河北省2022年高三年級(jí)下冊(cè)一模考試數(shù)學(xué)試題含解析

2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷

考生須知：

1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色

字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。

2.請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。

3.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.已知等差數(shù)列｛?！埃?，%+1=8則％+%+%+4+%=()

A.10B.16C.20D.24

2.2019年某校迎國慶70周年歌詠比賽中，甲乙兩個(gè)合唱隊(duì)每場(chǎng)比賽得分的莖葉圖如圖所示(以十位數(shù)字為莖，個(gè)位

數(shù)字為葉).若甲隊(duì)得分的中位數(shù)是86,乙隊(duì)得分的平均數(shù)是88,則龍+丁=()

A.170B.10C.172D.12

3.已知數(shù)列，是公比為;的等比數(shù)列，且q〉0,若數(shù)列｛4｝是遞增數(shù)列，則4的取值范圍為()

A.(1,2)B.(0,3)C.(0,2)D.(0,1)

4.數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線，例如：四葉草曲線就是其中一種，其方程為(必+y)3=%2y.給出下

列四個(gè)結(jié)論：

①曲線C有四條對(duì)稱軸；

②曲線C上的點(diǎn)到原點(diǎn)的最大距離為工；

4

③曲線C第一象限上任意一點(diǎn)作兩坐標(biāo)軸的垂線與兩坐標(biāo)軸圍成的矩形面積最大值為1；

71

④四葉草面積小于一.

4

其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是()

+

A.①②B.①③C.①③④D.①②④

5.已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，角a的終邊經(jīng)過點(diǎn)尸(3,加)(〃2<0)且sina=10根，貝!Jsin2c=()

10

4334

A.-B.-C.--D.--

5555

6.偶函數(shù)/(%)關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱，當(dāng)—IWXWO時(shí)，f(x)=-x2+l,求“2020)=()

A.2B.0C.-1D.1

7.(x+y)(2x—y)5的展開式中dy3的系數(shù)為()

A.-30B.-40C.40D.50

8.關(guān)于函數(shù)了(%)=45皿[：%+3]+4以《13%+5],有下述三個(gè)結(jié)論：

①函數(shù)/(X)的一個(gè)周期為不；

2

jr37r

②函數(shù)/Xx)在上單調(diào)遞增；

_24_

③函數(shù)/(x)的值域?yàn)閇4,4^].

其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是()

A.①②B.②C.②③D.③

9.下列命題中，真命題的個(gè)數(shù)為()

①命題“若」一<」一，則a的否命題；

a+2b+2

②命題“若〉1，則x>0或V〉0”；

③命題“若m=2,則直線x-my=0與直線2%—4y+1=0平行”的逆命題.

A.0B.1C.2D.3

10.要得到函數(shù)y=j^sinX-3的圖象，只需將函數(shù)y=J^sin2x-。圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)（）

71

A.伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），再將得到的圖象向右平移一個(gè)單位長度

4

7T

B.伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），再將得到的圖像向左平移一個(gè)單位長度

4

1571

C.縮短到原來的不倍（縱坐標(biāo)不變），再將得到的圖象向左平移一個(gè)單位長度

224

D.縮短到原來的二倍（縱坐標(biāo)不變），再將得到的圖象向右平移坐個(gè)單位長度

224

11.設(shè)是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，則下列命題正確的是（）

A.若機(jī)_1_〃，nila,則加_LaB.若〃2〃，，/3A-a,則加

C.若n.L/3,n.La,則D.若〃z_L〃，nV/3,）3La,則

12.設(shè)等比數(shù)列｛4｝的前“項(xiàng)和為S"，貝（）“《］+/<2%”是"2一1<0”的（）

A.充分不必要B.必要不充分

C.充要D.既不充分也不必要

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知平面向量。與b的夾角為（，（1=（出,-1）,\b\=l,貝！||2a—切=.

