù)機(jī)、九滿足加+2〃=〃m，求證：f(+f(―2zi)>8.

21.(12分)已知奇函數(shù)的定義域為A,且當(dāng)xe(O,a)時，f(x)=x2-x+l.

(1)求函數(shù)/(九)的解析式；

(2)記函數(shù)g(x)=/(x)-如+1,若函數(shù)g(x)有3個零點，求實數(shù)”的取值范圍.

22.(10分)如圖，在四面體ZMBC中，AB±BC,DA=DC=DB.

(1)求證:平面ABC，平面AC。；

(2)若NC4T>=30°,二面角C—AB—。為60，求異面直線AD與所成角的余弦值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、B

【解析】

978

初始：k=l,T=2,第一次循環(huán)：T=2x-x-=|<2.8,k=2,繼續(xù)循環(huán)；

第二次循環(huán)：r=|x-x-=^1>2.8,k=3,此時T>2.8,滿足條件，結(jié)束循環(huán)，

所以判斷框內(nèi)填入的條件可以是％23?,所以正整數(shù)機(jī)的最小值是3,故選B.

2、A

【解析】

b

直線/的方程為》=—y-c,令。=1和雙曲線方程聯(lián)立，再由A尸=2EB得到兩交點坐標(biāo)縱坐標(biāo)關(guān)系進(jìn)行求解即可?

a

【詳解】

b

由題意可知直線I的方程為x=—y-c,不妨設(shè)a=l.

a

2

貝！|x=hy—c,且/=c-i

2

將x=—c代入雙曲線方程必―%=i中，得到僅4一1)/一2匕3⑦+/=。

設(shè)4（4乂），5（%2，%）

則乂+%=聾2bic，*%b4

0—10—1

^2b3c

f==

由A/=2EB，可得力=-2%，故1,4

-2式=?

[2Z/_i

貝!18必°2=1—人4,解得〃,1=g

則c=7^7I=亞

3

所以雙曲線離心率e=￡=叵

a3

故選：A

【點睛】

此題考查雙曲線和直線相交問題，聯(lián)立直線和雙曲線方程得到兩交點坐標(biāo)關(guān)系和已知條件即可求解，屬于一般性題目.

3、C

【解析】

分別根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理以及異面直線的定義，體積公式分別進(jìn)行判斷.

【詳解】

對于A,設(shè)平面A2E與直線交于點G,連接AG、EG,則G為8C的中點

分別取用8、B1G的中點M、N,連接AM、MN、AN,

QAM/RE,AMC平面DAE,"Eu平面〃AE,

.?.4///平面。1人￡.同理可得MN//平面QAE,

A/、MN是平面AMN內(nèi)的相交直線

，平面AjMN//平面RAE,由此結(jié)合4尸//平面。AE,可得直線4尸u平面4MN,

即點口是線段MN上上的動點.二A正確.

對于3,平面A"N//平面QAE,BE和平面QAE相交，

二A尸與BE是異面直線，.?.3正確.

對于C,由A知，平面AMN//平面，AE,

二4尸與QE不可能平行，；.C錯誤.

對于。，因為MN//EG,則歹到平面AD】E的距離是定值，三棱錐尸一叫E的體積為定值，所以。正確；

故選：C.

【點睛】

本題考查了正方形的性質(zhì)、空間位置關(guān)系、空間角、簡易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題.

4、B

【解析】

由數(shù)量積的定義表示出向量。與的夾角為60°,再由片=代入表達(dá)式中即可求出a力.

【詳解】

由向量a與a+6的夾角為60°,

得a-(a+Z?)=a+?-Z?=|a||a+Z?|cos60°,

所以J+。必=++2a為+『,

又卜|=1,欠=也，a=|?|2>b=|z?|2,

所以l+a,b=5><lxJl+2a?A+3,解得a,b=0.

故選:B

【點睛】

本題主要考查向量數(shù)量積的運算和向量的模長平方等于向量的平方，考查學(xué)生的計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

5、A

【解析】

由AC，3C,P3，平面ABC,可將三棱錐P-ABC還原成長方體，則三棱錐P-ABC的外接球即為長方體的外接球,

進(jìn)而求解.

【詳解】

由題，因為AC=后，BC=1,AC,5C,所以AB=《AC?+BC?=6,

設(shè)PB=九則由R4=2PB,可得V3+/12=2/1，解得h=l,

可將三棱錐P-ABC還原成如圖所示的長方體，

則三棱錐P-ABC的外接球即為長方體的外接球，設(shè)外接球的半徑為R，則2R=712+(V2)2+12=2,所以R=1,

47rc47r

所以外接球的體積V=—R3=—.