17

14.已知點(diǎn)尸是拋物線>=2必的焦點(diǎn)，M,N是該拋物線上的兩點(diǎn)，若|Mb|+|NF|=1,則線段MN中點(diǎn)的縱

坐標(biāo)為.

x+3y-3<0

15.已知實(shí)數(shù)（羽y）滿足X-y+120則點(diǎn)P（尤,y）構(gòu)成的區(qū)域的面積為,2x+y的最大值為

y>-l

16.已知非零向量4力的夾角為（，且忖="2a—q=則卜/.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

無2

17.（12分）已知函數(shù)=1,

（1）求函數(shù)/（尤）的單調(diào)區(qū)間；

4尤2

（2）當(dāng)0<機(jī)<7時(shí)，判斷函數(shù)g（x）=--m，（%>0）有幾個(gè)零點(diǎn)，并證明你的結(jié)論；

(3)設(shè)函數(shù)“(X)=；x--+/(x)-1x---/(x)-c%2,若函數(shù)MX)在(0,+8)為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)C的取值

范圍.

18.(12分)已知(x+1)"=/+q(x—1)+%(%—1)~+%(x—Ip++<2?(x—1)M,(其中〃eN*)

S==。］+4+%++an-

⑴求s.

⑵求證：當(dāng)〃上4時(shí)，—2）2"+2/.

19.（12分）如圖，在三棱錐P—ABC中，ABLPC,M是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)。在上，MD〃平面PAC,平面？AB，

平面PMC,ACPM為銳角三角形，求證:

(2)平面ABC_L平面PMC.

20.（12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：一的右準(zhǔn)線方程為x=2,且兩焦點(diǎn)與短軸的一

三十三=?（二）二>0）

個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成等腰直角三角形.

（1）求橢圓C的方程;

（2）假設(shè)直線/：二二二二.與橢圓C交于A,B兩點(diǎn).①若A為橢圓的上頂點(diǎn)，M為線段AB中點(diǎn)，連接OM并

延長交橢圓C于N,并且，求OB的長；②若原點(diǎn)O到直線I的距離為1,并且右云一-P當(dāng).，

OJ

6N=#6MAOB-戶口打

時(shí)，求AOAB的面積S的范圍.

JT]

21.（12分）如圖，在正四棱錐尸—A5CD中，AB=2,ZAPC=-f"為必上的四等分點(diǎn)，即3M=—5尸.

34

p

(1)證明：平面平面PBC；

(2)求平面PDC與平面AMC所成銳二面角的余弦值.

22

22.(10分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓C：(%-3)2+/=1,橢圓E：=+==1(a>Z>>0)的

ab"

右頂點(diǎn)A在圓C上，右準(zhǔn)線與圓C相切.

(1)求橢圓E的方程；

12

(2)設(shè)過點(diǎn)A的直線/與圓C相交于另一點(diǎn)與橢圓E相交于另一點(diǎn)M當(dāng)AN=亍AM時(shí)，求直線，的方程.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.C

【解析】

根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)得到/+4=8=2%,再計(jì)算得到答案.

【詳解】

已知等差數(shù)列｛4｝中，%+4=8=2%=>%=4

生+。4++%=5%=20

故答案選C

【點(diǎn)睛】

本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，是數(shù)列的?？碱}型.

2.D

【解析】

中位數(shù)指一串?dāng)?shù)據(jù)按從?。ù螅┑酱螅ㄐ。┡帕泻?，處在最中間的那個(gè)數(shù)，平均數(shù)指一串?dāng)?shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù).

【詳解】

由莖葉圖知，甲的中位數(shù)為80+x=86,故無=6；

乙的平均數(shù)為

7+82+80+V+89+91+93+97=88

7

解得>=6,所以x+y=12.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查莖葉圖的應(yīng)用，涉及到中位數(shù)、平均數(shù)的知識(shí)，是一道容易題.

3.D

【解析】

先根據(jù)已知條件求解出｛4｝的通項(xiàng)公式，然后根據(jù)｛4｝的單調(diào)性以及4〉0得到用滿足的不等關(guān)系，由此求解出％的

取值范圍.