33

故選:A

【點睛】

本題考查三棱錐的外接球體積,考查空間想象能力.

6、D

【解析】

先由/(x+2)是偶函數(shù)，得到/(x)關(guān)于直線尤=2對稱；進(jìn)而得出了(尤)單調(diào)性，再分另U討論2-3x22和2-3%<2,

即可求出結(jié)果.

【詳解】

因為/(x+2)是偶函數(shù)，所以/(x)關(guān)于直線％=2對稱；

因此，由/(。)=。得/(4)=0；

又了(X)在(-雙2］上單調(diào)遞減，則/'(x)在［2,+⑹上單調(diào)遞增；

所以，當(dāng)2-3x22即尤<0時，由/'(2-3x)>0得/'(2-3尤)>/(4),所以2—3x>4,

2

解得x<-彳；

當(dāng)2—3x<2即%>0時，由/(2-3x)>0得“2-3x)>/(0),所以2—3x<0,

一,一.2

解得x>—

因此，/(2-3x)>0的解集是(9,-1)jg+⑹.

【點睛】

本題主要考查由函數(shù)的性質(zhì)解對應(yīng)不等式，熟記函數(shù)的奇偶性、對稱性、單調(diào)性等性質(zhì)即可，屬于常考題型.

7,D

【解析】

根據(jù)幾何體的三視圖，該幾何體是由正方體去掉三棱錐得到，根據(jù)正方體和三棱錐的體積公式可求解.

【詳解】

如圖，該幾何體為正方體去掉三棱錐Bx-4CE,

AB

所以該幾何體的體積為：V=V4BCD_m-^_ACi￡=2x2x2-|x|x2x2xl=^,

故選：D

【點睛】

本題主要考查了空間幾何體的三視圖以及體積的求法，考查了空間想象力，屬于中檔題.

8、D

【解析】

利用向量運算可得2Q4-gP=0,即。41.乙尸，由。L為的中位線，得到所以

|P片「+歸閭2=(2C)2,再根據(jù)雙曲線定義即可求得離心率.

【詳解】

取的中點A,則由?8P=0得2Q4?gP=0,

即gP；

在APKE中，Q4為APKK的中位線，

所以「耳，「心，

所以|W『+|Pg[=(2c)2；

由雙曲線定義知|W|一忙4|=2a,且|P娟=G|P6|,所以(6-l)c=2a,

解得e=G+l，

故選：D

【點睛】

本題綜合考查向量運算與雙曲線的相關(guān)性質(zhì)，難度一般.

9、B

【解析】

利用等差數(shù)列性質(zhì)，若m+n=p+q,則%+4=%+4求出每=3,再利用等差數(shù)列前幾項和公式得

^ll(o1+?11)=11^=33

【詳解】

解：因為3+%=%+。8，由等差數(shù)列性質(zhì)，若根+〃=〃+學(xué)，貝!]〃加+q=4，+4得，

4=3.

s“為數(shù)列｛??｝的前幾項和，則S]]="a；&)=11?6=33.

故選：B.

【點睛】

本題考查等差數(shù)列性質(zhì)與等差數(shù)列前〃項和.

⑴如果｛4｝為等差數(shù)列，若加+尸p+q,則4+-%(m,n,p,qeN*).

⑵要注意等差數(shù)列前九項和公式的靈活應(yīng)用，如S21=(2〃-1)%.

10、C

【解析】

由復(fù)數(shù)除法的運算法則求出z,再由模長公式，即可求解.

【詳解】

由z=2：。2“=-1+Z,|Z|=A/2.

故選:C.

【點睛】

本題考查復(fù)數(shù)的除法和模，屬于基礎(chǔ)題.

11,C

【解析】

分析：根據(jù)最低點，判斷A=3,根據(jù)對稱中心與最低點的橫坐標(biāo)求得周期T,再代入最低點可求得解析式為

/(x)=3sin[2x+W],依次判斷各選項的正確與否.