【詳解】

因?yàn)?〉0,數(shù)列｛凡｝是單調(diào)遞增數(shù)列，

]______1______

所以%〉4〉。，則（工―

（1H1

化簡得0<-―1-<——1,所以0<q<l.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查數(shù)列通項(xiàng)公式求解以及根據(jù)數(shù)列單調(diào)性求解參數(shù)范圍，難度一般.已知數(shù)列單調(diào)性，可根據(jù)為,%+1之間的大

小關(guān)系分析問題.

4.C

【解析】

①利用演y之間的代換判斷出對(duì)稱軸的條數(shù)；②利用基本不等式求解出到原點(diǎn)的距離最大值；③將面積轉(zhuǎn)化為龍。的

關(guān)系式，然后根據(jù)基本不等式求解出最大值；④根據(jù)國丁滿足的不等式判斷出四葉草與對(duì)應(yīng)圓的關(guān)系，從而判斷出面

積是否小于！.

4

【詳解】

①：當(dāng)x變?yōu)閞時(shí)，卜2+?。?=%2,2不變，所以四葉草圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；

當(dāng)V變?yōu)?丁時(shí)，（x2+y2）3=x2y2不變，所以四葉草圖象關(guān)于X軸對(duì)稱；

當(dāng)y變?yōu)閄時(shí)，（Y+y2）3=x2y2不變，所以四葉草圖象關(guān)于y=x軸對(duì)稱；

當(dāng)y變?yōu)?X時(shí)，（x2+y2）3=x2y2不變，所以四葉草圖象關(guān)于y=-X軸對(duì)稱；

綜上可知：有四條對(duì)稱軸，故正確；

/22f

②：因?yàn)椋╒+y2y=犬,2,所以（必+'2）3=X2,2<*十，,

所以k+丁〈工，所以wL,取等號(hào)時(shí)犬=2=1，

428

所以最大距離為二,故錯(cuò)誤；

2

③：設(shè)任意一點(diǎn)P（羽y）,所以圍成的矩形面積為孫，

因?yàn)椋ū?力3=必'2,所以^^^/+產(chǎn)了之仁孫7，所以孫三,

取等號(hào)時(shí)x=y=在，所以圍成矩形面積的最大值為-，故正確；

,48

④：由②可知必+產(chǎn)〈工，所以四葉草包含在圓爐+9=_1的內(nèi)部，

44

141T

因?yàn)閳A的面積為：S=7V1=丁，所以四葉草的面積小于一，故正確.

444

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查曲線與方程的綜合運(yùn)用，其中涉及到曲線的對(duì)稱性分析以及基本不等式的運(yùn)用，難度較難.分析方程所表示曲

線的對(duì)稱性，可通過替換方程中％。去分析證明.

5.C

【解析】

根據(jù)三角函數(shù)的定義，即可求出m=-1,得出尸(3,-1),得出sin。和cosa,再利用二倍角的正弦公式，即可求出結(jié)

果.

【詳解】

mJlO

根據(jù)題意，sina=,-=----m,解得m=-1,

冊(cè)2+910

所以。P=(3,—1),

/W?回3A/10

所以sina=-----,costz=-----，

1010

3

所以sin2tz=2sincrcostz.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查三角函數(shù)定義的應(yīng)用和二倍角的正弦公式，考查計(jì)算能力.

6.D

【解析】

推導(dǎo)出函數(shù)y=/(x)是以4為周期的周期函數(shù)，由此可得出/(2020)=/(0),代值計(jì)算即可.

【詳解】

由于偶函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱，則〃f)=/(x),/(2+x)+/(-x)=0,

/(x+2)=-/(-x)=-/(x),則/(x+4)=-/(x+2)=/(x),

所以，函數(shù)y=/(x)是以4為周期的周期函數(shù)，

由于當(dāng)一IWXWO時(shí)，/(X)=—三+1,貝!1/(2020)=/(4義505)=/(0)=1.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查利用函數(shù)的對(duì)稱性和奇偶性求函數(shù)值，推導(dǎo)出函數(shù)的周期性是解答的關(guān)鍵，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于

中等題.

7.C

【解析】

先寫出(2x-y)5的通項(xiàng)公式，再根據(jù)dy3的產(chǎn)生過程，即可求得.

【詳解】

對(duì)二項(xiàng)式(2x-y)5,

其通項(xiàng)公式為4+i=C；(2尤廣'(-y)'=Cg25f(-l)r產(chǎn)了

(x+y)(2x—丁了的展開式中x3y3的系數(shù)

是(2x-丁丫展開式中x2/的系數(shù)與x3y2的系數(shù)之和.

令r=3,可得Jy3的系數(shù)為Cj22(-1)3=-40；

令r=2,可得凸2的系數(shù)為或23(-Ip=80；

故(x+y)(2x-y)5的展開式中d寸的系數(shù)為8?！?0=40.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查二項(xiàng)展開式中某一項(xiàng)系數(shù)的求解，關(guān)鍵是對(duì)通項(xiàng)公式的熟練使用，屬基礎(chǔ)題.

8.C

【解析】

3JT17JT17TT(1\

①用周期函數(shù)的定義驗(yàn)證.②當(dāng)％￡y時(shí)，—^+-e'/(x)=4v2sin—x+--,再利用單調(diào)性

判斷.③根據(jù)平移變換，函數(shù)++的值域等價(jià)于函數(shù)

g(x)=4sing1n

x+4COS-X的值域，而g(x+〃)=g(x),當(dāng)xe[0,i]時(shí)，g(x)=4V2sin-x-\——再求值域.

223

【詳解】

因?yàn)樾?f7C=4sin入+曰+43&1+葛77r171+4sinf|x+^j^/(x),故①錯(cuò)誤;

=4cos—XH------

2212212

n3萬InVin，所以/'(x)=4sin&x+g)—4cos1兀171

當(dāng)工￡時(shí)，-x+-e—XH——=4^/2sin|—x+—

23122423212

|JTTT1\rrTT3萬

了石所以/⑴在萬彳上單調(diào)遞增,故②正確;

函數(shù)/(%)=4sin(1gx+d71+4cosf^-x+y的值域等價(jià)于函數(shù)g(%)=4sin；x+4cos；x的值域，易知

23

g(x+i)=g(x),故當(dāng)xe[O,捫時(shí)，g(x)=40sin[；x+g]e[4,4jl],故③正確.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)，還考查推理論證能力以及分類討論思想，屬于中檔題.

9.C

【解析】

否命題與逆命題是等價(jià)命題，寫出①的逆命題，舉反例排除；原命題與逆否命題是等價(jià)命題，寫出②的逆否命題后，

利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性驗(yàn)證正確；寫出③的逆命題判，利用兩直線平行的條件容易判斷③正確.

【詳解】

①的逆命題為“若。＞6,則」一＜」一”，

a+2b+2

令a=-1,b=-3可知該命題為假命題，故否命題也為假命題；

②的逆否命題為“若且＞＜0,則才”《1"，該命題為真命題，故②為真命題；

③的逆命題為“若直線％-7肛=0與直線2x-4y+l=0平行，則m=2"，該命題為真命題.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查判斷命題真假.判斷命題真假的思路：

⑴判斷一個(gè)命題的真假時(shí)，首先要弄清命題的結(jié)構(gòu)，即它的條件和結(jié)論分別是什么，然后聯(lián)系其他相關(guān)的知識(shí)進(jìn)行判

斷.

⑵當(dāng)一個(gè)命題改寫成“若0,則4”的形式之后，判斷這個(gè)命題真假的方法：

①若由“。”經(jīng)過邏輯推理，得出“4”，則可判定“若0,則4”是真命題；②判定“若0,則4”是假命題，只需舉一反

例即可.

10.B

【解析】

分析：根據(jù)三角函數(shù)的圖象關(guān)系進(jìn)行判斷即可.