詳解：因為為對稱中心，且最低點為3,

所以A=3,且T=="

2乃2萬

由口=

T=T

所以/(x)=3sin(2x+0,將N可,-3帶入得

所以/(x)=3sin12x+W

由此可得①錯誤，②正確，③當(dāng)-土《X4土絲時，0<2x+±V6乃，所以與y=l有6個交點，設(shè)各個交點坐標(biāo)

12126

依次為%,乙，%,%,%,%,則西+%+%+%+%+4=7〃，所以③正確

所以選C

點睛：本題考查了根據(jù)條件求三角函數(shù)的解析式，通過求得的解析式進(jìn)一步研究函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題.

12、B

【解析】

構(gòu)造函數(shù)g(x)=/(x)-X,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，即可得到結(jié)論.

【詳解】

設(shè)g(x)=f{x}-x，則函數(shù)的導(dǎo)數(shù)g\x)=/'(x)-1,Q/(x)<1,g\x)<0,即函數(shù)g(x)為減函

數(shù)，f(l)=l,，g(l)=f(l)_l=l_l=O,則不等式g(x)<0等價為g(x)<g⑴,

則不等式的解集為x>1,即/(%)<%的解為x>l,Q/(lg2x)<叱％,由Ig2x〉1得匕工>1或Igx<-1,解得1>10

或0<x<—,

10

故不等式的解集為I0,^-|0(10,+?).故選:B.

【點睛】

本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式，考查學(xué)生分析問題解決問題的能力，是難題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、③④

【解析】

由直線與直線的位置關(guān)系，直線與平面的位置關(guān)系，面面垂直的判定定理和線面垂直的定義判斷.

【詳解】

①若根〃。且〃〃〃，的位置關(guān)系是平行、相交或異面，①錯；

②若加，，且相」〃，則〃〃，或者〃<=/,②錯；

③若〃〃/，，設(shè)過山的平面與夕交于直線九，則相〃"，又加，。，則八，a,③正確；

④若"ua,且mJ_a,由線面垂直的定義知〃/_!_〃，④正確.

故答案為：③④.

【點睛】

本題考查直線與直線的位置關(guān)系，直線與平面的位置關(guān)系，面面垂直的判定定理和線面垂直的定義，考查空間線面間

的位置關(guān)系，掌握空間線線、線面、面面位置關(guān)系是解題基礎(chǔ).

14、12萬

【解析】

設(shè)圓柱的軸截面的邊長為x,可求得％=2近，代入圓柱的表面積公式，即得解

【詳解】

設(shè)圓柱的軸截面的邊長為X,

則由％2=8,得X=2亞,

2

:.S圓柱表=2s底+S側(cè)=2x%x(\/2)+27rxs/2x2A/2=12?.

故答案為：12萬

【點睛】

本題考查了圓柱的軸截面和表面積，考查了學(xué)生空間想象，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運算的能力，屬于基礎(chǔ)題.

15、V15

【解析】

結(jié)合圖形可以發(fā)現(xiàn)，利用三角形中位線定理，將線段長度用坐標(biāo)表示成圓的方程，與橢圓方程聯(lián)立可進(jìn)一步求解.利用

焦半徑及三角形中位線定理，則更為簡潔.

【詳解】

方法1：由題意可知I。川=|0M|=c=2,

由中位線定理可得歸周=21|=4,設(shè)P(x,由可得(x—2)2+球=16,

22

聯(lián)立方程=匕=i

95

321

可解得％=——,%=一(舍)，點p在橢圓上且在x軸的上方,

22

z「、立I

求得尸一了;-)'所以女夕尸=、一二Ji^

'2

y

方法2：焦半徑公式應(yīng)用

解析1：由題意可知I。尸l=|0M|=c=2,

3

由中位線定理可得仍制=21|=4,即a—%=4%=-萬

求得P9所以*=；=函號.

''2

【點睛】

本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、橢圓的幾何性質(zhì)、直線與圓的位置關(guān)系，利用數(shù)形結(jié)合思想，是解答解析幾何問題的

重要途徑.

16、83x2100-3(寫為2儂+2⑼一3也得分)

【解析】

由4=1,a/m=2"得，出=2.當(dāng)”22時，。,_血“=2'1,所以，見=2,所以｛4｝的奇數(shù)項是以1為首項，以2

an-\

為公比的等比數(shù)列；其偶數(shù)項是以2為首項，以2為公比的等比數(shù)列.則％=2x22=8,

lx”*)2*(1_210°)

100101X100

1^2-+-1^2=2+2-3=32-3.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)當(dāng)〃=5或〃=6時，有3個坑要補(bǔ)播種的概率最大，最大概率為三；(2)見解析.