詳解：將函數(shù)丁=忘垣[2》-0]圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)，

再將得到的圖象向左平移-個(gè)單位長度得到y(tǒng)=技譏(x--+-)=加(x,

43412

故選B.

點(diǎn)睛：本題主要考查三角函數(shù)的圖象變換，結(jié)合。和9的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.

11.C

【解析】

根據(jù)空間中直線與平面、平面與平面位置關(guān)系相關(guān)定理依次判斷各個(gè)選項(xiàng)可得結(jié)果.

【詳解】

對(duì)于A,當(dāng)加為a內(nèi)與“垂直的直線時(shí)，不滿足加，4錯(cuò)誤；

對(duì)于3,設(shè)。(3=1,則當(dāng)加為a內(nèi)與/平行的直線時(shí)，mlip,但根ua,3錯(cuò)誤；

對(duì)于C,由/九_(tái)L，，知：mlIn,又"J_a,C正確；

對(duì)于。，設(shè)。B=l,則當(dāng)根為￡內(nèi)與/平行的直線時(shí)，mHa,。錯(cuò)誤.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查立體幾何中線面關(guān)系、面面關(guān)系有關(guān)命題的辨析，考查學(xué)生對(duì)于平行與垂直相關(guān)定理的掌握情況，屬于基礎(chǔ)

題.

12.A

【解析】

首先根據(jù)等比數(shù)列分別求出滿足4+?3<2a2,S21<0的基本量，根據(jù)基本量的范圍即可確定答案.

【詳解】

{4}為等比數(shù)列，

若6+%<2%成立，有q(7-2q+l)<0,

因?yàn)閐—2q+120恒成立，

故可以推出q<0且

若S2,T<0成立，

當(dāng)q=l時(shí)，有q<0,

當(dāng)qwl時(shí)，有止2_2<0,因?yàn)榕c匚〉0恒成立，所以有。［<0,

1-ql-q

故可以推出q<0,qeR,

所以y+%<2a2”是“邑,1<0”的充分不必要條件.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了等比數(shù)列基本量的求解，充分必要條件的集合關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.V13

【解析】

根據(jù)已知求出利用向量的運(yùn)算律，求出『即可.

【詳解】

由a=(6,—1)可得|a|=7(A/3)2+(-1)2=2，

JI

則a?b=|a|?屹|(zhì)cosy=1,

所以|2a—切=J(2a—b)2=4a/+『=>/13-

故答案為:而

【點(diǎn)睛】

本題考查向量的模、向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查計(jì)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

14.2

【解析】

運(yùn)用拋物線的定義將拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離等于到準(zhǔn)線距離，然后求解結(jié)果.

【詳解】

2

拋物線丫=2爐的標(biāo)準(zhǔn)方程為：x=-y,則拋物線的準(zhǔn)線方程為丁=-』，設(shè)M(x”，為)，N(xN,yN),貝!!

28

\MF\+\NF\=yM+^+yN+^=^,所以則線段"N中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為必要上=2.

8842

故答案為：2

【點(diǎn)睛】

本題考查了拋物線的定義，由拋物線定義將點(diǎn)到焦點(diǎn)距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到準(zhǔn)線距離，需要熟練掌握定義，并能靈活運(yùn)用,

本題較為基礎(chǔ).

15.811

【解析】

畫出不等式組表示的平面區(qū)域，數(shù)形結(jié)合求得區(qū)域面積以及目標(biāo)函數(shù)的最值.

【詳解】

不等式組表示的平面區(qū)域如下圖所示：

數(shù)形結(jié)合可知，可行域?yàn)槿切危业走呴LBC=8,高為2,

故區(qū)域面積S=^x8x2=8；

2

令2=2x+y,變?yōu)閥=-2x+z,

顯然直線y=—2x+z過冬6,-1）時(shí)，z最大，故乙山=2x6—1=11.

故答案為：8；11.

【點(diǎn)睛】

本題考查簡單線性規(guī)劃問題，涉及區(qū)域面積的求解，屬基礎(chǔ)題.

16.1

【解析】

由已知條件得出4a2—4|a|.|b|.cos<a*〉+占2=3,可得-1。|-1=0,解之可得答案.

【詳解】

向量a,匕的夾角為,且|2a—切=若，|6|=1,可得：4。2一4|a|.g|.cos<a,6>+戶=3,

可得21al2—|。|一1=0,解得|。|=1,

故答案為:L

【點(diǎn)睛】

本題考查根據(jù)向量的數(shù)量積運(yùn)算求向量的模，關(guān)鍵在于將所求的向量的模平方，利用向量的數(shù)量積化簡求解即可，屬

于基礎(chǔ)題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(1)單調(diào)增區(qū)間(0,2),單調(diào)減區(qū)間為(—8,0),(2,+8)；(2)有2個(gè)零點(diǎn)，證明見解析；(3)c<-《

【解析】

(1)對(duì)函數(shù)〃尤)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)/'(%)的正負(fù)判斷函數(shù)/(%)的單調(diào)區(qū)間即可；

2

(2)函數(shù)g(x)=二-機(jī),(x20)有2個(gè)零點(diǎn).根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)存在性定理即可證明；

ex

[21

(3)記函數(shù)F(x)=/(%)-(%--)=—-x+-,%>0，求導(dǎo)后利用單調(diào)性求得尸⑴?F(2)<0,由零點(diǎn)存在性定理及單

調(diào)性知存在唯一的/e(l,2),使E(%)=0,求得力(龍)為分段函數(shù),求導(dǎo)后分情況討論：①當(dāng)X〉/時(shí)，利用函數(shù)的單

調(diào)性將問題轉(zhuǎn)化為2cW"⑺血的問題;②當(dāng)0<x<x°時(shí)，當(dāng)cWO時(shí),〃(x)>0在(0,%)上恒成立，從而求得c的取

值范圍.

【詳解】

/、￡，，、2x-e-x-ex(2-x)力士人丁

(1)由題意知,/(%)=,八2=%，列表如下：

(e)e

X(-°o,0)0(0,2)2(2,+8)

/'(x)—0+0—

/(尤)極小值T極大值

所以函數(shù)/(%)的單調(diào)增區(qū)間為(0,2),單調(diào)減區(qū)間為(—8,0),(2,+8).

Y

(2)函數(shù)g(%)=--%(尤20)有2個(gè)零點(diǎn).證明如下:

ex

44

因?yàn)?<根<E時(shí)，所以冢2)二萬一相>0,

ee

因?yàn)間⑴==⑹,所以g(X)〉。在(0,2)恒成立,g(x)在(0,2)上單調(diào)遞增,

由g(2)>0,g(0)=-〃z<0,且g?)在(0,2)上單調(diào)遞增且連續(xù)知,

函數(shù)g(x)在(0,2)上僅有一個(gè)零點(diǎn),

由⑴可得轉(zhuǎn)0時(shí),⑺1rax,

V24

即土K；<1,故了之0時(shí)，/>必，

/e2

由人>必得師〉臼，平方得e赤〉所以g(2)<0,

mm7m

因?yàn)間'(x)=Mj：x),所以g'(x)<0在(2,-+W)上恒成立，

44

所以函數(shù)g(x)在(2,轉(zhuǎn))上單調(diào)遞減，因?yàn)?<根</,所以赤〉2,

由g(2)>0,g(靠)<0,且g(x)在(2,一)上單調(diào)遞減且連續(xù)得

g(x)在(2,+8)上僅有一個(gè)零點(diǎn)，

V2...

綜上可知：函數(shù)g(x)=-----冽,(％20)有2個(gè)零點(diǎn).

ex

1X21

(3)記函數(shù)/(%)=/(%)—(%—七)=二—］+±,%>0,下面考察方(%)的符號(hào).

xexx

求導(dǎo)得尸(x)=xQ：x)—1_3,%>0.

ex-

當(dāng)了22時(shí)廣(x)<0恒成立.