【解析】

(1)將有3個坑需要補(bǔ)種表示成〃的函數(shù)，考查函數(shù)隨"的變化情況，即可得到〃為何值時有3個坑要補(bǔ)播種的概

率最大.(2)"=1時，X的所有可能的取值為0,1,2,3,1.分別計算出每個變量對應(yīng)的概率，列出分布列，求期

望即可.

【詳解】

(1)對一個坑而言，要補(bǔ)播種的概率0=或(；］+cg)=：'

有3個坑要補(bǔ)播種的概率為屐(￡|.

解得5W〃W6,因為“eN*，所以"=5,6,

當(dāng)〃=5時,

當(dāng)”=6時,

所以當(dāng)〃=5或〃=6時，有3個坑要補(bǔ)播種的概率最大，最大概率為鄉(xiāng).

16

(2)由已知，X的可能取值為0,1,2,3,l.X

所以X的分布列為

X01231

1]_3￡1

P

1648416

X的數(shù)學(xué)期望歐=4x^=2.

2

【點睛】

本題考查了古典概型的概率求法，離散型隨機(jī)變量的概率分布，二項分布，主要考查簡單的計算，屬于中檔題.

18、(1)G的極坐標(biāo)方程為Q=4COS，，C的直角坐標(biāo)方程為工+丁=1(2)述

4-3

【解析】

(1)先把曲線G的參數(shù)方程消參后，轉(zhuǎn)化為普通方程，再利用x=0cos8,y=/7sin。求得極坐標(biāo)方程.將

4

P2=一2--------,化為夕2cos2。+4夕2sin2a=4,再利用x=pcose,y=psin。求得曲線C,的普通方程.

cosdf+4sina

0424

(2)設(shè)直線的極角。=綜，代入。一=—2——丁丁，得「Q1a?"將。=6。代入p=4cos。，得

cosa+4sinai+Jsm%

2

pp=4cosq,由|OP1=21OQI，得夕p=2&,即(4cos%)'='j-J.,從而求得sin?4=2,Cos0^=y-,

1+Jsm%33

從而求得PQ,Pp9再利用S^MPQ—-S30Mq=5TOM|?(夕尸-pQ)?sin9。求解.

【詳解】

(1)依題意，曲線G：(x—2)2+丁=4,即V+y2—4%=0,

故夕2—4夕COS。=0,即2=4cos6.

4

因為p2=——2-------2—，故P1cos?a+4夕2sin2a=4,

cosa+4sina

BPX2+4/=4,即、+y2=l.

494

(2)將。=%代入22=-5―得々=1；.24，

cos"a+4sm^?l+3sm%

將6=%代入P=4cos8,得Pp=4cos4，

216

由IOP|=21OQI，得夕p=2夕得(4cos%)=…A，

“l(fā)+3sm4

r21

解得sin?%=§,則cos?4=3.

7T=空,Pic°se.=走

又o<4<萬，故%=2P

l+3sin6>03°3

故AMPQ的面積S,MPQ=SA”SA°M。=g.I0”I.(必—&).sin6。=言?

【點睛】

本題考查極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程、參數(shù)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化、極坐標(biāo)的幾何意義，還考查推理論證能力以及數(shù)

形結(jié)合思想，屬于中檔題.

19、(1)見解析(2)同

3

【解析】

(1)連接。8與AC交于。，連接OE,證明PD//OE即可得證線面平行；

(2)首先證明Q4,平面ABC￡)(只要取中點"，可證平面從而得B4L5C,同理得B4，CD),

因此點3到直線AE的距離即為點3到平面P4F的距離，由平面幾何知識易得最大值，然后可計算體積.

【詳解】

(1)證明：連接￡歸與AC交于。，連接OE,

因為ABC。是菱形，所以。為的中點，

又因為E為m的中點，

所以PD//OE,

因為PD(Z平面AEC,OEu平面AEC,

所以。￡>//平面AEC.

(2)解：取中點"，連接

因為四邊形ABC。是菱形，ZBAD=120°,且PC=PB,

所以,又=

所以平面APM，又APu平面APM，

所以5CLB4.