當(dāng)0v%v2時(shí)，因?yàn)閤(2—x)〈［正03f=i,

2

所以/(X)="2x)一］一_一_L<0.

exex"xx

：.「(無)<。在(0,+8)上恒成立，故F(x)在(0,+8)上單調(diào)遞減.

143

VF(l)=->0,F(2)=—-2<o,F(l)-F(2)<0,又因?yàn)槭?x)在［1,2］上連續(xù),

ee2

所以由函數(shù)的零點(diǎn)存在性定理得存在唯一的不￡(1,2),使/(不)=0,

:.xG(0,x0),F(x)>0;xe(x0,+oo),F(x)<0,

因?yàn)殁睥?%----/(%)，所以。(%)=<x

x2.

---CX,X>XQ

1H---2cx,0<xV/

X

：.h'(x)=<

x(2-%)0

-------------2cx,x>xQ

1y2

因?yàn)楹瘮?shù)Kx）在（0,+8）上單調(diào)遞增,F（x0）=x0---------r=0,

xoe

所以/z'（x）＞0在（0,%0）,（乙,+8）上恒成立.

x（2—x）2—x

①當(dāng)X〉不時(shí)，一上—2x20在（x°,+8）上恒成立，即2cv—i在⑺什⑹上恒成立.

exe

記"(x)=——,x>x0,貝！Ju'(x)=——,x>x0,

當(dāng)x變化時(shí)，M(x),"(x)變化情況如下表：

X(%o,3)3(3,+8)

/(%)—0+

u{x}極小值T

”（X）min=獲（4極小="（3）=—/，

故2cVM（X）min=一/，即'w一

②當(dāng)0＜%＜不時(shí)，h{x）=\+\-2cx,當(dāng)cWO時(shí)，〃'（%）＞0在（0,%）上恒成立.

X

綜合（1）（2）知，實(shí)數(shù)c的取值范圍是c＜-

【點(diǎn)睛】

本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值和利用零點(diǎn)存在性定理判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)、利用分離參數(shù)法求參數(shù)

的取值范圍;考查轉(zhuǎn)化與化歸能力、邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力;通過構(gòu)造函數(shù)歹（%），利用零點(diǎn)存在性定理判斷其零

點(diǎn)，從而求出函數(shù)例＞）的表達(dá)式是求解本題的關(guān)鍵;屬于綜合型強(qiáng)、難度大型試題.

18.(1)3"-2"(2)見解析

【解析】

⑴取X—19則％=2〃；取x=2,則。0+%+%+/++。〃=3",

Sn=。]+%+/++an=3"-2〃；

2

⑵要證sn>(n-2)2"+2”2,只需證3">(n-l)2"+2n,

當(dāng)”=4時(shí)，81>80；

假設(shè)當(dāng)〃=左(左24)時(shí)，結(jié)論成立，即3*〉(4—1)2/+2/,

兩邊同乘以3得：3A1>3](Z—+—

而伏一3)2/+4/—4k—2=(左一3)2"+4(父—左—2)+6=(左一3)2"+4伏-2)伏+1)+6>0

3A+1>((k+1)-1)21+2/+Ip,即九=左+1時(shí)結(jié)論也成立，

...當(dāng)時(shí),3">(〃-1)2"+2〃2成立.

綜上原不等式獲證.

19.(1)證明見解析；(2)證明見解析；

【解析】

(1)推導(dǎo)出又。/〃咒,由以是AB的中點(diǎn)，能證明。是有中點(diǎn).

(2)作QV，/3似于點(diǎn)N,推導(dǎo)出CNL平面？A5,從而CNLAB,由ABLPC,能證明AB,平面PMC,由

此能證明平面ABC±平面PMC.

【詳解】

證明：(1)在三棱錐P—A5C中，

MD〃平面PAC,平面ALBc平面Q4C=PA,

"Du平面

:.MD//PA,

在AR45中，加是AB的中點(diǎn)，二。是有中點(diǎn).

(2)在三棱錐P-ABC中，ACBM是銳角三角形，

.,.在ACPM中，可作CNLPM于點(diǎn)N,

平面？A3,平面PMC,平面QABc平面=

CNu平面PMC,C7V_L平面R4B,

?.AB±PC,CNPC=C,

.?.AB，平面PMC,

ABu平面C4B,平面ABC，平面PMC.

【點(diǎn)睛】

本題考查線段中點(diǎn)的證明，考查面面垂直的證明，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算

求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題.

20.⑴一；⑵①加②m

-r+?=/Qu=—F-r.-H

【解析】

(1)根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)可得到a?,b2；

(2)聯(lián)立直線和橢圓，利用弦長公式可求得弦長AB,利用點(diǎn)到直線的距離公式求得原點(diǎn)到直線1的距離，從而可求

得三角形面積，再用單調(diào)性求最值可得值域.

【詳解】

(1)因?yàn)閮山裹c(diǎn)與短軸的一個(gè)頂點(diǎn)的連線構(gòu)成等腰直角三角形'所以二=.；：：，

又由右準(zhǔn)線方程為二=：'得到-

解得21=<所以-

所以，橢圓-的方程為一

?+Da=J

⑵①設(shè)二(二口?而口(01)，貝L二.

.^9*二"+

因?yàn)辄c(diǎn)二二都在橢圓上，所以

_,將下式兩邊同時(shí)乘以再減去上式，解得，

藥+口：=/-1=」

313*j

U?m3一

所以_________r-_-—

□O=^C/+D/=J7+^=T

②由原點(diǎn)二到直線-的距離為:，得_，化簡得：；--二=二.

岳7

所以

J-C

的面積

因?yàn)椤?_廠、在.?為單調(diào)減函數(shù),

并且當(dāng)時(shí)，「，當(dāng).時(shí),

C/T1J

所以----的面積-的范圍為.

L,?,I

【點(diǎn)睛】

圓錐曲線中最值與范圍問題的常見求法：（1）幾何法：若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用圖

形性質(zhì)來解決；（2）代數(shù)法：若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)

的最值.在利用代數(shù)法解決最值與范圍問題時(shí)常從以下幾個(gè)方面考慮：①利用判別式來構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)

的取值范圍；②利用隱含或已知的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；③利用基本不等式求出參數(shù)的取

值范圍；④利用函數(shù)的值域的求法，確定參數(shù)的取值范圍.

21.(1)答案見解析.(2)叵

7

【解析】

(1)根據(jù)題意可得PB=PZ)=R4=PC=20，在ZWIM中，利用余弦定理可得AM_LF5,然后同理可得

CMLPB,利用面面垂直的判定定理即可求解.

ULUU

(2)以。為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，求出面PDC的法向量為4,的法向量為〃2,利用空間向量的數(shù)量積即可

求解.

【詳解】

(1)由AB=2nAC=20

由ZAPC=^^PA=PC=AC=2A/2

因?yàn)槭钦睦忮F，故PB=PD=PA=PC=2血

于是BM=也,PM=-42

22

由余弦定理，在△243中，設(shè)NAP5=e

尸發(fā)+PB?-AB?3

cos61=

2PAPB-4

再用余弦定理，在Zk/XM中，

7

AM2=+PM2-2PAPMcos3=~

2

71

AM2+MB2=-+-=4=AB2

22

，/AMB是直角，AM±PB

同理CMLPB,而P5在平面P5C上，

:.平面AMC±平面PBC

(2)以。為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，如圖:

z

y

則D(0,0,0),C(2,0,0),A(0,2,0),P(l,l,巫),BQ,2,0)

uuu

設(shè)面PDC的法向量為4,AMC的法向量為%

則%=PDxDC=(0,276,-2)

nJ/PB,取巧=尸8=(1,1,_廂

于是，二面角。的余弦值為：cose=