同理可證：DC±PA,又BCDC=C,

所以_L平面ABC。，

所以平面B4F，平面ABC。，

又平面A4Fc平面ABCD=AF,

所以點3到直線AF的距離即為點B到平面PAF的距離，

過3作直線AF的垂線段，在所有垂線段中長度最大為=2,

因為E為PB的中點，故點E到平面7^4下的最大距離為1,

此時，歹為DC的中點，即AE=G，

所以S△叢F=；PA-AF=；x2x6=.,

所以VP_AFE=%-尸”

【點睛】

本題考查證明線面平行，考查求棱錐的體積，掌握面面垂直與線面垂直的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

20、(1){%|0<%<2};(2)見解析

【解析】

3

X<—1

(1)/(x)W4—|2x—3|等價于(I)</八/C八，/或(II)<2或(III)

-(x+l)-(2x-3)<4

(x+l)-(2x-3)<4

3

x~>一

2,分別解出，再求并集即可;

(x+l)+(2x-3)<4

(2)利用基本不等式及m+2〃=77切可得加+2”28,代入+=帆+1|+卜2“+1|?帆+2〃|可得最值.

【詳解】

/、II1<—1—1<冗4—

⑴〃x)W4—|2x—3|等價于([)或(n)2或ED

[(%+1)(2尤3)―4^(x+l)-(2x-3)<4

3

X>一

2

(x+l)+(2x-3)<4

X<—1

由(I)得：<2=4>xe0

13

33

-1<%<

由(II)得：<2^>0<x<-

2

%>0

-3

X>一

由(III)得：<2n-<x<2.

2

x<2

二原不等式的解集為｛x\Q<x<2]；

(2)m>09n>09m+2n=mn,

1/、1(m+2nf

:,m+2n=—(m-2n]<—x--------—，

2V724

m+2n>8,

m—2nfm=4

當(dāng)且僅當(dāng)。，即c時取等號,

m+2n=mn[n=2

2n)=|m+l|+|-2n+l|>|m+2n|>8,

當(dāng)且僅當(dāng)-2〃+lWO即“2工時取等號，

2

.1./(m)+/(-2n)>8.

【點睛】

本題考查分類討論解絕對值不等式，考查三角不等式的應(yīng)用及基本不等式的應(yīng)用，是一道中檔題.

x-x+l,x>0

21、(1)/(%)=<0,x=0；(2)(2應(yīng)-l,+oo)

—x~—x—1,%<0

【解析】

(1)根據(jù)奇函數(shù)定義，可知"0)=0；令尤w(-w,o)貝！J—%e(0,+<?),結(jié)合奇函數(shù)定義即可求得xw(T?,0)時的解

析式，進(jìn)而得函數(shù)/(%)的解析式;

⑵根據(jù)零點定義，可得/(%)=m-1,由函數(shù)圖像分析可知曲線y=/(x)與直線y=M-1在第三象限必1個交

點，因而需在第一象限有2個交點，將y=s-1與y=V-x+1聯(lián)立，由判別式/>0及兩根之和大于0,即可求得

機(jī)的取值范圍.

【詳解】

(1)因為函數(shù)/(九)為奇函數(shù)，且xeR,故/(0)=0；

當(dāng)xe(-co,0)時，一xe(0,+co),

/(-%)=(-x)~-(-無)+1=X?+x+l=_/(尤)，

貝(=

x2-x+l,x>0

故/⑴=<0,x=0.

—X?—x—1,X<0

(2)令g(x)=/(x)-相％+1=0,

解得〃力=如-1,畫出函數(shù)關(guān)系如下圖所示,

要使曲線y=/（x）與直線y=e-1有3個交點,

’2

y=x-x+1

則2個交點在第一象限，1個交點在第三象限，聯(lián)立《

y=mx-l

化簡可得J一（1+根）％+2=0,

[A>0<(m+l)2-8〉0

令＜,即

xi+x2=l+m>0m>—1

解得加＞20-1，

所以實數(shù)機(jī)的取值范圍為（20-1,+8卜

【點睛】

本題考查了根據(jù)函數(shù)奇偶性求解析式，分段函數(shù)圖像畫法，由函數(shù)零點個數(shù)求參數(shù)的取值范圍應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用,

屬于中檔題.

22、(1)證明見解析

⑵近

6

【解析】

(1)取AC中點/，連接得DRLAC,A5L5C,可得￡4=用=尸(7,

可證DF^.DFB,可得DFLFB,進(jìn)而D尸，平面ABC,即可證明結(jié)論；

(2)設(shè)瓦G,“分別為邊AB,CD,的中點，連DE,EF,GF,FH,HG,可得GP/MZ),GH//BC,EF//BC,

可得(或補(bǔ)角)是異面直線AO與所成的角，BCLAB,可得即，A3,NDEF為二面角C—。

的平面角，即NDEb=60，設(shè)AD=